Процессы восстановления. Стационарный пуассоновский процесс

Дата публикации

2 сентября 2026

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Общие сведения

Пусть \(\xi_1,\xi_2, \ldots\) – НОРСВ, причем неотрицательные (\(\xi_1 \geq 0\) п.н.), пусть \(S_n := \xi_1 + \ldots + \xi_{n}\), пусть \(N_t\), \(t \geq 0\) – построенный по ним процесс восстановления:

\[ N_t := \max \left\{ n \; : \; S_n \leq t\right\} \]

Если \(\xi_i \sim \operatorname {Exp}(\lambda )\), то процесс \(N_t\) называется (стационарным) процессом Пуассона интенсивности \(\lambda\).

ProblemЗадача 1

Верно ли, что процесс восстановления \(N_{t}\) всегда имеет независимые приращения?

ProblemЗадача 2

Пусть \(N_{t}\) – процесс восстановления, причем \(\xi_i\) п.н. конечно, т.е. \(\mathbb {P}\left(\xi_i < +\infty \right) = 1\). Докажите, что \(N_t\) п.н. уходит на \(+\infty\): \[ \mathbb {P}\left(\lim \limits _{t \rightarrow +\infty } N_{t}=+\infty \right) = 1. \]

Теорема 1 Следующие условия эквивалентны:

  1. \(N_{t}\) п.н. конечен для любого \(t\): \(\mathbb {P}\left(N_t < +\infty \right) = 1\) для любого \(t \in \mathbb {R}_+\);

  2. \(\mathbb {E}\left[\xi_i\right] > 0\);

  3. \(\mathbb {P}\left(\xi_i = 0\right) < 1\).

ProblemЗадача 3

Пусть \(N^{(1)}=\left(N_{t}^{(1)}, t \geq 0\right), \ldots , N^{(k)}=\left(N_{t}^{(k)}, t \geq 0\right)-\) независимые пуассоновские процессы интенсивности \(\lambda_i\) соотв. Докажите, что процесс \(N_{t}=\sum_{i=1}^{k} N_{t}^{(i)}\) также является пуассоновским, и найдите его интенсивность.

Примечание. Независимость процессов означает, что независимы (в совокупности) ими порожденный сигма-алгебры \(\mathcal{F}^{(1)}, \ldots , \mathcal{F}^{(k)}\): \[ \mathcal{F}^{(i)} := \sigma \left(\left\{ N^{(i)}_t \; : \; t \geq 0\right\} \right). \]

HintПодсказка

Без ограничения общности, можете доказывать для \(k=2\).

2 (*) Вычисление функции среднего

Обозначим функцию среднего как

\[ m(t) := \mathbb {E}\left[N_t\right] \]

В теории процессов восстановления эту функцию называют функцией восстановления (от англ. renewal function).

ProblemЗадача 4

Пусть \(\xi_i\) имеет плотность \[ p(x) = \begin{cases} \frac{e^{-x}}{2} + e^{-2x} , & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \] Найдите функцию восстановления для \(m(t)\).

HintПодсказка

Перейдите к преобразованиям Лапласа.

3 Предельные теоремы

Мы сформулируем некоторые предельные теоремы сразу для процесса восстановления с прибылью, поскольку обычный процесс восстановления является лишь частным случаем этой общей конструкции. Напомним определение: пусть

\[ (\xi _1, \eta _1), \quad (\xi _2, \eta _2), \quad (\xi _3, \eta _3), \quad \ldots \]

– независимые и одинаково распределенные пары случайных величин, причем \(\xi_1 > 0\) п.н. Тогда процесс

\[ Z_t := \sum _{k=1}^{N_t} \eta _k \]

называется процессом восстановления с прибылью. Обратите внимание, что \(\xi_i\) и \(\eta_i\) не обязаны быть независимы. Это может пригодиться в практических задачах, см. задачу Задача 5 о предпринимателе Василии и его станке.

Обычный процесс восстановления получается, если взять \(\eta_1 \equiv 1\) п.н.

Для процесса \(Z_{t}\) справедлив следующий усиленный закон больших чисел.

Теорема 2 (Усиленный закон больших чисел для процесса восстановления с прибылью) Предположим, что \(0 < \mathbb {E}\left[\xi_i\right] \leq +\infty\), \(\mathbb {E}\left[\left|\eta_i\right|\right] < +\infty\). В определениях выше имеем \[ \frac{Z_{t}}{t} \xrightarrow [t \to +\infty ]{\text{п.н.}} \frac{\theta }{\mu }, \] где \(\theta := \mathbb {E}\left[\eta_i\right]\), \(\mu := \mathbb {E}\left[\xi_i\right]\)

Теорема 3 В условиях выше имеем \[ \frac{Z_{t}}{t} \xrightarrow [t \to +\infty ]{L^1} \frac{\theta }{\mu } \]

Следствие 1 (Элементарная теорема восстановления) Имеем \[ \frac{\mathbb {E}\left[Z_t\right]}{t} \xrightarrow [t \to +\infty ]{} \frac{\theta }{\mu }. \] В частности, для обычного процесса восстановления имеем \[ \frac{\mathbb {E}\left[N_t\right]}{t} \xrightarrow [t \to +\infty ]{} \frac{1}{\mathbb {E}\left[\xi _1\right]} \]

ЦПТ сформулируем просто для процесса восстановления.

Теорема 4 (ЦПТ для процесса восстановления) Пусть \(\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)\) – процесс восстановления, построенный по случайным временам \(\left\{ \xi_{n}, n \in \mathbb {N}\right\}\). Обозначим \(\mu = \mathbb {E}\left[\xi_{i}\right]\), \(\sigma^{2}= \operatorname {Var}\left[\xi_{i}\right]\), причем известно, что \(0 < \mu , \sigma^{2} < +\infty\). Тогда \[ \sqrt{t}\left(\frac{N_t}{t} - \frac{1}{\mu }\right) \quad \xrightarrow [t \to +\infty ]{d} \quad \mathscr {N}\left(0, \; \frac{\sigma ^2}{\mu ^3}\right) \]

На языке математической статистики можно сказать, что если \(0 < \mu , \sigma^2 < +\infty\), то усредненный по времени процесс восстановления \(\frac{N_t}{t}\) является сильно состоятельной и ас. нормальной оценкой \(\frac{1}{\mu }\) с ас. дисперсией \(\frac{\sigma^2}{\mu^3}\).

Усиленный закон больших чисел в действии: шесть смоделированных траекторий \(N_t/t\) для процесса восстановления с интервалами \(\xi_i\). Выберите распределение интервалов в выпадающем списке — экспоненциальное \(\operatorname{Exp}(1)\), равномерное \(U[0,2]\) (оба со средним \(1\)) или тяжёлохвостое распределение Парето с параметром \(\alpha=1\), у которого \(\mathbb{E}\left[\xi_i\right]=+\infty\), — и нажмите кнопку «Новые траектории», чтобы перегенерировать пучок из шести независимых реализаций. Пунктирная линия отмечает предел \(1/\mu\): для первых двух распределений это \(1\), а для Парето — \(0\), поскольку среднее бесконечно и частота обновлений на бесконечном горизонте стремится к нулю.

ProblemЗадача 5

Предприниматель Василий располагает станком, срок службы которого случаен и равномерно распределен в диапазоне от нуля до двух лет. Василий может оставить станок работать до тех пор, пока он не выйдет из строя, при этом стоимость замены составит \(260\) тыс. руб.; или же, пока станок еще исправен, он может произвести плановый ремонт за \(20\) тыс. руб., который обновляет срок службы станка (по-сути делает станок новым).

Василий решил действовать так: он выбрал фиксированный момент времени \(0 < t_0 < 2\) и если станок (после последнего обновления) дорабатывает до момента \(t_0\), то он проводит плановый обновляющий ремонт. Если станок не дорабатывает до \(t_0\), то, соотв., Василию приходится делать дорогую замену.

  1. Пусть \(Z_t\) – процесс затрат Василия. Выразите \(Z_t\) как процесс восстановления с прибылью1;

  2. Найдите предел \(\frac{Z_t}{t}\) средних затрат Василия;

  3. Помогите Василию: найдите оптимальный момент замены \(t_0\), т.е. такое значение \(t_0\), которое бы минимизировало средние затраты (во всяком случае на длительной дистанции, т.е. в пределе).

ProblemЗадача 6

Докажите УЗБЧ для процесса восстановления (теор. Теорема 2).

HintПодсказка

План доказательства:

Enum-item(1)

В обычном УЗБЧ параметр дискретный, здесь же он непрерывный. Найдите способ перейти от рассмотрения \(\frac{Z_{t}}{t}\) к \(\frac{Z_{S_i}}{S_i}\);

Enum-item(2)

С помощью УЗБЧ найдите предел п.н. \(\frac{Z_{S_i}}{S_i}\) при \(i \to \infty\).

ProblemЗадача 7

Докажите теор. Теорема 3.

4 Время до предыдущего/до следующего обновления

Пусть \(N_t\) — процесс восстановления, построенный по интервалам \(\xi_1, \xi_2, \ldots\). Обозначим, как и ранее,

\[ S_n = \xi _1 + \ldots + \xi _n, \]

тогда \(S_n\) есть момент \(n\)-го обновления процесса.

Удобно рассматривать следующую жизненную интерпретацию. Представим предприятие, на котором установлен станок. Этот станок периодически выходит из строя и заменяется на новый. Тогда \(\xi_i\) — время жизни \(i\)-го станка, а \(S_n\) — момент \(n\)-й замены станка.

Определение 1  

  • \(S_{N_t}\) — момент последнего обновления к моменту времени \(t\). В интерпретации со станком это момент времени последней замены станка. Соответственно, \(S_{N_t + 1}\) — момент ближайшего (будущего) обновления, то есть следующей замены станка.

  • Случайный процесс

    \[ C_t = t - S_{N_t} \]

    — это время, прошедшее с последнего обновления. Его называют текущим сроком жизни (от англ. current lifetime).

  • Случайный процесс

    \[ E_t = S_{N_t + 1} - t \]

    — это время, оставшееся до следующего обновления. Его называют остаточным сроком жизни (от англ. excess lifetime).

  • Случайный процесс

    \[ D_t = C_t + E_t = S_{N_t + 1} - S_{N_t} = \xi _{N_t + 1} \]

    — это полное время жизни станка, который работает в момент времени \(t\).

Схема к определению текущего срока жизни \(C_t\), остаточного срока жизни \(E_t\) и полного срока жизни \(D_t\): ступенчатая траектория процесса восстановления и фиксированный момент \(t\), лежащий между соседними обновлениями \(S_{N_t}\) и \(S_{N_t+1}\). Двигайте слайдер \(t\) — фигурные скобки \(C_t\), \(E_t\) и \(D_t\) перестроятся автоматически, а кнопка «Новые моменты обновления» перегенерирует интервалы \(\xi_i \sim \operatorname{Exp}(1)\).

ProblemЗадача 8

Пусть \(N_t\) – процесс восстановления, построенный по \(\xi_1, \xi_2, \ldots\) – НОРСВ, распределенных как \(\operatorname {Exp}(\lambda )\). Соотв., \(N_t\) – это (стационарный) пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\).

  1. Найдите распределение \(E_t\). Вычислите, например, функцию выживания \(\mathbb {P}\left(E_t > v\right)\). Найдите функцию среднего (т.е. матожидание) \(E_t\).

  2. Найдите распределение \(C_t\) (функцию выживания \(\mathbb {P}\left(C_t > u\right)\), например). Найдите функцию среднего \(C_t\).

  3. Вычислите совместную функцию выживания \(\mathbb {P}\left(E_{t}>v, C_{t}>u\right)\).

  4. Докажите, что \(E_{t}\) и \(C_{t}\) – независимы (в фиксированной точке \(t\)) для (стационарного) процесса Пуассона.

HintПодсказка

\(E_t \sim \operatorname {Exp}(\lambda )\), \(C_t \not\sim \operatorname {Exp}(\lambda )\).

ProblemЗадача 9

Пусть \(N_t\) – это (элементарный) пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\), как в предыдущей задаче. Напомним, что \(D_t\) – длительность интервала ожидания на момент \(t\), а \(\xi_1\) – длительность первого интервала.

  1. Покажите, что \(S_{D_t}(x) = \mathbb {P}\left(D_t > x\right) = \left(1 + \lambda \min (t,x)\right)\cdot e^{-\lambda x}\), \(x \geq 0\).

  2. Что больше: функция выживания \(S_{D_t}\) для интервала в произвольное время \(t\) или функция выживания \(S_{\xi_1}\) для первого интервала?

  3. Найдите \(\mathbb {E}\left[D_t\right]\), сравните с \(\mathbb {E}\left[\xi_1\right]\).

HintПодсказка

Воспользуйтесь предыдущей задачей: \(D_t = C_t + E_t\), слагаемые независимы, распределения известны.

Парадокс инспекции: функция выживания \(D_t\) интервала, накрывающего момент наблюдения \(t\), лежит строго выше функции выживания типичного интервала \(\xi_1 \sim \operatorname{Exp}(\lambda)\). Двигайте слайдеры \(\lambda\) и \(t\), чтобы увидеть, как перестраиваются обе кривые (по умолчанию \(\lambda=1\), \(t=2\), как в задаче выше), а кнопкой «Симулировать» запустите \(N=20000\) независимых испытаний: в каждом строится процесс восстановления с интервалами \(\operatorname{Exp}(\lambda)\) и фиксируется длина интервала, накрывающего момент \(t\). Гистограмма таких длин ложится на аналитическую плотность \(D_t\) (полученную дифференцированием \(S_{D_t}\)), а не на плотность типичного интервала \(\operatorname{Exp}(\lambda)\) — это и есть иллюстрация парадокса: интервал, в который «попадает» наблюдатель, в среднем длиннее типичного.

ProblemЗадача 10

Пусть \(N=\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)\)- пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\). Найдите математическое ожидание числа таких его скачков на отрезке \([0, T]\), что

  1. в их правой \(a\)-окрестности нет других скачков (эта окрестность может выходить и за пределы отрезка),

  2. в их левой \(a\)-окрестности нет других скачков.

Сноски

  1. Здесь, конечно, корректнее говорить об убытках, а не о прибыли.↩︎