Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
Введение
Пусть имеется множество \(A\). Любое отображение вида \(A \times A \mapsto A\) называется (бинарной) операцией на множестве \(A\). Важно, чтобы область значений операции не выходила за \(A\), т.е. выполнялась замкнутость относительно операции. Например, обычная операция вычитания на натуральных числах \(\mathbb {N}\) не замкнута: например, \(6 - 9 = -3 \not\in \mathbb {N}\). На целых же числах вычитание, очевидно, замкнуто.
Обозначим для простоты операцию точкой \(\bullet\). Множество с бинарной операцией (замкнутое относит. операции) \((A, \bullet )\) называется магмой или группоидом.
Магма \((A, \bullet )\) называется полугруппой, если
- \((a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c), \; \forall a,b,c \in A\), т.е. не имеет значения, в каком порядке выполнять операцию. Это свойство называется ассоциативностью операции.
Полугруппа \((A, \bullet )\) называется моноидом, если
- существует особый элемент \(e \in A\), такой что \(a \bullet e = e \bullet a = a \; \forall a \in A\). Этот элемент называют нейтральным элементом относительно операции \(\bullet\). В случае, когда \(\bullet\) – это сложение, \(e\) обозначают как \(0\). В случае, когда \(\bullet\) – это умножение, \(e\) обозначают как \(1\).
Моноид \((A, \bullet )\) называется группой, если
- любой элемент обратим, т.е. \(\forall a \in A \; \exists b \in A: \; a \bullet b= b \bullet a = e\). В случае, когда \(\bullet\) – это сложение, \(b\) обозначают как \((-a)\). В случае, когда \(\bullet\) – это умножение, \(b\) обозначают как \(a^{-1}\).
Группа \((A, \bullet )\) называется абелевой группой, если
- операция \(\bullet\) на \(A\) коммутативна: \(a \bullet b = b \bullet a , \; \forall a,b \in A\).
Множество \(\mathbb {F}\) с двумя операциями, обычно обозначаемыми \(+, \cdot\) и называемыми сложением и умножением, называется кольцом, если
\((\mathbb {F}, +)\) – абелева группа по сложению;
сложение и умножение согласованы, а именно согласовано раскрытие скобок:
\[
\begin{align} \alpha \cdot (\beta + \gamma ) & = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma \\ (\beta + \gamma ) \cdot \alpha & = \beta \cdot \alpha + \gamma \cdot \alpha \end{align}
\]
\(\forall \alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {F}\). Это свойство еще называют дистрибутивностью.
Кольцо называется коммутативным, если у него коммутирует умножение. То же самое с ассоциативным кольцом. Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей (нейтр. элементом по умножению) называется полем, если каждый его ненулевой элемент обратим (по умножению). Т.е. поле – это кольцо, которое почти является абелевой группой по умножению. Отличие в том, что в абелевой группе все элементы должны быть обратимы, а в поле обратимы только все ненулевые.
Иначе можно сказать, что поле – это множество со сложением и умножением, причем по сложению это абелева группа, по умножению это почти абелева группа (\(0\) не обратим, в остальном все свойства выполнены), и сложение и умножение согласованы через дистрибутивность.
Пусть дано поле \(\mathbb {F}\) (как правило, \(\mathbb {R}\) или \(\mathbb {C}\)). Нейтральные элементы этого поля по сложению и умножению будем обозначать \(0,1\). Элементы этого поля будем называть скалярами. Четверка \((V, \mathbb {F},+, \cdot )\), состоящая из множества \(V\), поля скаляров \(\mathbb {F}\), операции сложения \(+: V \times V \to V\) и операции умножения на скаляр \(\cdot \; : \; \mathbb {F} \times V \to V\), называется векторным пространством (или линейным пространством), если выполнены следующие условия:
Относительно сложения \((V, +)\) – это абелева группа;
Для операции умножения на скаляр выполнены следующие свойства:
\(\alpha \cdot (\beta \cdot \overrightarrow {x}) = (\alpha \cdot \beta ) \cdot \overrightarrow {x}, \quad \forall \alpha , \beta \in \mathbb {F}, \; \forall \overrightarrow {x} \in V\) (ассоциативность умножения на скаляр). Обратите внимание, что первое и второе умножения – это умножения скаляра на элемент из \(V\), но 3-е умножение – это умножение скаляра на скаляр. Это операции принципиально разной природы (\(\mathbb {F} \times V \mapsto V\) и \(\mathbb {F} \times \mathbb {F} \mapsto \mathbb {F}\)), хоть обычно это и не помечается в явном виде;
\(1 \cdot \overrightarrow {x} = \overrightarrow {x}, \; \forall \overrightarrow {x} \in V\) (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля \(\mathbb {F}\) сохраняет вектор);
\((\alpha + \beta ) \cdot \overrightarrow {x} = \alpha \cdot \overrightarrow {x} + \beta \cdot \overrightarrow {x}, \quad \forall \alpha , \beta \in \mathbb {F}, \; \forall \overrightarrow {x} \in V\) (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
\(\alpha \cdot (\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) = \alpha \cdot \overrightarrow {x} + \alpha \cdot \overrightarrow {y}, \quad \forall \alpha \in \mathbb {F}, \; \forall \overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in V\) (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).
Из указанных свойств легко вывести другие напрашивающиеся свойства.
Докажите, что для любого \(\overrightarrow {x} \in V\) выполнено \(0 \cdot \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\), где \(0 \in \mathbb {F}\) – нейтральный по сложению элемент в \(\mathbb {F}\), а \(\overrightarrow {0} \in V\) – нейтральный по сложению элемент в \(V\).
\(0 \cdot \overrightarrow {x} = (0 + 0) \cdot \overrightarrow {x} = 0 \cdot \overrightarrow {x} + 0 \cdot \overrightarrow {x}\), следовательно \[
\overrightarrow {0} = 0 \cdot \overrightarrow {x} + \left(-\left(0 \cdot \overrightarrow {x} \right)\right) = 0 \cdot \overrightarrow {x} + 0 \cdot \overrightarrow {x} + \left(-\left(0 \cdot \overrightarrow {x} \right)\right) = 0 \cdot \overrightarrow {x}
\]
Докажите, что для любого \(\overrightarrow {x} \in V\) выполнено \((-1) \cdot \overrightarrow {x} = -\overrightarrow {x}\), где \((-1) \in \mathbb {F}\) – это обратный по сложению элемент для нейтрального по умножению элемента \(1\) из поля \(\mathbb {F}\), а \(-\overrightarrow {x} \in V\) – это обратный по сложению элемент для \(\overrightarrow {x} \in V\).
Имеем \[
\overrightarrow {0} = \left(1 + (- 1)\right) \overrightarrow {x} = 1 \cdot \overrightarrow {x} + (-1)\cdot \overrightarrow {x} = \overrightarrow {x} + (-1)\cdot \overrightarrow {x}.
\]
Как правило, когда речь идет о каком-то векторном пространстве \((V, \mathbb {F},+, \cdot )\), то его обозначают просто \(V\), поскольку обычно из контекста понятно, над каким полем оно задано и как введены у него операции.
В данной главе, если не оговорено иного, используется поле действительных чисел.
Примеры пространств. Базис и размерность
Пусть \(\mathbb {R}^{n}\) – множество столбцов из \(n\) действительных чисел: \[
\mathbb {R}^{n} := \left\{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad : \quad x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \left\{ 1, \ldots , n\right\} \right\} .
\] Суммирование и умножение на скаляр из \(\mathbb {R}\) вводятся покомпонентно. Покажите, что \((\mathbb {R}^{n}, \mathbb {R}, + , \cdot )\) – линейное пространство.
Обе операции замкнуты: сумма двух столбцов из \(n\) действительных чисел и произведение столбца на действительное число – снова столбцы из \(n\) действительных чисел.
Все аксиомы проверяются покомпонентно и сводятся к соответствующим свойствам поля \(\mathbb {R}\). Например, коммутативность сложения: \(i\)-я компонента \(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}\) равна \(x_i + y_i = y_i + x_i\), т.е. \(i\)-й компоненте \(\overrightarrow {y} + \overrightarrow {x}\), и так для каждого \(i\). Аналогично проверяются ассоциативность сложения, обе дистрибутивности, ассоциативность умножения на скаляр и унитарность (\(1 \cdot \overrightarrow {x} = \overrightarrow {x}\), поскольку \(1 \cdot x_i = x_i\)).
Нейтральный элемент по сложению – нулевой столбец \(\overrightarrow {0} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & \cdots & 0 \end{smallmatrix}\right]^T\), обратный к \(\overrightarrow {x}\) – столбец \(-\overrightarrow {x}\) из чисел \(-x_i\). Итого \((\mathbb {R}^{n}, +)\) – абелева группа, и все свойства умножения на скаляр выполнены.
Пусть \(C[0,1]\) – множество непрерывных на \([0,1]\) действительнозначных функций. Суммирование и умножение на скаляр из \(\mathbb {R}\) вводятся очевидным образом. Покажите, что \((C[0,1], \mathbb {R}, + , \cdot )\) – линейное пространство.
Операции вводятся поточечно: \((f + g)(t) := f(t) + g(t)\), \((\alpha f)(t) := \alpha f(t)\). Главное – замкнутость: из математического анализа известно, что сумма двух непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число непрерывны, т.е. операции не выводят за пределы \(C[0,1]\).
Все аксиомы проверяются поточечно и сводятся к свойствам \(\mathbb {R}\) – в каждой точке \(t \in [0,1]\) рассуждение то же, что и для компонент в примере с \(\mathbb {R}^{n}\). Нейтральный элемент – тождественно нулевая функция (она непрерывна), обратный к \(f\) – функция \(-f\) (тоже непрерывна).
Покажите, что если в предыдущих примерах \(\mathbb {R}\) заменить на \(\mathbb {C}\), то тоже получатся линейные пространства.
В проверках выше мы нигде не пользовались специфическими свойствами действительных чисел – только тем, что \(\mathbb {R}\) является полем: ассоциативность и коммутативность сложения и умножения, дистрибутивность, наличие \(0\), \(1\) и обратных элементов. \(\mathbb {C}\) – тоже поле, поэтому все рассуждения переносятся дословно: \(\mathbb {C}^{n}\) (столбцы из \(n\) комплексных чисел) и пространство непрерывных комплекснозначных функций на \([0,1]\) – линейные пространства над \(\mathbb {C}\).
В данном примере мы будем рассматривать различные множества последовательностей действительных чисел. Требуется для каждого из них проверить, является ли оно линейным пространством. Сложение и умножение на скаляр определяются в каждом примере покомпонентно.
\(\mathbb {R}^{\infty }:= \left\{ (x_1, x_2, \ldots ) \; : \; x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \mathbb {N}\right\}\) – пространство всевозможных последовательностей действительных чисел;
\(\left\{ (x_1, x_2, \ldots ) \; : \; x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \mathbb {N}; \quad \sup_{n}x_n < \infty \right\}\) – пространство ограниченных сверху последовательностей действительных чисел;
\(l^{\infty }:= \left\{ (x_1, x_2, \ldots ) \; : \; x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \mathbb {N}; \quad \sup_{n}\left|x_n\right| < \infty \right\}\) – пространство ограниченных последовательностей действительных чисел;
\(c:= \left\{ (x_1, x_2, \ldots ) \; : \; x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \mathbb {N}; \quad \exists \lim_{n \to \infty }x_n\right\}\) – пространство сходящихся последовательностей действительных чисел;
\(\left\{ (x_1, x_2, \ldots ) \; : \; x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \mathbb {N}; \quad \lim_{n \to \infty }x_n = 1\right\}\) – пространство сходящихся к единице последовательностей действительных чисел;
\(c_0:= \left\{ (x_1, x_2, \ldots ) \; : \; x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \mathbb {N}; \quad \lim_{n \to \infty }x_n = 0\right\}\) – пространство сходящихся к нулю последовательностей действительных чисел;
\(c_{00}:= \left\{ (x_1, x_2, \ldots ) \; : \; x_i \in \mathbb {R}, \; \forall i \in \mathbb {N}; \quad \exists N \in \mathbb {N}: \forall n > N \; x_n = 0 \right\}\) – пространство последовательностей действительных чисел, которые с определенного номера равны нулю.
(Пространства последовательностей)
Во всех пунктах аксиомы линейного пространства (ассоциативность, дистрибутивность и т.д.) выполняются автоматически, поскольку операции покомпонентные – вопрос только в замкнутости относительно сложения и умножения на скаляр (и в наличии нулевого элемента, которое из замкнутости относительно умножения на \(0\) следует).
Да: сумма любых двух последовательностей и произведение последовательности на число – снова последовательности, никаких дополнительных условий нет.
Нет: нет замкнутости относительно умножения на отрицательный скаляр. Например, \(\overrightarrow {x} = (-1, -2, -3, \ldots )\) ограничена сверху, но \((-1) \cdot \overrightarrow {x} = (1, 2, 3, \ldots )\) – нет.
Да: если \(\sup_n \left|x_n\right| = M_x < \infty\) и \(\sup_n \left|y_n\right| = M_y < \infty\), то \(\left|x_n + y_n\right| \leq M_x + M_y\) и \(\left|\alpha x_n\right| \leq \left|\alpha \right| M_x\) для всех \(n\).
Да: по арифметике пределов, если \(x_n \to a\) и \(y_n \to b\), то \(x_n + y_n \to a + b\) и \(\alpha x_n \to \alpha a\), т.е. суммы и кратные сходящихся последовательностей сходятся.
Нет: если \(x_n \to 1\) и \(y_n \to 1\), то \(x_n + y_n \to 2 \neq 1\). (Также в этом множестве нет нулевого элемента: нулевая последовательность сходится к \(0\), а не к \(1\).)
Да: то же рассуждение, что и в пункте 4, с \(a = b = 0\): \(x_n + y_n \to 0\), \(\alpha x_n \to 0\).
Да: если \(x_n = 0\) при \(n > N_x\) и \(y_n = 0\) при \(n > N_y\), то \(x_n + y_n = 0\) при \(n > \max \left\{ N_x, N_y\right\}\), а \(\alpha x_n = 0\) при \(n > N_x\).
Непустое подмножество \(U \subseteq V\) векторного пространства \(V\) называется подпространством, если имеется замкнутость относительно операций:
\(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y} \in U, \; \forall \overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in U\);
\(\alpha \cdot \overrightarrow {x} \in U, \; \forall \alpha \in \mathbb {F}, \forall \overrightarrow {x} \in U\).
Докажите, что подпространство замкнуто относительно взятия обратного элемента, т.е. для любого \(\overrightarrow {x}\in U\) выполнено \((-\overrightarrow {x}) \in U\).
Имеем \(-\overrightarrow {x} = (-1) \cdot \overrightarrow {x}\).
Рассмотрим пространства \(\mathbb {R}^{\infty }, c, c_0, c_{00}, l^{\infty }\). Кто для кого будет подпространством?
Имеем \(c_{00} \subset c_{0} \subset c \subset l^{\infty } \subset \mathbb {R}^{\infty }\).
Определение 1 Пусть \(V\) – некоторое пространство над полем \(\mathbb {F}\). Набор векторов \(B \subset V\) (конечный или бесконечный) называется линейно независимым, если любая (конечная) линейная комбинация из его элементов, равная нуль-вектору, тривиальна. Т.е. \(\forall n \in \mathbb {N}, \; \forall \left\{ \overrightarrow {v}_i\right\}_{i=1}^n \subset B\) и для любого набора скаляров \(\left\{ \alpha_i\right\}_{i=1}^n\), такого что \(\alpha_1\overrightarrow {v}_1 + \ldots + \alpha_n \overrightarrow {v}_n = \overrightarrow {0}\), будем иметь \(\alpha_1 = \cdots = \alpha_n = 0\).
Найдите в \(\mathbb {R}^{n}\) какие-нибудь линейно независимые наборы векторов.
Например, \(\left\{ \overrightarrow {e}_i\right\}_{i=1}^n\), где \(\overrightarrow {e}_i\) – это столбец, у которого на \(i\)-м месте стоит \(1\), а на остальных нули.
Также подходят любые подмножества \(\left\{ \overrightarrow {e}_i\right\}_{i = 1}^n\).
Рассмотрим пространства \(\mathbb {R}^{\infty }, c, c_0, c_{00}, l^{\infty }\). Найдите там линейно независимые наборы.
Например, \(\left\{ \overrightarrow {e}_i\right\}_{i \in \mathbb {N}}\), где \(\overrightarrow {e}_i\) – это последовательность, у которой на \(i\)-м месте стоит \(1\), а на остальных нули.
Также подходят любые подмножества \(\left\{ \overrightarrow {e}_i\right\}_{i \in \mathbb {N}}\).
Определение 2 Напомним, что для набора \(B\) векторов линейной оболочкой называется множество всевозможных конечных линейных комбинаций из них. Обозн.: \(\left\langle B\right\rangle\) или \(\operatorname {span}(B)\). Говорят еще, что \(B\) порождает \(\left\langle B\right\rangle\).
Несложно показать, что линейная оболочка векторов – это минимальное по включению линейное пространство, содержащее вектора.
Для векторного пространства базисом называется любая линейно независимая система векторов, порождающая пространство.
Если у пространства \(V\) существует конечный базис, то пространство называют конечномерным. Если в этом базисе \(n\) векторов, то говорят, что размерность \(V\) равна \(n\) и пишут \(\operatorname {dim}(V) = n\).
Несложно доказать, что если у пространства есть хотя бы один конечный базис, то все прочие базисы будут тоже конечными, и количество векторов во всех них будет одинаковым. Таким образом, размерность конечномерного пространства определена однозначно.
Пусть \(\mathbb {R}^{m \times n}\) – пространство матриц размерности \(m \times n\). Найдите для данного пространства конечный базис. Какая размерность у этого пространства? Чему будут равны коэффициенты разложения произвольной матрицы \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\) в найденном базисе?
Рассмотрим матричные единицы \(E^{(i,j)} \in \mathbb {R}^{m \times n}\), \(i \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}\), \(j \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}\): у матрицы \(E^{(i,j)}\) на позиции \((i,j)\) стоит \(1\), а на всех остальных – нули. Любая матрица однозначно раскладывается по ним: \[
A = \sum _{i=1}^{m} \sum _{j=1}^{n} a_{i,j} \cdot E^{(i,j)},
\] т.е. набор \(\left\{ E^{(i,j)}\right\}\) порождает \(\mathbb {R}^{m \times n}\), а коэффициенты разложения – это в точности элементы матрицы \(a_{i,j}\). Линейная независимость: если \(\sum_{i,j} \alpha_{i,j} E^{(i,j)} = O\), то, посмотрев на позицию \((i,j)\) левой части, получаем \(\alpha_{i,j} = 0\) для всех \(i, j\). Итого это базис, и \[
\dim \mathbb {R}^{m \times n} = mn
\]
Размерность равна \(mn\); базис – матричные единицы \(E^{(i,j)}\), коэффициенты разложения – элементы матрицы \(a_{i,j}\).
Рассмотрим пространства \(\mathbb {R}^{\infty }, c, c_0, c_{00}, l^{\infty }\). Для кого из них набор \(\left\{ \overrightarrow {e}_i\right\}_{i=1}^{\infty }\) будет базисом?
Как правило, вектора в базисе упорядочены. Т.е. говорят про базис как про упорядоченный набор.
Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка \(n\) линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка \(n\), и если является, то найти его размерность:
множество матриц с нулевой первой строкой
множество диагональных матриц
множество верхних треугольных матриц
множество кососимметрических матриц
множество невырожденных матриц
Да; размерность равна \(n(n - 1)\)
Да; размерность равна \(n\)
Да; размерность равна \(n(n+1) / 2\)
Да; размерность равна \(n(n - 1) / 2\)
Нет, поскольку
\[
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
Доказать, что при любом натуральном \(n\) данное множество функций образует конечномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства:
множество многочленов степени не выше \(n\) (обозначается \(\left. \mathcal{P}^{(n)}\right)\)
множество четных многочленов степени не выше \(n\)
множество нечетных многочленов степени не выше \(n\)
Во всех трех случаях замкнутость очевидна: сумма многочленов степени не выше \(n\) и кратное такого многочлена – снова многочлен степени не выше \(n\), причем четность/нечетность (т.е. наличие только четных/только нечетных степеней \(t\)) при этих операциях сохраняется.
Мономы \(1, t, \ldots , t^n\) порождают \(\mathcal{P}^{(n)}\) по определению многочлена. Линейная независимость: если многочлен \(\alpha_0 + \alpha_1 t + \ldots + \alpha_n t^n\) равен нулю тождественно (как функция), то все его коэффициенты нулевые (у ненулевого многочлена степени \(\leq n\) не более \(n\) корней). Итого это базис, размерность \(n + 1\).
Многочлен является четной функцией тогда и только тогда, когда все его ненулевые коэффициенты стоят при четных степенях (сравните коэффициенты \(f(t)\) и \(f(-t)\)). Поэтому четные многочлены степени не выше \(n\) – это в точности линейные комбинации мономов \(1, t^2, \ldots , t^{2k}\), \(k = [n/2]\), а они линейно независимы как подмножество базиса из пункта 1. Размерность \(k + 1 = [n/2] + 1\).
Аналогично: нечетность равносильна тому, что ненулевые коэффициенты стоят только при нечетных степенях. Базис \(t, t^3, \ldots , t^{2k-1}\), \(k = [(n+1)/2]\); размерность \([(n+1)/2]\).
Размерность равна \(n + 1\); базис: \(1, t, t^{2}, \ldots , t^{n}\)
Размерность равна \([n / 2]+1\); базис: \(1, t^{2}, \ldots , t^{2 k}(k = [n / 2])\)
Размерность равна \([(n+1) / 2]\); базис: \(t\), \(t^{3}, \ldots , t^{2 k - 1}(k = [(n+1) / 2])\)
Пусть \(x_0 \in \mathbb {R}\) – произвольное фиксированное число. Докажите, что многочлены вида \[
1, x - x_0, (x-x_0)^2, (x-x_0)^3, \ldots , (x-x_0)^n
\] образуют базис в пространстве многочленов степени не выше \(n\) и найдите координатный столбец многочлена \[
f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n
\] в этом базисе.
Если \[
f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n = b_0 + b_1(x-x_0) + b_2(x-x_0)^2 + \ldots + b_n(x-x_0)^n,
\] то \(b_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}, \; k \in \left\{ 0, \ldots , n\right\}\).
Пусть \(V, V'\) – два линейных пространства над одним полем \(\mathbb {F}\). Отображение \(f: V \to V'\) называется изоморфизмом, если оно биективно и сохраняет операции:
\(f\) – взаимно-однозначно;
\(f(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) = f(\overrightarrow {x}) + f(\overrightarrow {y}), \; \forall \overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in V\);
\(f(\lambda \overrightarrow {x}) = \lambda f(\overrightarrow {x}), \; \forall \lambda \in \mathbb {F}, \; \forall \overrightarrow {x} \in V\).
Любое конечномерное пространство \(V\) над \(\mathbb {F}\) размерности \(n\) изоморфно \(\mathbb {F}^n\). Действительно, выберем в \(V\) базис \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e_n}\). Пусть \(\overrightarrow {x}\) – произвольный вектор из \(V\). Получается, что \(\overrightarrow {x}\) однозначно представляется в виде
\[
\overrightarrow {x} = \alpha _1\overrightarrow {e}_1 + \ldots + \alpha _n \overrightarrow {e}_n, \quad \alpha _1, \ldots , \alpha _n \in \mathbb {F}
\]
Тогда определим отображение \(f\) следующим способом: сопоставим \(\overrightarrow {x}\) столбец его координат в базисе \(\left\{ \overrightarrow {e}_i\right\}\):
\[
f(\overrightarrow {x}) := \left[\begin{smallmatrix} \alpha _1 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{smallmatrix}\right]
\]
Несложно проверить, что \(f\) действительно будет изоморфизмом из \(V\) в \(\mathbb {F}^n\). Такой изоморфизм для конечномерного пространства называют каноническим.
Заметим, что изоморфизм выше зависит от выбранного в \(V\) базиса. Например, рассмотрим пример с полиномами. Там, помимо очевидного базиса \(1, x, \ldots , x^n\), рассматривается другой базис. Понятно, что для какого-то фиксированного полинома \(P_k\) степени \(k \leq n\) координаты в одном и в другом базисе будут различаться.
Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов: \(\overrightarrow {c}_{166}, \overrightarrow {c}_{198}, \overrightarrow {c}_{199}, \overrightarrow {c}_{201}\). Матрицы и векторы: \(\overrightarrow {c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 7 \\ 5 \\ - 2 \end{smallmatrix}\right]\).
Напомним, что линейная оболочка столбцов не меняется, если производить элементарные преобразования со столбцами. Имеем
\[
\begin{aligned} \begin{bmatrix} \overrightarrow {c}_{166} & \overrightarrow {c}_{198} & \overrightarrow {c}_{199} & \overrightarrow {c}_{201} \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -5 & -7 \\ 1 & 1 & 7 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & -2 \end{bmatrix} \\ & \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -8 & -8 \\ 1 & 0 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & -1 & -3 \end{bmatrix} \\ & \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & -8 & 0 \\ 1 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & -3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 2 \end{bmatrix} \\ & \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}
\]
Привели матрицу к ступенчатому виду по столбцам. Ранг матрицы равен \(3\), и это и есть размерность пространства. За базис могут быть взяты ненулевые столбцы из ступенчатого вида, поскольку их как раз \(3\) и они линейно независимы.
Размерность равна \(3\); базис: \[
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ -8 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.
\]
Составить систему уравнений, определяющую линейную оболочку данной системы столбцов: \(\overrightarrow {c}_{166}, \overrightarrow {c}_{198}, \overrightarrow {c}_{199}, \overrightarrow {c}_{201}\). Матрицы и векторы: \(\overrightarrow {c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 7 \\ 5 \\ - 2 \end{smallmatrix}\right]\).
Линейная оболочка всегда явл. линейным пространством, т.е. там есть нулевой вектор \(\overrightarrow {0}\). Значит \(\overrightarrow {0}\) – одно из решений искомой системы, а значит система должна быть однородной: \(A \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\). Требуется найти матрицу \(A\).
Проверим ранг данной системы. Запишем столбцы по строкам и приведем матрицу к ступенчатому виду.
\[
\begin{bmatrix} \overrightarrow {c}^T_{166} \\ \overrightarrow {c}^T_{198} \\ \overrightarrow {c}^T_{199} \\ \overrightarrow {c}^T_{201} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 3 & -5 & 7 & 2 \\ 1 & -7 & 5 & -2 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \cdots \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
Размерность линейной оболочки равна 3, базисом могут выступить следующие векторы:
\[
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ -8 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.
\]
Подробнее см. разобранную задачу 20.14(5).
Итак, для искомой системы у нас есть фундаментальная матрица:
\[
\Phi = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}
\]
Нужно получить матрицу коэффициентов \(A\).
Напомним, что если \(\Phi\) – фундаментальная матрица СЛОУ \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\), то система \(\Phi^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\) задает линейную оболочку строк \(A\). Т.е. фундаментальная матрица для системы \(\Phi^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\), если ее транспонировать, – это один из возможных вариантов матрицы \(A\). В нашем случае имеем
\[
\Phi ^T \overrightarrow {y} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
Приведем \(\Phi^T\) к упрощенному виду:
\[
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3/8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
Фундаментальная матрица для системы \(\Phi^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\):
\[
\begin{bmatrix} -3/2 \\ 1/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} =: A^T
\]
Искомая система (один из возможных вариантов):
\[
0 = \overrightarrow {0} = A \overrightarrow {x} = -\frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2 + x_3 \iff 0 = 3x_1 -x_2 - 2x_3
\]
\(3 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} = 0\).
Сумма и пересечение подпространств
Пусть \(U,W\) – 2 линейных подпространства одного объемлющего пространства \(V\): \(U,W \subset V\).
Докажите, что пересечение \(U \cap W\) любых двух подпространств само будет являться подпространством;
Докажите, что объединение \(U \cup W\) подпространств является подпространством в \(V\) \(\iff\) \(U \subset W\) или \(W \subset U\).
Пересечение \(U \cap W\) состоит из векторов, принадлежащих обоим подпространствам. Проверим выполнение условий подпространства:
Если \(x, y \in U \cap W\), то \(x, y \in U\) и \(x, y \in W\). Так как \(U\) и \(W\) – подпространства, то \(x+y \in U\) и \(x+y \in W\), значит, \(x+y \in U \cap W\).
Если \(x \in U \cap W\) и \(\alpha \in \mathbb {R}\), то \(\alpha x \in U\) и \(\alpha x \in W\), значит, \(\alpha x \in U \cap W\).
Таким образом, \(U \cap W\) является подпространством.
Объединение \(U \cup W\) будет подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр. Если \(U \not\subset W\) и \(W \not\subset U\), то существуют \(u \in U \setminus W\) и \(w \in W \setminus U\). Тогда их сумма \(u + w\) не принадлежит ни \(U\), ни \(W\): если бы \(u+w \in U\), то \(w = (u+w) - u \in U\) (т.к. \(u \in U\)), что противоречит \(w \notin U\); аналогично \(u + w \notin W\). Значит, \(u+w \notin U \cup W\), что нарушает замкнутость. Следовательно, \(U \cup W\) является подпространством только в случае, когда одно из подпространств вложено в другое.
Сумма пространств \(U,W\) – это множество, состоящее из всевозможных сумм векторов из \(U\) и \(W\):
\[
U + W := \left\{ \overrightarrow {u} + \overrightarrow {w} \; : \; \overrightarrow {u} \in U, \; \overrightarrow {w} \in W \right\} \subset V
\]
Докажите, что сумма любых двух подпространств сама будет являться подпространством.
Заметим, что \[
U + W = \left\langle U \cup W\right\rangle
\] Действительно, \(U + W \subseteq \left\langle U \cup W\right\rangle\), поскольку \(\overrightarrow {u} + \overrightarrow {w}\) – это линейная комбинация векторов из \(U \cup W\). Обратно, любая конечная линейная комбинация векторов из \(U \cup W\) разбивается на два куска: комбинация векторов из \(U\) (она лежит в \(U\), т.к. \(U\) – подпространство) плюс комбинация векторов из \(W\) (лежит в \(W\)); итого это элемент \(U + W\). А линейная оболочка любого множества – подпространство.
Формула Грассмана: в конечномерном \(V\) будем иметь \(\dim (U + W) = \dim (U) + \dim (W) - \dim (U \cap W)\).
Докажите формулу Грассмана.
Рассмотрим базисы подпространств \(U\) и \(W\):
Пусть \(\{ \overrightarrow {u}_1, \dots , \overrightarrow {u}_k\}\) — базис \(U\).
Пусть \(\{ \overrightarrow {w}_1, \dots , \overrightarrow {w}_m\}\) — базис \(W\).
Обозначим \(U \cap W = S\) и выберем его базис \(\{ s_1, \dots , s_r\}\). Дополним базис \(S\) до базиса \(U\) векторами \(\overrightarrow {u}_{r+1}, \dots , \overrightarrow {u}_k\) и до базиса \(W\) векторами \(\overrightarrow {w}_{r+1}, \dots , \overrightarrow {w}_m\).
Утверждается, что множество векторов \(\{ s_1, \dots , s_r, \overrightarrow {u}_{r+1}, \dots , \overrightarrow {u}_k, \overrightarrow {w}_{r+1}, \dots , \overrightarrow {w}_m\}\) – базис \(U + W\). То, что оно порождает \(U + W\), очевидно: любой вектор суммы есть (вектор из \(U\)) + (вектор из \(W\)), а каждое слагаемое раскладывается по своей части набора. Проверим линейную независимость. Пусть
\[
\sum _{i=1}^{r} \gamma _i s_i + \sum _{i=r+1}^{k} \lambda _i \overrightarrow {u}_i + \sum _{i=r+1}^{m} \mu _i \overrightarrow {w}_i = \overrightarrow {0}
\]
Обозначим \(\overrightarrow {v} := \sum_{i=r+1}^{m} \mu_i \overrightarrow {w}_i\). С одной стороны, \(\overrightarrow {v} \in W\). С другой стороны, из равенства выше \(\overrightarrow {v} = -\sum \gamma_i s_i - \sum \lambda_i \overrightarrow {u}_i \in U\). Значит, \(\overrightarrow {v} \in U \cap W = S\), т.е. \(\overrightarrow {v}\) раскладывается по базису \(s_1, \ldots , s_r\). Но тогда, приравняв два разложения \(\overrightarrow {v}\) по линейно независимой системе \(\{ s_i\} \cup \{ \overrightarrow {w}_i\}\) (это базис \(W\)), получаем \(\mu_{r+1} = \ldots = \mu_m = 0\). Остается \(\sum \gamma_i s_i + \sum \lambda_i \overrightarrow {u}_i = \overrightarrow {0}\), а это линейная комбинация векторов базиса \(U\) – все коэффициенты нулевые.
Следовательно,
\[
\dim (U + W) = r + (k - r) + (m - r) = k + m - r = \dim U + \dim W - \dim (U \cap W).
\]
Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств \(U\), \(W\) \(4\)-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов \(\overrightarrow {a}_{1}, \overrightarrow {a}_{2}\) и \(\overrightarrow {b}_{1}, \overrightarrow {b}_{2}\) соотв., где \[
\overrightarrow {a}_1 = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \overrightarrow {a}_2 = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \overrightarrow {b}_1 = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \overrightarrow {b}_2 = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]
\]
Пусть первое подпространство \(U\), второе – \(W\). Упростим условие. Заметим, что линейная оболочка строк не меняется при эл. преобразованиях со строками. Имеем
\[
\begin{align} \begin{bmatrix} \overrightarrow {a}_1^T \\ \overrightarrow {a}_2^T \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \overrightarrow {b}_1^T \\ \overrightarrow {b}_2^T \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align}
\]
Пусть
\[
\overrightarrow {a}'_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow {a}'_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow {b}'_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1/2 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow {b}'_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
\]
Имеем \(U = \left\langle \overrightarrow {a}'_1, \overrightarrow {a}'_2\right\rangle , \; W = \left\langle \overrightarrow {b}'_1, \overrightarrow {b}'_2\right\rangle\).
Найдем размерность и базис суммы. Сумма натянута на объединение порождающих систем: \(U + W = \left\langle \overrightarrow {a}'_1, \overrightarrow {a}'_2, \overrightarrow {b}'_1, \overrightarrow {b}'_2\right\rangle\). Запишем векторы по строкам и приведем матрицу к ступенчатому виду:
\[
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
(вычли из 3-й строки 1-ю; прибавили к 3-й строке 2-ю с коэфф. \(1/2\) и переставили строки.) Итого \(\dim (U + W) = 3\), и в качестве базиса суммы можно взять ненулевые строки ступенчатого вида (транспонированные):
\[
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
Найдем размерность и базис пересечения. Пусть \(\overrightarrow {x} \in U \cap W\) – произвольный вектор из пересечения. Тогда для некоторых скаляров \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\) будем иметь
\[
\overrightarrow {x} = \alpha _1\overrightarrow {a}'_1 + \alpha _2\overrightarrow {a}'_2 = \beta _1\overrightarrow {b}'_1 + \beta _2\overrightarrow {b}'_2 \quad \iff \quad \begin{bmatrix} \alpha _1 \\ 0 \\ \alpha _2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta _1 \\ \beta _2 \\ -\frac{1}{2}\beta _1 + \beta _2 \\ \beta _2 \end{bmatrix}
\]
Из 2-й (или 4-й) координаты \(\beta_2 = 0\); тогда из 1-й координаты \(\beta_1 = \alpha_1\), а из 3-й \(\alpha_2 = -\frac{1}{2}\alpha_1\). Итого
\[
\overrightarrow {x} = \alpha _1 \overrightarrow {a}'_1 - \frac{\alpha _1}{2} \overrightarrow {a}'_2 = \frac{\alpha _1}{2} \cdot \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \alpha _1 \in \mathbb {R} \text{ -- произв.}
\]
Таким образом, \(U \cap W = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle\) – одномерное подпространство (это в точности \(\left\langle \overrightarrow {b}'_1\right\rangle\): вектор \(\overrightarrow {b}'_1 = \overrightarrow {a}'_1 - \frac{1}{2}\overrightarrow {a}'_2\) лежит в \(U\)).
Проверим себя формулой Грассмана: \(\dim (U + W) = \dim U + \dim W - \dim (U \cap W) = 2 + 2 - 1 = 3\). Сходится.
\(\dim (U + W) = 3\) с базисом \(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]\); \(\; U \cap W = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle\) размерности \(1\).
Сумма \(U + W\) подпространств \(U,W \subset V\) называется прямой, если \(\forall \overrightarrow {x} \in U + W\) его представление \(\overrightarrow {u} + \overrightarrow {w}\) в виде суммы \(\overrightarrow {u} \in U\), \(\overrightarrow {w} \in W\) единственно. Обозначение: \(U \oplus W\).
Сумма \(U + W\) прямая \(\iff\) \(U \cap W = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\).
(\(\Rightarrow\)) Пусть сумма прямая, и пусть \(\overrightarrow {x} \in U \cap W\). Тогда у вектора \(\overrightarrow {x} \in U + W\) есть два представления:
\[
\overrightarrow {x} = \underbrace{\overrightarrow {x}}_{\in U} + \underbrace{\overrightarrow {0}}_{\in W} = \underbrace{\overrightarrow {0}}_{\in U} + \underbrace{\overrightarrow {x}}_{\in W}
\]
По единственности представления \(\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\). Т.е. \(U \cap W = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\).
(\(\Leftarrow\)) Пусть \(U \cap W = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\), и пусть у некоторого \(\overrightarrow {x}\) два представления: \(\overrightarrow {x} = \overrightarrow {u}_1 + \overrightarrow {w}_1 = \overrightarrow {u}_2 + \overrightarrow {w}_2\), где \(\overrightarrow {u}_i \in U, \overrightarrow {w}_i \in W\). Тогда
\[
\underbrace{\overrightarrow {u}_1 - \overrightarrow {u}_2}_{\in U} = \underbrace{\overrightarrow {w}_2 - \overrightarrow {w}_1}_{\in W} \in U \cap W = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}
\]
Т.е. \(\overrightarrow {u}_1 = \overrightarrow {u}_2\) и \(\overrightarrow {w}_1 = \overrightarrow {w}_2\) – представление единственно, сумма прямая.
Доказать, что пространство \(V\) всех действительнозначных функций, определенных на всем \(\mathbb {R}\), является прямой суммой подпространств четных функций \(U\) и нечетных функций \(W\). Найдите проекцию на указанные подпространства функции \(e^x\).
Пусть \(f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) – произвольная функция, и пусть \(f(x) = g(x) + h(x)\), где \(g\) – четная, \(h\) – нечетная. Тогда
\[
f(-x) = g(-x) + h(-x) = g(x) - h(x)
\]
Следовательно, \(g(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(-x))\), \(h(x) = \frac{1}{2}(f(x) - f(-x))\). Т.е. любую функцию \(\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}\) действительно можно разложить в сумму из четной и нечетной функции.
При этом очевидно, что пересечение множества четных и множества нечетных функций – это множество, состоящее только из функции, тождественно равной нулю. Значит сумма прямая.
Для экспоненты имеем
\[
\operatorname {Pr}_{U}^{\parallel W}(e^x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \operatorname {ch}(x), \qquad \operatorname {Pr}_{W}^{\parallel U}(e^x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \operatorname {sh}(x).
\]
Пусть \(U \subset V\) – подпространство. Подпространство \(W \subset V\) называется прямым дополнением к \(U\) в \(V\), если \(V = U \oplus W\). При этом получается, что каждый элемент \(\overrightarrow {x} \in V\) можно представить единственным образом как сумму элементов из \(U\) и из \(W\). Первое слагаемое этой суммы называется проекцией вектора \(\overrightarrow {x}\) на подпространство \(U\) вдоль подпространства \(W\) и обозначается \(\operatorname {Pr}_U^{\parallel W}(\overrightarrow {x})\). Второе слагаемое – это проекция на \(W\) вдоль \(U\) соотв. Таким образом, имеем
\[
\overrightarrow {x} = \operatorname {Pr}_U^{\parallel W}\hspace{-0.5em}(\overrightarrow {x}) + \operatorname {Pr}_W^{\parallel U}(\overrightarrow {x})
\]
У любого подпространства конечномерного пространства есть прямое дополнение.
Пусть \((\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_m)\) – базис \(U\). Известно, что его можно дополнить до базиса \((\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_m, \overrightarrow {e}_{m+1}, \ldots , \overrightarrow {e}_n)\) всего пространства \(V\). Положим \[
W := \left\langle \overrightarrow {e}_{m+1}, \ldots , \overrightarrow {e}_n\right\rangle
\] Тогда \(V = U + W\): любой вектор раскладывается по базису \(V\), и достаточно сгруппировать первые \(m\) слагаемых (получится вектор из \(U\)) и последние \(n - m\) (вектор из \(W\)). При этом \(U \cap W = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\): если \(\overrightarrow {x}\) лежит в пересечении, то он раскладывается и по \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_m\), и по \(\overrightarrow {e}_{m+1}, \ldots , \overrightarrow {e}_n\); вычитая одно разложение из другого, получаем нетривиальную (если \(\overrightarrow {x} \neq \overrightarrow {0}\)) нулевую комбинацию векторов базиса \(V\) – противоречие. По критерию из примера выше сумма прямая: \(V = U \oplus W\).
Приведите пример, показывающий, что проекция на подпространство зависит не только от самого подпространства, но и от выбранного дополнения.
Пусть \(V = \mathbb {R}^{2}\), \(U = \left\langle \overrightarrow {e}_1\right\rangle\) – ось абсцисс. Рассмотрим два разных прямых дополнения:
\[
W_1 = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle , \qquad W_2 = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle
\]
(в обоих случаях \(U \cap W_i = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\) и \(U + W_i = \mathbb {R}^{2}\)). Спроецируем на \(U\) вектор \(\overrightarrow {x} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\):
\[
\overrightarrow {x} = \underbrace{\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}_{\in U} + \underbrace{\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]}_{\in W_1} \; \Rightarrow \; \operatorname {Pr}_U^{\parallel W_1}(\overrightarrow {x}) = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \qquad \overrightarrow {x} = \underbrace{\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}_{\in U} + \underbrace{\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]}_{\in W_2} \; \Rightarrow \; \operatorname {Pr}_U^{\parallel W_2}(\overrightarrow {x}) = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]
\]
Подпространство \(U\) одно и то же, а проекции разные.