Алгебра и геометрия

Паспорт

• Где и когда. I–II семестры программы 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», профиль «Математика», в плане набора 2025. В плане 09.03.01 те же темы выделены в самостоятельные курсы «Аналитическая геометрия» (I семестр) и «Линейная алгебра» (II семестр), поэтому их нельзя автоматически считать тем же курсом с тем же объёмом.
• Объём на 01.03.02. 360 часов, 8 з.е.: по 180 часов и 4 з.е. в каждом семестре. Всего 180 аудиторных часов: 105 лекционных и 75 семинарских; 120 часов самостоятельной работы и 60 часов на подготовку к экзаменам.
• Кафедра. Кафедра высшей математики.
• Преподаватель в опубликованных программах 2025/26. И. И. Богданов указан в экзаменационных программах; конкретное распределение лекторов по потокам нужно проверять в текущем семестре.
• Итоговый контроль. Экзаменационные программы опубликованы для зимней и летней сессий, то есть для обоих семестров.

Содержание опубликованной программы

Ниже приведены все пункты двух опубликованных программ потока И. И. Богданова: зимней 2025 года и летней 2026 года. Формулировки сокращены, но перечень не является выборкой.

I семестр: аналитическая геометрия

1. Коллинеарные и компланарные векторы, линейные операции, зависимость и независимость, базисы и координаты, смена базиса.
2. Декартовы и ортонормированные системы координат, координаты направленного отрезка, задания прямой и отрезка, переход между системами координат.
3. Скалярное произведение в ортонормированном и произвольном базисе, ортогональная проекция, расстояния и углы.
4. Ориентация на плоскости и в пространстве, ориентированные площадь и объём (смешанное произведение).
5. Векторное и двойное векторное произведения, критерии коллинеарности и компланарности.
6. Уравнения множеств, многочлены нескольких переменных, алгебраические линии и поверхности, сохранение порядка при смене координат.
7. Прямая на плоскости: способы задания, расстояние до точки, пересечение, параллельность и пучок прямых.
8. Плоскость в пространстве: способы задания, параллельность, пересечение и пучок плоскостей.
9. Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых, расстояния до плоскости и между скрещивающимися прямыми.
10. Эллипс, гипербола и парабола: канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты, сопряжённые диаметры и касательные.
11. Линии второго порядка: классификация, приведение к каноническому виду, центр линии.
12. Основные типы поверхностей второго порядка.

I семестр: линейные пространства, матрицы и определители

1. Матрицы, операции над ними и их свойства.
2. Группы, кольца и поля; комплексные числа, характеристика и простое подполе; перестановки и их знак; изоморфизмы, теорема Кэли, циклические группы и теорема Лагранжа.
3. Линейные пространства, зависимые и независимые системы, подпространства и линейная оболочка.
4. Системы линейных уравнений: элементарные преобразования, ступенчатый вид, фундаментальная система и общее решение.
5. Базис, размерность, изоморфизм, координаты и матрица перехода; мощности конечного векторного пространства и конечного поля.
6. Ранг системы и матрицы, базисный минор, теорема Кронекера—Капелли, обратимые матрицы и их нахождение.
7. Сумма, пересечение и прямая сумма подпространств; связь размерностей.
8. Линейные функционалы, двойственное пространство, взаимный базис, каноническое вложение в двойное двойственное пространство и аннуляторы.
9. Линейные отображения: матрица, ядро, образ, инъективность, операции и смена базисов.
10. Полилинейные и кососимметричные функции, определитель, его свойства, разложения и правило Крамера.

II семестр

1. Многочлены над полем: деление с остатком, НОД и алгоритм Евклида, неприводимость и основная теорема арифметики.
2. Корни многочленов, теорема Безу, формальная производная и кратные корни.
3. Инвариантные подпространства, собственные векторы и значения, характеристический многочлен, определитель и след оператора.
4. Линейная независимость собственных векторов при разных значениях, кратности и диагонализуемость.
5. Циклические подпространства и теорема Гамильтона—Кэли.
6. Аннулирующие многочлены, корневые подпространства и их прямая сумма.
7. Жорданова нормальная форма, её единственность, нахождение и связь с минимальным многочленом.
8. Линейные рекурренты над полем.
9. Билинейные формы, их матрицы и смена базиса.
10. Симметричные и кососимметричные формы, ядро и ортогональное дополнение.
11. Квадратичные формы и метод Лагранжа приведения к диагональному виду.
12. Положительно определённые формы, индексы инерции, закон инерции, метод Якоби и критерий Сильвестра.
13. Канонический вид кососимметричной билинейной формы.
14. Полуторалинейные, эрмитовы и эрмитовы квадратичные формы; канонический вид, закон инерции и критерий Сильвестра.
15. Евклидовы и эрмитовы пространства, матрица Грама, неравенства Коши—Буняковского и треугольника.
16. Ортонормированные базисы, ортогональные и унитарные матрицы, изоморфизмы; канонический изоморфизм с сопряжённым пространством.
17. Ортогональное дополнение и проекция, процесс Грама—Шмидта, объём параллелепипеда.
18. Связь форм и линейных преобразований, сопряжённый оператор и теорема Фредгольма.
19. Самосопряжённые операторы и ортонормированный базис из их собственных векторов.
20. Ортогональные и унитарные операторы, их канонический вид и полярное разложение.
21. Главные оси квадратичной формы и одновременная диагонализация пары квадратичных форм.
22. Тензоры как полилинейные отображения, тензорное произведение и координатная запись.
23. Операции с тензорами: свёртка, перестановка индексов, симметризация и альтернирование.

Оценивание

Отдельные позиции «Алгебра и геометрия» есть в осеннем и весеннем каталогах БРС кафедры высшей математики. Числовые листы именно для варианта ФПМИ/И. И. Богданова не удалось надёжно извлечь из открытого каталога, поэтому баллы и шкала не подставлены.

Источники и актуальность

Программа зимней сессии, 2025, программа летней сессии, 2026, план 01.03.02 и план 09.03.01.