Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований
Пусть \(V\) – конечномерное линейное пространство над полем \(\mathbb {R}\), пусть \(T: V \to V\) – это линейное преобразование, пусть \(A\) – его матрица в произвольном базисе \((\overrightarrow {e}_i)_{i=1}^n\) пространства \(V\). Характеристический многочлен преобразования \(T\) – это многочлен \(\chi_T(t) = \operatorname {det}\left(t \cdot E - A\right)\), \(t \in \mathbb {R}\):
\[
\begin{align} \chi _T(t) & = \det \left(\begin{bmatrix} t & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & t & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & t \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n}\\ \end{bmatrix}\right) = \\ & =\det \left(\begin{bmatrix} t - a_{1,1} & -a_{1,2} & -a_{1,3} & \cdots & -a_{1,n}\\ -a_{2,1} & t-a_{2,2} & -a_{2,3} & \cdots & -a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -a_{n,1} & -a_{n,2} & -a_{n,3} & \cdots & t-a_{n,n}\\ \end{bmatrix}\right) = \\ & = t^n - (\operatorname {tr}A)t^{n-1} + \ldots + (-1)^n \operatorname {det}\left(A\right), \end{align}
\]
где \(\operatorname {tr}(A)\) – это след (trace) матрицы \(A\), т.е. это сумма ее диагональных элементов.
Покажите, что в характеристическом многочлене коэффициент при \(t^{n-1}\) действительно равен \(-\operatorname {tr}(A)\), а свободный член равен \((-1)^n \operatorname {det}\left(A\right)\).
Свободный член – это значение многочлена в нуле:
\[
\chi _T(0) = \operatorname {det}\left(0 \cdot E - A\right) = \operatorname {det}\left(-A\right) = (-1)^n \operatorname {det}\left(A\right)
\]
(знак \((-1)^n\) – потому что умножение на \(-1\) каждой из \(n\) строк меняет знак определителя).
Коэффициент при \(t^{n-1}\): разложим определитель \(\operatorname {det}\left(tE - A\right)\) по формуле полного разложения (сумма по перестановкам произведений элементов). Переменная \(t\) встречается только в диагональных элементах \(t - a_{i,i}\). Если перестановка не тождественная, то она затрагивает не менее двух недиагональных позиций, т.е. в соответствующем произведении участвует не более \(n - 2\) диагональных элементов – такое слагаемое имеет степень не выше \(n - 2\) и на коэффициент при \(t^{n-1}\) не влияет. Остается слагаемое от тождественной перестановки:
\[
\prod _{i=1}^{n}(t - a_{i,i}) = t^n - \left(a_{1,1} + \ldots + a_{n,n}\right) t^{n-1} + \ldots = t^n - \operatorname {tr}(A) \, t^{n-1} + \ldots
\]
Покажите, что характеристический многочлен определен однозначно, т.е. его коэффициенты не зависят от того, в каком базисе из \(V\) выписывать матрицу преобразования \(T\).
Пусть \((\overrightarrow {e}'_i)_{i=1}^n\) – другой базис в \(V\), пусть \(C\) – матрица перехода к нему, пусть \(A'\) – матрица \(T\) в штрихованном базисе. Известно, что \(A' = C^{-1} A C\). Тогда \(\forall t \in \mathbb {R}\) будем иметь
\[
\begin{align} \chi _T(t) & = \operatorname {det}\left(t \cdot E - A'\right) = \operatorname {det}\left(t \cdot E - C^{-1} A C\right) = \operatorname {det}\left(C^{-1}\left(t \cdot E - A\right) C\right) = \\ & = \operatorname {det}\left(C^{-1}\right) \operatorname {det}\left(t \cdot E - A\right) \operatorname {det}\left(C\right) = \frac{1}{\operatorname {det}\left(C\right)} \operatorname {det}\left(t \cdot E - A\right) \operatorname {det}\left(C\right) = \\ & = \operatorname {det}\left(t \cdot E - A\right) = \chi '_T(t) \end{align}
\]
Таким образом,
\[
P(t) = \chi _T(t) - \chi '_T(t)
\]
– это многочлен степени не выше \(n\), корнями которого являются все действительные числа. Используя основную теорему алгебры, получаем, что у \(P\) все коэффициенты нулевые. Значит, у \(\chi_T\) и у \(\chi '_T\) все коэффициенты совпадают.
В частности, получаем \(\operatorname {tr}(A) = \operatorname {tr}(A')\) и \(\operatorname {det}\left(A\right) = \operatorname {det}\left(A'\right)\): след и определитель матрицы преобразования \(T\) не зависят от базиса, в котором записана матрица преобразования, а зависят только от самого преобразования \(T\). Их можно назвать инвариантами преобразования и привязать их уже к самому оператору, а не к конкретной его матрице:
\[
\operatorname {tr}(T) := \operatorname {tr}(A) = \operatorname {tr}(A'), \qquad \operatorname {det}\left(T\right) := \operatorname {det}\left(A\right) = \operatorname {det}\left(A'\right).
\]
Пусть \(A\) – матрица проектора в некотором базисе. Докажите, что ее ранг равен ее следу.
Пусть \(A\) – матрица преобразования проектирования \(T: V \to V\): \(V = U \oplus W\) и \(T = \operatorname {Pr}_U^{\parallel W}\). Пусть \((\overrightarrow {e}_i)_{i=1}^n\) – базис, в котором записана \(A\).
Пусть \(\dim [V] = n\), \(\dim [U] = r\). Выберем в \(U\) базис \((\overrightarrow {e}'_i)_{i=1}^r\), выберем в \(W\) базис \((\overrightarrow {e}'_{i})_{i=r+1}^n\). В совокупности эти два базиса образуют базис в \(V\), причем в этом базисе матрица оператора проектирования \(T\) имеет вид
\[
A' = \left(\begin{array}{cccc|ccc}& 1 & 2 & \cdots & r & r+1 & \cdots & n \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 2 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \\ r & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline r+1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & & & & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc|ccc}& 1 & 2 & \cdots & r & r+1 & \cdots & n \\ 1 & E_r & & & & 0 & & \\ 2 & \\ \vdots & \\ r & \\ \hline r+1 & 0 & & & & 0 & & \\ \vdots & \\ n & \\ \end{array}\right)
\]
Ее след равен \(r\), рангу преобразования (матрицы преобразования). При этом след является инвариантом, т.е. \(\operatorname {tr}(A) = \operatorname {tr}(A') = \operatorname {rk}(A') = \operatorname {rk}(T)\).
Пусть \(A\) – матрица поворота в некотором базисе трехмерного пространства вокруг некоторой оси на угол \(\alpha\). Выразите \(\alpha\) через элементы матрицы \(A\).
Пусть единичный вектор \(\overrightarrow {e}'_3\) направлен по данной оси, пусть \(\overrightarrow {e}'_1\), \(\overrightarrow {e}'_2\) – 2 единичных вектора, перпендикулярных между собой и перпендикулярных оси. Тогда \((\overrightarrow {e}'_1, \overrightarrow {e}'_2, \overrightarrow {e}'_3)\) образуют ортонормированный базис, причем матрица поворота в данном базисе будет выглядеть так: \[
A' = \begin{bmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) & 0 \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
\] Имеем \(\operatorname {tr}(A) = \operatorname {tr}(A') = 2\cos (\alpha ) + 1\).
\(\cos (\alpha ) = \frac{\operatorname {tr}(A) - 1}{2}\)
Квадратные матрицы \(A\), \(A'\) одного порядка \(n\) называются подобными, если найдется такая невырожденная матрица \(C \in \mathbb {R}^{n \times n}\), что
\[
A = C^{-1}A' C
\]
Несложно показать, что подобие матриц – это отношение эквивалентности, т.е. отношение, обладающее рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью.
Матрицы подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах.
Из двух матриц \(A = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]\), \(B =\left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \end{smallmatrix}\right]\) одна подобна матрице \(C = \operatorname {diag}(1, -1, 0)\), а другая \(D = \operatorname {diag}(1,1,0)\). Выяснить, какая подобна какой.
Поскольку подобные матрицы отвечают одному и тому же лин. оператору, у них должны совпадать инварианты, в частности, след.
\(A\) подобна \(D\), \(B\) подобна \(C\).
Две матрицы \(A\), \(A'\) подобны. Следует ли из этого, что их характеристические многочлены совпадают?
У двух кв. матриц \(A\), \(A'\) одного порядка совпадают хар. многочлены. Следует ли из этого, что эти матрицы подобны?
Нет, контрпример:
\[
A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad A' = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
Имеем \(\chi_A(t) = t^2 = \chi_{A'}(t)\). При этом данные матрицы не являются подобными, поскольку, например, \(\operatorname {rk}(A) = 0 \neq 1 = \operatorname {rk}(A')\).
Собственные векторы и собственные значения
Пусть дано ЛП \(V\) над полем \(\mathbb {F}\).
Определение 1 Собственным вектором линейного оператора \(T: V \to V\) называется вектор \(\overrightarrow {v} \in V, \overrightarrow {v} \neq 0\) такой, что \(T(\overrightarrow {v})=\lambda \overrightarrow {v}\) для некоторого \(\lambda \in \mathbb {F}\). В этом случае \(\lambda\) называется собственным значением.
Заметим, что
\[
T(\overrightarrow {v})=\lambda \overrightarrow {v} \iff T(\overrightarrow {v}) - \lambda \overrightarrow {v} = \overrightarrow {0} \iff \left(T - \lambda I\right)(\overrightarrow {v}) = \overrightarrow {0}
\]
где \(I\) – тождественный оператор. Ненулевой вектор \(\overrightarrow {v}\) – собственный с собственным значением \(\lambda\) тогда и только тогда, когда он лежит в ядре преобразования \(T - \lambda I\). Пространство \(\operatorname {Ker}(T - \lambda I)\) называется собственным подпространством, соответствующим собственному значению \(\lambda\) и обозначается \(E(\lambda , T)\). Размерность этого пространства называется геометрической кратностью собств. значения \(\lambda\) и обозначается иногда \(\gamma_T(\lambda )\):
\[
\gamma _T(\lambda ) := \operatorname {dim} E(\lambda , T)
\]
Геометрическая кратность любого собственного значения не может быть нулевой.
\(\lambda \in \mathbb {F}\) явл. собственным значением \(T\) тогда и только тогда, когда подпространство \(E(\lambda , T)\) нетривиально, т.е. состоит не только из нуль-вектора. Это эквивалентно вырожденности \(T - \lambda I\). Это эквивалентно условию \(\operatorname {det}\left(T - \lambda I\right) = 0\). Это эквивалентно тому, что \(\lambda \in \mathbb {F}\) – корень хар. многочлена \(\chi_T(t)\).
Теорема 1 \(\lambda \in \mathbb {F}\) является собственным значением лин. оператора \(T\) в пространстве \(V\) над полем \(\mathbb {F}\) для какого-то собственного вектора \(\overrightarrow {v}\) тогда и только тогда, когда \(\lambda\) – корень хар. многочлена \(\chi_T(t)\), принадлежащий основному полю \(\mathbb {F}\).
Пусть \(\lambda \in \mathbb {F}\) – собств. значение \(T\). Алгебраическая кратность \(\lambda\) – это кратность \(\lambda\) как корня \(\chi_T(t)\). Т.е. это максимальная степень \(k\), такая что \(\chi_T(t)\) делится на \(\left(t - \lambda \right)^k\). Обозначается иногда \(\mu_T(\lambda )\).
Докажите, что любое линейное преобразование \(T\) нечетномерного вещественного пространства имеет собственный вектор.
Степень хар. многочлена \(T\) будет нечетной, а значит у него найдется хотя бы один вещественный корень. Следовательно существует хотя бы одно собств. значение, и соотв. существует соответствующий этому собственному значению собственный вектор.
Множество всех собственных значений оператора \(T: V \to V\) называется спектром оператора \(T\) и обозначается \(\sigma (T)\). Еще раз подчеркнем, что если пространство \(V\) задано над полем \(\mathbb {F}\), то \(\sigma (T) \subset \mathbb {F}\).
Лемма 1
Для любого собственного значения \(\lambda \in \sigma (T)\) его геометрическая кратность не превосходит его алгебраической кратности:
\[
\gamma _T(\lambda ) \leq \mu _T(\lambda )
\]
При этом она может быть строго меньше.
Собственные подпространства, отвечающие разным собственным значениям, линейно независимы.
Заметим, что сумма геометрических кратностей ограничена снизу количеством собств. подпространств, т.е. количеством различных собственных значений. При этом она ограничена сверху суммой алгебраических кратностей, а она не может превосходить степень хар. многочлена, т.е. \(n\). Приходим к
Следствие 1 Имеем \[
\left|\sigma (T)\right| \leq \sum _{\lambda \in \sigma (T)} \gamma _T(\lambda ) \leq \sum _{\lambda \in \sigma (T)} \mu _T(\lambda ) \leq n
\]
Напомним, оператор \(T: V \to V\) называется диагонализируемым, если в каком-то базисе его матрица диагональна. Т.е. для \(T\) можно найти базис, состоящий из его собственных векторов. Это эквивалентно тому, что все пространство \(V\) распалось в прямую сумму собственных подпространств всех собственных значений:
\[
V = E(\lambda _1, T) \oplus E(\lambda _2, T) \oplus \cdots \oplus E(\lambda _{k}, T)
\tag{1}\]
где \(\lambda_1, \ldots , \lambda_k \in \mathbb {F}\) – это все возможные различные собственные значения \(T\).
Заметим, что сумма подпространств в Уравнение 1 всегда прямая, поскольку, как уже говорилось выше, собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. Другое дело, что эта прямая сумма может строго включаться в \(V\). Равенство в Уравнение 1 (т.е. диагонализируемость \(T\)) эквивалентно тому, что сумма геометрических кратностей (размерностей собств. подпространств) всех собственных значений оператора равна размерности всего пространства:
\[
n = \sum _{i=1}^{k} \gamma _T(\lambda _i)
\]
Теорема 2 Оператор \(T: V \to V\) диагонализируем тогда и только тогда, когда сумма геометрических кратностей всех собственных значений \(T\) оказалась равна размерности \(V\). В этом случае диагонализирующий базис можно получить, выбрав в каждом собственном подпространстве \(E(\lambda_i, T)\) базис. В этом базисе (из собств. векторов) оператор имеет диагональную матрицу с собств. значениями на диагонали.
Следствие 2 Оператор \(T: V \to V\) диагонализируем тогда и только тогда, когда \[
\left|\sigma (T)\right| \leq \sum _{\lambda \in \sigma (T)} \gamma _T(\lambda ) = \sum _{\lambda \in \sigma (T)} \mu _T(\lambda ) = n
\] В частности, у всех собственных значений геом. кратность равна алг. кратности.
Например, если у оператора в \(n\)-мерном пространстве над полем \(\mathbb {R}\) есть \(n\) различных (действительных) собственных значений, то оператор диагонализируем.
Найдите собственные значения и собственные подпространства оператора \(T\) ортогонального проектирования трехмерного пространства на подпространство, заданное уравнением \(x+y+z=0\) в ортонормированном базисе. Найдите геом. и алг. кратности собств. значений. Диагонализируем ли оператор?
Пусть
\[
\begin{align} \overrightarrow {a} & := \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right) \\ U & := \left\{ \left(\begin{smallmatrix} x \\ y \\ z \end{smallmatrix}\right) \; : \; x + y + z = 0\right\} = \left\{ \left(\begin{smallmatrix} x \\ y \\ z \end{smallmatrix}\right) \; : \; \left\langle \left(\begin{smallmatrix} x \\ y \\ z \end{smallmatrix}\right), \overrightarrow {a} \right\rangle = 0\right\} = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ^{\perp } \\ W & := \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle \end{align}
\]
Ранее уже доказывали, что \(V = U \oplus W = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp } \oplus \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\). Т.е. для любого вектора \(\overrightarrow {v} \in V\) найдется единственное разложение \(\overrightarrow {v} = \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }} + \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }\), \(\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }} \in \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }\), \(\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle } \in \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\).
Оператор проекции на \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }\): \(T(\overrightarrow {v}) = \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }}\). Какие у него будут собственные значения? Имеем
\[
\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ^{\perp }} = T(\overrightarrow {v}) = \lambda \overrightarrow {v} = \underbrace{\lambda \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ^{\perp }}}_{\in \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ^{\perp }} + \underbrace{\lambda \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }}_{\in \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }
\]
Учитывая единственность разложения по подпространствам \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\), \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\), имеем
\[
\begin{cases} \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ^{\perp }} = \lambda \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ^{\perp }} \\ \overrightarrow {0} = \lambda \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle } \end{cases}
\]
Решения \(\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}\), \(\lambda\) этой системы:
\(\lambda = 0\). Тогда \(\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }} = \overrightarrow {0}\), \(\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle }\) – любой. Т.е. \(\lambda = 0\) – собственное значение, его собственное подпространство: \(E(0, T) = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\). \(\gamma_T(0) = 1\).
\(\lambda \neq 0\). Тогда \(\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle } = \overrightarrow {0}\). Тогда \(\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp } \neq \overrightarrow {0}\), поскольку вектор \(\overrightarrow {v}\) не может быть нулевым. Далее, т.к. \(\overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }} = \lambda \overrightarrow {v}_{ \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }}\), то \(\lambda = 1\).
Получается, что \(\lambda = 1\) – собственное значение, собственное подпространство: \(E(1, T) = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }\).
\(\gamma_T(1) = \dim ( \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }) = \dim (V) - \dim ( \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ) = 3 - 1 = 2\).
Сумма геом. кратностей равна размерности всего пространства. Следовательно, оператор диагонализируем и алг. кратности совпадают с геометрическими.
Собственные значения: \(0\), \(1\). \(E(0,T) = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\), \(E(1,T) = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^{\perp }\). \(\gamma_T(0) = \mu_T(0) = 1\), \(\gamma_T(1) = \mu_T(1) = 2\). Оператор диагонализируем.
Найдите собственные значения и собственные подпространства операторов \(T: V \rightarrow V\), удовлетворяющих условиям:
\(T^2=T\),
\(T^2= I_V\)
Оператор, удовлетворяющий \(T^2=T\), является проектором, это ранее уже было доказано. Т.е. \(V = U \oplus W\), причем
\[
U = \operatorname {Im}T, \qquad W = \operatorname {Ker}T,
\]
и \(T = \operatorname {Pr}_U^{\parallel W}\).
Предположим, что \(U = \operatorname {Im}T = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\), т.е. \(W = \operatorname {Ker}T = V\). Т.е. \(T = 0\), нулевой оператор. В этом случае единственное собственное значение – это \(0\), и \(E(0,T) = \operatorname {Ker}T = V\).
Предположим, что \(W = \operatorname {Ker}T = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\), т.е. \(U = \operatorname {Im}T = V\). Т.е. \(T = I\), тождественный оператор. В этом случае единственное собственное значение – это \(1\), и \(E(1,T) = \operatorname {Ker}(T - I) = \operatorname {Ker}0 = V\).
Предположим, что \(U, W\) нетривиальны, т.е. не равны \(\left\{ \overrightarrow {0}\right\}\). Рассуждая, как в примере про ортогональное проектирование выше (через единственность разложения \(\overrightarrow {v} = \overrightarrow {v}_U + \overrightarrow {v}_W\) и систему \(\overrightarrow {v}_U = \lambda \overrightarrow {v}_U\), \(\overrightarrow {0} = \lambda \overrightarrow {v}_W\)), получаем, что единственные собств. значения такого оператора – числа \(0\), \(1\). Их собственные подпространства – это \(E(0, T) = W = \operatorname {Ker}T\) и \(E(1, T) = U = \operatorname {Im}T\).
Если \(T^2=I\) (\(T\) – это, например, транспонирование матрицы), то любой вектор \(\overrightarrow {v} \in V\) можно единственным образом разложить как
\[
\overrightarrow {v} = \frac{\overrightarrow {v} + T(\overrightarrow {v})}{2} + \frac{\overrightarrow {v} - T(\overrightarrow {v})}{2} ,
\]
причем каждая компонента, если перебирать все векторы \(\overrightarrow {v} \in V\), будет образовывать подпространство. Обозначим эти подпространства \(U\), \(W\) (в случае транспонирования кв. матриц \(U\) – это симметричные матрицы, \(W\) – кососимметричные матрицы). Имеем \(V = U \oplus W\). Причем если \(\overrightarrow {u} \in U\), то \(T(\overrightarrow {u}) = \overrightarrow {u}\), т.е. \(T\) – тождественный оператор на \(U\). А если \(\overrightarrow {w} \in W\), то \(T(\overrightarrow {w}) = -\overrightarrow {w}\), т.е. \(T\) – минус тождественный оператор на \(W\).
Для произвольного \(V \ni \overrightarrow {v} = \overrightarrow {v}_U + \overrightarrow {v}_W\) имеем
\[
T(\overrightarrow {v}) = \overrightarrow {v}_U - \overrightarrow {v}_W
\]
Пусть \(\lambda\) – собственное значение для собственного вектора \(\overrightarrow {v}\). Тогда
\[
\overrightarrow {v}_U - \overrightarrow {v}_W = T(\overrightarrow {v}) = \lambda \overrightarrow {v} = \lambda \overrightarrow {v}_U + \lambda \overrightarrow {v}_W
\]
Разложение \(T(\overrightarrow {v})\) по подпространствам \(U\), \(W\) единственно, следовательно
\[
\begin{cases} \overrightarrow {v}_U = \lambda \overrightarrow {v}_U \\ - \overrightarrow {v}_W = \lambda \overrightarrow {v}_W \end{cases}
\]
Решения \(\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}\), \(\lambda\) этой системы:
\(\overrightarrow {v}_U \neq \overrightarrow {0}\). Тогда \(\lambda = 1\). Тогда \(\overrightarrow {v}_W = \overrightarrow {0}\).
Таким образом, \(1\) – собственное значение \(T\) с собственным подпространством \(U\).
\(\overrightarrow {v}_U = \overrightarrow {0}\). Тогда \(\overrightarrow {v}_W \neq \overrightarrow {0}\), поскольку сумма компонент равна \(\overrightarrow {v}\) и не может быть нуль-вектором по определению собственного вектора. Тогда \(\lambda = -1\).
Таким образом, \(-1\) – собственное значение \(T\) с собственным подпространством \(W\).
Найдите собственные значения и собственные подпространства оператора дифференцирования на пространстве многочленов \(\mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R})\) степени не выше \(n\).
\(T = \frac{d}{dx}\). Заметим, что применив \(n+1\) раз дифференцирование к любому элементу в пространстве \(\mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R})\), мы всегда придем к нулевому многочлену. Т.е. \(T^{n+1}\) – нулевой оператор:
\[
T^{n+1}(\overrightarrow {v}) = \overrightarrow {0}, \quad \forall \overrightarrow {v} \in \mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R}).
\]
Пусть \(\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}\) – собственный с собственным значением \(\lambda \in \mathbb {R}\). Тогда
\[
\begin{align} \overrightarrow {0} & = T^{n+1}(\overrightarrow {v}) = T^{n}\bigg(T(\overrightarrow {v})\bigg) = T^{n}\bigg(\lambda \overrightarrow {v}\bigg) = \\ & = \lambda T^n(\overrightarrow {v}) = \ldots = \lambda ^2 T^{n-1}(\overrightarrow {v}) = \ldots = \\ & = \lambda ^{n+1} \overrightarrow {v} \end{align}
\]
Вектор \(\overrightarrow {v}\) – ненулевой, следовательно \(\lambda^{n+1} = 0\), а значит \(\lambda = 0\). Единственное собственное значение равно нулю.
Собственное подпространство собственного значения \(\lambda = 0\):
\[
\operatorname {Ker}(T - \lambda I) = \operatorname {Ker}(T)
\]
При этом известно, что ядро оператора дифференцирования \(T\) в \(\mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R})\) – это \(\mathbb {R}^{x}_0\), многочлены степени не выше \(0\), т.е. константы.
Единственное собственное значение: \(\lambda = 0\)
Пусть \(V = \mathbb {F}^{\mathbb {F}}\), пространство функций из \(\mathbb {F}\) в \(\mathbb {F}\). Найдите собственные значения и собственные подпространства оператора \(T = \frac{d}{dx}\) дифференцирования на линейной оболочке \(\left\langle \sin x, \cos x\right\rangle\), если
\(\mathbb {F} = \mathbb {R}\);
\(\mathbb {F} = \mathbb {C}\).
В обоих пунктах используем базис из \(\sin x\), \(\cos x\). В обоих пунктах матрица оператора дифференцирования и хар. многочлен следующие:
\[
A_{T} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \chi _{T}(t) = \det \begin{pmatrix} t & -1 \\ 1 & t \end{pmatrix} = t^2 + 1
\]
Корни хар. многочлена: \(i\), \(-i\).
Собственные значения и собств. векторы отсутствуют;
Собств. значения: \(i\), \(-i\). Собств. вектор для \(i\):
\[
\frac{d f}{dx} = i \cdot f \quad \iff \quad f(x) = \alpha \cdot e^{ix}, \; \alpha \in \mathbb {C}
\]
Собств. подпространство: \(E(i,T) = \left\langle e^{ix}\right\rangle\)
Для \(-i\) собств. подпространство: \(E(-i, T) = \left\langle e^{-ix}\right\rangle\).
\(\sigma (T) = \varnothing\);
\(\sigma (T) = \left\{ i, -i\right\}\), \(E(i, T) = \left\langle e^{ix}\right\rangle\), \(E(-i, T) = \left\langle e^{-ix}\right\rangle\).
Линейное преобразование \(T\) вещественного пространства задано матрицей \(A\). Найдите собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования. Если из собственных векторов можно составить базис, напишите в нем матрицу преобразования.
\(\left[\begin{smallmatrix} 5 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ 8 & -4 & 1 \end{smallmatrix}\right]\)
\(\left[\begin{smallmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{smallmatrix}\right]\)
(Алгоритм решения задачи на собственные значения)
Будем считать, что матрица задана в стандартном базисе. Т.е. если \(\overrightarrow {v} = (v_1, v_2, v_3)^T\), то \[
T(\overrightarrow {v}) = A \cdot \overrightarrow {v},
\] где последнее умножение – матричное умножение.
Ищем хар. многочлен.
\[
\begin{align} \chi _T(t) & = \det \begin{pmatrix} t - 5 & 2 & 0 \\ -4 & t + 1 & 0 \\ -8 & 4 & t - 1 \end{pmatrix} = (t - 1) \cdot \begin{vmatrix} t - 5 & 2 \\ -4 & t+1 \end{vmatrix} = (t-1) \cdot (t^2 -4t + 3) \\ & = (t-1)^2(t-3) \end{align}
\]
2 собств. значения: \(1\) кратности 2 и \(3\) кратности 1.
\[
\mu _T(1) = 2, \qquad \mu _{T}(3) = 1
\]
Найдем \(E(1, T) = \operatorname {Ker}(T - 1 \cdot I)\) – собств. подпространство для \(1\). Произвольный вектор из \(E(1, T)\) должен удовлетворять соотношению
\[
\left(A - \lambda E\right)\cdot \overrightarrow {v} = \overrightarrow {0} \quad \iff \quad \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 8 & -4 & 0 \end{pmatrix} \overrightarrow {v} = \overrightarrow {0}
\]
Имеем
\[
\begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 8 & -4 & 0 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
Находим \(E(1, T)\):
\[
E(1, T) = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1/2 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle
\]
Находим \(E(3, T)\):
\[
\begin{align} \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 4 & -4 & 0 \\ 8 & -4 & -2 \end{pmatrix}}_{=A - 3E} \overrightarrow {v} & = \overrightarrow {0} \\ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 4 & -4 & 0 \\ 8 & -4 & -2 \end{pmatrix} & \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 8 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ E(3, T) & = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle \end{align}
\]
Имеем \(\gamma_T(1) = \mu_T(1) = 2\), \(\gamma_T(3) = \mu_T(3) = 1\). Сумма геометрических кратностей равна размерности всего пространства, следовательно \(\mathbb {R}^{3} = E(1, T) \oplus E(3, T)\). Оператор диагонализируем, диагонализирующий базис – базис \(E(1, T)\) и базис \(E(3, T)\):
\[
\overrightarrow {e}'_1 = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \overrightarrow {e}'_2 = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \overrightarrow {e}'_3 = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]
\]
Поскольку это базис \(V\), это будет максимальная линейно независимая система из собственных векторов. В этом базисе матрица преобразования – диагональная матрица с соотв. собственными значениями на диагонали:
\[
A_T' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}
\]
Ищем хар. многочлен (разложением определителя или через инварианты):
\[
\chi _T(t) = \det \begin{pmatrix} t - 4 & 5 & -2 \\ -5 & t + 7 & -3 \\ -6 & 9 & t - 4 \end{pmatrix} = t^3 - t^2 = t^2(t - 1)
\]
(проверьте: \(\operatorname {tr}(A) = 4 - 7 + 4 = 1\) – коэффициент при \(t^2\) сходится; \(\operatorname {det}\left(A\right) = 0\) – свободный член сходится.)
2 собств. значения: \(0\) кратности 2 и \(1\) кратности 1: \(\mu_T(0) = 2\), \(\mu_T(1) = 1\).
Находим \(E(0, T) = \operatorname {Ker}(T)\):
\[
\begin{pmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
(вычли из 2-й и 3-й строк 1-ю; переставили 2-ю строку наверх, обнулили под ней и привели к упрощенному виду.) Итого
\[
E(0, T) = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle , \qquad \gamma _T(0) = 1 < 2 = \mu _T(0)
\]
Находим \(E(1, T) = \operatorname {Ker}(T - I)\):
\[
\begin{pmatrix} 3 & -5 & 2 \\ 5 & -8 & 3 \\ 6 & -9 & 3 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 3 & -5 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; E(1, T) = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]\right\rangle
\]
Сумма геометрических кратностей равна \(1 + 1 = 2 < 3\): базиса из собственных векторов нет, оператор не диагонализируем. Максимальная линейно независимая система собственных векторов:
\[
\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \qquad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]
\]
Пусть \(A \in \mathbb {R}^{2 \times 2}\) имеет кратный корень \(\lambda\) (имеется в виду алгебраическая кратность), причем она не явл. диагональной. Докажите, что \(A\) не может быть диагонализируемой.
Кратный корень \(\lambda\) может быть только кратности \(2\), поскольку хар. многочлен имеет в данном случае степень \(2\). Предположим, что \(A\) диагонализируема. Тогда в диагонализирующем базисе из собственных векторов она будет иметь вид \[
A' = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \lambda E
\] Пусть \(C\) – матрица перехода от диагонализирующего базиса к исходному. Тогда \[
A = C^{-1} A' C = C^{-1}\lambda E C = \lambda E C^{-1}C = \lambda E
\] Получилось, что и исходная матрица должна быть диагональной, а это не так по условию. Противоречие.
- Найдите собственные значения и собственные векторы оператора \(T\), заданного в некотором базисе матрицей
\[
A=\left(a_1, \ldots , a_n\right)^T\left(b_1, \ldots , b_n\right) \neq 0
\]
- Найдите критерий диагонализируемости преобразования \(T\).
Имеем
\[
A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \\ \end{bmatrix} \neq 0
\]
Заметим, что \(\dim (\operatorname {Im}T) =1\) и \(\dim (\operatorname {Ker}T) = n-1\). Поскольку ядро оператора нетривиально, \(0\) – собственное значение \(T\) с собственным подпространством \(\operatorname {Ker}T\). Его геометрическая кратность равна \(n-1\).
Пусть \(\lambda \neq 0\) – какое-то ненулевое собственное значение \(T\) с собств. вектором \(\overrightarrow {c} \neq \overrightarrow {0}\). Тогда
\[
A \overrightarrow {c} = \underbrace{\lambda \overrightarrow {c}}_{\neq \overrightarrow {0}} \in \operatorname {Im}T,
\]
причем \(\dim (\operatorname {Im}T) = 1\). Таким образом, если такое \(\lambda \neq 0\) существует, то \(\operatorname {Im}T\) для него – собственное подпространство.
Заметим, что
\[
\operatorname {Im}T = \left\langle \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right]\right\rangle
\]
Тогда
\[
\begin{align} A \cdot \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right] & = \lambda \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right] \underbrace{\left[\begin{smallmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{smallmatrix}\right] \cdot \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right]}_{= \sum _{i=1}^n a_i b_i} & = \lambda \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right] \\ \left(\sum _{i=1}^n a_i b_i\right) \cdot \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right] = \lambda \left[\begin{smallmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{smallmatrix}\right] \end{align}
\]
Следовательно \(\lambda = \sum_{i=1}^n a_i b_i\).
Получается, что если \(\sum_{i=1}^n a_i b_i \neq 0\) (т.е. векторы \(\overrightarrow {a}\), \(\overrightarrow {b}\) не ортогональны), то \(\sum_{i=1}^n a_i b_i\) – ненулевое собственное значение геом. кратности \(1\) и оператор диагонализируем. Если \(\sum_{i=1}^n a_i b_i = 0\), то единственное собственное значение – число \(0\), причем у него геом. кратность равна \(n-1\). В этом случае оператор не явл. диагонализируемым.
Инвариантные подпространства. Перестановочные преобразования
Пусть \(V\) – лин. пространство, \(T: V \to V\) – оператор. Подпространство \(U \subset V\) называется \(T\)-инвариантным, если
\[
T(\overrightarrow {u}) \in U, \qquad \forall \overrightarrow {u} \in U.
\]
Кратко можно записать так: \(T(U) \subset U\).
Если \(U \subset V\) \(T\)-инвариантно, то определено ограничение \(T|_U: U \to U\).
Докажите, что если \(T\), \(S\) на \(V\) коммутируют, то \(\operatorname {Ker}S\) является \(T\)-инвариантным.
Пусть \(\overrightarrow {v} \in \operatorname {Ker}S\) – произвольный. Необходимо доказать, что \(T(\overrightarrow {v}) \in \operatorname {Ker}S\). Т.е. необходимо доказать, что \(S(T(\overrightarrow {v})) = \overrightarrow {0}\). Имеем \[
S(T(\overrightarrow {v})) = T(S(\overrightarrow {v})) = T(\overrightarrow {0}) = \overrightarrow {0}
\] Мы воспользовались сначала коммутированием \(T\) и \(S\), затем фактом, что любой линейный оператор нуль-вектор переводит в нуль-вектор.
Заметим, что если \(\lambda\) – собственное значение оператора \(T\), то собственное подпространство \(V_\lambda\) будет инвариантно относительно \(T\).
Найдите подпространства трехмерного геометрического пространства, инвариантные относительно поворота на угол \(\alpha\) вокруг некоторой прямой.
Пусть \(\overrightarrow {a}\) – направляющий вектор прямой. Рассматриваем углы \(\alpha \in [0, 2\pi )\).
Если \(\alpha = 0\), то поворот – тождественный оператор, инвариантно любое подпространство.
Если \(\alpha = \pi\), то на плоскости \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\) поворот действует как \(-I\) (каждый вектор плоскости переходит в противоположный). Поэтому, кроме подпространств из общего случая ниже, инвариантны еще все прямые, лежащие в \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\), и все плоскости, содержащие \(\overrightarrow {a}\) (такая плоскость натянута на \(\overrightarrow {a}\) и прямую из \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\)).
Если \(\alpha \neq \pi k\), то инвариантные подпространства:
\[
\left\{ \overrightarrow {0}\right\} , \quad V, \quad \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle , \quad \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle ^\perp
\]
Действительно, одномерное инвариантное подпространство – это прямая из собственных векторов, а при \(\alpha \neq \pi k\) поворот не оставляет на месте ни одного направления, кроме оси: в плоскости \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\) ненулевой вектор поворачивается на угол \(\alpha\) и не остается коллинеарным себе, а вектор с ненулевыми компонентами и вдоль оси, и в плоскости при повороте меняет “плоскостную” компоненту, сохраняя осевую. Двумерное инвариантное подпространство \(U\) пересекает плоскость \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\) по подпространству размерности не менее \(2 + 2 - 3 = 1\); если \(U \neq \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\), то пересечение – прямая, инвариантная относительно поворота (как пересечение двух инвариантных подпространств), которых при \(\alpha \neq \pi k\) в плоскости нет.
Теорема 3 Пусть \(U \subset V\) – инвариантное подпространство для лин. оператора \(T: V \to V\). Выберем в \(U\) базис \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_m\), дополним его до базиса всего пространства векторами \(\overrightarrow {e}_{m+1}, \ldots , \overrightarrow {e}_n\). Тогда в полученном базисе \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\) матрица \(T\) примет блочный вид \[
\left(\begin{array}{cccc|ccc}& 1 & 2 & \cdots & m & m+1 & \cdots & n \\ 1 & B & & & & C & & \\ 2 & & & & & & & \\ \vdots & & & & & & & \\ m & & & & & & & \\ \hline m+1 & 0 & & & & D & & \\ \vdots & & & & & & \\ n & & & & & & & \\ \end{array}\right)
\] Причем подматрица \(B\) – это матрица преобразования \(T|_U\) (ограничения \(T\) на \(U\)) в базисе \((\overrightarrow {e}_i)_1^m\).
Следствие 3 Пусть \(T: V \to V\) – линейный оператор и все пространство \(V\) распалось в прямую сумму инвариантных подпространств: \(V = U \oplus W\). Тогда в базисе \((\overrightarrow {e}_i)_1^n\), где первые \(m\) векторов – базис \(U\), а следующие \(n-m\) векторов – базис \(W\), матрица \(T\) примет следующий вид: \[
\left(\begin{array}{cccc|ccc}& 1 & 2 & \cdots & m & m+1 & \cdots & n \\ 1 & B & & & & 0 & & \\ 2 & & & & & & & \\ \vdots & & & & & & & \\ m & & & & & & & \\ \hline m+1 & 0 & & & & D & & \\ \vdots & & & & & & \\ n & & & & & & & \\ \end{array}\right)
\]
В примере Пример 16 имеем \(V = \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp \oplus \left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\). Выберем в \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle^\perp\) ортонормированный базис \(\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2\), выберем в \(\left\langle \overrightarrow {a}\right\rangle\) базис \(\overrightarrow {e}_3 = \frac{\overrightarrow {a}}{\left|\overrightarrow {a}\right|}\). В базисе \((\overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2, \overrightarrow {e}_3)\) поворот на угол \(\alpha\) вокруг вектора \(\overrightarrow {a}\) будет иметь следующую матрицу:
\[
\begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) & 0 \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
\]
Найдите все инвариантные подпространства для оператора дифференцирования \(\frac{d}{d x}\) в пространстве \(V=\mathcal{P}^{(n)}(\mathbb {R})\).
Каждое из подпространств \(\mathcal{P}^{(k)}(\mathbb {R})\), \(k \in \left\{ 0, \ldots , n\right\}\), очевидно, инвариантно: производная многочлена степени не выше \(k\) имеет степень не выше \(k - 1 \leq k\). Тривиальное \(\left\{ \overrightarrow {0}\right\}\) инвариантно всегда. Покажем, что других инвариантных подпространств нет.
Пусть \(U \neq \left\{ \overrightarrow {0}\right\}\) – инвариантное подпространство, и пусть \(k\) – максимальная из степеней многочленов, лежащих в \(U\) (она определена, т.к. степени ограничены числом \(n\)). Тогда, во-первых, \(U \subseteq \mathcal{P}^{(k)}(\mathbb {R})\). Во-вторых, возьмем \(p \in U\) с \(\deg p = k\). В силу инвариантности \(U\) содержит и все производные:
\[
p, \; p', \; p'', \; \ldots , \; p^{(k)} \in U
\]
Это \(k+1\) многочленов попарно различных степеней \(k, k-1, \ldots , 0\) – они линейно независимы (в нетривиальной нулевой комбинации коэффициент при старшей участвующей степени \(x\) сократиться не с чем). Итого \(U\) содержит \(k + 1 = \dim \mathcal{P}^{(k)}(\mathbb {R})\) линейно независимых векторов из \(\mathcal{P}^{(k)}(\mathbb {R})\), т.е. \(U = \mathcal{P}^{(k)}(\mathbb {R})\).
Всего есть \(n+2\) инвариантных подпространства: \(\left\{ 0\right\}\) и \(\mathcal{P}^{(k)}(\mathbb {R})\), \(k \in \left\{ 0, \ldots , n\right\}\).