Билинейные и квадратичные формы

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве над произвольным полем

1.1 Билинейные формы

Определение 1 Пусть \(V\) – линейное пространство над полем \(\mathbb {F}\) (как правило, \(\mathbb {F}\) – это либо действительные, либо комплексные числа). Билинейной функцией (или билинейной формой) на \(V\) называется отображение \(b : V \times V \to \mathbb {F}\), линейное по каждому аргументу. Т.е.

\[ \begin{align} b(\alpha \overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) & = \alpha \cdot b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}), & b(\overrightarrow {x}_1 + \overrightarrow {x}_2, \overrightarrow {y}) = b(\overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {y}) + b(\overrightarrow {x}_2, \overrightarrow {y}) \\ b(\overrightarrow {x}, \beta \overrightarrow {y}) & = \beta b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}), & b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}_1 + \overrightarrow {y}_2) = b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}_1) + b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}_2) \end{align} \]

для любых \(\alpha , \beta \in \mathbb {F}\), \(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \overrightarrow {y}, \overrightarrow {y}_1, \overrightarrow {y}_2 \in V\).

Множество всех билинейных форм над \(V\) обозначим \(V^{(2)}\).

Если в пространстве \(V\) задан базис \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\), то значение билинейной функции для произвольной пары векторов \(\overrightarrow {x}\), \(\overrightarrow {y}\) полностью определяется их координатами в базисе \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\) и значением билинейной функции \(b\) на базисных векторах \(b(\overrightarrow {e}_i, \overrightarrow {e}_j) =: b_{ij}\), \(i,j \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}\). Действительно, если \([\overrightarrow {x}]^T = (x_1, \ldots , x_n)^T\), \([\overrightarrow {y}]^T = (y_1, \ldots , y_n)^T\) – координаты \(\overrightarrow {x}\), \(\overrightarrow {y}\) в данном базисе, то за счет линейности имеем

\[ \begin{align} b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) & = b\left(\sum _{i=1}^n x_i \overrightarrow {e}_i, \; \sum _{j=1}^n y_j \overrightarrow {e}_j\right) = \sum _{i,j=1}^n x_iy_j \cdot b(\overrightarrow {e}_i, \overrightarrow {e}_j) = \\ & = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_1) & b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2) & \cdots & b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_n) \\ b(\overrightarrow {e}_2, \overrightarrow {e}_1) & b(\overrightarrow {e}_2, \overrightarrow {e}_2) & \cdots & b(\overrightarrow {e}_2, \overrightarrow {e}_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b(\overrightarrow {e}_n, \overrightarrow {e}_1) & b(\overrightarrow {e}_n, \overrightarrow {e}_2) & \cdots & b(\overrightarrow {e}_n, \overrightarrow {e}_n) \end{pmatrix}}_{=: B} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \\ & = [\overrightarrow {x}]^T \cdot B \cdot [\overrightarrow {y}] \end{align} \]

Матрица \(B \in \mathbf{F}^{n \times n}\) называется матрицей билинейной формы \(b\) в базисе \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\). Обратите внимание, что если фиксировать базис, то билинейная форма выражается через полином от координат векторов, причем каждый моном имеет степень ровно \(2\).

ExampleПример 1

Пусть \(V = \mathbf{F}^3\). Определим отображение \(b: V \times V \to \mathbb {R}\) следующим образом: \[ b\left(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}\right) = b\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}\right) : = x_1y_2 - 5x_2y_3 + 2x_3y_1 \]

1. Проверьте, что \(b\) – это билинейная форма.

2. Составьте матрицу \(b\) в стандартном базисе.

SolutionРешение

Enum-item(1)

Простое упражнение …

Enum-item(2)

\[ B = \begin{pmatrix} b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_1) & b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2) & b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_3) \\ b(\overrightarrow {e}_2, \overrightarrow {e}_1) & b(\overrightarrow {e}_2, \overrightarrow {e}_2) & b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_3) \\ b(\overrightarrow {e}_3, \overrightarrow {e}_1) & b(\overrightarrow {e}_3, \overrightarrow {e}_2) & b(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

ExampleПример 2

Пусть \(V = \mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R})\) для некоторого \(n \in \mathbb {N}\). Определим отображение \(b: V \times V \to \mathbb {R}\) следующим образом: \(b(p, q) = p(2) \cdot q'(3)\).

1. Проверьте, что \(b\) – это билинейная форма.

2. Пусть \(n=2\). Составьте ее матрицу в базисе \(1, x, x^2\).

SolutionРешение

Enum-item(1)

Простое упражнение …

Enum-item(2)

\[ B = \begin{pmatrix} b(1,1) & b(1,x) & b(1,x^2) \\ b(x,1) & b(x,x) & b(x,x^2) \\ b(x^2,1) & b(x^2,x) & b(x^2,x^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 12 \\ 0 & 4 & 24 \end{pmatrix} \]

Теорема 1 Пусть \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\) – это базис \(V\). Тогда отображение \(V^{(2)} \to \mathbf{F}^{n\times n}\), сопоставляющее билинейной форме ее матрицу, является изоморфизмом линейных пространств.

В качестве следствия из теоремы выше получаем

\[ \operatorname {dim}V^{(2)} = \operatorname {dim}\mathbf{F}^{n\times n} = n^2 = \left(\operatorname {dim}V\right)^2 \]

Если \((\overrightarrow {e}'_i)_1^n\) – другой базис в \(V\), а \(S\) – матрица перехода от \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\) к \((\overrightarrow {e}'_i)_1^n\), то матрицу \(b\) в новом базисе можно найти так:

\[ B' = S^T \cdot B \cdot S \tag{1}\]

Заметим, что в отличие от матриц оператора, которые преобразуются как \(A' = S^{-1}AS\), старая матрица билинейной функции домножается слева не на \(S^{-1}\), а на \(S^T\). В частности, определитель матрицы \(B\) уже не будет инвариантом, в отличие от определителя \(A\), поскольку

\[ \left|B'\right| = \left|S^T\right|\left|B\right|\left|S\right| = \left|S\right|^2 \cdot \left|B\right| \]

и \(\left|S\right|\) может быть отличен от \(1\) и \(-1\).

С другой стороны, инвариантами являются

• ранг \(\operatorname {rk}\left(B\right)\),

• знак определителя \(\operatorname {sgn}(\left|B\right|)\), если поле \(\mathbb {F}\) – поле вещественных чисел.

ExampleПример 3

Рассмотрим билинейную форму из примера Пример 2.

1. Запишите ее матрицу в базисе \(\overrightarrow {e}'_1 = 1\), \(\overrightarrow {e}'_2 = x-2\), \(\overrightarrow {e}'_3 = (x-3)^2\), без использования формулы Уравнение 1 замены базиса.

2. Проверьте, что формула Уравнение 1 замены базиса выполнена.

SolutionРешение

Enum-item(1)

\[ B' = \begin{pmatrix} b(1,1) & b(1,x-2) & b(1,(x-3)^2) \\ b(x-2,1) & b(x-2,x-2) & b(x-2,(x-3)^2) \\ b((x-3)^2,1) & b((x-3)^2,x-2) & b((x-3)^2,(x-3)^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Enum-item(2)

Матрица перехода:

\[ S = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Имеем

\[ \begin{align} S^T \cdot B \cdot S & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 9 & -6 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 12 \\ 0 & 4 & 24 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align} \]

1.2 Симметричные билинейные формы

Билинейная функция \(b\) называется симметричной, если \(b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = b(\overrightarrow {y}, \overrightarrow {x})\) для любых \(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in V\).

ExampleПример 4

Докажите, что билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица \(B\) в каком-нибудь (а тогда и в любом) базисе симметрична: \(B^T = B\).

SolutionРешение

Если \(b\) симметрична, то \(b_{i,j} = b(\overrightarrow {e}_i, \overrightarrow {e}_j) = b(\overrightarrow {e}_j, \overrightarrow {e}_i) = b_{j,i}\), т.е. \(B^T = B\) в любом базисе. Обратно, пусть в некотором базисе \(B = B^T\). Число можно рассматривать как матрицу \(1 \times 1\), совпадающую со своим транспонированием, поэтому \[ b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = [\overrightarrow {x}]^T B [\overrightarrow {y}] = \left([\overrightarrow {x}]^T B [\overrightarrow {y}]\right)^T = [\overrightarrow {y}]^T B^T [\overrightarrow {x}] = [\overrightarrow {y}]^T B [\overrightarrow {x}] = b(\overrightarrow {y}, \overrightarrow {x}) \]

1.3 Квадратичные формы

Определение 2 Квадратичной функцией на \(V\) называется функция \(q: V \to \mathbb {F}\), для которой существует симметричная билинейная функция \(b: V \times V \to \mathbb {F}\), такая что

\[ q(\overrightarrow {x}) = b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {x}), \quad \forall \overrightarrow {x} \in V \]

Квадратичную функцию иногда называют квадратичной формой.

Mn-remarkЗамечание

Симметричная билинейная функция \(b\) восстанавливается по своей квадратичной функции \(q\) однозначно – по поляризационной формуле: \[ b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = \frac{1}{2}\bigg(q(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) - q(\overrightarrow {x}) - q(\overrightarrow {y})\bigg) \] (раскройте \(q(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) = b(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}, \overrightarrow {x} + \overrightarrow {y})\) по билинейности и воспользуйтесь симметричностью). На практике это означает простое правило: в матрице \(B\) коэффициент при \(x_i^2\) идет на диагональ, а коэффициент при \(x_i x_j\) (\(i \neq j\)) делится пополам между позициями \((i,j)\) и \((j,i)\).

ExampleПример 5

Составьте матрицу билинейной функции \[ b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = 2 x_1 y_1 - x_1 y_2 - x_2 y_1 - 5 x_2 y_2 \] в двумерном линейном пространстве и запишите соответствующую ей квадратичную функцию.

SolutionРешение

Подразумевается, что дан некий базис \((\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2)\) в 2-мерном пространстве \(V\) и \(x_1, x_2, y_1,y_2\) – координаты векторов \(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in V\) в этом базисе. Матрица \(b\) в этом базисе:

\[ B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \]

Билинейная функция в матричном виде:

\[ b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \]

Квадратичная функция \(q\), соответствующая \(b\):

\[ q(\overrightarrow {x}) = b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {x}) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 2x_1^2 - 2x_1x_2 - 5x_2^2 \]

ExampleПример 6

Восстановите симметричную билинейную функцию в двумерном линейном пространстве по квадратичной функции \[ q(\overrightarrow {x})=-18 x_1 x_2+9 x_2^2 \] и составьте ее матрицу.

SolutionРешение

По поляризационному правилу коэффициент при \(x_1 x_2\) делится пополам между симметричными позициями: \[ b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = -9 x_1y_2 - 9x_2y_1 + 9x_2y_2, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ -9 & 9 \end{pmatrix} \] Проверка: \(b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {x}) = -9x_1x_2 - 9x_2x_1 + 9x_2^2 = -18x_1x_2 + 9x_2^2 = q(\overrightarrow {x})\).

ExampleПример 7

Квадратичная функция \[ q(\overrightarrow {x})=25 x_1^2-14 x_1 x_2+2 x_2^2 \] задана в базисе \(\left\{ \overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2\right\}\). Запишите эту квадратичную функцию в базисе \(\left\{ \overrightarrow {e}_1^{\prime }, \overrightarrow {e}_2^{\prime }\right\}\), где \[ \overrightarrow {e}_1^{\prime }=\overrightarrow {e}_1+\overrightarrow {e}_2, \overrightarrow {e}_2^{\prime }=-\overrightarrow {e}_1+\overrightarrow {e}_2 \]

SolutionРешение

Пусть \(b\) – соответствующая кв. функции \(q\) билинейная функция. Тогда ее матрица в базисе \((\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2)\):

\[ B = \begin{pmatrix} 25 & -7 \\ -7 & 2 \end{pmatrix} \]

Матрица перехода к штрихованному базису и матрица квадратичной функции \(b\) в штрихованном базисе:

\[ S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B' = S^TBS = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 25 & -7 \\ -7 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -23 \\ -23 & 41 \end{pmatrix} \]

Пусть \(\overrightarrow {x} = x_1'\overrightarrow {e}_1' + x_2'\overrightarrow {e}_2'\), т.е. \(x_1', x_2'\) – это координаты \(\overrightarrow {x}\) в новом, штрихованном базисе. Тогда

\[ q(\overrightarrow {x}) = b(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {x}) = \begin{pmatrix} x'_1 & x'_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 & -23 \\ -23 & 41 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = 13(x'_1)^2 - 46x_1'x_2' + 41(x_2')^2 \]

2 Билинейные и квадратичные функции в вещественном линейном пространстве

В данной главе \(\mathbb {F} = \mathbb {R}\).

2.1 Положительно и отрицательно определенные квадратичные функции

Определение 3 Квадратичная форма \(q\) на пространстве \(V\) называется положительно определенной, если

\[ q(\overrightarrow {x}) > 0, \qquad \forall \overrightarrow {x} \in V, \; \overrightarrow {x} \neq \overrightarrow {0} \]

\(q\) называется положительно полуопределенной (еще говорят неотрицательно определенной), если строгий знак в неравенстве выше меняется на нестрогий:

\[ q(\overrightarrow {x}) \geq 0, \qquad \forall \overrightarrow {x} \in V, \; \overrightarrow {x} \neq \overrightarrow {0} \]

Аналогично вводятся понятия отрицательной определенности, отрицательной полуопределенности.

2.2 Закон сохранения инерции, приведение формы к каноническому виду

Теорема 2 (Закон инерции Сильвестра) Пусть \(q: V \to \mathbb {R}\) – квадратичная форма. Тогда в \(V\) найдется такой базис \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\), что в этом базисе форма примет диагональный вид

\[ q(\overrightarrow {x}) = x_1^2 + \cdots + x_{r_+}^2 - x_{r_+ + 1}^2 - \cdots - x_{r_++r_-}^2 = \sum _{i=1}^{r_+} x_i^2 - \sum _{j=r_++1}^{r_++r_-}x_j^2, \tag{2}\]

где \((x_i)_1^n\) координаты вектора \(\overrightarrow {x}\) в этом базисе и \(r_+ \leq r_++r_- \leq \operatorname {dim}(V) = n\). Иначе можно сказать, что матрица соотв. \(q\) билинейной формы \(b\) примет в данном базисе вид

\[ B = \left(\begin{array}{cccc|cccc|ccc}& 1 & 2 & \cdots & r_+ & r_++1 & r_++2 & \cdots & r_++r_- & r_++r_-+1 & \cdots & n \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & & & & 0 & & \\ 2 & 0 & 1 & \cdots & 0 & & & & & & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_+ & 0 & 0 & \cdots & 1 & \\ \hline r_++1 & 0 & & & & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & & \\ r_++2 & & & & & 0 & -1 & \cdots & 0 & & & \\ \vdots & & & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_++r_- & & & & & 0 & 0 & \cdots & -1 & & & \\ \hline r_++r_- + 1 & 0 & & & & 0 & & & & 0 \\ \vdots & \\ n \\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cccc|cccc|ccc}I_{r_+} & & & & 0 & & & & 0 \\ \hline 0 & & & & -I_{r_-} & & & & 0 & & \\ \hline 0 & & & & 0 & & & & 0 & & \\ \end{array}\right) \]

При этом числа \(r_+, r_- \in \mathbb {N}\) не зависят от выбора базиса \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\), диагонализирующего форму \(q\) (таких базисов может быть много). Т.е. \(r_+\), \(r_-\) – это инварианты квадратичной формы, наравне с ее рангом или знаком определителя.

Вид Уравнение 2 квадратичной формы называется каноническим. Числа \(r_+\) и \(r_-\) из теоремы называют положительным и отрицательным индексами инерции соотв. квадратичной формы \(b\). Отсюда название теоремы.

Оказывается, что \(r_+\), \(r_-\) – размерности максимальных подпространств \(U\), \(W\) из \(V\), таких что в них форма \(q\) положительно и отрицательно определена соотв. Т.е.

\[ \begin{align} q(\overrightarrow {y}) & > 0, \quad \forall \overrightarrow {y} \in U, \; \overrightarrow {y} \neq \overrightarrow {0} \\ q(\overrightarrow {w}) & < 0, \quad \forall \overrightarrow {w} \in W, \; \overrightarrow {w} \neq \overrightarrow {0} \end{align} \]

Заметим, что \(r_+ + r_- = \operatorname {rk}\left(B\right)\), т.е. сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна рангу кв. формы. Разность \(r_+ - r_-\) называют сигнатурой квадратичной формы \(q\).

ExampleПример 8

Привести данную квадратичную форму к каноническому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы: \[ q(\overrightarrow {x}) = x_1^2 + 4x_1x_3 + x_2^2 + 2x_2x_3 + 4x_3^2 \]

SolutionРешение

2 основных метода.

• Метод Лагранжа приведения кв. формы к каноническому виду состоит в последовательном выделении полных квадратов. А именно, если у нас в форме присутствует квадрат какой-то из координат, то необходимо выделить в полный квадрат все слагаемые с соотв. координатой. В данном случае у нас есть \(x_1^2\). Выпишем все слагаемые с \(x_1\): \(x_1^2 + 4x_1x_3\). Выделим полный квадрат:

  \[ x_1^2 + 4x_1x_3 = (x_1 + 2x_3)^2 - 4x_3^2 \]

  Форма примет вид:

  \[ q(\overrightarrow {x}) = (x_1 + 2x_3)^2 - 4x_3^2 + x_2^2 + 2x_2x_3 + 4x_3^2 = (x_1 + 2x_3)^2 + x_2^2 + 2x_2x_3 \]

  Рассмотрим оставшуюся после выделения полного квадрата с \(x_1\) часть формы \(x_2^2 + 2x_2x_3\). У нас есть \(x_2^2\), выделим полный квадрат с ведущим элементом \(x_2\):

  \[ x_2^2 + 2x_2x_3 = (x_2 + x_3)^2 - x_3^2 \]

  Получаем

  \[ q(\overrightarrow {x}) = (x_1 + 2x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 - x_3^2 \]

  Введем новые координаты по формуле:

  \[ x'_1 = x_1 + 2x_3, \qquad x'_2 = x_2 + x_3, \qquad x'_3 = x_3 \]

  Матрица \(\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]\) невырождена, значит это действительно замена координат. В новых координатах форма примет канонический вид

  \[ q(\overrightarrow {x}) = \left(x'_1\right)^2 + \left(x'_2\right)^2 -\left(x'_3\right)^2 \]

  Имеем

  \[ r_+ = 2, \quad r_- = 1, \quad \operatorname {rk}\left(q\right) = r_+ + r_- = 3, \quad r_+ - r_- = 1 \]

  Заметим, что

  \[ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{ =: C} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

  Матрица \(C\) позволяет от старых координат перейти к новым. Т.е. это матрица перехода от нового (канонического) базиса к старому (исходному) (не запутайтесь!). Чтобы получить матрицу перехода от исходного базиса к каноническому, нужно найти обратную матрицу:

  \[ S = C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

  Имеем

  \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = B' = S^TBS = S^T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot S \]

  где \(B'\) – матрица билинейной формы в каноническом базисе, \(B\) – матрица \(B\) в исходном базисе.

• Метод элементарных преобразований матрицы. Заметим, что чтобы получить канонический вид, достаточно найти матрицу \(S\) перехода к новому базису. Ведь \(B' = S^T BS\). При этом \(S\) – невырожденная квадратная матрица, значит ее можно получить из единичной эл. преобразованием столбцов.

  Любому элементарному преобразованию столбцов матрицы соответствует домножение матрицы справа на какую-то матрицу. Например, прибавление к первому столбцу произвольной матрицы \(A\) третьего с коэфф. \(-5\) соответствует домножению справа на матрицу

  \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

  Т.е. \(S = S_1 \cdot S_2 \cdot \cdots \cdot S_p\), где \(S_i\) – матрица эл. преобразования столбцов. Тогда

  \[ \begin{align} B' & = S^TBS = S_p^T \cdot \cdots \cdot S_2^T \cdot S_1^T \cdot B \cdot S_1 \cdot S_2 \cdot \cdots \cdot S_p = \\ & = S^T_p \cdot \left(S_{p-1}^T\cdot \cdots \cdot \left(S_2^T \cdot \left(S_1^T \cdot B \cdot S_1\right) \cdot S_2\right) \cdot \cdots \cdot S_{p-1}\right) \cdot S_p \end{align} \]

  Если матрица \(S_i\) соответствовала эл. преобразованию столбцов, то \(S_i^T\) соответствует эл преобразованию аналогичных строк. Поиск диагональной матрицы \(B'\) с \(1\), \(-1\) и \(0\) на диагонали состоит в последовательном проведении симметричных элементарных преобразований на строки и столбцы.

  Имеем

  \[ \begin{aligned} B & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \sim \\ & \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \\ & \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

  Пришли к канонической форме! При этом

  \[ S_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad S_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad S = S_1S_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

  Получили такую же матрицу перехода, что и в методе Лагранжа.

AnswerОтвет

• Канонический вид: \(q(\overrightarrow {x}) = \left(x'_1\right)^2 + \left(x'_2\right)^2 -\left(x'_3\right)^2\);

• Положительный индекс инерции: \(2\);

• Отрицательный индекс инерции: \(1\);

• Ранг: \(3\);

• Сигнатура: \(1\).

ExampleПример 9

Привести данную квадратичную форму к каноническому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы: \[ q(\overrightarrow {x}) = x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 \]

SolutionРешение

• Метод Лагранжа. В данном случае квадратов в форме нет. В таком случае может помочь следующая промежуточная замена:

  \[ x_1 = \tilde{x}_1 + \tilde{x}_2, \quad x_2 = \tilde{x}_1 - \tilde{x}_2, \quad x_3 = \tilde{x}_3 \]

  Тогда

  \[ \begin{align} q(\overrightarrow {x}) & = \left(\tilde{x}_1 + \tilde{x}_2\right)\left(\tilde{x}_1 - \tilde{x}_2\right) + \left(\tilde{x}_1 - \tilde{x}_2\right)\tilde{x}_3 + \left(\tilde{x}_1 + \tilde{x}_2\right)\tilde{x}_3 = \\ & = \tilde{x}_1^2 - \tilde{x}_2^2 + 2\tilde{x}_1\tilde{x}_3 \end{align} \]

  Выделим полный квадрат с ведущим элементом \(\tilde{x}_1\):

  \[ \tilde{x}_1^2 + 2\tilde{x}_1\tilde{x}_3 = \left(\tilde{x}_1 + \tilde{x}_3\right)^2 - \tilde{x}_3^2 \]

  Имеем

  \[ q(\overrightarrow {x}) = \left(\tilde{x}_1 + \tilde{x}_3\right)^2 - \tilde{x}_2^2 - \tilde{x}_3^2 \]

  Новая замена:

  \[ \begin{cases} x'_1 = \tilde{x}_1 + \tilde{x}_3 \\ x'_2 = \tilde{x}_2 \\ x'_3 = \tilde{x}_3 \\ \end{cases} \]

  В новых координатах кв. форма принимает канонический вид:

  \[ q(\overrightarrow {x}) = \left(x'_1\right)^2 - \left(x'_2\right)^2 - \left(x'_3\right)^2 \]

  Индексы инерции, ранг, сигнатура:

  \[ r_+ = 1, \quad r_- = 2, \quad \operatorname {rk}\left(q\right) = r_+ + r_- = 3, \quad r_+ - r_- = -1 \]

• Метод элементарных преобразований матрицы. Имеем

  \[ \hspace{-20em}\begin{aligned} B & = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \sim \\ & \sim \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & 0 & \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \\ & \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \\ & \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \\ & \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \sim \\ & \sim \begin{pmatrix} 2/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{2}/2 & 0 \\ 0 & 0 & -2/\sqrt{2} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

AnswerОтвет

• Канонический вид: \(q(\overrightarrow {x}) = \left(x'_1\right)^2 - \left(x'_2\right)^2 -\left(x'_3\right)^2\);

• Положительный индекс инерции: \(1\);

• Отрицательный индекс инерции: \(2\);

• Ранг: \(3\);

• Сигнатура: \(-1\).

3 Критерии Сильвестра положительной/отрицательной \ (полу)определенности квадратичной формы

Пусть дана квадратная матрица порядка \(n\in \mathbb {N}\). Минор матрицы порядка \(k \leq n\) называется угловым, если он составлен из первых \(k\) строк и первых \(k\) столбцов матрицы. Заметим, что у исходной матрицы порядка \(n\) всего ровно \(n\) угловых миноров.

Теорема 3 (Критерий Сильвестра положительной определенности) Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры её матрицы (в любом базисе) были положительны.

ExampleПример 10

Найдите все значения параметра \(\alpha\), при которых квадратичная функция \[ q(\overrightarrow {x})=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+2 \alpha x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3 \] положительно определена.

SolutionРешение

Матрица данной кв. формы:

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & -1 \\ \alpha & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Угловые квадратные подматрицы:

\[ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} , \qquad \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & \alpha & -1 \\ \alpha & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Их определители – это и есть угловые миноры. Имеем

\[ \begin{align} \delta _1 & = 1 \\ \delta _2 & = 2 - \alpha ^2 = -(\alpha - \sqrt{2})(\alpha + \sqrt{2}) \\ \delta _3 & = -3\alpha ^2 - 4\alpha = -3 \alpha \left(\alpha + \frac{4}{3}\right) \end{align} \]

По критерию Сильвестра \(q\) положительно определена тогда и только тогда, когда

\[ \begin{cases} \delta _1 > 0 \\ \delta _2 > 0 \\ \delta _3 > 0 \\ \end{cases} \iff \begin{cases} (\alpha - \sqrt{2})(\alpha + \sqrt{2}) < 0 \\ \alpha \left(\alpha + \frac{4}{3}\right) < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha \in \left(-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right) \\ \alpha \in \left(-\frac{4}{3}, 0\right) \end{cases} \iff \alpha \in \left(-\frac{4}{3}, 0\right) \]

AnswerОтвет

\(\alpha \in \left(-\frac{4}{3}, 0\right)\)

ExampleПример 11

Пусть \(q\) – квадратичная форма, \(B\) – ее матрица в некотором базисе.

1. Верно ли, что если \(q\) неотрицательно определена, то все угловые миноры \(B\) неотрицательны?

2. Верно ли, что если все угловые миноры \(B\) неотрицательны, то \(q\) неотрицательно определена?

SolutionРешение

Enum-item(1)

Да.

Enum-item(2)

Не всегда. Контрпример: форма с матрицей

\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Все угловые миноры у данной матрицы равны нулю. Однако в ее каноническом виде есть \(-1\), т.е. она не является неотрицательно определенной (собственно, \(q(\overrightarrow {e}_2) = -1\), что противоречит определению неотрицательной определенности).

На самом деле неотрицательная определенность эквивалентна тому, что все главные миноры неотрицательны. Минор квадратной матрицы называется главным, если его формируют строки и столбцы с одинаковыми номерами. Эквивалентно: минор называется главным, если его диагональ является частью диагонали исходной матрицы. Ясно, что любой угловой минор является главным. Однако главных миноров гораздо больше, чем угловых: у квадратной матрицы порядка \(n\) главных миноров \(2^n - 1\), а угловых всего \(n\).

ExampleПример (Задача 32.20(1))

В матрице положительно определенной квадратичной формы увеличили один диагональный элемент. Доказать, что детерминант матрицы увеличился.

SolutionРешение

Пусть \(B\) – матрица положительно определенной формы и \(B' = B + t \cdot E^{(i,i)}\), \(t > 0\) (к диагональному элементу \(b_{i,i}\) прибавили \(t\); \(E^{(i,i)}\) – матричная единица). Определитель линеен по \(i\)-й строке, поэтому

\[ \operatorname {det}\left(B'\right) = \operatorname {det}\left(B\right) + t \cdot M_{i,i}, \]

где \(M_{i,i}\) – дополняющий минор к элементу \((i,i)\) (алгебраическое дополнение со знаком \((-1)^{i+i} = 1\)): разложите \(\operatorname {det}\left(B'\right)\) по \(i\)-й строке и сгруппируйте слагаемые.

Осталось заметить, что \(M_{i,i} > 0\). Действительно, подматрица, полученная вычеркиванием \(i\)-й строки и \(i\)-го столбца, – это матрица ограничения нашей квадратичной формы на координатное подпространство \(\left\langle \overrightarrow {e}_1, \ldots , \widehat{\overrightarrow {e}_i}, \ldots , \overrightarrow {e}_n\right\rangle\) (без \(i\)-го базисного вектора). Ограничение положительно определенной формы положительно определено, а определитель матрицы положительно определенной формы положителен (например, по критерию Сильвестра или потому, что в каноническом базисе он равен \(1\), а знак определителя – инвариант). Итого \(\operatorname {det}\left(B'\right) = \operatorname {det}\left(B\right) + t M_{i,i} > \operatorname {det}\left(B\right)\).