Системы линейных уравнений

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

Определение 1 Система из \(m\) линейных уравнений с \(n\) неизвестными (СЛУ) – это (матричное) уравнение вида \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\), где \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\) – известная матрица, матрица коэффициентов, \(\overrightarrow {b} \in \mathbb {R}^{m}\) – это известный столбец, столбец свободных членов, и \(\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}\) – это неизвестный столбец, столбец переменных. Перепишем матричное уравнение \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\) покоординатно для наглядности: \[ A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b} \iff \begin{cases} a_{1,1}x_1 + \ldots + a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1 + \ldots + a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1 + \ldots + a_{m,n}x_n = b_m \\ \end{cases} \]

• СЛУ называется совместной или разрешимой, если она имеет хотя бы одно решение.

• СЛУ называется однородной (используется сокращение СЛОУ), если \(\overrightarrow {b} = \overrightarrow {0}\). Иначе система называется неоднородной.

• 2 СЛУ называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

1 Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0

Как решать СЛУ, в которой \(m=n\) и \(\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0\), мы уже изучали. Напомним, что в этом случае

\[ A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b} \iff \underbrace{A^{-1} \cdot A\overrightarrow {x}}_{=\overrightarrow {x}} = A^{-1} \overrightarrow {b} \]

Т.е. у такой системы ровно одно решение, \(A^{-1} \overrightarrow {b}\). Самое сложное – найти \(A^{-1}\). 2 основных метода вычисления обратной матрицы: метод Крамера и метод Гаусса.

Далее мы будем рассматривать общий случай: матрица \(A\) не обязательно квадратная, или квадратная, но с произвольным определителем.

2 Системы линейных однородных уравнений (СЛОУ)

Имеем \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\). Заметим, что такая система всегда имеет т.н. тривиальное решение – нулевое решение \(\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0} \in \mathbb {R}^{n}\). Попробуем найти нетривиальные решения: предполагаем, что \(\overrightarrow {x} \neq \overrightarrow {0}\). Напомним, что \(A\overrightarrow {x}\) можно рассматривать как линейную комбинацию столбцов \(A\) с коэфф. из \(\overrightarrow {x}\):

\[ A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {a}_{\cdot 1}x_1 + \ldots + \overrightarrow {a}_{\cdot n}x_n \]

Следовательно утверждение \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\) равносильно линейной зависимости столбцов \(A\), а \(\overrightarrow {x}\) – это коэффициенты этой зависимости, если она есть.

ExampleПример (Задача 18.1(11))

Выписать матрицу коэффициентов данной системы линейных однородных уравнений. Решить систему:

1. \(x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} + 6x_{5} = 0\), \(x_{1} - x_{2} - 2x_{3} - 3x_{5} = 0\), \(x_{1} + 11x_{2} + 7x_{3} + 6x_{4} + 18x_{5} = 0\)

SolutionРешение

Имеем

\[ \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & -3 \\ 1 & 11 & 7 & 6 & 18 \end{bmatrix}}_{= A} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \overrightarrow {0} \]

Заметим, что элементарные преобразования строк матрицы \(A\) не меняют множества решений системы (подумайте, почему). Элементарные преобразования строк \(A\):

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & -3 \\ 1 & 11 & 7 & 6 & 18 \end{bmatrix} & \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 & 6 \\ 0 & -4 & -5 & -2 & -9 \\ 0 & 8 & 4 & 4 & 12 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 5/4 & 1/2 & 9/4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \\ & \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} \]

Мы привели матрицу к упрощенному (каноническому) виду, а именно:

• это матрица ступенчатого вида;

• ведущий элемент в каждой строке равен \(1\), и он является единственным ненулевым элементом своего столбца.

Т.е. матрица упрощенного вида – это матрица, которая (возможно, после перестановки местами некоторых столбцов, т.е. после перенумерации переменных) имеет вид

\[ \begin{bmatrix} I_r & & & C & & & \\ & & & & & & \\ 0 & & & & & & \\ & & & & & & \\ \end{bmatrix}, \tag{1}\]

где \(I_r\) – единичная матрица порядка \(r\), \(C\) – некоторая произвольная матрица размерности \(r \times (n - r)\).

Таким образом, исходная система эквивалентна системе

\[ \begin{cases} x_1 + \frac{1}{2}x_4 = 0 \\ x_2 + \frac{1}{2}x_4 + x_5 = 0 \\ x_3 + x_5 = 0. \end{cases} \]

Переменные \(x_4 =: h_1, \; x_5 =: h_2\) можно взять в качестве свободных переменных. Тогда \(x_1, x_2, x_3\) будут главными (зависимыми) переменными, причем

\[ x_1 = -\frac{1}{2}h_1, \quad x_2 = -\frac{1}{2}h_1 - h_2, \quad x_3 = -h_2 \]

В общем случае в качестве зависимых переменных можно брать переменные, соответствующие номерам столбцов, в которых стоят ведущие элементы строк. Оставшиеся переменные можно брать в качестве свободных.

AnswerОтвет

Произвольное решение имеет вид \[ \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}h_1 \\ -\frac{1}{2}h_1 - h_2 \\ -h_2 \\ h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}, \] где \(h_1, h_2 \in \mathbb {R}\) – произвольные.

Заметим, что в предыдущем примере произвольное решение системы имеет вид

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}h_1 \\ -\frac{1}{2}h_1 - h_2 \\ -h_2 \\ h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & 0 \\ -1/2 & -1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} \in \mathbb {R}^{2} \]

Т.е. множество решений СЛОУ является линейным подпространством в \(\mathbb {R}^{5}\) с базисом

\[ \begin{bmatrix} -1/2 \\ -1/2\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Оказывается, это верно для любой СЛОУ:

Теорема 1 Множество решений произвольной СЛОУ с \(n\) неизвестными является подпространством в пространстве \(\mathbb {R}^{n}\).

Действительно, если \(\overrightarrow {x}_0, \overrightarrow {x_1}\) – 2 решения СЛОУ, то несложно проверить, что \(\overrightarrow {x}_0 + \overrightarrow {x_1}\) и \(\lambda \overrightarrow {x}_0\) (\(\lambda \in \mathbb {R}\) – произв.) также будут решениями.

Определение 2 Базис в пространстве решений СЛОУ называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Матрица, полученная выписыванием ФСР в столбцы, называется фундаментальной матрицей системы.

ExampleПример (Задача 18.1(9))

Выписать матрицу коэффициентов данной системы линейных однородных уравнений. Решить систему: \(2x_{1} + 4x_{2} + 6x_{3} + x_{4} = 0\), \(x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + x_{4} = 0\), \(3x_{1} + 6x_{2} + 9x_{3} - x_{4} = 0\), \(x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 5x_{4} = 0\). Найти фундаментальную матрицу системы \(\Phi\).

SolutionРешение

Имеем

\[ \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 9 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}}_{= A} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \overrightarrow {0} \]

Элементарные преобразования строк \(A\):

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 9 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} & \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align} \]

Мы привели матрицу к упрощенному виду, т.е. к виду Уравнение 1 (после перестановки местами 2-го и 4-го столбцов во всяком случае).

Таким образом, исходная система эквивалентна системе

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 0\\ x_4 = 0 \end{cases} \]

Ведущие элементы строк стоят в 1 и 4 столбцах, т.е. \(x_2 = h_1\), \(x_3 = h_2\) можно взять в качестве свободных переменных. \(x_1\), \(x_4\) – это зависимые переменные:

\[ x_4 = 0, \qquad x_1 = -2x_2 - 3x_3 = -2h_1 - 3h_2 \]

AnswerОтвет

Произвольное решение имеет вид \[ \begin{bmatrix} -2h_1 - 3h_2 \\ h_1 \\ h_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}_{=\Phi } \cdot \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}, \] где \(h_1, h_2 \in \mathbb {R}\) – произвольные.

Посмотрим на СЛОУ с другой стороны. Заметим, что

\[ A \cdot \overrightarrow {x} = \begin{bmatrix} \overrightarrow {a}_{1 \cdot } \\ \overrightarrow {a}_{2 \cdot } \\ \vdots \\ \overrightarrow {a}_{m \cdot } \end{bmatrix} \cdot \overrightarrow {x} = \begin{bmatrix} a_{1,1}x_1 + \ldots + a_{1,n} x_n \\ a_{2,1}x_1 + \ldots + a_{2,n} x_n \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1 + \ldots + a_{m,n} x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left\langle \overrightarrow {a}_{1 \cdot }^T, \overrightarrow {x} \right\rangle \\ \left\langle \overrightarrow {a}_{2 \cdot }^T, \overrightarrow {x} \right\rangle \\ \vdots \\ \left\langle \overrightarrow {a}_{m \cdot }^T, \overrightarrow {x} \right\rangle \end{bmatrix}, \]

где \(\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle\) – стандартное скалярное произведение в \(\mathbb {R}^{n}\). Таким образом, решение СЛОУ \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\) эквивалентно с геометрической точки зрения поиску вектора, ортогонального всем \(n\)-мерным строкам матрицы \(A\). Отсюда вытекает следующая теорема:

Теорема 2 Размерность пространства решений СЛОУ равна \(n - \operatorname {rk}\left(A\right)\).

Из этого сразу вытекает, что размерность любой фундаментальной матрицы системы должна быть равна \(n \times (n - \operatorname {rk}\left(A\right))\). Однако в каком случае произвольная матрица \(\Phi \in \mathbb {R}^{n \times (n - \operatorname {rk}\left(A\right))}\) будет фундаментальной матрицей системы \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\)?

ExampleПример 3

Пусть дана СЛОУ \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\), где \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\), причем \(r = \operatorname {rk}\left(A\right)\). Докажите, что матрица \(\Phi\) размерности \(n \times (n - \operatorname {rk}\left(A\right))\) является фундаментальной матрицей данной СЛОУ тогда и только тогда, когда выполнено два условия:

1. \(A \cdot \Phi = \overrightarrow {0}\);

2. \(\operatorname {rk}\left(\Phi \right) = n-r\).

SolutionРешение

Обозначим через \(V \subseteq \mathbb {R}^{n}\) пространство решений СЛОУ; мы знаем, что \(\dim V = n - r\).

(\(\Rightarrow\)) Пусть \(\Phi\) – фундаментальная матрица. Тогда ее столбцы \(\overrightarrow {\phi }_{\cdot 1}, \ldots , \overrightarrow {\phi }_{\cdot (n-r)}\) – базис \(V\). В частности, каждый столбец – решение: \(A \overrightarrow {\phi }_{\cdot j} = \overrightarrow {0}\), а это по столбцам и означает \(A \Phi = \overrightarrow {0}\). Кроме того, столбцы базиса линейно независимы, и их \(n-r\) штук, т.е. \(\operatorname {rk}\left(\Phi \right) = n - r\).

(\(\Leftarrow\)) Пусть выполнены оба условия. Из \(A\Phi = \overrightarrow {0}\) следует, что каждый столбец \(\Phi\) лежит в \(V\). Из \(\operatorname {rk}\left(\Phi \right) = n-r\) следует, что все \(n-r\) столбцов линейно независимы. Итого: \(n - r = \dim V\) линейно независимых векторов в пространстве \(V\) – это базис \(V\). Т.е. \(\Phi\) – фундаментальная матрица.

Учитывая пример выше, несложно показать, что если матрица \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\) ранга \(\operatorname {rk}\left(A\right) = r\) имеет (возможно, после перенумерации переменных) упрощенный вид

\[ A' = \begin{bmatrix} I_r & & & C & & & \\ & & & & & & \\ 0 & & & & & & \\ & & & & & & \\ \end{bmatrix}, \]

где \(I_r\) – единичная матрица порядка \(r\), \(C\) – некоторая произвольная матрица размерности \(r \times (n - r)\), то фундаментальной матрицей для нее будет матрица блочного вида

\[ \Phi = \begin{bmatrix} -C & & & \\ & & & \\ I_{n-r} & & & \\ & & & \end{bmatrix} \]

Например, в задаче 18.1(11) имеем

\[ A' = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Phi = \begin{bmatrix} -1/2 & 0 \\ -1/2 & -1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

В задаче 18.1(9) имеем

\[ A' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \Phi = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

ExampleПример (Задача 18.17(1))

Найти хотя бы одну однородную систему линейных уравнений, для которой данная матрица является фундаментальной: \(A_{110}\). \(A_{110} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]\).

SolutionРешение

Ранг пространства решений равен рангу фундаментальной матрицы, а он равен \(2\). Учитывая, что \(n=3\), получаем, что ранг матрицы СЛОУ должен быть равен \(1\).

По строкам у матрицы СЛОУ идет система \(n\)-мерных строк, ортогональных ФСР. Пусть \(\overrightarrow {\alpha } = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{bmatrix}\) – произвольная строка матрицы \(A\). Имеем

\[ \begin{cases} \left\langle \overrightarrow {\alpha }^T, \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}^T \right\rangle = 0 \\ \left\langle \overrightarrow {\alpha }^T, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}^T \right\rangle = 0 \\ \end{cases} \quad \iff A_{110}^T \cdot \overrightarrow {\alpha }^T = 0 \]

Получили СЛОУ на числа \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\). Ее ФСР и будет строками искомой матрицы. Решим ее. Приведем матрицу \(A_{110}^T\) эл. преобразованиями строк к упрощенному виду:

\[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \]

ФСР будет состоять из одного вектора:

\[ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

AnswerОтвет

\(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\), где \(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\).

ExampleПример 5

Зная одну фундаментальную матрицу \(\Phi\) некоторой СЛОУ (размерность \(\Phi\) равна \(n \times (n-r)\)), найти общий вид произвольной фундаментальной матрицы той же СЛОУ

SolutionРешение

Пусть \(\Phi '\) – еще одна фундаментальная матрица той же СЛОУ. Каждый ее столбец лежит в пространстве решений \(V\), а столбцы \(\Phi\) – базис \(V\). Значит, каждый столбец \(\overrightarrow {\phi }'_{\cdot j}\) – линейная комбинация столбцов \(\Phi\) с некоторыми коэффициентами \(\overrightarrow {b}_{\cdot j} \in \mathbb {R}^{n - r}\):

\[ \overrightarrow {\phi }'_{\cdot j} = \Phi \cdot \overrightarrow {b}_{\cdot j}, \; j \in \left\{ 1, \ldots , n-r\right\} \quad \iff \quad \Phi ' = \Phi \cdot B, \quad B := \left(\overrightarrow {b}_{\cdot 1} \cdots \overrightarrow {b}_{\cdot (n-r)}\right) \in \mathbb {R}^{(n-r) \times (n-r)} \]

При этом матрица \(B\) обязана быть невырожденной: это в точности матрица перехода между двумя базисами пространства \(V\) (если бы ее столбцы были линейно зависимы, той же зависимостью были бы связаны и столбцы \(\Phi '\), что противоречит \(\operatorname {rk}\left(\Phi '\right) = n - r\)).

Обратно, для любой невырожденной \(B \in \mathbb {R}^{(n-r) \times (n-r)}\) матрица \(\Phi \cdot B\) фундаментальна: по критерию из примера выше достаточно заметить, что \(A (\Phi B) = (A\Phi ) B = \overrightarrow {0}\) и \(\operatorname {rk}\left(\Phi B\right) = n - r\) (умножение на невырожденную матрицу не меняет ранга).

Обратите внимание: умножать нужно справа на невырожденную матрицу порядка \(n - r\) (это замена базиса в пространстве решений). Умножение слева на невырожденную \(n \times n\) матрицу, вообще говоря, выводит столбцы из пространства решений.

AnswerОтвет

\(\Phi ' = \Phi \cdot B\), где \(B \in \mathbb {R}^{(n-r) \times (n-r)}\) – произвольная невырожденная матрица.

ExampleПример 6

Пусть \(A\) – матрица ранга \(r\), состоящая из \(n\) столбцов. Известно, что для матрицы \(B\) определено произведение \(AB = 0\). Оцените сверху \(\operatorname {rk}\left(B\right)\).

SolutionРешение

Равенство \(AB = 0\) означает, что каждый столбец \(\overrightarrow {b}_{\cdot j}\) матрицы \(B\) удовлетворяет \(A \overrightarrow {b}_{\cdot j} = \overrightarrow {0}\), т.е. лежит в пространстве решений \(V\) СЛОУ \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\). Размерность \(V\) равна \(n - r\), поэтому среди столбцов \(B\) не может быть больше, чем \(n-r\), линейно независимых: \[ \operatorname {rk}\left(B\right) \leq n - r \] Граница достигается: в качестве \(B\) можно взять фундаментальную матрицу \(\Phi\) этой СЛОУ – тогда \(A\Phi = 0\) и \(\operatorname {rk}\left(\Phi \right) = n - r\).

AnswerОтвет

\(\operatorname {rk}\left(B\right) \leq n -r\), причем граница достигается.

ExampleПример 7

Докажите, что СЛОУ \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\) и \(B \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\) эквивалентны тогда и только тогда, когда \[ \operatorname {rk}\left(\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}\right) = \operatorname {rk}\left(A\right) = \operatorname {rk}\left(B\right) \]

SolutionРешение

Пусть у обеих систем по \(n\) неизвестных. Обозначим через \(V_A, V_B\) пространства решений систем \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\) и \(B\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\) соответственно. Ключевое наблюдение: решения системы с матрицей \(\left[\begin{smallmatrix} A \\ B \end{smallmatrix}\right]\) (уравнения обеих систем, собранные вместе) – это в точности векторы, являющиеся решениями обеих систем сразу, т.е. пространство решений объединенной системы равно \(V_A \cap V_B\). По теореме о размерности пространства решений

\[ \dim V_A = n - \operatorname {rk}\left(A\right), \qquad \dim V_B = n - \operatorname {rk}\left(B\right), \qquad \dim \left(V_A \cap V_B\right) = n - \operatorname {rk}\left(\left[\begin{smallmatrix} A \\ B \end{smallmatrix}\right]\right) \]

(\(\Rightarrow\)) Если системы эквивалентны, то \(V_A = V_B\), и тогда \(V_A \cap V_B = V_A = V_B\). Переходя к размерностям и пользуясь формулами выше, получаем \(\operatorname {rk}\left(\left[\begin{smallmatrix} A \\ B \end{smallmatrix}\right]\right) = \operatorname {rk}\left(A\right) = \operatorname {rk}\left(B\right)\).

(\(\Leftarrow\)) Пусть ранги равны. Заметим, что всегда \(V_A \cap V_B \subseteq V_A\). При этом из равенства рангов \(\dim \left(V_A \cap V_B\right) = \dim V_A\). Но если подпространство имеет ту же размерность, что и объемлющее пространство, то они совпадают: \(V_A \cap V_B = V_A\). Аналогично \(V_A \cap V_B = V_B\). Следовательно, \(V_A = V_B\), т.е. системы эквивалентны.

ExampleПример 8

Пусть \(\Phi\) – фундаментальная матрица СЛОУ \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\). Тогда система \(\Phi^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\) задает линейную оболочку строк матрицы \(A\).

SolutionРешение

Пусть \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\), \(r = \operatorname {rk}\left(A\right)\); тогда \(\Phi \in \mathbb {R}^{n \times (n-r)}\). Обозначим через \(W \subseteq \mathbb {R}^{n}\) пространство решений системы \(\Phi^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\) и через \(L\) – линейную оболочку транспонированных строк матрицы \(A\) (как столбцов в \(\mathbb {R}^{n}\)). Нужно доказать, что \(W = L\).

Во-первых, \(L \subseteq W\). Действительно, условие \(\Phi^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\) означает, что \(\overrightarrow {y}\) ортогонален всем столбцам \(\Phi\), т.е. всем решениям исходной СЛОУ. Но каждая строка \(A\) ортогональна каждому решению (это в точности уравнения системы \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\)), а значит, ортогональна решениям и любая линейная комбинация строк.

Во-вторых, размерности совпадают. Ранг матрицы \(\Phi^T \in \mathbb {R}^{(n-r) \times n}\) равен \(n - r\), поэтому по теореме о размерности пространства решений

\[ \dim W = n - \operatorname {rk}\left(\Phi ^T\right) = n - (n - r) = r = \operatorname {rk}\left(A\right) = \dim L \]

Подпространство \(L \subseteq W\) той же размерности, что и \(W\), совпадает с ним: \(L = W\).

3 Системы линейных уравнений общего вида

Выполнение \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\) равносильно тому, что вектор \(\overrightarrow {b}\) можно выразить линейной комбинацией столбцов \(A\) с коэфф. из \(\overrightarrow {x}\). Это равносильно тому, что \(\overrightarrow {b}\) лежит в пространстве, порожденном столбцами \(A\). Отсюда вытекает

Теорема 3 (Кронекер-Капелли) Система \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\) совместна тогда и только тогда, когда \(\operatorname {rk}\left(A\right) = \operatorname {rk}\left(A \mid \overrightarrow {b}\right)\).

Теорема 4 Зафиксируем некоторое решение \(\overrightarrow {x}_0\) совместной СЛУ \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\). Тогда всякое ее решение представляется в виде \(\overrightarrow {x}_0 + \overrightarrow {y}\), где \(\overrightarrow {y}\) – некоторое решение однородной системы \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\).

Обратно тоже верно: любая сумма вида \(\overrightarrow {x}_0 + \overrightarrow {y}\) – решение СЛУ \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\).

Структура множества решений неоднородной СЛУ

Множество решений \(A\vec{x}=\vec{b}\) — аффинный сдвиг \(\vec{x}_0+V\) пространства решений \(V\) однородной системы \(A\vec{x}=\vec{0}\) на произвольное частное решение \(\vec{x}_0\). Перетащите мышью, чтобы вращать сцену; ползунок двигает \(\vec{x}_0\) по плоскости \(\vec{x}_0+V\) (сама плоскость не меняется); кнопка справа схлопывает случай \(\vec{b}\to\vec{0}\).

положение \(\vec{x}_0\) на плоскости:

ExampleПример (Задача 19.6(22))

Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице. Решить систему или установить ее несовместность. \(\left[A_{513} \mid \overrightarrow {c}_{62}\right]\). \(A_{513} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -5 & -4 & -3 \\ 2 & -1 & 2 & -1 \\ 5 & 3 & 8 & 1 \\ \end{smallmatrix}\right], \quad \overrightarrow {c}_{62} = \left[\begin{smallmatrix} -5\\ -2\\ 1\\ \end{smallmatrix}\right]\).

SolutionРешение

СЛУ:

\[ \begin{cases} -x_1 -5x_2 - 4x_3 -3x_4 = -5 \\ 2x_1 -x_2 + 2x_3 -x_4 = -2 \\ 5x_1 + 3x_2 + 8x_3 + x_4 = 1 \\ \end{cases} \]

Запишем расширенную матрицу:

\[ \left[A_{513} \mid \overrightarrow {c}_{62}\right] = \left[\begin{array}{cccc|c} -1 & -5 & -4 & -3 & -5 \\ 2 & -1 & 2 & -1 & -2 \\ 5 & 3 & 8 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \]

Как решить неоднородную СЛУ? Заметим, что элементарные преобразования строк расширенной матрицы не меняют множества решений (подумайте, почему). Т.е. после элементарных преобразований строк мы приходим к эквивалентной системе линейных уравнений. Приведем расширенную матрицу к упрощенному виду:

\[ \begin{align} \left[A_{513} \mid \overrightarrow {c}_{62}\right] & = \left[\begin{array}{cccc|c} -1 & -5 & -4 & -3 & -5 \\ 2 & -1 & 2 & -1 & -2 \\ 5 & 3 & 8 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \\ & \mathrel {\leadsto } \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & 3 & 5 \\ 0 & -11 & -6 & -7 & -12 \\ 0 & -22 & -12 & -14 & -24 \\ \end{array}\right] \\ & \mathrel {\leadsto } \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 6/11 & 7/11 & 12/11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] \\ & \mathrel {\leadsto } \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 14/11 & -2/11 & -5/11 \\ 0 & 1 & 6/11 & 7/11 & 12/11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] \end{align} \]

Пришли к системе \(\left[A'_{513} \mid \overrightarrow {c}'_{62}\right]\), где

\[ A'_{513} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 14/11 & -2/11 \\ 0 & 1 & 6/11 & 7/11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \qquad \overrightarrow {c}'_{62} = \begin{bmatrix} -5/11 \\ 12/11 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Заметим, что через первые 2 столбца матрицы \(A'_{513}\) можно выразить столбец \(\overrightarrow {c}'_{62}\)¹. Таким образом, \(\overrightarrow {c}'_{62}\) лежит в линейной оболочке столбцов матрицы \(A'_{513}\), а значит столбцовый ранг \(A'_{513}\) и \(\left[A'_{513} \mid \overrightarrow {c}'_{62}\right]\) совпадает. Следовательно, система \(A'_{513} \overrightarrow {x} = \overrightarrow {c}'_{62}\) совместна. Значит и исходная система совместна.

Решения будем искать в 2 этапа. Сначала необходимо найти решения СЛОУ \(A'_{513} \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\). Фундаментальная матрица решений:

\[ \Phi = \begin{bmatrix} -14/11 & 2/11 \\ -6/11 & -7/11 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Далее необходимо найти хотя бы одно частное решение неоднородной системы \(A'_{513} \overrightarrow {x} = \overrightarrow {c}'_{62}\). Заметим, что в случае, когда \(A'_{513}\) в упрощенной форме (как у нас), в качестве \(\overrightarrow {x}_0\) можно взять вектор \(\overrightarrow {c}'_{62}\), дописав снизу такое количество нулей, чтобы в итоге получился \(n\)-мерный вектор. В нашем случае размерность \(\overrightarrow {c}'_{62}\) равна \(3\), а размерность \(\overrightarrow {x}\) должна быть \(4\). Имеем

\[ \overrightarrow {x}_0 = \begin{bmatrix} -5/11 \\ 12/11 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Это действительно частное решение:

\[ A'_{513} \cdot \overrightarrow {x}_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 14/11 & -2/11 \\ 0 & 1 & 6/11 & 7/11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -5/11 \\ 12/11 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5/11 \\ 12/11 \\ 0 \end{bmatrix} = \overrightarrow {c}'_{62} \]

AnswerОтвет

Множество решений представляется в виде \[ \underbrace{\overbrace{\begin{bmatrix} -14/11 & 2/11 \\ -6/11 & -7/11 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}^{=\Phi } \cdot \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}}_{=\overrightarrow {y}} + \underbrace{\begin{bmatrix} -5/11 \\ 12/11 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}_{=\overrightarrow {x}_0}, \] где \(\left[\begin{smallmatrix} h_1 \\ h_2 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbb {R}^{2}\) – произвольное.

ExampleПример 19.6(35)

Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице. Решить систему или установить ее несовместность. \(\left\| A_{581} \mid \overrightarrow {c}_{76}\right\|\). \(A_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \\ \end{smallmatrix}\right], \quad \overrightarrow {c}_{76} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ -3\\ \end{smallmatrix}\right]\).

SolutionРешение

СЛУ:

\[ \begin{cases} x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 9x_5 = 1 \\ x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 4x_4 + 5x_5 = 1 \\ 2x_1 + 11x_2 + 12x_3 + 25x_4 + 22x_5 = -3 \end{cases} \]

Элементарные преобразования расширенной матрицы:

\[ \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 1 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & 1 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 & -3 \\ \end{array}\right] \mathrel {\leadsto } \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 1 \\ 0 & -5 & -2 & -11 & -4 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 11 & 4 & -5 \\ \end{array}\right] \mathrel {\leadsto } \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & 11 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \\ \end{array}\right] \]

Пришли к системе \(\left[A'_{581} \mid \overrightarrow {c}'_{76}\right]\), где

\[ A'_{581} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 5 & 2 & 11 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \qquad \overrightarrow {c}'_{76} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix} \]

Вектор \(\overrightarrow {c}'_{76}\) не выразить через столбцы \(A'_{581}\), т.к. у \(\overrightarrow {c}'_{76}\) ненулевая 3-я координата. Следовательно, \(\operatorname {rk}\left(A'_{581}\right) \neq \operatorname {rk}\left(A'_{581} \mid \overrightarrow {c}'_{76} \right)\).

AnswerОтвет

Решений нет.

Теорема 5 (Фредгольм) Система \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\), \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\) разрешима тогда и только тогда, когда любой вектор \(\overrightarrow {y}_0\) из \(\mathbb {R}^{m}\), ортогональный столбцам \(A\), будет ортогонален и \(\overrightarrow {b}\). Иначе последнее условие можно сформулировать так: \[ A^T \overrightarrow {y}_0 = \overrightarrow {0} \quad \; \Rightarrow \; \quad \overrightarrow {b}^T \overrightarrow {y}_0 = 0 \]

ExampleПример 11

Доказать.

SolutionРешение

(\(\Rightarrow\)) Пусть система разрешима, т.е. \(\overrightarrow {b} = A \overrightarrow {x}\) для некоторого \(\overrightarrow {x}\). Тогда для любого \(\overrightarrow {y}_0\) с \(A^T \overrightarrow {y}_0 = \overrightarrow {0}\) имеем

\[ \overrightarrow {b}^T \overrightarrow {y}_0 = \left(A\overrightarrow {x}\right)^T \overrightarrow {y}_0 = \overrightarrow {x}^T \underbrace{A^T \overrightarrow {y}_0}_{= \overrightarrow {0}} = 0 \]

(\(\Leftarrow\)) Пусть любое решение системы \(A^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\) удовлетворяет и уравнению \(\overrightarrow {b}^T \overrightarrow {y} = 0\). Это означает, что СЛОУ \(A^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\) и \(\left[A \mid \overrightarrow {b}\right]^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\) (та же система плюс уравнение \(\overrightarrow {b}^T \overrightarrow {y} = 0\)) эквивалентны: каждое решение первой является решением второй, а обратное включение очевидно. По критерию эквивалентности СЛОУ (пример из предыдущего параграфа) тогда

\[ \operatorname {rk}\left(A^T\right) = \operatorname {rk}\left(\left[A \mid \overrightarrow {b}\right]^T\right) \quad \iff \quad \operatorname {rk}\left(A\right) = \operatorname {rk}\left(A \mid \overrightarrow {b}\right) \]

(транспонирование не меняет ранга). По теореме Кронекера-Капелли система \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\) совместна.

ExampleПример 12

Системы вида \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}\) над полем \(\mathbb {R}\) совместны для любого столбца \(\overrightarrow {b}\) тогда и только тогда, когда строки матрицы \(A\) линейно независимы.

SolutionРешение

Пусть \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\).

(\(\Leftarrow\)) Пусть строки \(A\) линейно независимы, т.е. \(\operatorname {rk}\left(A\right) = m\). Тогда для любого \(\overrightarrow {b}\) имеем

\[ m = \operatorname {rk}\left(A\right) \leq \operatorname {rk}\left(A \mid \overrightarrow {b}\right) \leq m, \]

(приписывание столбца не уменьшает ранг, а ранг матрицы из \(m\) строк не превосходит \(m\)). Т.е. \(\operatorname {rk}\left(A\right) = \operatorname {rk}\left(A \mid \overrightarrow {b}\right)\), и по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

(\(\Rightarrow\)) Пусть строки \(A\) линейно зависимы, т.е. \(r = \operatorname {rk}\left(A\right) < m\). Тогда линейная оболочка столбцов \(A\) – подпространство в \(\mathbb {R}^{m}\) размерности \(r < m\), и найдется столбец \(\overrightarrow {b} \in \mathbb {R}^{m}\), не лежащий в ней (иначе оболочка совпадала бы со всем \(\mathbb {R}^{m}\)). Для такого \(\overrightarrow {b}\) имеем \(\operatorname {rk}\left(A \mid \overrightarrow {b}\right) = r + 1 \neq \operatorname {rk}\left(A\right)\), и по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Сноски

1. Это было бы не так, если бы 3-я координата у \(\overrightarrow {c}'_{62}\) была бы ненулевая.