Введение в математический анализ

Дата публикации

14 сентября 2026

Паспорт

  • Где и когда. В официальных учебных планах МФТИ для набора 2025 курс стоит в I семестре программ ФПМИ 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (профиль «Математика») и 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» (профиль «Прикладная математика, компьютерные науки и инженерия»).
  • Объём. Для 01.03.02 — 270 часов с учётом 30 часов на подготовку и сдачу экзамена, 6 зачётных единиц; 120 аудиторных часов: 60 лекционных и 60 семинарских. Для 09.03.01 — те же 270 часов и 6 з.е., но 150 аудиторных часов: 60 лекционных и 90 семинарских.
  • Кафедра. Кафедра высшей математики.
  • Преподаватели в опубликованных программах 2025/26. Для потока ФПМИ опубликована программа А. Л. Лукашова; отдельная программа для ФПМИ и ВШПИ — А. И. Тюленева. Это не означает, что именно эти лекторы будут читать курс в следующем году: распределение потоков меняется.
  • Итоговый контроль. Экзамен в I семестре.

Содержание опубликованной программы

Ниже — полный перечень тем экзаменационной программы потока А. Л. Лукашова на 2025/26 учебный год, изложенный в форме, удобной для сайта. Пункты со звёздочкой в первоисточнике спрашиваются без доказательств, если студент не хочет их доказывать.

  1. Действительные числа: существование и единственность точной верхней и нижней грани ограниченного множества; счётность \(\mathbb Q\) и несчётность \(\mathbb R\).
  2. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
  3. Предел числовой последовательности и его единственность; операции с пределами и неравенства; предел монотонной ограниченной последовательности; число \(e\); бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
  4. Подпоследовательности и частичные пределы; теорема Больцано—Вейерштрасса; критерий Коши существования конечного предела; верхний и нижний пределы последовательности.
  5. Предел функции одной переменной: определения Коши и Гейне и их эквивалентность; свойства предела, критерий Коши, предел композиции; односторонние пределы монотонной функции.
  6. Непрерывность в точке и односторонняя непрерывность; операции с непрерывными функциями и композиция; переход к пределу под знаком непрерывной функции; классификация точек разрыва и разрывы монотонных функций.
  7. Непрерывные функции на отрезке: ограниченность, достижение точных граней, промежуточные значения, равномерная непрерывность и обратная функция.
  8. Непрерывность элементарных функций; определение и свойства экспоненты; замечательные пределы.
  9. Производная и дифференциал функции одной переменной, односторонние производные, геометрический смысл; правила дифференцирования, производная композиции и обратной функции, элементарные и параметрически заданные функции; инвариантность формы первого дифференциала.
  10. Производные и дифференциалы высших порядков; формула Лейбница; неинвариантность формы второго дифференциала; формула Фаа ди Бруно\(^*\).
  11. Теорема Ферма; теоремы Ролля, Лагранжа и Коши; формула Тейлора с остатком в формах Пеано и Лагранжа, основные разложения; правило Лопиталя для неопределённостей \(0/0\) и \(\infty/\infty\); теорема Дарбу о промежуточных значениях производной.
  12. Исследование функций производной: необходимые и достаточные условия монотонности и локального экстремума, выпуклость, точки перегиба и асимптоты.
  13. Метрические, линейные нормированные и евклидовы пространства; неравенства Коши—Буняковского—Шварца и Минковского; открытые и замкнутые множества, топология метрического пространства.
  14. Пределы последовательностей в \(\mathbb R^n\); теоремы Больцано—Вейерштрасса и критерий Коши в \(\mathbb R^n\); компактность в метрических пространствах и в \(\mathbb R^n\); основная теорема алгебры\(^*\).
  15. Гладкие плоские и пространственные кривые: касательная, допустимая замена параметра, длина и натуральный параметр; функции ограниченной вариации; кривизна, сопровождающий трёхгранник, кручение и формулы Френе\(^*\); эволюта и эвольвента\(^*\).

Оценивание

Опубликована общая БРС курса (в самом документе поток не указан), 120 баллов: коллоквиум 0–7, семестровая работа 0–7, контрольная по третьему заданию 0–4, три задания по 0–2, проверка теории 0–3, работа на семинарах 0–3, письменная экзаменационная работа 0–30, устный экзамен 0–60. Результативная работа на практикуме даёт до 3 баллов, но семестровая сумма ограничена 30.

Шкала: 112–120 — 10, 103–111 — 9, 94–102 — 8, 85–93 — 7, 76–84 — 6, 67–75 — 5, 54–66 — 4, 41–53 — 3, 27–40 — 2, 0–26 — 1. Устный ответ при оценке выше 2 переводится как \(6N\), где \(N\) — предварительная оценка по десятибалльной шкале; при \(N=1,2\) итоговая оценка совпадает с \(N\).

Источники и актуальность

Данные о содержании и преподавателях — экзаменационная программа ФПМИ, 2025/26 и вариант ФПМИ и ВШПИ; оценивание — общая БРС. Объём и семестр — учебный план 01.03.02, набор 2025 и учебный план 09.03.01, набор 2025. Официальные документы первичнее этой справочной страницы.