Теория групп

Дата публикации

14 сентября 2026

Паспорт

  • Где и когда. III семестр программы 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», профиль «Математика», в плане набора 2025.
  • Объём. 135 часов, 3 з.е.: 60 аудиторных часов (30 лекций и 30 семинаров), 45 часов самостоятельной работы и 30 часов на экзамен.
  • Кафедра. В опубликованной экзаменационной программе — кафедра высшей математики; смежный расширенный курс на 2 курсе ведёт кафедра дискретной математики.
  • Преподаватель в опубликованной программе 2025/26. В. В. Штепин.
  • Итоговый контроль. Экзамен в III семестре.

Содержание опубликованной программы

Ниже — все 24 пункта экзаменационной программы В. В. Штепина на 2025 год. Она относится именно к этому курсу; разделы о кольцах и полях из смежных материалов сюда не перенесены.

  1. Группы, примеры, циклические группы и их подгруппы.
  2. Смежные классы, индекс подгруппы и теорема Лагранжа.
  3. Нормальные подгруппы, факторгруппа, гомоморфизмы, ядро и образ; основная теорема о гомоморфизмах.
  4. Произведение нормальной подгруппы на подгруппу и первая теорема об изоморфизмах.
  5. Подгруппы факторгруппы и теорема соответствия.
  6. Действия групп, орбиты, стабилизаторы и формула орбиты.
  7. Примеры действий, теорема Кэли, централизатор элемента и нормализатор подгруппы.
  8. Автоморфизмы и группа внутренних автоморфизмов \(\operatorname{Inn}(G)\).
  9. Уравнение классов сопряжённости и лемма Бернсайда о среднем числе неподвижных элементов.
  10. Внешнее и внутреннее прямые произведения, критерий разложимости в прямое произведение.
  11. Полупрямое произведение и критерий соответствующего разложения.
  12. Центр группы, факторгруппа по центру и центр \(p\)-группы.
  13. Разрешимые и нильпотентные группы, эквивалентные определения и связи с подгруппами и факторгруппами.
  14. Простые группы и лемма о классах сопряжённости в подгруппе индекса 2.
  15. Простота группы \(A_n\) при \(n\geq5\).
  16. Свободная группа, её факторгруппы и задание группы образующими и определяющими соотношениями.
  17. Существование в \(p\)-группе подгрупп всех допустимых порядков.
  18. Существование и число силовских подгрупп: первая и третья теоремы Силова.
  19. Сопряжённость силовских подгрупп и вложение \(p\)-подгруппы в силовскую: вторая теорема Силова.
  20. Разложение конечной группы в прямое произведение силовских подгрупп; разложение группы порядка \(pq\).
  21. Свободные абелевы группы, базисы, ранг, подгруппы свободных абелевых групп.
  22. Нормальная форма Смита и существование разложения конечно порождённой абелевой группы.
  23. Периодическая часть абелевой группы и единственность её классификационного разложения.
  24. Кольцо и алгебра, идеалы, факторкольцо и основная теорема о гомоморфизмах колец.

Оценивание

В открытом архиве найден лист БРС курса «Теория групп», 2 курс, III семестр, на 100 баллов: две контрольные по сдаче заданий — по 0–8, два задания с тетрадью и защитой — по 0–4, проверка теории — 0–3, работа на семинарах — 0–3, устный экзамен — 0–70. При предварительной устной оценке \(N>2\) начисляется \(7N\) баллов; при \(N=1,2\) итоговая оценка совпадает с \(N\).

Шкала: 93–100 — 10, 86–92 — 9, 79–85 — 8, 72–78 — 7, 65–71 — 6, 58–64 — 5, 51–57 — 4, 44–50 — 3, 30–43 — 2, 0–29 — 1. В самом листе не указан поток В. В. Штепина и он опубликован раньше текущих программ, поэтому это архивная справка, а не гарантия действующей БРС.

Источники и актуальность

Экзаменационная программа Штепина, 2025, архивная БРС, расширенная программа кафедры дискретной математики, план 01.03.02.