Дифференцирование интеграла Лебега. Абсолютно непрерывные функции

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

В отличие от предыдущих глав, здесь всюду \(X = \mathbb {R}\), а мера – это мера Лебега \(\lambda\) (или порождённая ею мера Лебега–Стилтьеса), если явно не оговорено иное. Мы применяем абстрактную теорию меры (в частности, теорему Радона–Никодима из главы о мерах со знаком) к этому конкретному случаю и получаем классические факты математического анализа – дифференцирование интеграла, формулу Ньютона–Лейбница, связь плотности распределения с производной функции распределения.

Всюду в первых трёх разделах мера – это мера Лебега \(\lambda\) на \(\mathbb {R}\). Запись \(f \in L^1(\mathbb {R})\) означает, что \(f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) измерима по Лебегу и \(\left\| f\right\|_{1} = \int_{\mathbb {R}} \left|f\right| \, d\lambda < \infty\). Для интегралов по отрезкам используем сокращение

\[ \int _{a}^{b} f := \int _{[a,b]} f \, d\lambda \]

1 Максимальная функция Харди–Литтлвуда

Определение 1 Пусть \(I\) – ограниченный непустой открытый интервал в \(\mathbb {R}\). Через \(3 * I\) обозначим открытый интервал с тем же центром, что у \(I\), и втрое большей длиной.

Например, если \(I = (0, 10)\), то \(3 * I = (-10, 20)\).

Лемма 1 (Витали, о покрытии; конечный вариант) Пусть \(I_1, \ldots , I_n\) – список ограниченных непустых открытых интервалов в \(\mathbb {R}\). Тогда найдется дизъюнктный подсписок \(I_{k_1}, \ldots , I_{k_m}\), такой что \[ I_1 \cup \ldots \cup I_n \subseteq (3 * I_{k_1}) \cup \ldots \cup (3 * I_{k_m}) \]

Пример: пусть \(n = 4\) и

\[ I_1 = (0, 10), \quad I_2 = (9, 15), \quad I_3 = (14, 22), \quad I_4 = (21, 31) \]

Тогда

\[ 3*I_1 = (-10, 20), \quad 3*I_2 = (3,21), \quad 3*I_3 = (6, 30), \quad 3*I_4 = (11, 41) \]

и \(I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \subseteq (3*I_1) \cup (3*I_4)\), т.е. в качестве подсписка подходит пара \(I_1, I_4\) (как несложно проверить, никакой другой подсписок в этом примере не подходит).

ProblemЗадача 1

Докажите шаг, оставленный в доказательстве леммы Витали как упражнение: если \(I, J\) – ограниченные непустые интервалы, \(I \cap J \neq \varnothing\) и \(\left|J\right| \geq \left|I\right|\), то \(I \subseteq 3 * J\).

ProblemЗадача 2

Покажите, что константу \(3\) в лемме Витали нельзя заменить ни на какую меньшую.

HintПодсказка

Достаточно рассмотреть подходящую пару пересекающихся интервалов почти одинаковой длины.

Определение 2 Пусть \(h: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) измерима по Лебегу. Максимальная функция Харди–Литтлвуда – это функция \(h^*: \mathbb {R} \to [0, +\infty ]\), определяемая так: \[ h^*(b) := \sup _{t > 0} \; \frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t} \left|h\right| \] Иначе говоря, \(h^*(b)\) – это супремум средних значений \(\left|h\right|\) по всевозможным интервалам с центром в \(b\).

ExampleПример 1

Найдите \(\left(\; \mathbb {1}_{[0,1]}\right)^*\).

SolutionРешение

Пусть \(h = \; \mathbb {1}_{[0,1]}\). Среднее значение \(\left|h\right|\) по интервалу \((b-t, b+t)\) равно \(\frac{\lambda \left((b-t,\, b+t) \cap [0,1]\right)}{2t} \leq 1\).

Пусть \(b \leq 0\). Пока \(b + t \leq 1\), среднее равно \(\frac{\max (b+t,\, 0)}{2t}\); как функция от \(t\) оно не убывает (при \(b+t > 0\) производная по \(t\) равна \(\frac{-2b}{(2t)^2} \geq 0\)), т.е. выгодно увеличивать \(t\) вплоть до \(t = 1 - b\). При \(t > 1-b\) числитель фиксируется на \(1\), и среднее \(\frac{1}{2t}\) убывает. Максимум достигается при \(t = 1-b\):

\[ h^*(b) = \frac{1}{2(1-b)} \]

При \(0 < b < 1\) достаточно маленькие интервалы вокруг \(b\) целиком лежат в \([0,1]\), среднее по ним равно \(1\), а больше \(1\) среднее быть не может: \(h^*(b) = 1\). Случай \(b \geq 1\) симметричен случаю \(b \leq 0\): \(h^*(b) = \frac{1}{2b}\).

AnswerОтвет

\(\left(\; \mathbb {1}_{[0,1]}\right)^*(b) = \begin{cases} \frac{1}{2(1-b)}, & b \leq 0 \\ 1, & 0 < b < 1 \\ \frac{1}{2b}, & b \geq 1\end{cases}\)

Обратите внимание: в этом примере \(h \in L^1(\mathbb {R})\), но \(h^*\) убывает на бесконечности лишь как \(\frac{1}{2\left|b\right|}\), т.е. \(h^* \not\in L^1(\mathbb {R})\). Максимальная функция интегрируемой функции сама интегрируемой быть не обязана! Тем ценнее следующее неравенство: оно контролирует <<хвосты>> \(h^*\) – ровно в том же духе, в котором неравенство Маркова контролирует хвосты \(\left|h\right|\).

ProblemЗадача 3

Найдите формулу для максимальной функции Харди–Литтлвуда функции \(\; \mathbb {1}_{[0,1] \cup [2,3]}\).

Теорема 1 (Максимальное неравенство Харди–Литтлвуда) Пусть \(h \in L^1(\mathbb {R})\). Тогда для любого \(c > 0\) \[ \lambda \left(\left\{ b \in \mathbb {R} \; : \; h^*(b) > c\right\} \right) \leq \frac{3}{c} \left\| h\right\| _{1} \]

Сравните с неравенством Маркова (теорема неравенство Маркова): структура та же, но константа ухудшилась с \(1\) до \(3\) – это плата за супремум по всем интервалам. При этом максимальное неравенство существенно глубже неравенства Маркова.

ProblemЗадача 4

Пусть \(h: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) измерима по Лебегу. Докажите, что множество \(\left\{ b \in \mathbb {R} \; : \; h^*(b) > c\right\}\) открыто для любого \(c \in \mathbb {R}\). Выведите отсюда, что \(h^*\) измерима по Борелю.

ProblemЗадача 5

Докажите или опровергните: если \(h: \mathbb {R} \to [0, +\infty )\) – неубывающая функция, то \(h^*\) – неубывающая функция.

ProblemЗадача 6

Пусть \(h \in L^1(\mathbb {R})\). Докажите, что \(\lambda \left(\left\{ b \in \mathbb {R} \; : \; h^*(b) = \infty \right\} \right) = 0\).

ProblemЗадача 7

Пусть \(h \in L^1(\mathbb {R})\). Докажите усиление максимального неравенства: \[ \lambda \left(\left\{ b \in \mathbb {R} \; : \; h^*(b) \geq c\right\} \right) \leq \frac{3}{c}\left\| h\right\| _{1}, \qquad \forall c > 0 \]

Гораздо более глубокое усиление – уменьшение самой константы \(3\). Вопрос о наилучшей константе оставался открытым до 2003 года, когда А. Мелас доказал, что оптимальная константа равна \(\frac{11 + \sqrt{61}}{12} \approx 1.567\) (Annals of Mathematics 157 (2003), 647–688).

HintПодсказка

Примените неравенство со строгим <<\(>\)>> к порогу \(c - \varepsilon\) и устремите \(\varepsilon \downarrow 0\).

2 Теорема Лебега о дифференцировании

Следующая теорема утверждает: у интегрируемой функции среднее отклонение от собственного значения мало почти в каждой точке, если усреднять по маленьким интервалам. Производных в формулировке пока не видно, но именно здесь происходит вся содержательная работа – версия с производными получится из нее почти даром.

Нам понадобится один аппроксимационный факт, который мы примем без доказательства: непрерывные функции плотны в \(L^1(\mathbb {R})\).

Лемма 2 (б/д) Пусть \(f \in L^1(\mathbb {R})\), \(\varepsilon > 0\). Тогда существует непрерывная функция \(g: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\), такая что \(\left\| f - g\right\|_{1} < \varepsilon\).

Идея доказательства: по построению интеграла \(f\) приближается в \(L^1\) простыми функциями; индикатор измеримого множества конечной меры приближается индикатором конечного объединения интервалов (это следует из построения меры Лебега через покрытия); наконец, ступенчатая функция превращается в непрерывную срезанием углов.

Теорема 2 (Лебега, о дифференцировании; первая версия) Пусть \(f \in L^1(\mathbb {R})\). Тогда \[ \lim _{t \downarrow 0} \frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t} \left|f - f(b)\right| = 0 \] для почти всех \(b \in \mathbb {R}\).

Прежде чем читать доказательство, поймем, почему утверждение очевидно в каждой точке непрерывности \(f\):

\[ \frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t}\left|f - f(b)\right| \leq \sup \left\{ \left|f(x) - f(b)\right| \; : \; \left|x - b\right| \leq t\right\} \xrightarrow [t \downarrow 0]{} 0 \]

Вся работа – перенести это свойство с непрерывных функций на произвольные интегрируемые, пожертвовав множеством меры нуль. Схема <<приближаем непрерывной функцией + контролируем ошибку приближения максимальным неравенством>> – стандартный прием, которым доказываются многие <<почти всюду>>-теоремы анализа.

Перейдем к производным. Напомним, что производная функции \(g\) в точке \(b\) – это

\[ g'(b) = \lim _{t \to 0}\frac{g(b+t) - g(b)}{t}, \]

если этот предел существует.

Теорема 3 (Лебега, о дифференцировании интеграла) Пусть \(f \in L^1_{loc}(\mathbb {R})\) – локально интегрируема (произвольного знака), \(c\in \mathbb {R}\) фиксировано, \(g(x) := \int_{[c,x]} f \, d\lambda\). Тогда \(g\) дифференцируема почти всюду и \(g'(b) = f(b)\) для почти всех \(b \in \mathbb {R}\). Более того, в каждой точке непрерывности \(f\) это верно без исключений – это в точности классическая формула Ньютона–Лейбница.

Функция из \(L^1_{loc}(\mathbb {R})\) может не быть непрерывной ни в одной точке – причем даже <<неисправимо>>: так, что никакое изменение на множестве меры нуль не добавит ей ни одной точки непрерывности (пример мы построим в конце раздела). Для такой функции классическая формула Ньютона–Лейбница не говорит вообще ничего. Однако, как утверждает теорема, почти всюду все хорошо и без всякой непрерывности.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в начале раздела.

ExampleПример 2

Существует ли измеримое по Лебегу множество \(E \subseteq [0,1]\), такое что \[ \lambda \left(E \cap [0,b]\right) = \frac{b}{2} \qquad \forall b \in [0,1]? \]

SolutionРешение

Предположим, что такое \(E\) нашлось. Положим \[ g(b) := \int _{-\infty }^{b} \; \mathbb {1}_{E} \] Тогда \(g(b) = \lambda \left(E \cap [0,b]\right) = \frac{b}{2}\) при \(b \in [0,1]\), следовательно \(g'(b) = \frac{1}{2}\) при всех \(b \in (0,1)\). Но по теореме Лебега о дифференцировании интеграла (Теорема 3) \(g'(b) = \; \mathbb {1}_{E}(b)\) для почти всех \(b\), а индикатор вообще не принимает значение \(\frac{1}{2}\). Получили противоречие на множестве положительной меры \((0,1)\). Значит, такого \(E\) не существует.

AnswerОтвет

Не существует.

Следствие 1 (Интегрируемая функция п.в. равна своему локальному среднему) Пусть \(f \in L^1(\mathbb {R})\). Тогда \[ f(b) = \lim _{t \downarrow 0}\frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t} f \] для почти всех \(b \in \mathbb {R}\).

Mn-proofДоказательство

Имеем \[ \left|\frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t} f \; - \; f(b)\right| = \left|\frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t}\left(f - f(b)\right)\right| \leq \frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t}\left|f - f(b)\right|, \] и правая часть стремится к нулю почти всюду по теореме Теорема 2.

Замечательность этого утверждения в том, что \(f\) может быть всюду разрывной – и все равно почти в каждой точке восстанавливается по своим локальным средним. Отметим, что именно двусторонние средние (по интервалам с центром в \(b\)) правильно обобщаются на \(\mathbb {R}^{n}\): там усредняют по шарам с центром в точке.

ProblemЗадача 8

Пусть \(f \in L^1(\mathbb {R})\). Докажите, что \(\left|f(b)\right| \leq f^*(b)\) для почти всех \(b \in \mathbb {R}\).

HintПодсказка

Воспользуйтесь следствием Следствие 1.

ProblemЗадача 9

Пусть \(h \in L^1(\mathbb {R})\) и \(\int_{-\infty }^{s} h = 0\) для всех \(s \in \mathbb {R}\). Докажите, что \(h = 0\) почти всюду.

Это утверждение о единственности: интегрируемая функция однозначно (с точностью до множества меры нуль) восстанавливается по своим <<накопленным интегралам>>. В частности, плотность распределения единственна с точностью до п.в. – сравните с единственностью производной Радона–Никодима в главе о мерах со знаком.

ProblemЗадача 10

Пусть \(f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) измерима по Лебегу и \(f^2 \in L^1(\mathbb {R})\). Докажите, что \[ \lim _{t \downarrow 0} \frac{1}{2t}\int _{b-t}^{b+t}\left|f - f(b)\right|^2 = 0 \] для почти всех \(b \in \mathbb {R}\).

HintПодсказка

Сама \(f\) может не лежать в \(L^1(\mathbb {R})\), но \(f \cdot \; \mathbb {1}_{[-k,k]} \in L^1(\mathbb {R})\) для каждого \(k\) (проверьте через неравенство Коши–Буняковского). Раскройте квадрат и примените следствие Следствие 1 к \(f^2 \; \mathbb {1}_{[-k,k]}\) и к \(f\; \mathbb {1}_{[-k,k]}\).

3 Абсолютно непрерывные функции и меры

До сих пор мы дифференцировали интеграл конкретной интегрируемой функции. Теперь свяжем это с общей теорией мер со знаком (глава о мерах со знаком): рассмотрим произвольную меру Лебега–Стилтьеса \(\mu = \mu_F\) на \(\mathbb {R}\) и спросим, когда у неё есть плотность относительно \(\lambda\) – и как эта плотность связана с обычной, школьной производной функции \(F\).

3.1 Мера Лебега–Стилтьеса – это локально конечная мера

Напомним, что мера Лебега-Стилтьеса определяется для произвольной неубывающей непрерывной справа функции \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) через \(\mu_{F}((a,b]) = F(b) - F(a)\), \(-\infty < a < b < +\infty\). Заметим, что мера Лебега-Стилтьеса сигма-конечна:

\[ \mathbb {R} = \bigcup _{n=1}^{+\infty }(-n,n], \quad \text{ причем } \quad \mu _{F}((-n,n]) = F(n) - F(-n) < +\infty \]

Более того, мера Лебега-Стилтьеса конечна на любом ограниченном интервале \((a,b)\). Это свойство на самом деле сильнее сигма-конечности в \(\mathbb {R}\) и эквивалентно тому, что любая точка \(x \in \mathbb {R}\) имеет окрестность конечной меры (это т.н. локальная конечность).

ProblemЗадача 11

Пусть \(\mu\) – (неотрицательная) мера на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\).

1. Докажите, что \(\mu\) конечна на любом ограниченном интервале \(\iff\) \(\mu\) локально конечна;

2. Докажите, что из локальной конечности следует \(\sigma\)-конечность \(\mu\);

3. Покажите, что в обратную сторону предыдущий пункт не верен: приведите пример (неотрицательной) \(\sigma\)-конечной меры \(\mu\), не являющейся локально конечной.

Итак, любая мера Лебега-Стилтьеса конечна на ограниченных интервалах. Верно ли это в обратную сторону? Да! Несложно показать, что если \(\mu\) (неотрицательная) мера, конечная на ограниченных интервалах, то положив

\[ F(x) := \begin{cases} \mu ((0, x]), & 0 < x \\ -\mu ((x, 0]), & x \leq 0 \end{cases} \]

мы получим неубывающую непрерывную справа конечную функцию, причем \(\mu = \mu_F\). Сформулируем результат.

Лемма 3 Пусть \(\mu\) – (неотрицательная) мера на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\). Следующие условия эквивалентны:

1. \(\mu\) – это мера Лебега-Стилтьеса (для какой-то неубывающей непрерывной справа \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\))

2. \(\mu\) конечна на ограниченных интервалах.

3. \(\mu\) локально конечна.

Заметим, что в случае если \(\mu\) – конечная мера (например, вероятностная мера), то вместо \(F\), определенной выше, можно взять

\[ F(x) = \mu ((-\infty , x]) \]

т.е. функцию распределения.

3.2 Абсолютно непрерывная мера Лебега-Стилтьеса

Рассмотрим теперь не просто меру Лебега-Стилтьеса \(\mu = \mu_F\), а абсолютно непрерывную (относительно меры Лебега) меру Лебега-Стилтьеса: \(\mu \ll \lambda\). Мы знаем (глава о мерах со знаком), что \(\mu_F\) полностью характеризуется функцией \(F\) – значит, условие \(\mu_F \ll \lambda\) должно как-то переноситься на \(F\). Начнём с самого дешёвого наблюдения: \(F\) будет непрерывной. На самом деле верно более сильное утверждение: \(F\) будет локально равномерно непрерывной, т.е. равномерно непрерывной на каждом отрезке \([a,b]\).

ExampleПример 3

Покажите, что если \(\mu_F \ll \lambda\), то \(F\) локально равномерно непрерывна.

SolutionРешение

Действительно, на \([a,b]\) мера \(\mu_F\) будет конечной, а значит, по лемме об эквивалентном условии абсолютной непрерывности меры, если \(\varepsilon > 0\) – произвольное фиксированное, то найдется такое \(\delta > 0\), что для всех \(a \leq x < y \leq b\), таких что \(\left|y - x\right| = \lambda ([x, y]) < \delta\) выполнено \[ \left|F(y) - F(x)\right| = F(y) - F(x) = \mu _F([x,y]) < \varepsilon \]

Получили довольно сильное ограничение на \(F\) – локальную равномерную непрерывность. Это хорошо. Однако достаточно ли того, что \(F\) локально равномерно непрерывна, чтобы у \(\mu_F\) была плотность? На самом деле нет!

ExampleПример 4

Приведите пример \(F: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) – неубывающей, непрерывной справа локально равномерно непрерывной функции, такой что \(\mu_F\) не абсолютно непрерывна, т.е. не обладает плотностью относительно меры Лебега.

SolutionРешение

Пусть \(F\) – это лестница Кантора. За пределами отрезка \([0,1]\) она константна. Значит она равномерно непрерывна на любом отрезке за пределами \([0,1]\).

Что на \([0,1]\) (или на любом подотрезке из \([0,1]\))? Она там непрерывна, значит она равномерно непрерывна, поскольку \([0,1]\) – компакт.

Итого лестница Кантора \(F\) локально равномерно непрерывна.

Но будет ли \(\mu_F\) абсолютно непрерывной? Нет! Действительно, рассмотрим множество Кантора \(C\). \(\lambda (C) = 0\), \(\mu_F(C) = 1\). Это нарушает абсолютную непрерывность.

Нам нужна более сильная непрерывность на отрезке, чем равномерная непрерывность.

3.3 Абсолютно непрерывная функция

Заметим, что в равномерной непрерывности на \([a,b]\) выше можно было брать не \(2\) точки \(x,y\), а сколь угодно много последовательных пар таких точек. А именно, для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такое \(\delta > 0\), что для любого \(N \in \mathbb {N}\) и для любых

\[ a \leq x_1 < y_1 \leq x_2 < y_2 \leq \ldots \leq x_{N} < y_{N} \leq b, \qquad \text{ таких что } \qquad \sum _{k=1}^{N}(y_k - x_k) < \delta \]

будет выполнено

\[ \sum _{k=1}^N \left|F(y_k) - F(x_k)\right| < \varepsilon \]

Функция, удовлетворяющая таким условиям, называется абсолютно непрерывной на отрезке \([a,b]\); локально абсолютно непрерывной на \(\mathbb {R}\), если она абсолютно непрерывна на каждом отрезке. Иначе говоря, абсолютно непрерывная функция не колеблется на множестве меры нуль.

Абсолютная непрерывность сильнее равномерной непрерывности на отрезке \([a,b]\). Причем строго сильнее.

ProblemЗадача 12

Покажите, что лестница Кантора является равномерно непрерывной, но не является абсолютно непрерывной функцией на \([0,1]\).

У нас теперь 2 понятия абсолютной непрерывности: для мер и для функций. Следующая теорема показывает, что для мер Лебега-Стилтьеса это ровно одно и то же понятие – и, более того, связывает его с производной Радона-Никодима и с обычной, школьной производной.

3.4 Синтез: производная Радона–Никодима – это обычная производная

Мы уже знаем три вещи по отдельности: абстрактную теорему Радона-Никодима (теорема Радон–Никодим из главы о мерах со знаком), теорему Лебега о дифференцировании (выше в этой главе) и понятие абсолютно непрерывной функции (только что). Соберём их вместе.

Теорема 4 (<<основная теорема>> интегрирования по Лебегу в \(\mathbb {R}\)) Пусть \(\mu = \mu_F\) – мера Лебега-Стилтьеса на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\). Следующие условия эквивалентны:

1. \(\mu \ll \lambda\);

2. \(F\) локально абсолютно непрерывна;

3. существует локально интегрируемая \(f: \mathbb {R} \to [0,+\infty ]\), такая что \(F(x) = F(c) + \int_{[c,x]} f \, d\lambda\) для всех \(c, x \in \mathbb {R}\) (короткая запись: \(d\mu = f \, d\lambda\)). Более того, в этом случае \(f = F'\) \(\lambda\)-п.в. (и такая \(f\) единственна с точностью до совпадения п.в.), т.е. \(\mu (E) = \int_E F' \, d\lambda\) для всех борелевских \(E\).

Mn-remarkЗамечание

3.5 случай немонотонной \(F\)

Если \(F\) не обязательно монотонна (например, \(F = F_1 - F_2\) для каких-то неубывающих \(F_1, F_2\) – скажем, функция ограниченной вариации), никакой новой теоремы доказывать не нужно: соответствующая действительная мера Лебега-Стилтьеса \(\nu := \mu_{F_1} - \mu_{F_2}\) раскладывается по Жордану, теорема Теорема 4 применяется к каждой из (неотрицательных) частей по отдельности, а результаты складываются – это ровно та же линейность, которой мы уже пользовались в главе о мерах со знаком для перехода от неотрицательных мер к действительным, и в самом начале этой главы для перехода от \(f \geq 0\) к произвольной интегрируемой \(f = f^+ - f^-\).

3.6 Практика

Итак, к чему мы пришли? Какой в этой теории практический смысл? У нас теперь, например, есть возможность определять по функции распределения, будет ли случайная величина абсолютно непрерывной. Более того, мы можем находить плотность: оказывается, достаточно просто продифференцировать функцию распределения.

ExampleПример 5

Пусть случайная величина \(X\) имеет следующую функцию распределения (здесь и далее \(c: [0,1] \to [0,1]\) – это канторова лестница, т.е. функция Кантора): \[ F(x)= \begin{cases} \frac{2}{10}e^{x+2}, & -\infty < x< -2 \\ \frac{1}{10}c(x+2) + \frac{3}{10}, & -2 \leq x < -1 \\ \frac{1}{10}x^3 + \frac{6}{10}, & -1 \leq x < \sqrt[3]{2} \\ 0.85, & \sqrt[3]{2} \leq x < 5 \\ 1 - \frac{1}{2x}, & 5 \leq x < +\infty \end{cases} \]

Обозначим \(\mu_F = \mathbf{P}_X\) распределение этой случайной величины.

1. Разложите \(\mu_F\) на абсолютно непрерывную \(\mu_a\) и сингулярную \(\mu_s\) части по мере Лебега;

2. Для абс. непрерывной части \(\mu_a\) найдите плотность (производную Радона-Никодима) \(\frac{d\mu_a}{d\lambda }\);

3. Будет ли сингулярная (отн. меры Лебега) часть \(\mu_s\) абсолютно непрерывной относительно считающей меры \(\#_{\mathbb {N}}\) на натуральных числах? А относительно \(\#_{\mathbb {Z}}\) на целых числах? Если будет – найдите производную Радона-Никодима.

4. Найдите матожидание \(\mathbb {E}\left[\sqrt{\left|X+2\right|}\right]\).

SolutionРешение

Enum-item(1)

Нам нужно выделить локально абсолютно непрерывную составляющую из функции \(F\). Убираем все сингулярные фрагменты из \(F\). Заметим, что функция \(F_a\), определенная ниже, будет непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируемой на \(\mathbb {R}\), значит локально абсолютно непрерывной.

\[ F_a(x)= \begin{cases} \frac{2}{10}e^{x+2}, & -\infty < x< -2 \\ 0.2, & -2 \leq x < -1 \\ \frac{1}{10}x^3 + \frac{3}{10}, & -1 \leq x < \sqrt[3]{2} \\ 0.5, & \sqrt[3]{2} \leq x < 5 \\ 0.6 - \frac{1}{2x}, & 5 \leq x < +\infty \end{cases} \]

При этом \(F_{s} := F - F_{a}\) будет выглядеть так:

\[ F_{s}(x)= \begin{cases} 0, & -\infty < x< -2 \\ \frac{1}{10}c(x+2) + \frac{1}{10}, & -2 \leq x < -1 \\ 0.3, & -1 \leq x < \sqrt[3]{2} \\ 0.35, & \sqrt[3]{2} \leq x < 5 \\ 0.4, & 5 \leq x < +\infty \end{cases} \]

Заметим, что \(F_s\) будет порождать меру Лебега-Стилтьеса, у которой носитель – это множество \(\left\{ -2, 1, \sqrt[3]{2}, 5\right\} \cup (C-2)\), где \(C-2\) – это множество Кантора, сдвинутое вправо на \(2\). Этот носитель имеет меру Лебега \(0\). Значит, эта мера сингулярна относительно меры Лебега.

Итого, абсолютно непрерывная составляющая – это мера Лебега-Стилтьеса, порождаемая \(F_{a}\) (\(\mu_{a} := \mu_{F_{a}}\)), а сингулярная составляющая – это \(\mu_{s} := \mu_{F_{s}}\).

Enum-item(2)

\(F_{a}\) абсолютно непрерывна, значит, по теореме Теорема 4, она п.в. дифференцируема и ее производная – это и есть плотность (отн. меры Лебега). Имеем

\[ \frac{d\mu _a}{d\lambda }(x) = F'_a(x)= \begin{cases} \frac{2}{10}e^{x+2}, & -\infty < x< -2 \\ 0, & -2 < x < -1 \\ \frac{3}{10}x^2, & -1 < x < \sqrt[3]{2} \\ 0, & \sqrt[3]{2} < x < 5 \\ \frac{1}{2x^2}, & 5 < x < +\infty \\ \text{не опр.}, & x \in \left\{ -2, -1, \sqrt[3]{2}, 5\right\} \end{cases} \]

В точках \(\left\{ -2, -1, \sqrt[3]{2}, 5\right\}\) доопределить \(f_a(x) = \frac{d\mu_a}{d\lambda }(x)\) можно как угодно. Например, нулями.

Enum-item(3)

Рассмотрим множество \(A = \left(C-2\right) \; \cap \; (-2, -1)\), т.е. множество Кантора, смещенное на \(2\) влево, без точек \(-2, -1\). Заметим, что \(\mu_{s}(A) = 0.1\), при этом \(\#_{\mathbb {N}}(A) = 0\) и \(\#_{\mathbb {Z}}(A) = 0\). Значит, \(\mu_{s}\) не является абсолютно непрерывной относительно считающей меры на \(\mathbb {Z}\) или на \(\mathbb {N}\).

Enum-item(4)

По определению

\[ \mathbb {E}\left[\sqrt{\left|X+2\right|}\right] = \int _{\Omega } \sqrt{\left|X(\omega ) + 2\right|} \; d\mathbb {P}(\omega ) \]

Используем замену переменных в интеграле Лебега: \(X(\omega ) = x\). Тогда \(\omega = X^{-1}(x)\), \(\mathbb {P}(\omega ) = \mathbb {P}(X^{-1}(x)) = \mathbf{P}_{X}(x)\). Значит,

\[ \mathbb {E}\left[\sqrt{\left|X+2\right|}\right] = \int _{\mathbb {R}} \sqrt{\left|x+2\right|} \; d\mathbf{P}_{X}(x) \]

Мы разложили \(\mathbf{P}_{X}\) в сумму \(\mu_{a} + \mu_{s}\). Найдем по отдельности интегралы по каждой из мер.

• \(\mu_{a}\) имеет плотность \(f_a\) по мере Лебега. Значит,

  \[ \begin{align} \int _{\mathbb {R}} \sqrt{\left|x + 2\right|} \; d\mu _{a} & = \int _{\mathbb {R}} \sqrt{\left|x + 2\right|} \cdot f_a(x) \; d\lambda =\\ & = \int _{-\infty }^{-2}\sqrt{\left|x+2\right|} \cdot \frac{2}{10}e^{x+2} \; dx + \int _{-1}^{\sqrt[3]{2}}\sqrt{x+2} \cdot \frac{3}{10}x^2 \; dx + \int _{5}^{+\infty } \sqrt{x+2} \cdot \frac{1}{2x^2} \; dx = \\ & = \frac{2}{10}\Gamma (3/2) +\left[ \frac{3}{35}u^{7/2} -\frac{12}{25}u^{5/2} +\frac{4}{5}u^{3/2} \right]_{u=1}^{\, u=2+2^{1/3}} +\frac{\sqrt{7}}{10} -\frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \! \left(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\right). \approx \\ & \approx 1.107 \end{align} \]

  Мы опускаем подробный расчет интегралов Римана, поскольку не в этом цель примера; главное – понять общий принцип.

• Как найти интеграл по \(\mu_{s}\)? Заметим, что

  \[ \mu _{s} = 0.1 \cdot \delta _{-2} + 0.1\cdot \mu _{C-2} + 0.1 \cdot \delta _{-1} + 0.05 \cdot \delta _{\sqrt[3]{2}} + 0.05 \cdot \delta _{5} \]

  где \(\mu_{C-2}\) – это смещенная на \(2\) влево мера Кантора. Тогда (вспомним, что интеграл по мере Дирака – это просто значение функции в точке)

  \[ \begin{align} \int _{\mathbb {R}} \sqrt{\left|x + 2\right|} \; d\mu _{s} & = 0.1 \cdot \sqrt{\left|-2 + 2\right|} + 0.1 \cdot \sqrt{\left|-1 + 2\right|} + 0.05 \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{2} + 2\right|} +\\ & \qquad + 0.05 \cdot \sqrt{\left|5 + 2\right|} + 0.1 \cdot \underbrace{\int \sqrt{\left|x+2\right|} \; d\mu _{C-2}}_{=\int _{[0,1]}\sqrt{x} \; d\mu _{c} \approx 0.64} \approx \\ & \approx 0.322 + 0.064 = 0.386 \end{align} \]

  Мы опускаем подробный расчет интегралов по мере Кантора, поскольку не в этом цель примера; главное – понять общий принцип.

Итого, \(\mathbb {E}\left[\sqrt{\left|X + 2\right|}\right] \approx 1.107 + 0.386 = 1.493\)

ProblemЗадача 13

Рассмотрим функцию \[ F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}x-1, & x<0,\\ x^2, & 0 \le x < 1,\\ 3, & 1 \le x < 2,\\ 6 - \dfrac {4}{x}, & x \ge 2. \end{cases} \]

Она непрерывна справа. Следовательно, по ней можно построить меру Лебега-Стилтьеса \(\mu_F\).

1. Разложите \(\mu_F\) на абсолютно непрерывную \(\mu_a\) и сингулярную \(\mu_s\) части по мере Лебега;

2. Для абс. непрерывной части \(\mu_a\) найдите плотность (производную Радона-Никодима) \(\frac{d\mu_a}{d\lambda }\);

3. Будет ли сингулярная (отн. меры Лебега) часть \(\mu_s\) абсолютно непрерывной относительно считающей меры \(\#_{\mathbb {N}}\) на натуральных числах? А относительно \(\#_{\mathbb {Z}}\) на целых числах? Если будет – найдите производную Радона-Никодима \(\frac{d\mu_s}{d\# }\).

4. Найдите интеграл

\[ \int _{[-2, +\infty ]} \sqrt{\left|x\right|} \; \; d\mu _F \]

4 (*) Плотность множества в точке

Определение 3 Пусть \(E \subseteq \mathbb {R}\). Плотностью множества \(E\) в точке \(b \in \mathbb {R}\) называется предел \[ \lim _{t \downarrow 0} \frac{\lambda \left(E \cap (b-t, \, b+t)\right)}{2t}, \] если он существует (в противном случае плотность \(E\) в точке \(b\) не определена).

Например, плотность отрезка \([0,1]\) равна \(1\) в точках \(b \in (0,1)\), равна \(\frac{1}{2}\) в точках \(b \in \left\{ 0, 1\right\}\) и равна \(0\) в остальных точках.

Теорема 5 (Лебега, о плотности) Пусть \(E \subseteq \mathbb {R}\) измеримо по Лебегу. Тогда плотность \(E\) равна \(1\) почти во всех точках \(E\) и равна \(0\) почти во всех точках \(\mathbb {R} \setminus E\).

ProblemЗадача 14

Приведите пример борелевского множества \(E \subseteq \mathbb {R}\), у которого плотность в нуле

1. не определена;

2. равна \(\frac{1}{3}\);

3. равна наперед заданному числу \(s \in [0,1]\).

ProblemЗадача 15

Пусть \(E \subseteq \mathbb {R}\) измеримо по Лебегу, причем плотность \(E\) равна \(1\) в каждой точке \(E\) и равна \(0\) в каждой точке \(\mathbb {R} \setminus E\) – без исключений меры нуль. Докажите, что \(E = \varnothing\) или \(E = \mathbb {R}\).

HintПодсказка

Предположите, что оба множества \(E\) и \(\mathbb {R} \setminus E\) непусты. Возьмите \(a \in E\), \(b \not\in E\) и рассмотрите точку <<раздела>> между ними; покажите, что плотность в ней не может равняться ни \(0\), ни \(1\).

Закончим эффектным контрастом к теореме о плотности.

Теорема 6 (<<Плохое>> борелевское множество) Существует борелевское множество \(E \subseteq \mathbb {R}\), такое что \[ 0 < \lambda (E \cap I) < \lambda (I) \] для любого непустого ограниченного интервала \(I\).

Прежде чем читать доказательство, поразмышляйте, почему это не противоречит теореме Лебега о плотности (Теорема 5): в маленьких масштабах вокруг почти каждой своей точки \(E\) занимает почти все место – и тем не менее ни один интервал не заполняется множеством \(E\) целиком и ни один не остается от него свободным. Сравните также с примером про <<половину каждого интервала>> выше: требование \(\lambda (E \cap I) = \frac{\lambda (I)}{2}\) невыполнимо, а вот \(0 < \lambda (E \cap I) < \lambda (I)\) – вполне.

Mn-remarkЗамечание

Множество \(E\) из теоремы Теорема 6 дает и обещанную <<неисправимо разрывную>> функцию: \(\; \mathbb {1}_{E}\) разрывна в каждой точке, и никакое изменение \(\; \mathbb {1}_{E}\) на множестве меры нуль не сделает ее непрерывной хоть в одной точке (проверьте: в любом интервале и множество \(E\), и его дополнение имеют положительную меру, так что исправление на множестве меры нуль этого не изменит). Сравните с \(\; \mathbb {1}_{\mathbb {Q}}\): она тоже всюду разрывна, но после изменения на множестве меры нуль – на самих \(\mathbb {Q}\) – становится тождественным нулем. При этом функция \[ g(b) = \int _{0}^{b}\; \mathbb {1}_{E} \] по теореме Лебега о дифференцировании интеграла (Теорема 3) дифференцируема почти всюду: дифференцируемость <<первообразной>> не требует от подынтегральной функции вообще никакой непрерывности.

5 Итоговая карта: классы мер и абсолютная непрерывность

Соберём воедино все классы (неотрицательных) мер на \(\mathbb {R}\), встретившиеся в этой главе, и то, как их пересекает абсолютная непрерывность отн. \(\lambda\).

Классы неотрицательных мер на \(\mathbb{R}\) — вложенные кольца. Вертикальная полоса, пересекающая все кольца, — абсолютно непрерывные (отн. меры Лебега \(\lambda\)) меры: пересечение полосы с каждым кольцом — класс АС мер этого уровня, и видно, что каждый следующий такой класс вложен в предыдущий. Нажмите «формулировки ▸» в любом отсеке полосы, чтобы раскрыть эквивалентные описания.

Абсолютно непрерывные (отн. меры Лебега \(\lambda\)) меры \(\mu\)

Все (неотрицательные) меры \(\mu\) на \((\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))\)

пример вне полосы: считающая мера на \(\mathbb{R}\) — не \(\sigma\)-конечна и не АС

Абс. непрерывные \(\sigma\)-конечные меры

\(\sigma\)-конечные меры

пример вне полосы: считающая мера на \(\mathbb{Q}\) — \(\sigma\)-конечна, но не локально конечна и не АС

Абс. непрерывные локально-конечные меры

Локально конечные меры = меры Лебега–Стилтьеса \(\mu_F\) (\(F\), соотв., неубывающая cadlag функция в \(\mathbb{R}\))

Абс. непрерывные конечные меры

Конечные меры = меры Л-С \(\mu_F\), у которых \(F\) ограниченная

Абс. непрерывные вероятностные меры

Вероятностные меры = конечные меры с \(\mu(\mathbb{R})=1\) = меры Л-С \(\mu_F\), у которых \(\sup\operatorname{range}F - \inf\operatorname{range}F = 1\)

примеры вне полосы: \(\delta_0\) (атом в нуле), мера Кантора (непрерывная, но сингулярная)

полоса АС: μ ≪ λ

Mn-remarkЗамечание

5.1 словарь: \(\mu \leftrightarrow F \leftrightarrow f\)

Диаграмма выше на самом деле кодирует не только классы мер \(\mu\), но и то, что каждый из них биективно устроен ещё и как класс функций \(F\) и/или как класс плотностей \(f\).

• \(\mu \leftrightarrow F\). Соответствие из леммы Лемма 3 биективно между локально конечными мерами \(\mu\) и классами эквивалентности неубывающих непрерывных справа функций \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) по отношению \(F \sim G \iff F - G \equiv \mathrm{const}\) (действительно: \(\mu_F = \mu_G \iff F(b)-F(a) = G(b)-G(a) \; \forall a<b \iff F-G \equiv \mathrm{const}\)). Конечным мерам при этом отвечают в точности ограниченные такие \(F\), тоже с точностью до константы. Вне класса локально конечных мер такой (всюду конечной) функции \(F\) попросту не существует – поэтому у двух внешних колец диаграммы (произвольные и просто \(\sigma\)-конечные меры) нет подписи с \(F\).

• \(\mu \leftrightarrow f\). Соответствие \(\mu \leftrightarrow f\) биективно между абсолютно непрерывными (отн. \(\lambda\)) мерами \(\mu\) и классами эквивалентности измеримых функций \(f: \mathbb {R} \to [0,+\infty ]\) по отношению \(f \sim g \iff f=g\) \(\lambda\)-п.в. Внутри полосы абсолютной непрерывности \(\sigma\)-конечности \(\mu\) отвечает конечность \(f\) \(\lambda\)-п.в., локальной конечности – \(f \in L^1_{loc}(\mathbb {R})\), конечности – \(f \in L^1(\mathbb {R})\) (везде – с точностью до совпадения \(\lambda\)-п.в.).

• \(F \leftrightarrow f\). Там, где определены оба соответствия – т.е. для абсолютно непрерывных локально конечных мер, – они согласованы теоремой Теорема 4: \(F' = f\) \(\lambda\)-п.в.

Например, самая внутренняя линза диаграммы (конечные \(\cap\) абс.непр.меры) – это одновременно три описания одного и того же множества объектов: конечные абсолютно непрерывные меры \(\mu\); ограниченные локально абсолютно непрерывные функции \(F\) (с точностью до аддитивной константы); функции \(f \in L^1(\mathbb {R})\), \(f \geq 0\) (с точностью до совпадения \(\lambda\)-п.в.).