Кратные интегралы и теория поля

Дата публикации

18 октября 2026

Паспорт

  • Где и когда. III семестр программы 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», профиль «Математика», в официальном плане набора 2025.
  • Объём. 180 часов, 4 з.е.: 90 аудиторных часов (45 лекций и 45 семинаров), 60 часов самостоятельной работы и 30 часов на подготовку и сдачу экзамена.
  • Кафедра. Кафедра высшей математики.
  • Преподаватель в опубликованной программе 2025/26. В. В. Редкозубов, поток ФПМИ/ПМИ. На странице кафедры также опубликованы близкие, но не тождественные варианты курса для других потоков.
  • Итоговый контроль. Экзамен в III семестре.

Содержание опубликованной программы

Ниже — полный перечень разделов из опубликованной программы экзамена В. В. Редкозубова на 2025 год. Формулировки сжаты, но сохраняют все 27 пунктов документа.

  1. Принцип Кавальери и мера подграфика функции.
  2. Теоремы Тонелли и Фубини; объём \(n\)-мерного шара.
  3. Оценка меры образа измеримого множества и замена переменной в интеграле Лебега.
  4. Теорема Банаха о неподвижной точке.
  5. Теорема об обратном отображении при ненулевом якобиане, открытость отображения и криволинейные координаты.
  6. Теорема о неявной функции и её дифференцирование.
  7. Гладкие многообразия в \(\mathbb R^n\): график, локальное выпрямление и задание системой уравнений.
  8. Гладкие отображения многообразий, гладкость обратной параметризации и переходов; проверка гладкости в координатах.
  9. Касательное пространство и касательная плоскость: эквивалентные определения.
  10. Дифференциал гладкого отображения и регулярное значение.
  11. Локальные экстремумы.
  12. Условные экстремумы и метод множителей Лагранжа.
  13. Измеримые множества на многообразии и поверхностная мера.
  14. Интеграл измеримой функции по многообразию; криволинейный и поверхностный интегралы первого рода.
  15. Формула площади и полная поверхностная мера сферы.
  16. Дифференциальные 1-формы, интегрирование по кривой, точность, локальная точность, независимость от пути, гомотопия и односвязность.
  17. Альтернированные \(k\)-формы, базис, внешнее произведение и линейный перенос форм.
  18. Формы на открытом множестве \(\mathbb R^m\), гладкость, прообраз формы и преобразование форм высшей степени при диффеоморфизме.
  19. Внешний дифференциал и его перестановочность с прообразом формы.
  20. Дифференциальные формы на многообразиях, два определения гладкости и внешний дифференциал.
  21. Гладкое разбиение единицы.
  22. Регулярные области, их граница и задание неравенствами.
  23. Ориентируемые многообразия, ориентация границы и ориентация при задании уравнением.
  24. Интегрирование дифференциальных форм, замена переменной, интегрирование по измеримому множеству; криволинейный и поверхностный интегралы второго рода.
  25. Теорема Стокса и её частные случаи в \(\mathbb R^3\).
  26. Замкнутые и точные формы, лемма Пуанкаре.
  27. Приложения методов векторного анализа.

Оценивание

Для потока В. В. Редкозубова, ФПМИ, опубликована БРС на 100 баллов: защита каждого из трёх заданий (контрольная, тетрадь и устный теоретический вопрос) — по 0–9, работа на семинарах — 0–3, устный экзамен — 0–70. При предварительной устной оценке \(N\ge3\) начисляется \(7N\) баллов; при \(N=1,2\) итоговая оценка совпадает с \(N\).

Шкала: 93–100 — 10, 86–92 — 9, 79–85 — 8, 72–78 — 7, 65–71 — 6, 58–64 — 5, 51–57 — 4, 44–50 — 3, 30–43 — 2, 0–29 — 1.

Источники и актуальность

Экзаменационная программа ФПМИ/ПМИ, 2025/26, БРС ФПМИ, 2025 и учебный план 01.03.02, набор 2025.