Программа курса

Дата публикации

6 сентября 2026

Курс строится как прямое продолжение ОВиТМ: пересечения с ним сжаты до напоминаний, высвобожденное время отдано темам, которых в самодостаточных курсах теории вероятностей нет или они даны мимоходом (равномерная интегрируемость, лемма Бореля–Кантелли и закон нуля–единицы отдельной темой, условия Линдеберга–Ляпунова, условные распределения с гауссовским прогнозом). Сквозная линия — вычислительная техника непрерывного случая: якобианы, свёртки, гамма- и бета-интегралы.

Часть 1. Вероятность на фундаменте меры. Сходимости

  1. Язык теории вероятностей (1–2 семинара, «возврат долгов» из ОВиТМ). Аксиоматика Колмогорова; независимость и критерий через \(\pi\)-системы; случайные величины и распределения; матожидание как интеграл Лебега, замена переменной, обобщённые плотности.
  2. Случайные векторы. Совместные распределения, многомерные функции распределения; плотность преобразования (якобиан); маргиналы; критерии независимости; основные непрерывные распределения в работе.
  3. Свёртка. Ковариация и неравенства. Формула свёртки как техника; ковариация и корреляция в общем случае, ковариационная матрица; неравенства Йенсена, Ляпунова, Коши–Буняковского–Шварца.
  4. Сходимости случайных величин. Полная диаграмма четырёх сходимостей с контрпримерами; критерий сходимости почти наверное; наследование сходимостей, теорема Слуцкого; равномерная интегрируемость и сходимость моментов.
  5. Лемма Бореля–Кантелли и закон нуля–единицы. Обе части леммы; задачи на \(\limsup\) событий; хвостовые \(\sigma\)-алгебры, закон нуля–единицы Колмогорова; факультативно — теорема о трёх рядах.
  6. Законы больших чисел. УЗБЧ Кантелли; неравенство Колмогорова, теорема Колмогорова–Хинчина; леммы Тёплица и Кронекера; УЗБЧ Колмогорова; применения: метод Монте-Карло, нормальные числа.

Контрольная работа №1.

Часть 2. Предельные теоремы и условные конструкции

  1. Слабая сходимость вероятностных мер. Сходимость в основном; теорема Александрова; плотность семейств мер; теорема Прохорова.
  2. Характеристические функции. Свойства, техника вычислений; моменты и производные; теорема единственности, формула обращения; теорема Бохнера–Хинчина.
  3. Центральная предельная теорема. Теорема о непрерывности; доказательство ЦПТ; условия Линдеберга и Ляпунова; неравенство Берри–Эссеена; теоремы Муавра–Лапласа, пуассоновское приближение; факультативно — закон повторного логарифма (формулировка).
  4. Гауссовские векторы. Три эквивалентных определения; независимость \(\Leftrightarrow\) некоррелированность; плотность, линейные преобразования; многомерная ЦПТ.
  5. Условное математическое ожидание. Дискретный случай; определение через \(\sigma\)-алгебру; полный набор свойств (фундамент под мартингалы в курсе случайных процессов).
  6. Условные распределения и вычисление УМО. Условные плотности, \(\mathbb{E}[\xi \mid \eta = y]\); наилучший прогноз в \(L^2\); гауссовское УМО как линейный прогноз — мостик к регрессии в статистике и к гауссовским процессам.

Контрольная работа №2.