Многомерный анализ, интегралы и ряды

Дата публикации

14 сентября 2026

Паспорт

  • Где и когда. II семестр в учебных планах МФТИ для набора 2025 по программам 01.03.02 (профиль «Математика») и 09.03.01 (профиль «Прикладная математика, компьютерные науки и инженерия»).
  • Объём. Для 01.03.02 — 270 часов, 6 з.е.: 120 аудиторных часов (60 лекций, 60 семинаров), 120 часов самостоятельной работы и 30 часов на экзамен. Для 09.03.01 — 225 часов, 5 з.е.: 120 аудиторных часов (60 лекций, 60 семинаров), 75 часов самостоятельной работы и 30 часов на экзамен.
  • Кафедра. Кафедра высшей математики.
  • Преподаватели в опубликованных программах 2025/26. А. Л. Лукашов (поток ФПМИ) и А. И. Тюленев (ФПМИ и ВШПИ).
  • Итоговый контроль. Экзамен во II семестре.

Содержание опубликованной программы

Ниже — полный перечень разделов из опубликованной программы экзамена А. Л. Лукашова на 2025/26 год. Формулировки немного сокращены, но ни один пункт программы не опущен.

  1. Непрерывные отображения в \(\mathbb R^n\): компактность, пределы по направлению, по множествам и повторные пределы; равномерная непрерывность, связность и линейная связность; критерий Больцано—Коши в \(\mathbb R^n\).
  2. Дифференцируемость функций многих переменных: частные производные, касательная плоскость и градиент; смешанные производные и теоремы Шварца и Юнга; формула Тейлора в формах Лагранжа и Пеано.
  3. Интеграл Римана: суммы Дарбу и интегрируемость; интегрируемость непрерывных и монотонных функций; формула Ньютона—Лейбница, интегрирование по частям и замена переменной; теоремы о среднем, теорема Бонне и интегральный остаток в формуле Тейлора.
  4. Несобственные интегралы Римана: критерий Коши, признаки сравнения, абсолютная и условная сходимость, признаки Дирихле, Абеля и Харди.
  5. Числовые ряды: необходимое условие, ряды с неотрицательными членами, сравнение и интегральный признак; признаки Даламбера и Коши, регулярность Чезаро, абсолютная и условная сходимость, признаки Лейбница, Дирихле и Абеля; перестановки, теорема Римана, произведение рядов и теорема Мертенса.
  6. Функциональные ряды: равномерный критерий Коши и признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля; предельный переход, теорема Дини, почленное интегрирование и дифференцирование, пример ван дер Вардена; степенные ряды, радиус сходимости, вторая теорема Абеля и условия разложения в ряд Тейлора.
  7. Мера: счётно-аддитивный объём на кольце элементарных множеств, внешняя мера Лебега и мера Жордана, внутренняя мера и измеримость; алгебры множеств, конечная и счётная аддитивность, непрерывность меры; строение открытых и измеримых множеств в \(\mathbb R^n\), критерий Жордана, множество Кантора и пример неизмеримого множества.
  8. Измеримые функции: определения и неравенства, арифметические операции и композиция; пример неизмеримой композиции, предельные переходы, приближение простыми функциями, сходимость по мере и почти всюду.
  9. Площади и объёмы; метод Шварца; площадь поверхности вращения.
  10. Теоремы о неявной функции — для одного уравнения и системы — и теорема о локальной обратимости.
  11. Ограниченные линейные операторы: операторная норма, сильная производная и её единственность, правило цепочки и старшие производные.

Балльно-рейтинговая система (весна 2026)

Для дисциплины «Многомерный анализ, интегралы и ряды», 1 курс, 2 семестр, кафедра высшей математики, опубликована БРС на 120 баллов:

  • три контрольные по заданиям — по 0–6; три задания — по 0–2; проверка теории — 0–3; работа на семинарах — 0–3; результативная работа на практикуме — до 3 баллов, при этом суммарный семестровый результат ограничен 30;
  • письменная экзаменационная работа — 0–30; устный экзамен — 0–60 (кратен 6);
  • шкала: 112–120 — 10, 103–111 — 9, 94–102 — 8, 85–93 — 7, 76–84 — 6, 67–75 — 5, 54–66 — 4, 41–53 — 3, 27–40 — 2, 0–26 — 1. При устном ответе не выше 12 действуют специальные правила для оценок 1 и 2.

Источники и актуальность

Программа ФПМИ (Лукашов), 2025/26, вариант Тюленева, БРС 2026, план 01.03.02 и план 09.03.01. БРС относится к указанному учебному году и может быть заменена кафедрой.