Основы криптографии

Дата публикации

14 сентября 2026

Паспорт

  • Статус названия. В плане 01.03.02 для набора 2025 есть курс «Криптография» в VII семестре, но не «Основы криптографии».
  • Объём подтверждённого курса. 90 часов, 2 з.е.: 60 аудиторных часов (30 лекций и 30 семинаров) и 30 часов самостоятельной работы.
  • Кафедра/преподаватель. В плане специализация указана как «Дискретная математика»; конкретный преподаватель не опубликован.
  • Итоговый контроль. Форма контроля должна быть взята из актуального плана и расписания; она не извлекается надёжно из доступного текста плана.

Содержание

Отдельная программа именно «Основ криптографии» не найдена. Кафедра публикует подробную, но более позднюю программу «Криптография на эллиптических кривых и решётках»; она не подменяет базовый курс VII семестра, поэтому ниже явно отмечена как смежный материал.

Лектор смежной программы — д. ф.-м. н. А. А. Илларионов. В аннотации сказано, что курс рассматривает криптосистемы с открытым ключом на эллиптических кривых и решётках, включая постквантовые мотивировки. В документе перечислены следующие 24 темы:

  1. Сложность алгоритмов, полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы, проблема \(P=NP\).
  2. Эллиптические кривые над \(\mathbb R\) и два описания сложения точек.
  3. Эллиптические кривые над произвольным полем.
  4. Мощность группы точек над простым конечным полем и теорема Хассе.
  5. Аналоги Диффи—Хеллмана и Эль-Гамаля на эллиптических кривых.
  6. Современные стандарты цифровой подписи РФ и США.
  7. Криптостойкость схем на эллиптических кривых.
  8. Построение подходящих для криптографии эллиптических кривых.
  9. Проективные координаты и оптимизация вычислений.
  10. Направления дальнейшего развития криптографии на эллиптических кривых.
  11. Решётки, базис и определитель.
  12. Теорема Минковского о выпуклом теле.
  13. Ортогонализация Грама—Шмидта.
  14. \(\mu\)-приведённые базисы и их построение.
  15. Минимумы решёток и постоянная Эрмита.
  16. Алгоритм Лагранжа для \(L\)-приведённого базиса.
  17. Алгоритм Эрмита нахождения короткого вектора.
  18. Алгоритмические задачи на решётках, применяемые в криптографии.
  19. \(LLL\)-приведённый базис и его свойства.
  20. \(LLL\)-алгоритм.
  21. Криптосистема GGH.
  22. Цифровая подпись GGH.
  23. Шифр NTRU.
  24. Цифровая подпись NTRUSign.

В документе также приведены ожидаемые результаты обучения: знать свойства эллиптических кривых, решёток и приведённых базисов, алгоритмы Эрмита и \(LLL\), задачи на решётках и системы GGH/NTRU; уметь доказывать свойства объектов и оценивать сложность и корректность алгоритмов; владеть основами геометрии чисел и криптографическими применениями этих объектов. Текущий контроль в смежной программе: домашние задания, возможное программное задание и коллоквиум в середине семестра; числовых весов и порогов не указано.

Оценивание

Открытая БРС с числовыми правилами не найдена.

Источники и актуальность

Учебный план 01.03.02, набор 2025, программа смежного курса, перечень бакалаврских курсов кафедры.