Линейные отображения

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Основные свойства линейных отображений и преобразований

Пусть \(V,U\) – линейные пространства над полем \(\mathbb {F}\). Отображение \(T: V \to U\) называется линейным, если

• \(T(\overrightarrow {x}_1 + \overrightarrow {x}_2) = T\overrightarrow {x}_1 + T\overrightarrow {x}_2\), \(\forall \overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2 \in V\);

• \(T(\lambda \overrightarrow {x}) = \lambda T\overrightarrow {x}\), \(\forall \lambda \in \mathbb {F}, \; \forall \overrightarrow {x}\in V\).

Линейное отображение называется линейным преобразованием (или линейным оператором), если область определения и область значений совпадают: \(V = U\).

Если \(T: V \to U\) – линейное отображение, то его ядром называется множество прообразов нуль-вектора из \(U\):

\[ \operatorname {Ker}(T) := T^{-1}(\overrightarrow {0}_U) = \left\{ \overrightarrow {v} \in V \; : \; T(v) = \overrightarrow {0}_U \in U\right\} \subset V. \]

Образ отображения \(T\) – это множество

\[ \operatorname {Im}(T) := T{V} = \left\{ T(\overrightarrow {v}) \; : \; \overrightarrow {v} \in V \right\} \subset U. \]

ExampleПример 1

Докажите, что \(\operatorname {Ker}(T)\), \(\operatorname {Im}(T)\) – векторные подпространства в \(V\) и в \(U\) соотв.

Докажите, что \(\dim (\operatorname {Ker}(T)) + \dim (\operatorname {Im}(T)) = \dim (V)\), если \(V\) – конечномерное пространство.

SolutionРешение

Первое очевидно: если \(T\overrightarrow {x} = T\overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\), то \(T(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) = \overrightarrow {0}\) и \(T(\lambda \overrightarrow {x}) = \lambda T \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\) – ядро замкнуто относительно операций. Аналогично для образа: \(T\overrightarrow {x} + T\overrightarrow {y} = T(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) \in \operatorname {Im}(T)\) и \(\lambda T\overrightarrow {x} = T(\lambda \overrightarrow {x}) \in \operatorname {Im}(T)\).

Второе: пусть \(\overrightarrow {v}_1, \ldots , \overrightarrow {v}_k\) – базис в \(\operatorname {Ker}(T)\). Дополним его векторами \(\overrightarrow {v}_{k+1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{n}\) до базиса всего \(V\). Утверждается, что векторы \(T\overrightarrow {v}_{k+1}, \ldots , T\overrightarrow {v}_n\) образуют базис \(\operatorname {Im}(T)\) – тогда \(\dim \operatorname {Im}(T) = n - k\) и требуемое равенство доказано.

Действительно, для произвольного \(\overrightarrow {x} = \alpha_1 \overrightarrow {v}_1 + \ldots + \alpha_n \overrightarrow {v}_n\) имеем

\[ T\overrightarrow {x} = \alpha _1 \underbrace{T\overrightarrow {v}_1}_{= \overrightarrow {0}} + \ldots + \alpha _k \underbrace{T\overrightarrow {v}_k}_{= \overrightarrow {0}} + \alpha _{k+1} T\overrightarrow {v}_{k+1} + \ldots + \alpha _n T\overrightarrow {v}_n, \]

т.е. векторы \(T\overrightarrow {v}_{k+1}, \ldots , T\overrightarrow {v}_n\) порождают \(\operatorname {Im}(T)\). Проверим их линейную независимость: пусть \(\beta_{k+1} T\overrightarrow {v}_{k+1} + \ldots + \beta_n T\overrightarrow {v}_n = \overrightarrow {0}\). По линейности \(T\left(\beta_{k+1} \overrightarrow {v}_{k+1} + \ldots + \beta_n \overrightarrow {v}_n\right) = \overrightarrow {0}\), т.е. вектор \(\overrightarrow {w} := \beta_{k+1} \overrightarrow {v}_{k+1} + \ldots + \beta_n \overrightarrow {v}_n\) лежит в ядре и раскладывается по \(\overrightarrow {v}_1, \ldots , \overrightarrow {v}_k\). Приравняв два разложения \(\overrightarrow {w}\) по базису \(V\), получаем, что все коэффициенты (в том числе все \(\beta_i\)) нулевые.

1.1 Примеры линейных отображений и преобразований. Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований

ExampleПример (Задача 23.6(4))

Пусть \(\overrightarrow {x}\) — произвольный вектор, \(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n}\) — фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного пространства (двумерного или трехмерного). Проверить линейность преобразования \(T\), заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если:

1. \(T\overrightarrow {x} = \overrightarrow {x} - \frac{(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})} \overrightarrow {a} \quad ((\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n}) \neq 0)\)

SolutionРешение

Проверим линейность:

\[ \begin{align} T(\overrightarrow {x}_1 + \overrightarrow {x}_2) & = \overrightarrow {x}_1 + \overrightarrow {x}_2 - \frac{(\overrightarrow {x}_1 + \overrightarrow {x}_2, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}\overrightarrow {a} = \overrightarrow {x}_1 - \frac{(\overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}\overrightarrow {a} + \overrightarrow {x}_2 - \frac{( \overrightarrow {x}_2, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}\overrightarrow {a} = T\overrightarrow {x}_1 + T\overrightarrow {x}_2 , \\ T(\lambda \overrightarrow {x}) & = \lambda \overrightarrow {x} - \frac{(\lambda \overrightarrow {x}, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}\overrightarrow {a} = \lambda \overrightarrow {x} - \lambda \frac{(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}\overrightarrow {a} = \lambda T\overrightarrow {x} \end{align} \]

Чтобы выяснить смысл отображения, найдем его ядро и образ.

• Ядро отображения:

  \[ \operatorname {Ker}(T) = \left\{ \overrightarrow {x} : T\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\right\} = \left\{ \overrightarrow {x} \; : \; \overrightarrow {x} = \frac{(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}\overrightarrow {a}\right\} \]

  Т.е. векторы \(\overrightarrow {x}\) из ядра должны быть коллинеарны \(\overrightarrow {a}\): \(\operatorname {Ker}(T) \subset \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\). Заметим, что если \(\overrightarrow {x} = \lambda \overrightarrow {a}\) для произвольного скаляра \(\lambda \in \mathbb {R}\), то \(T(\lambda \overrightarrow {a}) = \lambda \overrightarrow {a} - \lambda \frac{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})} \overrightarrow {a} = \overrightarrow {0}\). Т.е. \(\operatorname {Ker}(T) = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\).

• Образ отображения: заметим, что если вычислить скалярное произведение вектора из образа \(\overrightarrow {v} = T\overrightarrow {x}\) и вектора \(\overrightarrow {n}\), то получим ноль:

  \[ (T\overrightarrow {x}, \overrightarrow {n}) = (\overrightarrow {x}, \overrightarrow {n}) - \frac{(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n}) = 0 \]

  Т.е. образ \(T\) содержится в подпространстве векторов, ортогональных \(\overrightarrow {n}\): \(\operatorname {Im}(T) \subset \left\{ \overrightarrow {v} \; : \; (\overrightarrow {v}, \overrightarrow {n}) = 0\right\} =: \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp }\).

  Заметим, что \(\dim (\operatorname {Im}T) = \dim (V) - \dim (\operatorname {Ker}T) = \dim (V) - 1\). Т.е. если \(\dim (V) = 3\), то \(\dim (\operatorname {Im}T) = 2\), если \(\dim (V) = 2\), то \(\dim (\operatorname {Im}T) = 1\). Но в первом случае \(\dim ( \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp }) = 2\), а во втором \(\dim ( \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp }) = 1\). Следовательно, поскольку \(\operatorname {Im}T \subset \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp }\), имеем

  \[ \operatorname {Im}T = \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp } \]

  Заметим при этом, что если \(\overrightarrow {x} \in \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp }\), то

  \[ T\overrightarrow {x} = \overrightarrow {x} - \frac{(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {n})}{(\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n})}\overrightarrow {a} = \overrightarrow {x} \]

Заметим, что поскольку \((\overrightarrow {a}, \overrightarrow {n}) \neq 0\), будем иметь \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle \cap \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp } = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\). Далее, поскольку \(\dim ( \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ) + \dim ( \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp }) = \dim (V)\), имеем

\[ V = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle \oplus \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp } = \operatorname {Ker}T \oplus \operatorname {Im}T \]

Таким образом, если \(\overrightarrow {x} \in V\) – произвольный вектор из \(V\) и

\[ \overrightarrow {x} = \operatorname {Pr}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }^{\parallel \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp }}(\overrightarrow {x}) + \operatorname {Pr}_{ \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp } }^{\parallel \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }(\overrightarrow {x}), \]

то

\[ T\overrightarrow {x} = T\left(\operatorname {Pr}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }^{\parallel \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp }}(\overrightarrow {x})\right) + T\left(\operatorname {Pr}_{ \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp } }^{\parallel \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }(\overrightarrow {x})\right) = \overrightarrow {0} + \operatorname {Pr}_{ \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp } }^{\parallel \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }(\overrightarrow {x}) = \operatorname {Pr}_{ \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle ^{\perp } }^{\parallel \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }(\overrightarrow {x}) \]

Т.е. \(T\) – это \(\operatorname {Pr}_{ \left\langle \overrightarrow {n}\right\rangle^{\perp } }^{\parallel \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }\), т.е. это проектирование на пространство \(\left\langle n\right\rangle^{\perp }\) параллельно пространству \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\).

AnswerОтвет

Enum-item1.

проектирование на подпространство \((\overrightarrow {r}, \overrightarrow {n}) = 0\) параллельно вектору \(\overrightarrow {a}\);

Пусть \((\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n)\) – базис в \(V\), \((\overrightarrow {g}_1, \ldots , \overrightarrow {g}_m)\) – базис в \(U\). Пусть \(T: V \to U\) – линейное отображение. Тогда матрица \(A = A_T = A_T^{(\overrightarrow {e}_i), (\overrightarrow {g}_j)}\), по столбцам которой стоят координаты образов векторов базиса \((\overrightarrow {e}_i)\) пространства \(V\) в базисе \((\overrightarrow {g}_j)\) пространства \(U\), называется матрицей линейного отображения (в соотв. базисах):

\[ \begin{bmatrix} T(\overrightarrow {e}_1) & \cdots & T(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overrightarrow {g}_1 & \overrightarrow {g}_2 & \cdots & \overrightarrow {g}_m \end{bmatrix} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m, n} \\ \end{bmatrix}}_{ = A = A_T = A_T^{(\overrightarrow {e}_i), (\overrightarrow {g}_j)}}, \qquad T(\overrightarrow {e}_i) = a_{1, i}\overrightarrow {g}_1 + \ldots + a_{m, i}\overrightarrow {g}_m \]

Некоторые свойства матрицы линейного отображения:

• \(\operatorname {rk}\left(A\right) = \dim (\operatorname {Im}T)\);

• Координаты вектора \(\overrightarrow {x} \in V\) в базисе \((\overrightarrow {e}_i)\) и его образа \(T\overrightarrow {x}\) в базисе \((\overrightarrow {g}_j)\) связаны следующим соотношением:

  \[ [T\overrightarrow {x}]_{(\overrightarrow {g}_j)} = A \cdot [\overrightarrow {x}]_{(\overrightarrow {e}_i)} \]

ExampleПример 23.10(3)

Вычислить матрицу проектирования пространства \(\mathcal{E}_{3}\) на подпространство \(\mathcal{L}\) параллельно подпространству \(\mathcal{M}\), если:

1. \(\mathcal{L}\) определено уравнениями \(-20x = 15y = 12z\), \(\mathcal{M}\) – уравнением \(2x + 3y - z = 0\).

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства \(\mathcal{E}_{3}\) заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

SolutionРешение

Enum-item1.

В \(\mathcal{E}_3\) выбран ортонормированный базис, соотв. можно построить канонический изоморфизм в \(\mathbb {R}^{3}\), сопоставив каждому вектору столбец его координат. Без ограничения общности, отождествим \(\mathcal{E}_3\) и \(\mathbb {R}^{3}\). Тогда заметим, что

\[ \mathcal{L} = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} -\frac{1}{20} \\ \frac{1}{15} \\ \frac{1}{12} \end{smallmatrix}\right]\right\rangle = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 4 \\ 5 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle , \quad \mathcal{M} = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle ^{\perp } \]

Пусть \(T\) – проектирование на \(\mathcal{L}\) параллельно \(\mathcal{M}\), \(A\) – его матрица. Пусть \(\overrightarrow {x} \in \mathcal{E}_3 \cong \mathbb {R}^{3}\) – произвольный. Тогда \(\overrightarrow {x} = A\overrightarrow {x} + (\overrightarrow {x} - A\overrightarrow {x})\), причем \(A\overrightarrow {x} \in \mathcal{L}\), \(\overrightarrow {x} - A\overrightarrow {x} \in \mathcal{M}\).

Пусть \(\overrightarrow {e}_i\) – \(i\)-й вектор стандартного базиса из \(\mathbb {R}^{3}\). Тогда \(A \overrightarrow {e}_i = \overrightarrow {a}_{\cdot i} \in \mathcal{L}\), где \(\overrightarrow {a}_{\cdot i}\) – \(i\)-й столбец матрицы \(A\). Следовательно

\[ \overrightarrow {a}_{\cdot i} = \alpha _i \cdot \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 4 \\ 5 \end{smallmatrix}\right] \]

Далее,

\[ \begin{align} 0 & = \left(\overrightarrow {e}_i - A\overrightarrow {e}_i, \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\right) = \left(\overrightarrow {e}_i, \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\right) - \left(\alpha _i \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 4 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\right) = \left(\overrightarrow {e}_i, \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\right) - \alpha _i \cdot (-6 + 12 - 5) = \left(\overrightarrow {e}_i, \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\right) - \alpha _i \\ & \begin{cases} 2 - \alpha _1 = 0 \\ 3 - \alpha _2 = 0 \\ -1 - \alpha _3 = 0 \\ \end{cases} \end{align} \]

Т.е. \(\alpha_1 = 2\), \(\alpha_2 = 3\), \(\alpha_3 = -1\), и матрица проектирования

\[ A = \begin{bmatrix} 2 \cdot \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 4 \\ 5 \end{smallmatrix}\right] & 3 \cdot \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 4 \\ 5 \end{smallmatrix}\right] & (-1) \cdot \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 4 \\ 5 \end{smallmatrix}\right] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -9 & 3 \\ 8 & 12 & -4 \\ 10 & 15 & -5 \end{bmatrix} \]

Проверим себя: \(A\) действительно проектор, \(A^2 = A\) (прямым умножением), столбцы лежат в \(\mathcal{L}\), и для \(\overrightarrow {x} \in \mathcal{M}\) (т.е. \(2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0\)) имеем \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\), а для \(\overrightarrow {x} \in \mathcal{L}\) – \(A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {x}\).

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(\left[\begin{smallmatrix} -6& - 9 & 3 \\ 8 & 12 & -4 \\ 10 & 15 & -5\end{smallmatrix}\right]\) (в ответах учебника стоит лишний множитель \(\frac{1}{3}\) – но матрица с ним не идемпотентна, т.е. не может быть матрицей проектирования);

1.2 Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах. Подобные матрицы

Пусть \((\overrightarrow {e}_i)_{i=1}^n\) – базис в \(V\), \((\overrightarrow {g}_j)_{j=1}^m\) – базис в \(U\), пусть \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\) – матрица какого-то линейного отображения

\[ T: V \to U \]

Как изменится матрица \(A\) отображения, если базисы в пространствах \(V\), \(U\) меняются?

Пусть \(C \in \mathbb {R}^{n \times n}\) – матрица перехода в пространстве \(V\) от \((\overrightarrow {e}_i)_{i=1}^n\) к \((\overrightarrow {e}'_i)_{i=1}^n\), а \(D \in \mathbb {R}^{m \times m}\) – матрица перехода в пространстве \(U\) от \((\overrightarrow {g}_i)_{i=1}^n\) к \((\overrightarrow {g}'_i)_{i=1}^n\):

\[ (\overrightarrow {e}_i)_{i=1}^n \xrightarrow []{C} (\overrightarrow {e}'_i)_{i=1}^n, \qquad (\overrightarrow {g}_j)_{j=1}^m \xrightarrow []{D} (\overrightarrow {g}'_j)_{j=1}^m. \]

Тогда в штрихованных базисах матрица отображения \(T\) будет следующая:

\[ A' = D^{-1} A C, \]

ExampleПример 4

Линейный оператор в некотором базисе \((\overrightarrow {e}_1,\overrightarrow {e}_2,\overrightarrow {e}_3)\) имеет матрицу \[ A = \left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -2 \end{array}\right) \] Найдите его матрицу в базисе \[ \begin{aligned} & \overrightarrow {e}_1^{\prime }=\overrightarrow {e}_1+2 \overrightarrow {e}_2+\overrightarrow {e}_3 \\ & \overrightarrow {e}_2^{\prime } =-7 \overrightarrow {e}_1+4 \overrightarrow {e}_2 -2 \overrightarrow {e}_3 \\ & \overrightarrow {e}_3^{\prime }=3 \overrightarrow {e}_1-\overrightarrow {e_2}+\overrightarrow {e}_3 \end{aligned} \]

SolutionРешение

Матрица перехода и обратная:

\[ C = \begin{pmatrix} 1 & -7 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 5\\ 3 & 2 & -7 \\ 8 & 5 & -18 \end{pmatrix} \]

Новая матрица оператора:

\[ A' = C^{-1}AC = \begin{pmatrix} 17 & -9 & 9 \\ -22 & 20 & -15 \\ -54 & 44 & -35 \end{pmatrix} \]

ExampleПример 5

Докажите, что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства, переводящее векторы \(\overrightarrow {a}_1, \overrightarrow {a}_2\), \(\overrightarrow {a}_3\) в векторы \(\overrightarrow {b}_1, \overrightarrow {b}_2, \overrightarrow {b}_3\) соответственно. Найдите матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты векторов: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow {a}_1=\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {a}_2=\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 4 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {a}_3=\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \\ & \overrightarrow {b}_1=\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {b}_2=\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \overrightarrow {b}_3=\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right] \end{aligned} \]

SolutionРешение

Пусть \(P\) – матрица искомого преобразования в базисе, в котором записаны координаты \((\overrightarrow {a}_i)\), \((\overrightarrow {b}_i)\). Заметим, что по свойствам матрицы преобразования должно выполняться

\[ \overrightarrow {b}_i = P \cdot \overrightarrow {a}_i, \quad \forall i \in \left\{ 1,2,3\right\} \]

Если все векторы \((\overrightarrow {a}_i)\), \((\overrightarrow {b}_i)\) записать по столбцам матриц \(A\), \(B\) соотв., то получится следующее соотношение:

\[ B = P \cdot A, \quad \text{ где } \quad A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & 0 \\ -1 & 5 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \]

Далее, легко видеть, что \(\overrightarrow {a}_1, \overrightarrow {a}_2\), \(\overrightarrow {a}_3\) линейно независимы, т.е. \(A\) – обратима и \(P = BA^{-1}\) определено однозначно. Поскольку матрица преобразования однозначно задает само преобразование, то и оно будет существовать и будет единственным.

Найдем \(P\):

\[ P = B \cdot A^{-1} = B \cdot \begin{bmatrix} -4 & 9 & -8 \\ 1 & -2 & 2 \\ -9 & 19 & -17 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 3 \\ -11 & 25 & -22\\ -14 & 30 & -27 \end{bmatrix} \]

ExampleПример 6

Докажите, что ранг матрицы

1. сюръективного линейного отображения равен числу её строк;

2. инъективного линейного отображения равен числу её столбцов.

SolutionРешение

Пусть \(T: V \to U\), \(\dim V = n\), \(\dim U = m\); тогда матрица \(A\) отображения имеет размерность \(m \times n\), и \(\operatorname {rk}\left(A\right) = \dim (\operatorname {Im} T)\).

Enum-item(1)

\(T\) сюръективно \(\iff\) \(\operatorname {Im} T = U\) \(\iff\) \(\dim (\operatorname {Im} T) = m\) (подпространство полной размерности совпадает со всем пространством). Т.е. сюръективность равносильна \(\operatorname {rk}\left(A\right) = m\) – числу строк.

Enum-item(2)

\(T\) инъективно \(\iff\) \(\operatorname {Ker} T = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\). Действительно, если ядро тривиально и \(T\overrightarrow {x} = T\overrightarrow {y}\), то \(T(\overrightarrow {x} - \overrightarrow {y}) = \overrightarrow {0} \; \Rightarrow \; \overrightarrow {x} = \overrightarrow {y}\); обратно, если в ядре есть \(\overrightarrow {z} \neq \overrightarrow {0}\), то \(T\overrightarrow {z} = T\overrightarrow {0}\) – инъективности нет. По теореме о ранге и дефекте

\[ \dim (\operatorname {Ker} T) = 0 \iff \dim (\operatorname {Im} T) = n \iff \operatorname {rk}\left(A\right) = n \]

– число столбцов.

1.3 Операции с линейными отображениями и преобразованиями

Пусть \(V\), \(U\) – два векторных пространства над полем \(\mathbb {F}\). Рассмотрим множество всех линейных отображений из \(V\) в \(U\), обозначим его \(L(V,U)\). Заметим, что внутри него можно ввести операции сложения и умножения на скаляр естественным образом: если \(T, S \in L(V,U)\) и \(\lambda \in \mathbb {F}\), то

\[ \begin{align} (T +_L S)(\overrightarrow {v}) & := T(\overrightarrow {v}) +_U S(\overrightarrow {v}), \\ (\lambda \cdot _L T)(\overrightarrow {v}) & := \lambda \cdot _U T(\overrightarrow {v}) \end{align} \]

где \(+_U\), \(\cdot_U\) – суммирование и умножение на скаляр в пространстве \(U\), а \(+_L\), \(\cdot_L\) – новое суммирование между отображениями и умножение на скаляр отображения.

ExampleПример 7

Докажите, что полученная четверка \[ \bigg( L(V,U), \mathbb {F}, +_L, \cdot _L \bigg) \] является линейным пространством.

SolutionРешение

Сначала заметим, что операции корректно определены, т.е. не выводят из \(L(V,U)\): сумма линейных отображений и скалярное кратное линейного отображения линейны. Например, для суммы:

\[ (T +_L S)(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) = T(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) + S(\overrightarrow {x} + \overrightarrow {y}) = T\overrightarrow {x} + T\overrightarrow {y} + S\overrightarrow {x} + S\overrightarrow {y} = (T +_L S)(\overrightarrow {x}) + (T +_L S)(\overrightarrow {y}), \]

и аналогично с однородностью и с \(\lambda \cdot_L T\).

Все аксиомы проверяются поточечно (на каждом векторе \(\overrightarrow {v} \in V\)) и сводятся к аксиомам пространства \(U\) – так же, как для пространств функций. Нейтральный элемент – нулевое отображение \(O: \overrightarrow {v} \mapsto \overrightarrow {0}_U\) (оно линейно), противоположный к \(T\) – отображение \((-1) \cdot_L T\).

Таким образом, линейные отображения между векторными пространствами образуют новое векторное пространство над полем \(\mathbb {F}\). В частности, если мы рассматриваем линейные операторы над \(V\), т.е. линейные отображения \(V \mapsto V\) из \(V\) в себя, они образуют векторное пространство, обозначаемое \(L(V,V) =: L(V)\).

В дальнейшем, для упрощения изложения, при использовании операций суммирования и умножения на скаляр мы не будем отдельно помечать индексом, какие конкретно операции в каких пространствах имеются в виду, поскольку это всегда понятно из контекста. Например, если \(T, S\) – линейные операторы, то \(T + S\) всегда означает суммирование в пространстве операторов, введенное выше.

ExampleПример 8

Пусть \(V,U\) – конечномерные пространства, пусть \((\overrightarrow {e}_i)_{1}^n\), \((\overrightarrow {g}_j)_1^m\) – базисы в \(V\) и в \(U\) соотв. Пусть \(T, S \in L(V,U)\), \(\lambda \in \mathbb {F}\). Пусть нам известны матрицы данных преобразований в указанных базисах: \(A_{T}, A_{S}\). Как можно вычислить \(A_{T + S}, \quad A_{\lambda T}\), т.е. матрицы преобразований \(T + S\), \(\lambda T\)?

SolutionРешение

По определению,

\[ \begin{bmatrix} (T + S)(\overrightarrow {e}_1) & (T + S)(\overrightarrow {e}_2) & \cdots & (T + S)(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overrightarrow {g}_1 & \cdots & \overrightarrow {g}_m \end{bmatrix} \cdot A_{T + S} \]

Но ведь

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} (T + S)(\overrightarrow {e}_1) & (T + S)(\overrightarrow {e}_2) & \cdots & (T + S)(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} T(\overrightarrow {e}_1) + S(\overrightarrow {e}_1) & T(\overrightarrow {e}_2) + S(\overrightarrow {e}_2) & \cdots & T(\overrightarrow {e}_n) + S(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix} = \\ & = \underbrace{\begin{bmatrix} T(\overrightarrow {e}_1) & T(\overrightarrow {e}_2) & \cdots & T(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix}}_{= \begin{bmatrix} \overrightarrow {g}_1 & \cdots & \overrightarrow {g}_m \end{bmatrix} \cdot A_{T}} + \underbrace{\begin{bmatrix} S(\overrightarrow {e}_1) & S(\overrightarrow {e}_2) & \cdots & S(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix}}_{= \begin{bmatrix} \overrightarrow {g}_1 & \cdots & \overrightarrow {g}_m \end{bmatrix} \cdot A_{S}} = \\ & = \begin{bmatrix} \overrightarrow {g}_1 & \cdots & \overrightarrow {g}_m \end{bmatrix} \cdot (A_{T} + A_{S}) \end{align} \]

Следовательно, \(A_{T + S} = A_{T} + A_{S}\).

Аналогично можно доказать, что \(A_{\lambda S} = \lambda A_{S}\).

AnswerОтвет

\(A_{T + S} = A_{T} + A_{S}\), \(A_{\lambda S} = \lambda A_{S}\).

Заметим, что в пространстве \(L(V,V) = L(V)\) можно ввести операцию умножения одного оператора на другой как композицию отображений:

\[ (T \cdot S) (\overrightarrow {v}) := (T \circ S)(\overrightarrow {v}) = T(S(\overrightarrow {v})) \]

ExampleПример 9

Пусть \(V\) – конечномерное пространство, пусть \((\overrightarrow {e}_i)_{1}^n\) – его базис. Пусть \(T, S \in L(V)\). Пусть нам известны матрицы данных преобразований в указанных базисах: \(A_{T}, A_{S}\). Как можно вычислить \(A_{T S}\)?

SolutionРешение

По определению,

\[ \begin{bmatrix} (TS)(\overrightarrow {e}_1) & (TS)(\overrightarrow {e}_2) & \cdots & (TS)(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overrightarrow {e}_1 & \cdots & \overrightarrow {e}_n \end{bmatrix} \cdot A_{TS} \]

Распишем левую часть. Здесь удобнее работать с координатными столбцами: напомним, что для любого \(\overrightarrow {x} \in V\) выполнено \([T\overrightarrow {x}] = A_T \cdot [\overrightarrow {x}]\), где \([\cdot ]\) обозначает столбец координат в базисе \((\overrightarrow {e}_i)\). Применим это дважды:

\[ [(TS)(\overrightarrow {e}_j)] = [T(S\overrightarrow {e}_j)] = A_T \cdot [S\overrightarrow {e}_j] = A_T \cdot \left(A_S \cdot [\overrightarrow {e}_j]\right) = \left(A_T A_S\right) \cdot [\overrightarrow {e}_j] \]

Но \([\overrightarrow {e}_j]\) – это \(j\)-й стандартный орт, поэтому \(\left(A_T A_S\right) \cdot [\overrightarrow {e}_j]\) – это \(j\)-й столбец матрицы \(A_T A_S\). Т.е. в \(j\)-м столбце матрицы преобразования \(TS\) стоит \(j\)-й столбец произведения \(A_T A_S\), и так для каждого \(j\).

Следовательно, \(A_{T S} = A_{T} \cdot A_{S}\). (Собственно, именно поэтому умножение матриц и определяется таким “хитрым” образом: оно соответствует композиции линейных отображений.)

AnswerОтвет

\(A_{TS} = A_{T} \cdot A_{S}\).

ExampleПример (Задача 23.83(5))

Пусть \(T, S\) — линейные преобразования двумерного арифметического пространства, \(T\) имеет матрицу \(\mathbf{A}_{44}\) в стандартном базисе, а \(S\) — матрицу \(\mathbf{A}_{107}\) в базисе из столбцов матрицы \(\mathbf{A}_{45}\). Вычислить матрицу преобразования:

1. \((T + S)^4\) в базисе, образованном столбцами \(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]\), \(\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\).

Матрицы и векторы: \(\mathbf{A}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & - 1 \\ 4 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{107} = \left[\begin{smallmatrix} - 2 & 0 \\ 1 & - 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{45} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{smallmatrix}\right]\).

SolutionРешение

Будем обозначать стандартный базис \((\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2)\), базис из столбцов \(\mathbf{A}_{45}\) как \((\overrightarrow {e}'_1, \overrightarrow {e}'_2)\), базис из \(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]\), \(\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]\) как \((\overrightarrow {e}''_1, \overrightarrow {e}''_2)\):

\[ \overrightarrow {e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow {e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \overrightarrow {e}'_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow {e}'_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix}, \qquad \overrightarrow {e}''_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow {e}''_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad \]

Матрицы преобразований в соотв. базисе будем обозначать соответствующим количеством штрихов. Имеем

\[ A_T = \mathbf{A}_{44}, \quad A'_{S} = \mathbf{A}_{107}, \quad A''_{(T + S)^4} = ? \]

Имеем

\[ A''_{(T + S)^4} = \left( A''_{T } + A''_{S}\right)^4 \]

Найдем \(A''_{T}\). Имеем

\[ \begin{align} A''_{T} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}^{-1} A_{T} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \\ & = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \end{align} \]

Найдем \(A''_{S}\). Заметим, что нам известна \(A'_{S}\). Чтобы найти матрицу в дважды штрихованном базисе, проще всего сначала от штрихованного базиса перейти к стандартному базису, а затем к дважды штрихованному. Имеем

\[ (\overrightarrow {e}'_1, \overrightarrow {e}'_2) \xrightarrow []{\mathbf{A}_{45}^{-1}} (\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2) \xrightarrow []{\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{smallmatrix}\right]} (\overrightarrow {e}''_1, \overrightarrow {e}''_2) \]

Тогда

\[ (\overrightarrow {e}'_1, \overrightarrow {e}'_2) \xrightarrow []{\mathbf{A}_{45}^{-1}\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{smallmatrix}\right]} (\overrightarrow {e}''_1, \overrightarrow {e}''_2) \]

Имеем

\[ \begin{align} \mathbf{A}_{45}^{-1} & = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{1}\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \\ \mathbf{A}_{45}^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \\ \left(\mathbf{A}_{45}^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \right)^{-1} & = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \\ A''_{S} & = \left(\mathbf{A}_{45}^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\right)^{-1} A'_{S} \mathbf{A}_{45}^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}= \\ & = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \end{align} \]

Далее,

\[ A''_{(T + S)^4} = \left( A''_{T } + A''_{S}\right)^4 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^4 = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(\left[\begin{smallmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]\);

ExampleПример 11

Пусть \(U, V, W\) – линейные пространства, \(T: U \to V\), \(S: V \to W\) – линейные отображения: \[ U \xrightarrow []{T} V \xrightarrow []{S} W \] Далее, \(\dim V = n\), \(\dim (\operatorname {Im} S) = r\) (\(r \leq n\)). Известно, что \(S \circ T \equiv 0\). Оцените сверху \(\dim (\operatorname {Im}T)\).

SolutionРешение

• \(S \circ T \equiv 0 \; \iff \; \operatorname {Im}T \subset \operatorname {Ker} S\).

• \(\dim (\operatorname {Ker}S) = \dim (V) - \dim (\operatorname {Im} S) = n - r\), следовательно \(\dim (\operatorname {Im}T) \leq n-r\).

• Оценка \(\dim (\operatorname {Im}T) \leq n-r\) точная, т.е. она достигается. Действительно, допустим, что \(U = V = W = \mathbb {R}^{n}\), пусть \(\mathbb {R}^{n} = X \oplus Y\), где \(X\) – произвольное \(r\)-мерное пространство, \(Y\), соотв., – это \((n-r)\)-мерное пространство. Например, \(X = \left\langle \overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_{r}\right\rangle\), \(Y = \left\langle \overrightarrow {e}_{r+1}, \ldots , \overrightarrow {e_{n}}\right\rangle\), где \((\overrightarrow {e}_i)_{i=1}^n\) – это стандартный базис в \(\mathbb {R}^{n}\). Пусть

  \[ T = \operatorname {Pr}_{Y}^{\parallel X}, \qquad S = \operatorname {Pr}_{X}^{\parallel Y} \]

  Тогда \(\operatorname {Im}S = X\), т.е. \(\operatorname {dim}(\operatorname {Im} S) = \operatorname {dim}(X) = r\), \(ST = 0\) и \(\operatorname {dim}(\operatorname {Im}T) = \operatorname {dim}(Y) = n-r\).

2 Линейные функции

2.1 Определение линейной функции. Примеры линейных функций

Пусть \(V\) – линейное пространство над полем \(\mathbb {F}\). Функция \(f: V \to \mathbb {F}\) называется линейной, если

1. \(f(\overrightarrow {v}_1 + \overrightarrow {v}_2) = f(\overrightarrow {v}_1) + f(\overrightarrow {v}_2)\), \(\forall \overrightarrow {v}_1, \overrightarrow {v}_2 \in V\);

2. \(f(\lambda \overrightarrow {v}) = \lambda f(\overrightarrow {v})\), \(\forall \lambda \in \mathbb {F}, \; \forall \overrightarrow {v} \in V\).

Поле \(\mathbb {F}\) можно рассматривать как векторное пространство над самим собой. Базисом для такого пространства может служить, например, множество из единицы (нейтрального эл-та по умножению): \(\left\{ 1\right\}\). Т.е. \(\mathbb {F}\) – это одномерное пространство. С этой точки зрения линейная функция \(f: V \to \mathbb {F}\) – это просто линейное отображение между векторными пространствами \(V\) и \(\mathbb {F}\). Если в \(V\) мы выберем базис \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\), то матрицей \(f\) будет просто строка

\[ A = \begin{bmatrix} f(\overrightarrow {e}_1) & f(\overrightarrow {e}_2) & \cdots & f(\overrightarrow {e}_n) \end{bmatrix} \]

ExampleПример 12

Пусть \(\mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R})\) – пространство многочленов степени не выше \(n\) с действительными коэффициентами, пусть \(x_0 \in \mathbb {R}\) – какая-то фиксированная точка. Рассмотрим отображение \[ f: \mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R}) \to \mathbb {R}, \qquad f(p) = p(x_0) \] Докажите, что \(f\) – линейная функция. Вычислите ее координатную строку в базисе \(1, x, x^2, \ldots , x^n\).

SolutionРешение

• \(f(p_1 + p_2) = (p_1 + p_2)(x_0) = p_1(x_0) + p_2(x_0) = f(p_1) + f(p_2)\);

• \(f(\lambda p) = (\lambda p)(x_0) = \lambda p(x_0) = \lambda f(p)\);

• Если \(p = x^k\), то \(f(p) = x_0^k\).

AnswerОтвет

\((1, x_0, x_0^2, \ldots , x_0^n)\).

Множество всех линейных функций из линейного пространства \(V\) в поле \(\mathbb {F}\) обозначается \(V^*\). Заметим, что \(V^*\) тоже является линейным пространством над полем \(\mathbb {F}\), если операции вводить естественным образом. А именно, если \(f_1, f_2 \in V^*\), а \(\lambda \in \mathbb {F}\), то

\[ (f_1 +^* f_2)(\overrightarrow {v}) := f_1(\overrightarrow {v}) + f_2(\overrightarrow {v}), \qquad (\lambda \cdot ^* f_1)(\overrightarrow {v}) := \lambda \cdot f_1(\overrightarrow {v}), \]

где \(\overrightarrow {v} \in V\) – произвольный вектор, \(+, \cdot\) – операции из поля \(\mathbb {F}\), а \(+^*, \cdot^*\) – новые операции в \(V^*\). Несложно проверить, что \((V^*, \mathbb {F}, +^*, \cdot^*)\) – это действительно векторное пространство. Это пространство называют сопряженным или двойственным пространством к пространству \(V\).

ExampleПример 13

Докажите, что система линейных функций \(\left\{ f_1, \ldots f_n\right\}\) на \(n\)-мерном пространстве \(V\) линейно зависима тогда и только тогда, когда найдется такой вектор \(\overrightarrow {v} \in V \setminus \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\), что \(f_1(\overrightarrow {v})=\ldots =f_n(\overrightarrow {v})=0\).

SolutionРешение

Выберем в \(V\) базис \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\) и рассмотрим линейное отображение \[ \Psi : V \to \mathbb {F}^n, \qquad \Psi (\overrightarrow {v}) := \begin{bmatrix} f_1(\overrightarrow {v}) & f_2(\overrightarrow {v}) & \cdots & f_n(\overrightarrow {v}) \end{bmatrix}^T \] Его матрица в выбранном базисе (и стандартном базисе \(\mathbb {F}^n\)) – это матрица \(A\), в \(i\)-й строке которой стоит координатная строка функции \(f_i\): \(a_{i,j} = f_i(\overrightarrow {e}_j)\). Сопоставление линейной функции ее координатной строки – изоморфизм \(V^* \cong \mathbb {F}^n\) (строка – это матрица функции), поэтому \[ \text{система } f_1, \ldots , f_n \text{ линейно зависима} \iff \text{строки } A \text{ линейно зависимы} \iff \operatorname {rk}\left(A\right) < n \] С другой стороны, \[ \exists \overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}: \; f_1(\overrightarrow {v}) = \ldots = f_n(\overrightarrow {v}) = 0 \iff \operatorname {Ker}\Psi \neq \left\{ \overrightarrow {0}\right\} \iff \dim (\operatorname {Ker}\Psi ) = n - \operatorname {rk}\left(A\right) > 0 \iff \operatorname {rk}\left(A\right) < n \] Оба условия равносильны условию \(\operatorname {rk}\left(A\right) < n\), а значит равносильны между собой.

2.2 Биортогональный базис

Пусть в \(V\) дан произвольный базис \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\). Для произвольного вектора \(\overrightarrow {v} \in V\) пусть \(\alpha_1, \ldots , \alpha_n\) – его разложение по указанному базису:

\[ \overrightarrow {v} = \alpha _1 \overrightarrow {e}_1 + \cdots + \alpha _n \overrightarrow {e}_n \]

Несложно показать, что функция

\[ \pi _i: V \to \mathbb {F}, \qquad \pi _i(\overrightarrow {v}) := \alpha _i, \]

сопоставляющая вектору \(\overrightarrow {v}\) его \(i\)-ю координату в выбранном базисе, является линейной. Эта функция называется \(i\)-й координатной функцией.

ExampleПример 14

Пусть в конечномерном пространстве \(V\) выбран базис \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\).

1. Покажите, что координатные функции \(\pi_1, \ldots , \pi_n \in V^*\) линейно независимы в \(V^*\);

2. Покажите, что функции \(\pi_1, \ldots , \pi_n \in V^*\) образуют базис в \(V^*\).

SolutionРешение

Enum-item1.

Линейная независимость следует из примера выше;

Enum-item2.

Пусть \(f \in V^*\) – произвольная, тогда

\[ f = f(\overrightarrow {e}_1) \cdot \pi _1 + \cdots + f(\overrightarrow {e}_n) \cdot \pi _n. \]

Для базиса \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\) его координатные функции \(\pi_1, \ldots , \pi_n\) называются биортогональным базисом в \(V^*\). Таким образом, мы доказали следующее утверждение:

Теорема 1 Если \(V\) – конечномерное пространство, то \(V\) изоморфно своему сопряженному пространству \(V^*\). Т.е. \[ \dim (V) = \dim (V^*) \]

ExampleПример (Задача 31.30)

Покажите, что любая ненулевая линейная функция \(f: V \rightarrow \mathbb {F}\) над \(n\)-мерным пространством \(V\) может являться первым базисным вектором биортогонального базиса для некоторого базиса исходного пространства \((\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n)\). Т.е. \(f\) является первой координатной функцией \(\pi_1\) относительно базиса \((\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n)\) в \(V\).

SolutionРешение

Заметим, что \(\operatorname {Im}f\) – это подпространство в \(\mathbb {F}\), причем его размерность больше нуля (поскольку \(f \not\equiv 0\)), а \(\dim (\mathbb {F}) = 1\). Следовательно, \(\dim (\operatorname {Im}f) = 1\), а значит

\[ \dim (\operatorname {Ker}f) = \dim (V) - \dim (\operatorname {Im}f) = n-1 \]

Выберем в \(\operatorname {Ker}f\) базис \(\overrightarrow {e}_2, \ldots , \overrightarrow {e}_n\), дополним его вектором \(\overrightarrow {e}_1'\) до базиса всего \(V\). Пусть \(\overrightarrow {e}_1 := \frac{1}{f(\overrightarrow {e}_1')} \overrightarrow {e}_1'\). Тогда если \(\overrightarrow {x} \in V\) произволен и \(\alpha_1, \ldots , \alpha_n\) – его разложение по полученному базису, то в силу линейности \(f\) имеем

\[ f\left(\overrightarrow {x}\right) = f\left(\alpha _1 \overrightarrow {e}_1 + \cdots + \alpha _n \overrightarrow {e}_n\right) = \alpha _1 f(\overrightarrow {e}_1) + \sum _{i=2}^n \alpha _i \underbrace{f(\overrightarrow {e}_i)}_{\substack {=0\text{, т.к. }\\ e_i \in \operatorname {Ker}f}} = \alpha _1 f(\overrightarrow {e}_1) = \alpha _1 \cdot \frac{1}{f(\overrightarrow {e}'_1)}f(\overrightarrow {e}'_1) = \alpha _1 \]

Т.е. \(f\) – действительно первая координатная функция для полученного базиса.

Оказывается, верно более сильное утверждение:

Теорема 2 Если \(f_1, \ldots , f_n\) – базис из \(V^*\), то существует единственный базис \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\) в \(V\), такой что для любого \(i \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}\) функция \(f_i\) – это \(i\)-я координатная функция в данном базисе. Т.е. \(f_1, \ldots , f_n\) – биортогональный базис для \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\).

ExampleПример (Задача 31.34)

Как преобразуется биортогональный базис, если данный базис преобразуется матрицей перехода \(S\)?

SolutionРешение

Пусть \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\) – старый базис, и пусть \(\overrightarrow {e}'_1, \ldots , \overrightarrow {e}'_n\) – новый базис:

\[ \begin{bmatrix} \overrightarrow {e}'_1 & \overrightarrow {e}'_2 & \cdots & \overrightarrow {e}'_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overrightarrow {e}_1 & \overrightarrow {e}_2 & \cdots & \overrightarrow {e}_n \end{bmatrix} \cdot S \]

Пусть \(f_1, \ldots , f_n\) – биортогональный базис для старого базиса, \(f_1', \ldots , f_n'\) – для нового. Попробуем выразить старый биортогональный базис через новый. Заметим, что для произвольных \(i,j \in \left\{ 1, \ldots ,n\right\}\) будем иметь

\[ f_i(\overrightarrow {e}_j') = s_{i,j} = s_{i,j} \cdot \underbrace{f'_j(\overrightarrow {e}_j')}_{=1} = s_{i,1} \underbrace{f'_1(\overrightarrow {e}_j')}_{=0} + \cdots + s_{i,j-1} \underbrace{f'_{j-1}(\overrightarrow {e}_j')}_{=0} + s_{i,j} \cdot \underbrace{f'_j(\overrightarrow {e}_j')}_{=1} + s_{i,j+1} \underbrace{f'_{j+1}(\overrightarrow {e}_j')}_{=0} + \cdots + s_{i,n} \underbrace{f'_n(\overrightarrow {e}_j')}_{=0} \]

Следовательно,

\[ f_i = \begin{bmatrix} f'_1 & \cdots & f'_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} s_{i,1} \\ \vdots \\ s_{i,n} \end{bmatrix} \]

Т.е.

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} f_1 & \cdots & f_n \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} f'_1 & \cdots & f'_n \end{bmatrix} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} s_{1,1} & \cdots & s_{n,1}\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ s_{1,n} & \cdots & s_{n,n} \end{bmatrix}}_{= S^T} \\ \begin{bmatrix} f'_1 & \cdots & f'_n \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} f_1 & \cdots & f_n \end{bmatrix} \cdot \left(S^T\right)^{-1} \end{align} \]

AnswerОтвет

С помощью матрицы \(\left(S^T\right)^{-1}\).

2.3 Обращение линейной функции в нуль

ExampleПример 17

Пусть \(f\) ненулевая линейная функция на линейном пространстве \(V\) (не обязательно конечномерном), \(U:=\operatorname {ker} f\). Докажите, что:

1. \(U\)- максимальное подпространство в \(V\), то есть \(U\) не содержится ни в каком другом подпространстве в \(V\), отличном от \(V\);

2. \(V = U \oplus \left\langle \overrightarrow {v}\right\rangle\) для любого \(\overrightarrow {v} \not\in U\);

3. если \(g\)- ещё одна линейная функция на \(V\) и \(\operatorname {ker} g=\operatorname {ker} f\), то существует \(\alpha \in \mathbb {R}\), \(\alpha \neq 0\), что \(g=\alpha f\)

SolutionРешение

Enum-item(1)

Пусть \(W\) – такое, что \(U \subsetneq W \subsetneq V\). Пусть \(\overrightarrow {w} \in W \setminus U\), т.е. \(f(\overrightarrow {w}) \neq 0\). Тогда

\[ \overrightarrow {v} - \frac{f(\overrightarrow {v})}{f(\overrightarrow {w})}\overrightarrow {w} \in U, \quad \forall \overrightarrow {v} \in V, \]

т.е. \(\overrightarrow {v} = \overrightarrow {u} + \lambda \overrightarrow {w}\), где \(\overrightarrow {u} \in U \subset W\) и \(\overrightarrow {w} \in W\), откуда \(\overrightarrow {v} \in W\). Следовательно, \(W = V\), противоречие.

Enum-item(2)

Пусть \(\overrightarrow {v} \notin U\), т.е. \(f(\overrightarrow {v}) \neq 0\). Для произвольного \(\overrightarrow {x} \in V\) имеем разложение

\[ \overrightarrow {x} = \underbrace{\left(\overrightarrow {x} - \frac{f(\overrightarrow {x})}{f(\overrightarrow {v})}\overrightarrow {v}\right)}_{\in U} + \underbrace{\frac{f(\overrightarrow {x})}{f(\overrightarrow {v})}\overrightarrow {v}}_{\in \left\langle \overrightarrow {v}\right\rangle } \]

(первое слагаемое лежит в ядре: \(f\) от него равно \(f(\overrightarrow {x}) - f(\overrightarrow {x}) = 0\)). Т.е. \(V = U + \left\langle \overrightarrow {v}\right\rangle\). Пересечение тривиально: если \(\lambda \overrightarrow {v} \in U\), то \(0 = f(\lambda \overrightarrow {v}) = \lambda f(\overrightarrow {v})\), а \(f(\overrightarrow {v}) \neq 0\), значит \(\lambda = 0\). Итого \(V = U \oplus \left\langle \overrightarrow {v}\right\rangle\).

Enum-item(3)

Заметим, что \(g \not\equiv 0\) (иначе \(\operatorname {ker} g = V \neq U\)). Возьмем любой \(\overrightarrow {v} \notin U\) и положим

\[ \alpha := \frac{g(\overrightarrow {v})}{f(\overrightarrow {v})} \neq 0 \]

(\(g(\overrightarrow {v}) \neq 0\), поскольку \(\overrightarrow {v} \notin U = \operatorname {ker} g\)). По пункту б) любой \(\overrightarrow {x} \in V\) представляется как \(\overrightarrow {x} = \overrightarrow {u} + \lambda \overrightarrow {v}\) с \(\overrightarrow {u} \in U\), и тогда

\[ g(\overrightarrow {x}) = \underbrace{g(\overrightarrow {u})}_{=0} + \lambda g(\overrightarrow {v}) = \lambda \alpha f(\overrightarrow {v}) = \alpha \left(\underbrace{f(\overrightarrow {u})}_{=0} + \lambda f(\overrightarrow {v})\right) = \alpha f(\overrightarrow {x}) \]

Т.е. \(g = \alpha f\).