Дифференциальные уравнения

Дата публикации

14 сентября 2026

Паспорт

  • Где и когда. III–IV семестры в планах ФПМИ набора 2025 по программам 01.03.02 и 09.03.01.
  • Объём. Для 01.03.02 — 270 часов, 6 з.е.: в III семестре 90 часов (2 з.е.), в IV — 180 часов (4 з.е.). Для 09.03.01 — 315 часов, 7 з.е.: 135 часов в III и 180 в IV семестре. Во всех вариантах есть 120 аудиторных часов (60 лекций, 60 семинаров); разница приходится на самостоятельную работу и подготовку к аттестации.
  • Кафедра. Кафедра высшей математики.
  • Преподаватель. В открытой программе для потока «кроме ЛФИ» 2025/26 преподаватель не указан. Поэтому имя лектора для конкретной группы на этой странице не фиксируется.
  • Итоговый контроль. В БРС кафедры для IV семестра указан экзамен; промежуточную форму в III семестре нужно сверять с расписанием своего года и программы.

Содержание опубликованной программы

Ссылка на программу варианта «кроме ЛФИ», в который включается ФПМИ, была опубликована кафедрой, но при проверке страницы возвращает 404. Поэтому её содержание не реконструируется и не выдаётся за действующее. Полный доступный официальный вариант — программа А. О. Ремизова для ЛФИ, 2024/25; это смежный поток, а не программа ФПМИ. Его полный список помещён здесь, чтобы информация не оставалась только в PDF:

  1. Основные понятия теории ДУ: фазовые пространства, решения, фазовые и интегральные кривые, векторные поля, особые точки, первые интегралы, пфаффовы системы, автономные системы и фазовый поток.
  2. Точные и замкнутые 1-формы, лемма Пуанкаре, уравнения в полных дифференциалах и интегрирующий множитель.
  3. Основные типы ДУ первого порядка и методы понижения порядка.
  4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами, квазимногочлены, уравнение Эйлера—Коши.
  5. Уравнения Ньютона, первый интеграл, гамильтонова форма и фазовый портрет.
  6. Линейные системы с непрерывными коэффициентами, продолжимость и общее решение.
  7. Фундаментальная матрица, вронскиан и формула Лиувилля—Остроградского.
  8. Неоднородные системы и метод вариации произвольных постоянных.
  9. Краевые задачи для линейных уравнений и теорема об альтернативе.
  10. Теорема Штурма о нулях и сравнении.
  11. Линейные системы с постоянными коэффициентами, матричная экспонента.
  12. Задача Коши, условие Липшица, существование и единственность, примеры несуществования и неединственности.
  13. Теорема существования и единственности в аналитическом случае и метод мажорант.
  14. Продолжимые и непродолжимые решения, покидание компакта, продолжимость линейных систем.
  15. Непрерывная зависимость решений от параметров и начальных условий.
  16. Лемма Адамара.
  17. Гладкая зависимость, первая вариация и разложение по параметру.
  18. Теоремы о выпрямлении.
  19. Первые интегралы автономной системы и локальное существование набора образующих интегралов.
  20. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка: общее решение и задача Коши.
  21. Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка.
  22. Квазилинейные уравнения первого порядка, задача Коши и многозначные решения.
  23. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, функции Ляпунова и Четаева.
  24. Предельные точки и множества, теорема Барбашина—Красовского, теорема Пуанкаре—Бендиксона.
  25. Монодромия и предельные циклы, грубые и негрубые циклы.
  26. Необходимые условия существования циклов: теорема Бендиксона—Дюлака и индексы особых точек.
  27. Достаточные условия существования циклов и топографическая система Пуанкаре.
  28. Неявные ДУ первого порядка, метод параметра, каспы и огибающие.
  29. Преобразование Лежандра и уравнение Клеро.
  30. Простейшая задача вариационного исчисления и задачи с одним или двумя ограничениями.

Балльно-рейтинговая система (весна 2026)

Для IV семестра опубликована БРС на 120 баллов: две контрольные по сдаче заданий — по 0–9; два задания с тетрадью и защитой — по 0–3; проверка теории — 0–3; работа на семинарах — 0–3; письменная экзаменационная работа — 0–30; устный экзамен — 0–60, кратный 6.

Шкала: 112–120 — 10, 103–111 — 9, 94–102 — 8, 85–93 — 7, 76–84 — 6, 67–75 — 5, 54–66 — 4, 41–53 — 3, 28–40 — 2, 0–27 — 1. При устном ответе не выше 12 действуют специальные правила для оценок 1 и 2.

Источники и актуальность

Доступная экзаменационная программа ЛФИ, 2024/25, БРС 2026, план 01.03.02 и план 09.03.01. Недоступная ссылка на вариант «кроме ЛФИ» намеренно не оставлена как рабочая.