Винеровский процесс, гауссовские процессы

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Гауссовские процессы

Определение 1 Случайный процесс \(\left(X_{t}, t \in T\right)\) называется гауссовским, если все его конечномерные распределения - гауссовские, т.е. для любого \(n \in \mathbb {N}\) и любых \(t_{1}, \ldots , t_{n} \in T\) случайный вектор \(\left(X_{t_{1}}, \ldots , X_{t_{n}}\right)\) является гауссовским.

Напомним, что распределение гауссовского вектора однозначно определяется его математическим ожиданием и матрицей ковариацией. Значит, конечномерные распределения гауссовской функции однозначно определяются функцией среднего и ковариационной функцией. Какими же свойствами должны обладать эти функции, чтобы такая сл. функция существовала? Функция среднего может быть произвольной, а вот ковариационная функция обязана обладать свойством неотрицательной определенности.

Определение 2 Функция \(f(t, s), t, s \in T\), принимающая действительные значения, называется неотрицательно определенной на \(T \times T\), если \(\forall n, \; \forall t_{1}, \ldots , t_{n} \in T\) матрица \[ \bigg(f(t_i, t_j)\bigg)_{i,j=1}^n = \begin{pmatrix} f(t_1, t_1) & f(t_1, t_2) & \cdots & f(t_1, t_n) \\ f(t_2, t_1) & f(t_2, t_2) & \cdots & f(t_2, t_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ f(t_n, t_1) & f(t_n, t_2) & \cdots & f(t_n, t_n) \\ \end{pmatrix} \] является неотрицательно определенной, т.е. \(\forall \overrightarrow {x} = (x_{1}, \ldots , x_{n})^T \in \mathbb {R}^{n}\) выполнено \[ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \cdot \begin{pmatrix} f(t_1, t_1) & f(t_1, t_2) & \cdots & f(t_1, t_n) \\ f(t_2, t_1) & f(t_2, t_2) & \cdots & f(t_2, t_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ f(t_n, t_1) & f(t_n, t_2) & \cdots & f(t_n, t_n) \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \quad \geq \quad 0 \]

Выражение слева можно переписать в виде

\[ \overrightarrow {x}^T \cdot \left(f(t_i,t_j)\right) \cdot \overrightarrow {x} \qquad \text{ или } \qquad \sum _{i,j = 1}^{n} f(t_i, t_j)x_ix_j \]

Лемма 1 Ковариационная функция \(R(s, t)\) любой случайной функции является неотрицательно определенной и симметричной.

ExampleПример 1

Докажите предыдущую лемму.

SolutionРешение

Пусть \(X = (X_t, t \in T)\) – сл. процесс, для которого \(R(s,t)\) – ковариационная функция. Пусть \(t_1, \ldots , t_n \in T\) – произвольные фиксированные элементы из \(T\), пусть \(\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}\) – произвольный вектор из \(\mathbb {R}^{n}\). Заметим, что матрица \(\left(R(t_i, t_j)\right)_{i,j=1}^n \in \mathbb {R}^{n \times n}\) – это ковариационная матрица для случайного вектора \((X_{t_1}, \ldots , X_{t_n})^T =: X_{t_1 \ldots t_n}\):

\[ \begin{align} \operatorname {Var}\left[X_{t_1 \ldots t_n}\right] = \operatorname {Var}\left[\begin{pmatrix} X_{t_1} \\ X_{t_2} \\ \vdots \\ X_{t_n} \end{pmatrix}\right] & = \begin{bmatrix} \operatorname {Cov}\left[ X_{t_1}, X_{t_1} \right] & \operatorname {Cov}\left[ X_{t_1}, X_{t_2} \right] & \cdots & \operatorname {Cov}\left[ X_{t_1}, X_{t_n} \right] \\ \operatorname {Cov}\left[ X_{t_2}, X_{t_1} \right] & \operatorname {Cov}\left[ X_{t_2}, X_{t_2} \right] & \cdots & \operatorname {Cov}\left[ X_{t_2}, X_{t_n} \right] \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \operatorname {Cov}\left[ X_{t_n}, X_{t_1} \right] & \operatorname {Cov}\left[ X_{t_n}, X_{t_2} \right] & \cdots & \operatorname {Cov}\left[ X_{t_n}, X_{t_n} \right] \\ \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} R(t_1, t_1) & R(t_1, t_2) & \cdots & R(t_1, t_n) \\ R(t_2, t_1) & R(t_2, t_2) & \cdots & R(t_2, t_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ R(t_n, t_1) & R(t_n, t_2) & \cdots & R(t_n, t_n) \end{bmatrix} = \left(R(t_i, t_j)\right)_{i,j=1}^n \end{align} \]

Далее, чем является с точки зрения теории вероятностей выражение \(\overrightarrow {x}^T \cdot \left(R(t_i, t_j)\right) \cdot \overrightarrow {x}\)? Напомним, что если \(Y\) – случайный вектор размерности \(n\), а \(A \in \mathbb {R}^{m \times n}\) – произвольная матрица размерности \(m \times n\), то

\[ \operatorname {Var}\left[A Y\right] = A \operatorname {Var}\left[Y\right] A^T \]

Следовательно,

\[ \begin{align} \overrightarrow {x}^T \cdot \underbrace{\left(R(t_i, t_j)\right)}_{= \operatorname {Var}\left[X_{t_1 \ldots t_n}\right]} \cdot \overrightarrow {x} & = \operatorname {Var}\left[\overrightarrow {x}^T \cdot X_{t_1 \ldots t_n}\right] = \\ & = \operatorname {Var}\left[x_1X_{t_1} + \ldots + x_nX_{t_n}\right] \geqslant 0, \end{align} \]

поскольку дисперсия случайной величины всегда неотрицательна.

Оказывается, неотрицательная определенность и симметричность являются не только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы функция была ковариационной для некоторого случайного процесса. Следующая теорема говорит о том, что подобный процесс может быть выбран даже гауссовским.

Теорема 1 Пусть \(T\)- некоторое множество, a: \(T \rightarrow \mathbb {R}\)- некоторая произвольная функция и \(R: T \times T \rightarrow \mathbb {R}\) – симметричная и неотрицательно определенная функция. Тогда существует вероятностное пространство \((\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})\) и такой гауссовский процесс \(\left(X_{t}, t \in T\right)\) на нем, что \(\forall s, t \in T\) \[ \mathbb {E}\left[X_{t}\right] = a(t), \quad \operatorname {Cov}\left[ X_s, X_t \right] = R(s,t). \]

ExampleПример 2

Докажите, что существует гауссовский процесс \(\left(X_{t}, t \geqslant 0\right)\) с нулевой функцией среднего и ковариационной функцией \(r(s, t)=\min (s, t)\).

SolutionРешение

Согласно теореме Теорема 1, достаточно проверить, что функция \(r(s, t)=\min (s, t)\) является неотрицательно определенной. Для этого рассмотрим следующее интегральное представление: \[ \min (s, t)=\int _{0}^{+\infty } I_{[0, t]}(x) I_{[0, s]}(x) d x . \] Тогда для любых \(t_{1}, \ldots , t_{n} \in \mathbb {R}_{+}, z_{1}, \ldots , z_{n} \in \mathbb {R}\) выполнено \[ \begin{align} \sum _{i, j=1}^{n} \min \left(t_{i}, t_{j}\right) z_{i} z_{j} & =\sum _{i, j=1}^{n}\left(\int _{0}^{\infty } I_{\left[0, t_{i}\right]}(x) I_{\left[0, t_{j}\right]}(x) d x\right) \\ & \quad z_{i} z_{j}= \\ & =\int _{0}^{\infty }\left(\sum _{i, j=1}^{n}\left(z_{i} I_{\left[0, t_{i}\right]}(x)\right)\left(z_{j} I_{\left[0, t_{j}\right]}(x)\right)\right) \\ & \quad d x= \\ & =\int _{0}^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{n} z_{i} I_{\left[0, t_{i}\right]}(x)\right)^{2} d x \geqslant 0 . \end{align} \]

Отметим, что пример можно решить и по-другому, явно предъявив случайный процесс c ковариационной функцией \(\min (s, t)\). Подобным процессом служит пуассоновский процесс интенсивности 1. Вторым подходящим процессом (который, как мы увидим ниже, в отличие от пуассоновского процесса, гауссовский) является винеровский процесс, также называемый процессом броуновского движения.

2 Винеровский процесс: введение

2.1 Винеровский процесс – процесс с независимыми приращениями

У винеровского процесса есть несколько определений. Одно из них следующее: это выходящий из нуля процесс с независимыми приращениями, имеющими распределение \(\mathscr {N}\left(0, t-s\right)\). Как правило, в определение еще включают непрерывность траекторий. Формально:

Определение 3 Случайный процесс \(\left(W_{t}, t \geqslant 0\right)\) называется винеровским процессом или броуновским движением (сокращенно ВП или БД), если

1. \(W_{0}=0\) п.н.;

2. \(W_{t}\) имеет независимые приращения;

3. \(W_{t}-W_{s} \sim \mathcal{N}(0, t-s), \forall t \geqslant s \geqslant 0\).

4. (*) У \(W_t\) п.н. непрерывные траектории.

Модель винеровского процесса впервые была предложена Л. Башелье в 1903 году для моделирования колебаний курсов акций на бирже. С того времени данный процесс стал одним из центральных в теории вероятностей, он активно применяется для моделирования хаотического движения.

Типичные траектории броуновского движения: непрерывные, нигде не дифференцируемые (см. ниже в конспекте свойства траекторий) функции

200 смоделированных траекторий броуновского движения на [0,1]; цвет каждой траектории соответствует её конечному значению W₁. Справа — гистограмма распределения конечных значений по тем же цветовым интервалам.

Теорема 2 Винеровский процесс существует.

Некоторые способы доказать эту теорему, получить винеровский процесс можно увидеть в разделе Глава 4.

2.2 Винеровский процесс – это гауссовский процесс

ExampleПример 3

Докажите, что винеровский процесс является гауссовским.

SolutionРешение

Пусть \(t_{1}, \ldots , t_{n} \in \mathbb {R}_{+}\). Нам необходимо показать, что вектор \(\left(W_{t_{1}}, \ldots , W_{t_{n}}\right)\) является гауссовским. Будем считать, что \(t_{1} \leqslant \ldots \leqslant t_{n}\). Заметим, что в силу определения винеровского процесса, случайные величины \(W_{t_{n}}-\) \(W_{t_{n-1}}, \ldots , W_{t_{2}}-W_{t_{1}}, W_{t_{1}}\) независимы и имеют нормальное распределение. Стало быть, вектор \(\left(W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}}, \ldots , W_{t_{2}}-\right.\) \(\left.W_{t_{1}}, W_{t_{1}}\right)\) является гауссовским. Вектор же \(\left(W_{t_{1}}, \ldots , W_{t_{n}}\right)\) является его линейным преобразованием, значит, он тоже гауссовский и процесс \(W_{t}\) является гауссовским.

Раз винеровский процесс является гауссовским, то важно вычислить его ковариационную функцию и функцию среднего.

ExampleПример 4

Пусть \(\left(W_{t}, t \geqslant 0\right)\) – винеровский процесс. Покажите, что \[ \mathbb {E}\left[W_t\right] = 0, \; \forall t \geqslant 0, \qquad \operatorname {Cov}\left[ W_t, W_s \right] = \min (t,s), \; \forall t,s \geqslant 0 . \]

SolutionРешение

Ковариация: \[ \begin{align} \operatorname {Cov}\left[ W_{t}, W_{s} \right] & = \operatorname {Cov}\left[ W_{t}-W_{s}, W_{s} \right] + \operatorname {Cov}\left[ W_{s}, W_{s} \right] = \quad \text{т.к. $W_{t}-W_{s}$ и $W_s$ независимы} \\ & = 0 + \operatorname {Cov}\left[ W_{s}, W_{s} \right] =\operatorname {Var}\left[W_s\right] = s . \end{align} \] В общем же случае мы получаем, что \[ \operatorname {Cov}\left[ W_t, W_s \right] = \min (t,s) \]

Гауссовость винеровского процесса позволяет сформулировать его второе эквивалентное определение.

Определение 4 Случайный процесс \(\left(W_{t}, t \geqslant 0\right)\) называется винеровским процессом или броуновским движением, если:

1. \(W_{t}\) – гауссовский процесс;

2. \(\mathbb {E}\left[W_{t}\right]=0 \; \forall t \geqslant 0\);

3. \(\operatorname {Cov}\left[ W_s, W_t \right]=\min (s, t), \; \forall s, t \geqslant 0\).

4. (*) У \(W_t\) п.н. непрерывные траектории.

Теорема 3 Первые 3 условия в определении Определение 3 и в определении Определение 4 эквивалентны и однозначно характеризуют конечномерные распределения процесса. Как следствие, определения Определение 3 и Определение 4 (вместе с условием п.н. непрерывности траекторий) эквивалентны.

Второе определение через гауссовость зачастую удобнее для проверки того, что некоторый процесс является винеровским. Проверить гауссовость часто бывает проще, чем проверить независимость приращений.

ExampleПример 5

Пусть \(\left(W_{t}, t \geqslant 0\right)\)- винеровский процесс. Докажите, что процесс \[ B_{t}= \begin{cases} t \cdot W_{\frac{1}{t}}, & t > 0 \\ 0, & t = 0 \end{cases} \] также является винеровским.

SolutionРешение

Проверим второе определение, через гауссовость.

Enum-item1.

\(\forall t_{1}, \ldots , t_{n} > 0\) вектор \(\left(B_0, B_{t_{1}}, \ldots , B_{t_{n}}\right)^T\) является линейным преобразованием вектора

\[ \left(\underbrace{W_{0}}_{=0 \text{ п.н.}}, W_{\frac{1}{t_{1}}}, \ldots , W_{\frac{1}{t_{n}}}\right)^T \]

Этот вектор гауссовский по определению \(W_t\). Значит, \(\left(B_0, B_{t_{1}}, \ldots , B_{t_{n}}\right)^T\) – тоже гауссовский вектор (линейное преобразование гауссовского вектора – всегда гауссовский вектор).

Получили, что \((B_{t})\) – гауссовский процесс.

Enum-item2.

\(\mathbb {E}\left[ B_{t} \right] = 0, \; \forall t \geqslant 0\).

Enum-item3.

\(\operatorname {Cov}\left[ B_{t}, B_{s} \right] = \operatorname {Cov}\left[ t W_{\frac{1}{t}}, s W_{\frac{1}{s}} \right] = t s \min \left(\frac{1}{t}, \frac{1}{s}\right)=\) \(\frac{t s}{\max (t, s)}=\min (t, s), \; \forall t, s > 0\).

Enum-item4.

Непрерывность траекторий? Распишем подробно. Нам известно, что у самого \(W_t\) траектории п.н. непрерывны, т.е. есть такое \(\Omega ' \subset \Omega\), что \(\mathbb {P}\left(\Omega '\right) = 1\) и \(W_t(\omega )\) непрерывно по \(t\) для любого фиксированного \(\omega \in \Omega '\). Если для фиксированного \(\omega\) функция \(W_t(\omega )\), \(t \geq 0\) непрерывна в каждой точке (в нуле непрерывна справа), то \(t \cdot W_{1/t}(\omega )\) будет непрерывна при всех \(t \in (0,+\infty )\). Остается вопрос с непрерывностью справа в нуле. Здесь нам нужно немного забежать вперед и воспользоваться результатом задачи Лемма 2:

\[ t \cdot W_{1/t} \xrightarrow [t \to 0+]{\text{п.н.}} 0 \]

Т.е. существует \(\Omega '' \subset \Omega\), что \(\mathbb {P}\left(\Omega ''\right) = 1\) и \(t \cdot W_{1/t}(\omega ) \to 0\) при \(t \to 0+\) для любого фиксированного \(\omega \in \Omega ''\). В итоге для любого \(\omega \in \Omega ' \cap \Omega ''\) траектория \(B_t(\omega )\) непрерывна в каждой точке \([0,+\infty )\). При этом \(\mathbb {P}\left(\Omega ' \cap \Omega ''\right) = 1\). Получили п.н. непрерывность траекторий \(B_t\).

Значит, процесс \((B_{t}, \; t \geq 0)\) является винеровским.

ProblemЗадача 1

Пусть \(\left(W_{t}, t \geqslant 0\right)\) винеровский процесс. Докажите, что следуюшие процессы тоже винеровские:

1. отраженный от оси абсцисс винеровский процесс: \(X_{t}:=-W_{t}\);

2. винеровский процесс с измененным масштабом времени: \(X_{t}:=\sqrt{c} W_{t / c}, c>0\);

3. начатый в точке \(t_0 > 0\) винеровский процесс: \(X_{t}:=W_{t+t_0}-W_{t_0}\), \(t_0 > 0\) – произвольный фиксированный момент времени;

4. отраженный в точке \(t_0 > 0\) винеровский процесс:

\[ X_t := \begin{cases} W_t, & t < t_0 \\ 2W_{t_0} - W_t, & t \geqslant t_0 \end{cases}, \]

где \(t_0 > 0\) – произвольный фиксированный момент времени.

ProblemЗадача 2

Пусть \(\left(B_{t}, t \in [0,1]\right)\) – п.н. непрерывный гауссовский процесс с нулевой функцией среднего и ковариационной функцией \(\operatorname {Cov}\left[ B_t, B_s \right]=\min (s, t)-st\).

1. Докажите, что такой процесс существует;

2. Докажите, что процесс

   \[ \tilde{W}_s := (s+1)B_{\frac{s}{s+1}}, \qquad s \geq 0 \]

   является винеровским.

3. \(B_t\) – это процесс с независимыми приращениями?

Примечание. Процесс \((B_t, t \in [0,1])\) называют броуновским мостом, поскольку наибольшая дисперсия у него достигается в точке \(\frac{1}{2}\), а в концах отрезка \([0,1]\) он п.н. равен нулю.

HintПодсказка

Вам известно, что винеровский процесс существует. Используйте это. Пункт б) дает подсказку, как выразить броуновский мост через винеровский процесс.

ProblemЗадача 3

1. Пусть \(\left(W_{t}, t \in [0,1]\right)\) – винеровский процесс на отрезке \([0,1]\). Докажите, что \(B_t = W_t - tW_1\) – броуновский мост;

2. Пусть \(\left(B_{t}, t \in [0,1]\right)\) – броуновский мост, \(Z \sim \mathscr {N}\left(0, 1\right)\) – стандартная норм. случайная величина, независимая от \((B_t)\). Докажите, что \(W_t := B_t + tZ\) – винеровский процесс на отрезке \([0,1]\).

3 Винеровский процесс: свойства траекторий

Строгие доказательства основных фактов из данного раздела можно найти в (Булинский и Ширяев 2005 г., III).

3.1 Локальные свойства траекторий

По определению винеровского процесса у него п.н. непрерывные траектории. На тех исходах, где траектории все таки разрывные, процесс можно переопределить нулем. Конечномерные распределения от этого не изменятся, зато теперь все траектории будут непрерывными. Когда все траектории непрерывны, это немного упрощает понимание.

Теорема 4 (Пэли-Винер-Зигмунд) С вероятностью 1 траектория \(\left(W_{t}, t \geqslant 0\right)\) не дифференцируема ни в одной точке \(\mathbb {R}_{+}\).

Доказательство этой теоремы непростое, можно найти в (Булинский и Ширяев 2005 г., III,§ 1).

Таким образом, винеровский процесс действительно моделирует хаотическое движение: его типичная траектория непрерывна, но совсем не гладкая (подобно функции Вейерштрасса).

Углубим понимание непрерывности траекторий.

Теорема 5 Пусть \(W_t\) – это броуновское движение.

• Для произвольного \(\gamma \in (0,\frac{1}{2})\) п.н. все траектории броуновского движения являются непрерывными по Гельдеру с показателем \(\gamma\) на любом компакте.

• Для произвольного \(\gamma \in [\frac{1}{2},1]\) п.н. все траектории броуновского движения не являются непрерывными по Гельдеру с показателем \(\gamma\) на любом компакте.

Напомним, что функция \(f: \mathbb {R}_+ \to \mathbb {R}\) называется непрерывной по Гельдеру на множестве \(A \subset \mathbb {R}_+\) с показателем \(\gamma > 0\), если существует константа \(C > 0\), что

\[ \left|f(x) - f(y)\right| \leq C \cdot \left|x - y\right|^{\gamma } \]

для всех \(x,y \in A\).

3.2 Вариация траекторий

Подробности в (Schilling 2021 г., Chapter 9).

Вспомним определение \(p\)-вариации: пусть \(f:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}^d\) — (неслучайная) функция, и пусть

\[ \Delta = \left\{ t_0, t_1, \ldots , t_n\right\} , \qquad \text{причем } \qquad 0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_{n} = t \]

– конечное разбиение интервала \([0, t]\). Через \(\left|\Delta \right|:=\max_{1 \leqslant j \leqslant n}\left(t_j-t_{j-1}\right)\) мы обозначаем диаметр разбиения. Для \(p>0\) пусть

\[ Q_p(f, [0,t], \Delta ) := \sum _{i=1}^{n}\left|f(t_i) - f(t_{i-1})\right|^p \]

– это сумма \(p\)-вариаций по разбиению \(\Delta\). Супремум по всем конечным разбиениям – это сильная или полная \(p\)-вариация функции \(f\) на отрезке \([0,t]\):

\[ \operatorname {VAR}_p(f, \; [0,t]) := \sup _{\Delta } Q_p(f, [0,t], \Delta ) \]

Если \(\operatorname {VAR}_1(f ; [0, t])<\infty\), то говорят, что функция \(f\) – это функция с ограниченной или конечной (полной) вариацией.

Часто используется понятие \(p\)-вариации вдоль заданной последовательности конечных разбиений \(\left(\Delta_k\right)_{k \geqslant 1}\) области \([0, t]\) с \(\lim_{k \rightarrow \infty }\left|\Delta_k\right|=0\):

\[ \operatorname {var}^{\left\{ \Delta _k\right\} }_p(f ;[0, t]):=\lim _{\left|\Delta _k\right| \rightarrow 0} Q_p(f ;[0, t] ; \; \Delta _k) . \]

Заметим, что \(\operatorname {VAR}_p(f ;[0, t])\) всегда определено (т.е. для любых функций, для любого \(p > 0\) и для любого отрезка), в отличие от \(\operatorname {var}^{\left\{ \Delta_k\right\} }\), которое может расходиться. Хотя, конечно, \(\operatorname {VAR}_p(f ;[0, t])\) может принимать значение \(+\infty\). Если \(\operatorname {var}^{\left\{ \Delta_k\right\} }_p(f ;[0, t])\) все таки существует (вдоль какой-то последовательности разбиений \(\left\{ \Delta_k\right\}_{k \in \mathbb {N}}\) отрезка \([0,t]\)), то

\[ \operatorname {VAR}_p(f ;[0, t]) \; \geqslant \; \operatorname {var}^{\left\{ \Delta _k\right\} }_p(f ;[0, t]) \]

Когда вместо \(f(s)\) используется случайная функция \(X(s, \omega )\), то \(\operatorname {var}_p(X(\cdot , \omega ) ;[0, t])\) может быть пределом по распределению, по вероятности, в \(L^q\) и почти наверное. При этом последовательность разбиений \(\left(\Delta_k\right)_{k \geqslant 1}\) не должна зависеть от \(\omega\).

3.2.1 1-вариация

Хорошо известный результат из анализа гласит, что функция с ограниченной вариацией почти всюду дифференцируема. Поскольку из предыдущего раздела известно, что почти ни один броуновский путь нигде не дифференцируем, мы можем заключить, что траектории БД не имеют ограниченной вариации п.н.

Теорема 6 П.н. все траектории БД обладают следующим свойством: на любом ограниченном отрезке \([0,t]\) у них бесконечная \(1\)-вариация.

Конечность \(1\)-вариации означает, что траектория спрямляема. Следовательно, практически ни один путь БД не является спрямляемым; то есть график имеет бесконечную длину на любом ограниченном отрезке.

Следствие 1 Более того, п.н. все траектории БД имеют бесконечную \(p\)-вариацию на любом ограниченном отрезке для любого \(p < 2\): \[ \operatorname {VAR}_p(W;[0,t]) = +\infty \quad \text{п.н.}, \qquad \forall p < 2, \; \forall t > 0. \]

Таким образом, теорема выше – лишь частный случай \(p=1\). Доказывается это уже не через недифференцируемость, а напрямую через квадратическую вариацию (см. ниже): максимум приращения по разбиению стремится к \(0\) п.н. в силу равномерной непрерывности траектории на \([0,t]\), а сумма \(p\)-вариаций при \(p=2-\delta\) оценивается сверху через (этот максимум)\(^\delta\), умноженный на сумму квадратов приращений – которая остаётся ограниченной (см. (Schilling 2021 г., Corollary 9.2)).

3.2.2 Квадратическая вариация

Мы знаем, что броуновские траектории — это непрерывные функции с плохим поведением. Они не дифференцируемы и не спрямляемы. При попытке вычислить длину траектории \(W(t), 0 \leq t \leq 1\),

\[ Q_1(W_t, [0,t], \Delta ) := \sum _{i=1}^{n}\left|W_{t_i} - W_{t_{i-1}}\right| \]

Если \(\left|\Delta \right|\) мало, то каждая отдельная разность

\[ \left|W_{t_i} - W_{t_{i-1}}\right| = \left|W_{t_i}(\omega ) - W_{t_{i-1}}(\omega )\right| \]

мала по непрерывности, но недостаточно мала, чтобы суммы сходились. Если мы уменьшим отдельные разности, скажем, возведя каждую в квадрат, то можно надеяться, что предел будет конечным.

Теорема 7 Пусть \((W_t, t\geq 0)\) – это ВП на некотором вероятностном пространстве \((\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})\). Пусть \(t > 0\) – фиксированное. Тогда имеет место сходимость \[ Q_{2}(W_t; [0,t]; \Delta ) \quad \xrightarrow [\left|\Delta \right| \to 0]{L^2(\Omega )} t \] А именно, для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta > 0\), такое что для любого разбиения \(\Delta\) отрезка \([0,t]\) с \(\left|\Delta \right| < \delta\) выполнено \[ \left\| \; Q_{2}(W_t; [0,t]; \Delta ) \; \; - \; \; t\; \right\| _{L^2} \quad < \quad \varepsilon \]

Пусть \(\Delta = \left\{ 0=t_0 < t_1 < \ldots < t_n = t\right\}\) – разбиение отрезка \([0,t]\). Заметим, что \(t = \sum_{i=1}^{n}(t_i - t_{i-1})\). Тогда

\[ \begin{align} \mathbb {E}\left[\left(Q_2(W_t;[0,t];\Delta ) - t\right)^2\right] & = \\ & \quad \mathbb {E}\left[\left(\sum _{i=1}^{n} \left((W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2 - (t_i - t_{i-1})\right)\right)^2\right] = \\ & = \sum _{i=1}^{n} \mathbb {E}\left[\left((W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2 - (t_i - t_{i-1})\right)^2\right], \end{align} \]

где во втором равенстве мы воспользовались тем, что слагаемые \((W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2 - (t_i - t_{i-1})\) независимы (т.к. приращения ВП на непересекающихся интервалах независимы) и имеют нулевое среднее, поэтому все смешанные произведения при раскрытии квадрата суммы обнуляются.

Если \(X \sim \mathscr {N}\left(0, \sigma^2\right)\), то

\[ \mathbb {E}\left[(X^2 - \sigma ^2)^2\right] = \mathbb {E}\left[X^4\right] - 2 \sigma ^2 \mathbb {E}\left[X^2\right] + \sigma ^4 = 3\sigma ^4 - 2\sigma ^4 + \sigma ^4 = 2 \sigma ^4, \]

т.к. \(\mathbb {E}\left[X^4\right] = 3\sigma^4\). Применяя это к \(X = W_{t_i} - W_{t_{i-1}} \sim \mathscr {N}\left(0, t_i - t_{i-1}\right)\), получаем

\[ \begin{align} \mathbb {E}\left[\left(Q_2(W_t;[0,t];\Delta ) - t\right)^2\right] & = \sum _{i=1}^{n} 2 (t_i - t_{i-1})^2 \leq \\ & \leq 2\left|\Delta \right| \sum _{i=1}^{n} (t_i - t_{i-1}) = 2\left|\Delta \right| \cdot t \xrightarrow [\left|\Delta \right| \to 0]{} 0. \end{align} \]

Теорема выше даёт сходимость \(Q_2(W_t;[0,t];\Delta ) \to t\) в \(L^2\) вдоль произвольной последовательности разбиений с \(\left|\Delta_k\right|\to 0\). Для сходимости почти наверное произвольной последовательности уже недостаточно – нужны дополнительные условия на то, как устроены разбиения. Ниже – три достаточных условия разной природы (без доказательств, см. (Schilling 2021 г.,  9.2)).

Теорема 8 (Леви, 1948) Пусть \((\Delta_k)_{k\geq 1}\) – последовательность разбиений отрезка \([0,t]\) такая, что \(\sum_{k=1}^{\infty }\left|\Delta_k\right| < \infty\). Тогда \[ Q_2(W_t;[0,t];\Delta _k) \xrightarrow [k\to \infty ]{\text{п.н.}} t. \]

Доказывается через неравенство Чебышёва (та же оценка \(\mathbb {P}\left(\left|Q_2(\Delta )-t\right|>\varepsilon \right)\), что и в доказательстве теоремы выше) и лемму Бореля-Кантелли: раз \(\sum_k \left|\Delta_k\right|<\infty\), то и \(\sum_k \mathbb {P}\left(\left|Q_2(\Delta_k)-t\right|>\varepsilon \right) < \infty\) для каждого \(\varepsilon >0\).

Теорема 9 (Дадли, 1973) Условие суммируемости можно ослабить: если \(\left|\Delta_k\right| = o\left(1/\log k\right)\), то по-прежнему \[ Q_2(W_t;[0,t];\Delta _k) \xrightarrow [k\to \infty ]{\text{п.н.}} t. \]

Доказательство сложнее (экспоненциальные моменты и подбор параметра в духе неравенства Чернова), но по сути тот же метод: оценить вероятности уклонения и просуммировать по Борелю-Кантелли.

Теорема 10 (Леви, 1940) Если \((\Delta_k)_{k\geq 1}\) – вложенная последовательность разбиений (\(\Delta_k \subset \Delta_{k+1}\)) с \(\left|\Delta_k\right|\to 0\), то \[ Q_2(W_t;[0,t];\Delta _k) \xrightarrow [k\to \infty ]{\text{п.н.}} t \] без каких-либо условий на скорость убывания \(\left|\Delta_k\right|\).

Здесь идея другая: величины \(Q_2(\Delta_k)\), если смотреть на них в обратном порядке (\(k \to \infty\) вместо \(k \to 1\)), образуют обратный мартингал, а для обратных мартингалов есть своя теорема о п.н. сходимости.

Важно не путать \(\operatorname {var}_2^{\{ \Delta_k\} }\) вдоль конкретной последовательности разбиений (то, что обсуждалось выше – предел всегда равен \(t\)) с сильной вариацией \(\operatorname {VAR}_2\) – супремумом по всем разбиениям, включая разбиения, зависящие от \(\omega\). Это принципиально разные вещи:

Теорема 11 (Леви, 1948) Для п.н. \(\omega\) существует своя (зависящая от \(\omega\)) вложенная последовательность разбиений \((\Delta_k(\omega ))_{k\geq 1}\) отрезка \([0,1]\) с \(\left|\Delta_k(\omega )\right| \to 0\), вдоль которой \[ Q_2(W(\cdot ,\omega ); [0,1]; \Delta _k(\omega )) \xrightarrow [k\to \infty ]{} +\infty . \]

Следствие 2 Следовательно, сильная квадратическая вариация БД бесконечна п.н.: \[ \operatorname {VAR}_2(W(\cdot ,\omega );[0,1]) = +\infty \qquad \text{для п.н. } \omega \in \Omega . \]

Вот и обещанный пример строгого неравенства \(\operatorname {VAR}_p > \operatorname {var}_p^{\{ \Delta_k\} }\) из самого начала параграфа: вдоль “хороших” последовательностей \(\operatorname {var}_2 = t < \infty\), но супремум по всем разбиениям равен \(+\infty\). Смысл: если разбиение подбирать под конкретную траекторию (а не фиксировать заранее), всегда найдутся “быстрые” участки, где приращение накапливается быстрее, чем \(\sqrt{\text{длина}}\).

Теорема 12 (Фридман, 1971) Симметрично, для п.н. \(\omega\) также существует своя вложенная последовательность разбиений \((\Delta_k'(\omega ))_{k\geq 1}\) отрезка \([0,1]\) с \(\left|\Delta_k'(\omega )\right|\to 0\), вдоль которой \[ Q_2(W(\cdot ,\omega );[0,1];\Delta _k'(\omega )) \xrightarrow [k\to \infty ]{} 0. \]

То есть, играя разбиениями, квадратическую вариацию одной и той же траектории можно “подогнать” как угодно – хоть к \(0\), хоть к \(+\infty\). Только для заранее фиксированных (не подстроенных под \(\omega\)) разбиений ответ всегда один и тот же – \(t\) (три теоремы выше).

Следствие 3 Теорема о квадратической вариации верна не только для ВП, а для произвольного непрерывного мартингала \((X_t, \mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\), \(X_0=0\), такого что \((X_t^2 - t, \mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) тоже мартингал: для любой последовательности разбиений \(\Delta_k\) отрезка \([0,t]\) с \(\left|\Delta_k\right|\to 0\) \[ Q_2(X;[0,t];\Delta _k) \xrightarrow [k\to \infty ]{L^2(\Omega )} t. \]

Доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы для ВП: вместо независимости приращений используется мартингальность (условное мат. ожидание произведения “непересекающихся” приращений всё равно зануляется по башенному свойству).

Теорема 13 (Мартингальная характеризация Леви, 1948) Пусть \((X_t, \mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\), \(X_0=0\) – непрерывный мартингал такой, что \((X_t^2-t,\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) тоже мартингал. Тогда \((X_t)_{t\geq 0}\) – винеровский процесс.

Это обращение факта из следствия Следствие 3: свойство “квадратическая вариация линейна и равна \(t\)” не просто следствие того, что процесс – ВП, а его полная характеризация среди непрерывных мартингалов. Именно эта теорема лежит в основе многих конструкций в стохастическом анализе – например, доказательств того, что тот или иной стохастический интеграл или предел процессов является винеровским.

ProblemЗадача 4

Пусть \(\left(W_{t}, t \geq 0\right)\) – винеровский процесс, \([a,b] \subset \mathbb {R}_+\). Пусть \((\Delta_n)_{n \geq 1}\) – последовательность разбиений отрезка \([a,b]\) с \(\left|\Delta_n\right| \xrightarrow [n \to +\infty ]{} 0\). Положим \[ U_{n} := Q_2(W, [a,b], \Delta _n) \] Найдите предел в среднем квадратическом (в \(L^2\)) величин \(U_{n}\), когда \(n \rightarrow +\infty\).

3.3 Предельные свойства траекторий

3.3.1 ЗБЧ

Приведем аналог закона больших чисел (ЗБЧ) для винеровского процесса: при \(t > 0\) имеем

\[ \frac{W_t}{t} \sim \mathscr {N}\left(0, \frac{t}{t^2}\right) = \mathscr {N}\left(0, \frac{1}{t}\right) \xrightarrow [t \to \infty ]{} 0 \]

Значит

\[ \frac{W_t}{t} \xrightarrow [t \to \infty ]{\mathbb {P}, d} 0 \]

Более того, оказывается верным усиленный (траекторный) ЗБЧ:

Лемма 2 Пусть \((W_t, t \geq 0)\) – винеровский процесс. Тогда \[ \frac{W_t}{t} \xrightarrow [t \to \infty ]{\text{п.н.}} 0 \]

3.3.2 ЦПТ

С другой стороны, для винеровского процесса можно сформулировать аналог центральной предельной теоремы (ЦПТ): при \(t > 0\) имеем \(\frac{W_t}{\sqrt{t}} \sim \mathscr {N}\left(0, 1\right)\). Т.е. можно записать \(\frac{W_t}{\sqrt{t}} \xrightarrow [t \to \infty ]{d} \mathscr {N}\left(0, 1\right)\). Но что происходит с траекториями \(\frac{W_t}{\sqrt{t}}\)?

Лемма 3 Траектории \(\frac{W_t}{\sqrt{t}}\) п.н. имеют множество предельных точек, равное \(\mathbb {R}\). Эквивалентно: \[ \mathbb {P}\left(\varlimsup _{n \to \infty } \frac{W_t}{\sqrt{t}} = +\infty \right) = \mathbb {P}\left(\varliminf _{n \to \infty } \frac{W_t}{\sqrt{t}} = -\infty \right) = 1 \]

Как следствие получаем, что \(\frac{W_t}{\sqrt{t}}\) не может сходиться п.н., т.е. не существует такой случ. вел. \(\xi\), такой что \(\frac{W_t}{\sqrt{t}} \xrightarrow [t \to +\infty ]{\text{п.н.}} \xi\). Оказывается, это верно и для сходимости по вероятности.

Лемма 4 Не существует такой случайной величины \(\xi\), что \[ \frac{W_{t}}{\sqrt{t}} \; \xrightarrow [t \to +\infty ]{\mathbb {P}}\; \xi \]

3.3.3 Закон повторного логарифма

Закон повторного логарифма – это утверждение, работающее “между” аналогом закона больших чисел (ЗБЧ) для винеровского процесса и аналогом центральной предельной теоремы (ЦПТ) для винеровского процесса.

Теорема 14 Выполнен закон повторного логарифма: \[ \begin{align} \mathbb {P}\left(\varlimsup _{t \to +\infty } \frac{W_{t}}{\sqrt{2 t \ln \ln t}} = 1\right) & = \mathbb {P}\left(\varliminf _{t \to +\infty } \frac{W_{t}}{\sqrt{2 t \ln \ln t}} = -1\right) \\ & = 1 \end{align} \] Т.е. п.н. для всех элементарных исходов \(\omega \in \Omega\) множество предельных точек непрерывной функции \(\frac{W_t(\omega )}{\sqrt{2t \ln \ln (t)}}\) равно \([-1,1]\).

Доказательство закона повторного логарифма достаточно сложное, его можно найти в (Булинский и Ширяев 2005 г., III, § 11). Здесь же мы обсудим его смысл.

Согласно этой теореме почти все траектории винеровского процесса остаются внутри расширяющейся “трубы” между кривыми \(\pm (1 + \varepsilon )\sqrt{2t \ln \ln (t)}\) (для любого \(\varepsilon > 0\), начиная с некоторого \(t_0(\varepsilon , \omega )\)). В то же время с вероятностью 1 они бесконечно часто “выскакивают” из “трубы” с границей \(\pm (1 - \varepsilon )\sqrt{2t \ln \ln (t)}\).

Одна траектория винеровского процесса (лог-шкала по t) и труба ±(1±ε)√(2t ln ln t). Согласно закону повторного логарифма, начиная с некоторого t₀(ε,ω), траектория остаётся внутри внешней трубы (сплошная), но бесконечно часто выходит за внутреннюю (пунктир) — двигайте слайдер ε, чтобы увидеть это для разных ε > 0.

Попробуем свести все имеющиеся у нас предельные свойства винеровского процесса в одну таблицу.

		Тип сходимости (в порядке ослабления)
		Сходимость потраекторная, т.е. п.н.	Сходимость по вероятности	Сходимость по распределению
Скалир. функции (в порядке доминирования)	\(\displaystyle t\)	\(\displaystyle \overset{\text{п.н.}}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{t}=0\)	\(\displaystyle \overset{\mathbb P}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{t}=0\)	\(\displaystyle \overset{d}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{t}=0\)
	\(\displaystyle \sqrt{t}\times\sqrt{2\ln\ln(t)}\)	\(\displaystyle \overset{\text{п.н.}}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{\sqrt{2t\ln\ln(t)}}=[-1,1]\)	\(\displaystyle \overset{\mathbb P}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{\sqrt{2t\ln\ln(t)}}=0\)	\(\displaystyle \overset{d}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{\sqrt{2t\ln\ln(t)}}=0\)
	\(\displaystyle \sqrt{t}\)	\(\displaystyle \nexists\,\xi:\ \overset{\text{п.н.}}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{\sqrt{t}}=\xi\)	\(\displaystyle \nexists\,\xi:\ \overset{\mathbb P}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{\sqrt{t}}=\xi\)	\(\displaystyle \overset{d}{\lim_{t\to+\infty}}\ \frac{W_t}{\sqrt{t}}=\mathcal N(0,1)\)

Таблица 1.1: Предельные свойства винеровского процесса. WARNING! Нестандартное обозначение! Выражение \(\lim_{t\to+\infty} g(t) = A\) для некоторой функции \(g:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}\) и для множества \(A\subset\mathbb{R}\) означает, что \(A\) – множество всех предельных точек \(g(t)\) при \(t\to+\infty\).

Обсудим с иного ракурса смысл закона повторного логарифма. Если в ЗБЧ мы скалировали винеровский процес функцией \(t\), а в ЦПТ функцией \(\sqrt{t}\), то здесь мы винеровский процесс делим на функцию \(\sqrt{2t \ln \ln (t)}\). Заметим, что \(t \gg \sqrt{2t \ln \ln (t)} \gg \sqrt{t}\) при \(t \to +\infty\), т.е.

\[ \sqrt{2t \ln \ln (t)} = o\left(t\right), \quad \sqrt{t} = o\left(\sqrt{2t \ln \ln (t)}\right) \quad \text{при } \; t \to +\infty . \]

20 траекторий винеровского процесса и три скалирующие функции: t (чёрный, штрихпунктир), √(2t ln ln t) (оранжевый) и √t (серый). Двигайте слайдер T: чем длиннее горизонт, тем заметнее t = o-большое от пучка, а пучок сам растёт как √t, идя вдоль √(2t ln ln t).

Далее, заметим, что если \(f(t) = o\left(\sqrt{2t \ln \ln (t)}\right)\) – некоторая положительная функция, доминируемая \(\sqrt{2t \ln \ln (t)}\), то из закона повторного логарифма вытекает

\[ \begin{align} \frac{W_t}{f(t)} & = \underbrace{\frac{\sqrt{2t \ln \ln (t)}}{f(t)}}_{\to +\infty \text{ п.н.}} \underbrace{\frac{W_t}{\sqrt{2t \ln \ln (t)}}}_{\to [-1,1] \text{ п.н.}} \\ & \quad \xrightarrow [t \to +\infty ]{\text{п.н.}} \mathbb {R} \end{align} \]

Если же \(g(t)\) – некоторая положительная функция, доминирующая \(\sqrt{2t \ln \ln (t)}\), т.е. \(\sqrt{2t \ln \ln (t)} = o\left(g(t)\right)\), то

\[ \begin{align} \frac{W_t}{g(t)} & = \underbrace{\frac{\sqrt{2t \ln \ln (t)}}{g(t)}}_{\to 0 \text{ п.н.}} \underbrace{\frac{W_t}{\sqrt{2t \ln \ln (t)}}}_{\to [-1,1] \text{ п.н.}} \\ & \quad \xrightarrow [t \to +\infty ]{\text{п.н.}} 0. \end{align} \]

Таким образом, при \(t \to +\infty\) функция \(\sqrt{2t \ln \ln (t)}\) – именно та функция между \(\sqrt{t}\) и \(t\), при скалировании на которую траектории винеровского процесса п.н. имеют нетривиальный набор предельных точек: не \(\left\{ 0\right\}\) и не \(\mathbb {R}\).

Одна и та же траектория винеровского процесса в трёх нормировках (лог-шкала по t, начало обрезано при t < 0.4 — там все три отношения взрываются). Деление на t (чёрная) давит траекторию к нулю — это УЗБЧ. На √t (синяя) — ничего не давит, колебания остаются порядка 1. Красная W_t/√(2t ln ln t) — промежуточный режим ЗПЛ: на бесконечном горизонте именно у неё множество предельных точек [-1,1]. Двигайте слайдер T.

С другой стороны если положительная ф-я \(f(t)\) доминирует \(\sqrt{t}\), т.е. \(\sqrt{t} = o\left(f(t)\right)\), то

\[ \begin{align} \frac{W_t}{f(t)} & = \underbrace{\frac{\sqrt{t}}{f(t)}}_{\to 0} \cdot \underbrace{\frac{W_t}{\sqrt{t}}}_{ \sim \mathscr {N}\left(0, 1\right)} \\ & \quad \xrightarrow [t \to +\infty ]{d,\mathbb {P}} 0 \end{align} \]

Следовательно, при \(t \to +\infty\) функция \(\sqrt{2t \ln \ln (t)}\) – именно та функция \(f(t)\) между \(\sqrt{t}\) и \(t\), при скалировании на которую

\[ \begin{align} \frac{W_t}{f(t)} & \; \xrightarrow [t \to +\infty ]{d,\mathbb {P}} \; 0, \\ & \quad \text{ но } \quad \frac{W_t}{f(t)} \; \stackrel{\text{п.н.}}{\not\to } \; 0 \quad \text{ при } \quad t \to +\infty \end{align} \]

Один и тот же пучок из 20 траекторий винеровского процесса в трёх нормировках (одна траектория выделена во всех панелях; лог-шкала по t, начало t < 0.4 обрезано). Слева: W_t/√t — разброс не сжимается и не растёт (режим ЦПТ). В центре: W_t/√(2t ln ln t) — пучок постепенно прижимается к полосе [-1,1] (пунктир) — это ЗПЛ. Справа: W_t/t — пучок коллапсирует к нулю (УЗБЧ). Двигайте общий слайдер горизонта T.

ProblemЗадача 5

Докажите, что \(\frac{W_t}{\sqrt{t}} \xrightarrow [t \to +\infty ]{\text{п.н.}} \mathbb {R}\), т.е. п.н. множество предельных точек траектории \(\frac{1}{\sqrt{t}}W_{t}(\omega )\), \(t\in \mathbb {R}_+\) – это \(\mathbb {R}\).

1. Можете пользоваться законом повторного логарифма;

2. Пользоваться законом повторного логарифма нельзя.

ProblemЗадача 6

Докажите, что \(\frac{W_t}{t} \xrightarrow [t \to +\infty ]{\text{п.н.}} 0\),

1. используя закон повторного логарифма;

2. без использования закона повторного логарифма.

ProblemЗадача 7

Пусть \((W_t, t \geq 0)\) – винеровский процесс. Докажите, что не существует такой случ. вел. \(\xi\), такой что \[ \frac{W_t}{\sqrt{t}} \; \xrightarrow [t \to +\infty ]{\mathbb {P}} \; \xi \]

HintПодсказка

Рассмотрите \(\frac{W_{2t}}{\sqrt{2t}} - \frac{W_t}{\sqrt{t}}\) при \(t \to +\infty\).

ProblemЗадача 8

Докажите, что \(\frac{W_t}{\sqrt{2t \ln \ln (t)}} \xrightarrow [t \to +\infty ]{\mathbb {P}, d} 0\).

ProblemЗадача 9

Пользуясь законом повторного логарифма, докажите локальный закон повторного логарифма для винеровского процесса: \[ \frac{W_t}{\sqrt{2t \ln \ln (1/t)}} \; \xrightarrow [t \to 0+]{\text{п.н.}} \; [-1,1] \]

4 Построение винеровского процесса

Мы будем ниже строить винеровский процесс в основном на отрезке \([0,1]\). Но из винеровского процесса на \([0,1]\) можно получить винеровский процесс на \(\mathbb {R}_+\).

ProblemЗадача 10

Пусть \((W_t, t \in [0,1])\) – винеровский на отрезке \([0,1]\). Как можно из \(W_t\) получить винеровский процесс \((W'(t), t \in \mathbb {R}_+)\) на всем \(\mathbb {R}_+\)?

4.1 Построение Колмогорова

Рассмотрим более подробно определение ВП Определение 3. Первые 3 условия однозначно (вам это нужно будет доказать) задают конечномерные распределения процесса, а значит и само распределение процесса. 4-е условие налагает ограничения на траектории. У нас есть теорема WOW!!!, позволяющая строить процессы с независимыми приращениями, а также теорема Колмогорова о непрерывной модификации, позволяющая получать для процессов модификации (т.е. сохраняя распределения) с непрерывными траекториями. Обе были доказаны Колмогоровым. В этом и состоит построение Колмогорова винеровского процесса.

ProblemЗадача 11

1. Докажите, что существует процесс, удовлетворяющий условиям 1-3 из Определение 3.

2. Докажите, что винеровский процесс существует.

HintПодсказка

Enum-item(1)

Воспользуйтесь теоремой Колмогорова о существовании для процессов с независимыми приращениями для процессов с независимыми приращениями.

Enum-item(2)

Воспользуйтесь пунктом а) и теор. Колмогорова о непрерывной модификации.

4.2 Построение через ряд из непрерывных функций со случайными коэффициентами

Построение из предыдущего параграфа сложно визуализировать, оно носит теоретический характер. Построение в этом параграфе более наглядно. Напомним некоторую теорию.

4.2.1 Гильбертово пространство \(L^2[0,1]\)

Мы предполагаем, что работаем над полем действительных чисел \(\mathbb {R}\).

\(L^2[0,1] = L^2\left([0,1], \mathscr {B}\left([0,1]\right), \lambda \right)\) – это пространство Лебега, т.е. пространство функций из \([0,1]\) в \(\mathbb {R}\) (точнее, классов эквивалентности функций по отношению равенства \(\lambda\)-п.н.), которые являются квадратично интегрируемыми:

\[ \int f^2 \; d\lambda = \int _{[0,1]}f^2(x) \; \lambda (dx) < \infty \]

На нем вводится форма

\[ \left\langle f, g \right\rangle := \int _{[0,1]} f(x) \cdot g(x) \; \lambda (dx) \]

удовлетворяющая аксиомам скалярного произведения. Причем относительно этого скалярного произведения (а точнее метрики, им порожденной) пространство \(L^2[0,1]\) явл. полным, т.е. гильбертовым пространством.

4.2.2 Ортонормированный базис

Рассмотрим семейство векторов \(\left\{ e_n\right\}\), параметризованное каким-то счетным множеством. Не ограничивая общности, мы будем считать, что \(n \in \mathbb {N} = \left\{ 1,2,\ldots \right\}\), хотя на практике иногда удобно брать \(n \in \mathbb {Z}_+ = \left\{ 0,1,2,\ldots \right\}\) или \(n \in \mathbb {Z}\).

Семейство \(\left\{ e_n\right\}_{ n \in \mathbb {N}}\) называется ортонормированным базисом (сокр. ОНБ) в гильбертовом пространстве \(V\), если

• вектора ортонормированы:

  \[ \left\langle e_i, e_j \right\rangle = \begin{cases} 1, & i = j\\ 0, & i \neq j \end{cases} \]

• система полна, т.е. конечными линейными комбинациями из нее можно приблизить любой вектор из \(V\). Иначе говоря,

  \[ V = \overline{\operatorname {span}\left(\left\{ e_n\right\} _{n \in \mathbb {N}}\right)} \]

Если \(\left\{ e_n\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) – это ОНБ в \(V\), то любой вектор \(f \in V\) единственным образом представляется в виде

\[ f = \sum _{n=1}^{+\infty } \alpha _n \cdot e_n, \]

причем \(\alpha_n\) определяются так: \(\alpha_n = \left\langle f, e_n \right\rangle\). Более того, выполнено

Лемма 5 (Равенство Парсеваля) Если \(\left\{ e_n\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) – ОНБ в гильбертовом пространстве \(V\), а \(f, g \in V\) – произвольные вектора, то скалярное \(f\) и \(g\) можно вычислить как сумму произведений их коэффициентов разложения по ОНБ \(\left\{ e_n\right\}\): \[ \left\langle f, g \right\rangle = \sum _{n=1}^{\infty } \left\langle f, e_n \right\rangle \cdot \left\langle g, e_n \right\rangle \] В частности, \[ \left\| f\right\| = \sqrt{\left\langle f, f \right\rangle } = \sqrt{\sum _{n=1}^{\infty }\left\langle f, e_n \right\rangle ^2} \]

4.2.3 Известные ОНБ в \(L^2[0,1]\)

Вспомним некоторый известные ортонормированные базисы в \(L^2[0,1]\).

• Стандартный ОНБ для ряда Фурье:

  \[ e_{n}(t) \quad =\quad \begin{cases} \sqrt{2}\sin (2n\pi t), & n \geq 1 \\ 1, & n = 0 \\ \sqrt{2}\cos (-2n\pi t), & n \leq -1 \end{cases} \qquad =\qquad \begin{cases} \cdots , & \cdots \\ \sqrt{2}\sin (6 \pi t), & n = 3 \\ \sqrt{2}\sin (4 \pi t), & n = 2 \\ \sqrt{2}\sin (2\pi t), & n = 1 \\ 1, & n = 0 \\ \sqrt{2}\cos (2\pi t), & n = -1 \\ \sqrt{2} \cos (4\pi t), & n = -2 \\ \cdots , & \cdots \end{cases} \]

  \(n \in \mathbb {Z}\);

• ОНБ по косинусам:

  \[ e_{n}(t) \quad =\quad \begin{cases} 1, & n = 0 \\ \sqrt{2}\cos (n\pi t), & n \geq 1 \end{cases} \qquad =\qquad \begin{cases} 1, & n=0 \\ \sqrt{2}\cos \left(\pi t\right), & n =1 \\ \sqrt{2}\cos \left(2\pi t\right), & n =2 \\ \sqrt{2}\cos \left(3\pi t\right), & n =3 \\ \vdots \end{cases} \]

  \(n \in \mathbb {Z}_+\);

• ОНБ по другим косинусам:

  \[ e_{n}(t) \quad =\quad \sqrt{2}\cos \left(\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi t\right)\qquad =\qquad \begin{cases} \sqrt{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi t\right), & n=1 \\ \sqrt{2}\cos \left(\frac{3}{2}\pi t\right), & n =2 \\ \sqrt{2}\cos \left(\frac{5}{2}\pi t\right), & n =3 \\ \vdots \end{cases} \]

  \(n \in \mathbb {N}\);

• ОНБ по синусам:

  \[ e_{n}(t) \quad =\quad \sqrt{2}\sin \left(n \pi t\right)\qquad =\qquad \begin{cases} \sqrt{2}\sin \left(\pi t\right), & n=1 \\ \sqrt{2}\sin \left(2\pi t\right), & n =2 \\ \sqrt{2}\sin \left(3\pi t\right), & n =3 \\ \vdots \end{cases} \]

  \(n \in \mathbb {N}\);

• ОНБ по другим синусам:

  \[ e_{n}(t) \quad =\quad \sqrt{2}\sin \left(\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi t\right)\qquad =\qquad \begin{cases} \sqrt{2}\sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right), & n=1 \\ \sqrt{2}\sin \left(\frac{3}{2}\pi t\right), & n =2 \\ \sqrt{2}\sin \left(\frac{5}{2}\pi t\right), & n =3 \\ \vdots \end{cases} \]

  \(n \in \mathbb {N}\);

• ОНБ Хаара: система функций \(\left\{ 1\right\} \cup \left\{ \psi_{m,k} \; : \; m \in \mathbb {Z}_+, \; 0 \leq k < 2^{m}\right\}\), т.е. система из функции, тождественно равной \(1\), и функций \(\psi_{m,k}\), которые можно задать индуктивно:

  \[ \psi _{0,0}(t) = \begin{cases} 1, & 0 < t < \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} < t < 1 \\ 0, & \text{ в пр. случ.} \end{cases}, \qquad \psi _{m,k}(t) = 2^{m/2}\psi _{0,0}(2^mt - k), \quad m \in \mathbb {N}, \; 0 \leq k < 2^{m} \]

  Или в явном виде:

  \[ \psi _{m,k}(t) = \begin{cases} 2^{m/2}, & \frac{k}{2^{m}} < t < \frac{2k+1}{2^{m+1}} \\ -2^{m/2}, & \frac{2k+1}{2^{m+1}} < t < \frac{k+1}{2^{m}} \\ 0, & \text{ в пр. случ.} \end{cases} \]

  Первые несколько функций Хаара, \(m=0,1,2\):

Функции Хаара ψₙ,ₖ(x) = ψ(2ⁿx − k), где ψ = +1 на [0,½), −1 на [½,1), 0 иначе. Слайдер n задаёт масштаб, слайдер k — сдвиг внутри уровня (0 ≤ k < 2ⁿ).

4.2.4 Общая конструкция ВП через ряд со случайными коэффициентами

Вернемся к винеровскому процессу. Пусть \(\left\{ e_n\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) – произвольный ОНБ в \(L^2[0,1]\). Изложим сразу основную идею: можно ввести винеровский процесс как \[ W_{t} = W_t(\omega ) \qquad := \qquad \sum _{n=1}^{+\infty } \quad \underbrace{\xi _{n}(\omega )}_{\substack {\text{Дает}\\ \text{случайность}}} \; \cdot \; \underbrace{\tilde{e}_{n}(t)}_{\substack {\text{Дает} \\ \text{зависимость}\\ \text{от времени}}} \tag{1}\] где \(\xi_1, \xi_2, \ldots\) – это НОРСВ на некотором (одном для всех) вероятностном пространстве \((\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})\), распределенные как \(\mathscr {N}\left(0, 1\right)\), и \[ \tilde{e}_n(t) := \left\langle \; \mathbb {1}_{[0,t]}, e_n \right\rangle _{L^2[0,1]} = \int _0^t e_n(r) \; dr \] Иначе говоря, \(\left\{ \tilde{e}_n(t)\right\}\) при фиксированном \(t\) – это коэффициенты разложения функции \(\; \mathbb {1}_{[0,t]}\) по ОНБ \(\left\{ e_n\right\}\).

Обсуждением формулы Уравнение 1 со строго-теоретической точки зрения займемся чуть позже. Пока что неформально обоснуем, почему именно \(\tilde{e}_n\) используется в формуле. Предположим (пока без обоснований), что мы можем свободно менять местами матож и бесконечную сумму. В таком случае \(\mathbb {E}\left[W_t\right] = \sum_{n=1}^{+\infty }\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \cdot e_n(t) = \sum_{n=1}^{+\infty } 0 \cdot e_n(t) = 0\) для всех \(t\), т.е. это центрированный процесс. Далее, ковариационная функция:

\[ \begin{align} \operatorname {Cov}\left[ W_s, W_t \right] & = \mathbb {E}\left[W_s \cdot W_t\right] = \\ & = \left\langle W_s , W_t \right\rangle _{L^2(\Omega )} = \\ & = \left\langle \sum _{n_1=1}^{+\infty }\xi _{n_1} \cdot \tilde{e}_{n_1}(s), \sum _{n_2=1}^{+\infty }\xi _{n_2} \cdot \tilde{e}_{n_2}(t) \right\rangle _{L^2(\Omega )} \stackrel{?}{=} \\ & \stackrel{?}{=} \sum _{n_1 = 1}^{+\infty } \sum _{n_2 = 1}^{+\infty } \left\langle \xi _{n_1} \cdot \tilde{e}_{n_1}(s) \; , \; \xi _{n_2} \cdot \tilde{e}_{n_2}(t) \right\rangle _{L^2(\Omega )} = \\ & = \sum _{n_1 = 1}^{+\infty } \sum _{n_2 = 1}^{+\infty } \underbrace{\left\langle \xi _{n_1}, \xi _{n_2} \right\rangle _{L^2(\Omega )}}_{=\delta _{n_1}^{n_2}}\cdot \tilde{e}_{n_1}(s) \cdot \tilde{e}_{n_2}(t) = \\ & =\sum _{n=1}^{+\infty }\tilde{e}_n(s) \cdot \tilde{e}_{n}(t) = \\ & = \sum _{n=1}^{+\infty } \left\langle I_{[0,s]}, e_{n} \right\rangle _{L^2[0,1]} \cdot \left\langle I_{[0,t]}, e_{n} \right\rangle _{L^2[0,1]} = \text{ (рав-во Парсеваля) } \\ & = \left\langle \; \mathbb {1}_{[0,s]}, \; \mathbb {1}_{[0,t]} \right\rangle _{L^2[0,1]} = \\ & = \int _{0}^{}\; \mathbb {1}_{[0,s]}(r) \cdot \; \mathbb {1}_{[0,t]}(r) \; dr = \int _0^{\min (s,t)} \; dr = \\ & = \min (s,t) \end{align} \]

Необоснованное равенство помечено вопросом, все остальное вы должны понимать. В итоге пришли к тому, что у \(W_t\) требуемая ковариационная функция! Кроме того, \(W_t\) – это предел линейных комбинаций независимых гауссовских случайных величин, значит, наверное (строгое обоснование вы должны дать ниже в задаче), тоже гауссовский процесс.

4.2.5 Конкретные примеры

• Рассмотрим ОНБ из косинусов:

  \[ e_n(t) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ \sqrt{2}\cos (n\pi t), & n \geq 1 \end{cases} \]

  \(n \in \mathbb {Z}_+\). Тогда \(\tilde{e}_0(t) = t\), а при \(n \geq 1\) имеем

  \[ \tilde{e}_n(t) = \sqrt{2} \int _{0}^{t}\cos \left(n\pi r\right) \; dr = \frac{\sqrt{2}}{n\pi } \sin \left(n\pi t\right) \]

  В итоге получаем

  \[ \begin{align} W_t & = \sum _{n=1}^{+\infty } \xi _n \cdot \tilde{e}_n(t) = \\ & = \xi _0 t + \frac{\sqrt{2}}{\pi } \cdot \sum _{n=1}^{+\infty } \xi _n \cdot \frac{\sin \left(n \pi t\right)}{n} = \end{align} \]

Три классические ОНБ-конструкции броуновского движения: частичные суммы \(W_t^{(N)} = \sum_n \xi_n \tilde e_n(t)\). Переключайте конструкцию в выпадающем списке слева (Пэли–Винера, Косамби–Карунена–Лёва, Лёви–Чисельского), двигайте слайдер \(N\), чтобы увидеть, как сумма всё точнее приближает траекторию винеровского процесса, слайдер «Показать ещё траектории», чтобы добавить к ней ещё несколько независимых реализаций, и нажмите кнопку, чтобы перегенерировать случайные коэффициенты \(\xi_n\) (новые траектории). Слева внизу — текущие базисные функции \(e_n(t)\) и \(\tilde e_n(t)\) выбранной конструкции, в левом нижнем углу основного графика — сама выборка \(\xi_0,\ldots,\xi_N\), из которой строится основная траектория.

N = 20 Показать ещё траектории = 0

Конструкция Пэли-Винера Конструкция Косамби-Карунена-Лёва Конструкция Лёви–Чисельского

.

Данное представление – первое подобного рода, было получено Норбертом Винером еще в 1923 году.

• Рассмотрим ОНБ из других косинусов:

  \[ e_n(t) = \sqrt{2}\cos \left(\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi t\right), \qquad n \in \mathbb {N} = \left\{ 1,2,3,\ldots \right\} \]

  Тогда

  \[ \begin{align} \tilde{e}_n(t) & = \sqrt{2} \int _{0}^{t}\cos \left(\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi r\right) \; dr = \\ & = \frac{\sqrt{2}}{\pi } \cdot \frac{1}{n - \frac{1}{2}} \sin \left(\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi t\right) \end{align} \]

  В итоге получаем

  \[ \begin{align} W_t & = \sum _{n=1}^{+\infty } \xi _n \cdot \tilde{e}_n(t) = \\ & = \sqrt{2}\sum _{n=1}^{+\infty } \xi _n \cdot \frac{\sin \left(\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi t\right)}{\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi } \end{align} \]

  Данное разложение в некотором смысле оптимально среди всех прочих подобного вида. Подробнее см. разложение Косамби-Карунена-Лева.

• Рассмотрим ОНБ Хаара: \(\left\{ 1\right\} \cup \left\{ \psi_{m,k} \; : \; m \in \mathbb {Z}_+, \; 0 \leq k < 2^m\right\}\), где

  \[ \psi _{m,k}(t) = \begin{cases} 2^{m/2}, & \frac{k}{2^m} < t < \frac{2k+1}{2^{m+1}} \\ -2^{m/2}, & \frac{2k+1}{2^{m+1}} < t < \frac{k+1}{2^m} \\ 0, & \text{ в пр. случ.} \end{cases} \]

  Тогда для тождественной единицы: \(\tilde{1} = \int_0^t 1 \; dr = t\). Для остальных функций:

  \[ \tilde{\psi }_{m,k} = \int _{0}^t \psi _{m,k}(r) \; dr = \begin{cases} 0, & 0 \leq t < \frac{k}{2^m} \\ \text{линейно возрастает от $0$ к $2^{-(m+2)/2}$}, & \frac{k}{2^m} < t < \frac{2k+1}{2^{m+1}} \\ 2^{-(m+2)/2}, & t = \frac{2k+1}{2^{m+1}} \\ \text{линейно убывает от $2^{-(m+2)/2}$ к $0$}, & \frac{2k+1}{2^{m+1}} < t < \frac{k+1}{2^m} \\ 0, & \frac{k+1}{2^m} \leq t \leq 1 \end{cases} \]

  Систему функций \(\left\{ t\right\} \cup \left\{ \tilde{\psi }_{m,k} \; : \; m \in \mathbb {Z}_+, 0 \leq k < 2^m\right\}\) называют функциями Шаудера ¹.

  В итоге получаем

  \[ W_t = \xi _0 t + \sum _{m=0}^{+\infty }\sum _{k=0}^{2^m - 1}\xi _{m,k}\tilde{\psi }_{m,k}(t) \]

  где \(\xi_0, \left\{ \xi_{m,k}\right\}\) – счетный набор НОРСВ, распределенных как \(\mathscr {N}\left(0, 1\right)\). Конструкция Леви–Чисельского: частичные суммы по функциям Шаудера \(W_t^{(N)} = \xi_0 t + \sum_{n=0}^{N}\sum_{k=0}^{2^n-1} \xi_{n,k}\tilde\psi_{n,k}(t)\), где \(\tilde\psi_{n,k}\) — первообразная функции Хаара \(\psi_{n,k}\) (см. выше). Двигайте слайдер \(N\), чтобы увидеть, как добавление всё более мелких “деталей” — по одному новому диадическому уровню за раз — приближает сумму к траектории винеровского процесса, и нажмите кнопку, чтобы перегенерировать случайные коэффициенты \(\xi_0, \{\xi_{n,k}\}\) (новую траекторию).

N = 6

.

Эта конструкция называется конструкцией Леви-Чесельски. Подробнее, со ссылками на оригинальные работы, можно почитать в (Schilling 2021 г., Chapter 3).

4.2.6 Обоснование

Итак, у нас есть формула

\[ W_t = \sum _{n=1}^{\infty } \xi _n \cdot \tilde{e}_n(t) \]

где \(\xi_1,\xi_2, \ldots\) – это НОРСВ с распределением \(\mathscr {N}\left(0, 1\right)\) (заданные на некотором общем вероятностном пространстве \((\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})\)), а \(\left\{ e_n\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) – это ОНБ в \(L^2[0,1]\). Пока что непонятно, как эту формулу интерпретировать, потому что не совсем ясно, сходится ли и в каком смысле сходится указанное выражение. Определим частичные суммы

\[ W^{(N)} = W^{(N)}_t := \sum _{n=1}^{N} \xi _n \cdot \tilde{e}_{n}(t) \]

Заметим, что \(W^{(N)}\) (при фиксированном \(N\)) можно рассматривать как случайный элемент в банаховом пространстве \(C[0,1]\). Действительно, \(\tilde{e}_n\) – это интеграл с переменным верхним пределом, т.е. непрерывная функция. И

\[ W^{(N)}: \omega \in \Omega \quad \mapsto \quad \sum _{n=1}^{N}\xi _n(\omega ) \cdot \tilde{e}_{n} \in C[0,1] \]

Т.е. \(W^{(N)}\) случайному исходу сопоставляет линейную комбинацию непрерывных функций.

Теорема 15 Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty }\xi_n \cdot \tilde{e}_n\), т.е. последовательность частичных сумм \(W^{(N)}\), сходится п.н. в банаховом пространстве \(C[0,1]\). Иначе говоря, есть \(\Omega ' \subseteq \Omega\), такое что \(\mathbb {P}\left(\Omega '\right) = 1\) и для любого фиксированного элементарного исхода \(\omega \in \Omega '\) последовательность \(W^{(N)}(\omega ) = \sum_{n=1}^{N}\xi_n(\omega ) \cdot \tilde{e}_n \in C[0,1]\) сходится в пространстве \(C[0,1]\) (с супремум-нормой) к некоторому элементу \(C[0,1]\), который можно обозначить \(W(\omega )\).

Данная теорема позволяет строго определить \(W = W_t = W_t(\omega )\) для п.н. всех \(\omega\). Каноническое доказательство смотрите в (Kwapien и Woyczynski 1992 г., Theorem 2.5.1, стр. 49): оно достаточно короткое, но опирается на теорему Ито-Нисио и операторы дробного интегрирования (дробной первообразной). Кому интересно углубиться в случайные процессы и в функциональный анализ – welcome. Мы приведем это доказательство в разделе Глава 5 в конце главы: теорему Ито–Нисио сформулируем и будем использовать как черный ящик, а все нужные свойства операторов дробного интегрирования разберем с нуля.

Итак, у процесса \(W_t = \sum_{n=1}^{\infty } \xi_n \cdot \tilde{e}_n(t)\) п.н. непрерывные траектории. Но что с конечномерными распределениями? Будут ли они такими, какие нужны для винеровского процесса? С этим вопросом вы способны разобраться самостоятельно.

ProblemЗадача 12

1. Докажите, что при любом фиксированном \(t \in [0,1]\) имеет место сходимость п.н. и в \(L^2 = L^2(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})\):

\[ W^{(N)}_{t} \quad \xrightarrow [N \to +\infty ]{\mathbb {P}\text{-п.н.}, \; \; L^2(\Omega )} \quad W_t \]

2. Докажите, что конечномерные распределения \(W^{(N)}_{t}\) сходятся к конечномерным распределениям \(W_{t}\) при \(N \to \infty\);

3. Докажите, что \((W_t, \; t \in [0,1])\) – это винеровский процесс на отрезке \([0,1]\).

Раз теперь мы умеем осмысленно суммировать ряд \(\sum_n \xi_n \tilde{e}_n\), с его слагаемыми можно <<поиграть>>: а что будет, если просуммировать не все?

ExampleПример 6

Пусть \(A \subseteq \mathbb {N}\) – произвольный набор индексов, и пусть \[ X^{A}_t := \sum _{n \in A} \xi _n \cdot \tilde{e}_n(t) \] – <<прореженный>> ряд (сходимость п.н. в \(C[0,1]\) сохраняется, см. примечание).

1. Найдите ковариационную функцию процесса \(X^A\). Покажите, что \(W = X^{A} + X^{A^c}\) – разложение винеровского процесса в сумму двух независимых центрированных непрерывных гауссовских процессов (например, по четным и нечетным \(n\)).

2. Возьмем систему Хаара и выбросим одну-единственную функцию: константу \(e \equiv 1\) (т.е. слагаемое \(\xi_0 t\)). Что за процесс останется?

3. Что получится, если из произвольного ОНБ выбросить конечное число функций (например, первые \(5\))? Останется ли предел винеровским процессом? А что у него с квадратической вариацией?

Примечание. Про сходимость \(X^A\): доказательство из раздела Глава 5 дословно проходит и для части ряда – полнота ОНБ в нем используется только через неравенство Бесселя, которое верно для любой ортонормированной системы.

HintПодсказка

Для б): вычислите ковариационную функцию и сравните с задачей Задача 2.

SolutionРешение

Enum-item(1)

Как и для полного ряда, при фиксированных \(s,t\) частичные суммы сходятся в \(L^2(\Omega )\), и

\[ \operatorname {Cov}\left[ X^A_s, X^A_t \right] = \sum _{n \in A} \tilde{e}_n(s) \cdot \tilde{e}_n(t) \eqqcolon K_A(s,t) \]

(то же вычисление, что в основном тексте, только равенство Парсеваля не применяется – сумма по \(A\) так и остается суммой по \(A\)). Процесс \(X^A\) центрированный и гауссовский (\(L^2\)-пределы линейных комбинаций НОРСВ). Процессы \(X^A\) и \(X^{A^c}\) построены по непересекающимся наборам независимых \(\xi_n\), значит, они независимы (проверьте на конечных суммах и перейдите к пределу), и поточечно \(X^A_t + X^{A^c}_t = W_t\) п.н., а \(K_A(s,t) + K_{A^c}(s,t) = \min (s,t)\). Например, суммируя отдельно по четным и по нечетным \(n\), получаем разложение \(W\) в сумму двух независимых непрерывных центрированных гауссовских процессов – при этом ни один из них не винеровский.

Enum-item(2)

Считаем ковариацию: сумма по полной системе равна \(\min (s,t)\), а выброшенное слагаемое равно \(\tilde{e}_0(s) \cdot \tilde{e}_0(t) = st\):

\[ K(s,t) = \min (s,t) - st \]

Это в точности ковариационная функция броуновского моста (задача Задача 2)! Картину можно увидеть и напрямую: все шатры \(\tilde{\psi }_{m,k}\) зануляются при \(t = 1\), поэтому \(W_1 = \xi_0\), и прореженный ряд равен

\[ \sum _{m,k}\xi _{m,k} \cdot \tilde{\psi }_{m,k}(t) = W_t - \xi _0 t = W_t - t W_1 = B_t \]

– классическое представление моста. А разложение \(W_t = \underbrace{t \cdot W_1}_{\text{случайный наклон}} + \; B_t\) с независимыми слагаемыми – это частный случай пункта а).

Enum-item(3)

Получится \(X_t = W_t - \sum_{n \leq 5}\xi_n \tilde{e}_n(t)\) – винеровский процесс минус случайная, но гладкая поправка: функции \(\tilde{e}_n(t) = \int_0^t e_n(r) \, dr\) абсолютно непрерывны. Процесс \(X\) – центрированный гауссовский с ковариацией \(\min (s,t) - \sum_{n\leq 5}\tilde{e}_n(s)\tilde{e}_n(t) \neq \min (s,t)\), т.е. не винеровский: например, \(\operatorname {Var}\left[X_t\right] = t - \sum_{n \leq 5}\tilde{e}_n(t)^2 < t\) при тех \(t\), где хотя бы одно \(\tilde{e}_n(t) \neq 0\). Но <<мелкомасштабная шероховатость>> у него та же: квадратическая вариация по-прежнему равна \(t\). Действительно, для \(F(t) := \sum_{n\leq 5}\xi_n\tilde{e}_n(t)\) и разбиения \(\left\{ t_i\right\}\) отрезка \([0,t]\) с мелкостью, стремящейся к нулю,

\[ \sum _i \left(\Delta _i F\right)^2 = \sum _i \left(\int _{t_i}^{t_{i+1}} F'(r) \, dr\right)^2 \leq \max _i \left|t_{i+1} - t_i\right| \cdot \int _0^t F'(r)^2 \, dr \to 0 \]

(неравенство Коши–Буняковского на каждом отрезке разбиения), а перекрестное слагаемое \(2\sum_i \Delta_i W \Delta_i F\) оценивается через корень из произведения сумм квадратов и тоже уходит в ноль. Забавный вывод: квадратическая вариация не чувствует гладких (пусть и случайных) добавок и не отличает \(X\) от \(W\).

AnswerОтвет

б) броуновский мост.

А что, если \(\xi_n\) – не гауссовские? Пусть в формуле \(\sum_n \xi_n \tilde{e}_n\) коэффициенты \(\xi_n\) – НОРСВ с каким-то другим распределением: \(\operatorname {U}[-1,1]\), \(\operatorname {Exp}(\lambda )\), \(\operatorname {Pois}\left(\lambda \right)\), Кратко перечислим, что здесь происходит; точные критерии сходимости таких рядов – отдельная наука, см. (Kwapien и Woyczynski 1992 г.).

• Центрированность важна. Если \(\mu := \mathbb {E}\left[\xi_1\right] \neq 0\) (случаи \(\operatorname {Exp}\) и \(\operatorname {Pois}\)), от ряда отщепляется детерминированная часть \(\mu \cdot \sum_n \tilde{e}_n(t)\), сходимость которой – отдельный вопрос о базисе. Для системы Хаара она сходится равномерно и абсолютно по поколениям: в поколении \(m\) в каждой точке \(t\) отличен от нуля максимум один шатер, и он не выше \(2^{-(m+2)/2}\). Дальше считаем \(\xi_n\) центрированными (вычитаем \(\mu\)).

• Сходимость для системы Хаара – почти бесплатно. Если \(\mathbb {E}\left[\xi_1\right] = 0\) и \(\mathbb {E}\left[\left|\xi_1\right|^p\right] < \infty\) хотя бы для одного \(p > 2\), то ряд по системе Хаара сходится п.н. равномерно. Набросок: по лемме Бореля–Кантелли и неравенству Маркова

  \[ \sum _m \mathbb {P}\left(\max _{0 \leq k < 2^m} \left|\xi _{m,k}\right| > \frac{2^{m/2}}{m^2}\right) \; \leq \; \sum _m 2^m \cdot \mathbb {E}\left[\left|\xi _1\right|^p\right] \cdot \frac{m^{2p}}{2^{pm/2}} < \infty \quad \text{(т.к. $p > 2$)}, \]

  поэтому п.н. при всех больших \(m\) sup-норма \(m\)-го поколения ряда не превосходит \(2^{-\frac{m}{2} - 1} \cdot \frac{2^{m/2}}{m^2} = \frac{1}{2m^2}\) – ряд поколений мажорируется сходящимся числовым рядом. А для ограниченных \(\xi_n\) (например, \(\operatorname {U}[-1,1]\)) даже Борель–Кантелли не нужен: мажоранта \(2^{-(m+2)/2} \cdot \sup \left|\xi \right|\) детерминирована. У экспоненциального и пуассоновского распределений конечны все моменты, так что после центрирования они сюда попадают. Заметьте: предел непрерывен даже для целочисленных пуассоновских коэффициентов.

• Но получается уже не винеровский процесс. Предел центрирован, его ковариационная функция равна \(\operatorname {Var}\left[\xi_1\right] \cdot \min (s,t)\), приращения некоррелированы – но конечномерные распределения негауссовские, а приращения, как правило, зависимы. Скажем, для системы Хаара и \(\xi_n \sim \operatorname {U}[-1,1]\) получаем \(X_1 = \xi_0 \sim \operatorname {U}[-1,1]\) – никакой нормальности.

• Более того, предел зависит от выбора базиса! Для системы Хаара \(X_1 = \xi_0\) – копия одного-единственного слагаемого; а для базиса Косамби–Карунена–Лоэва \(X_1 = \sqrt{2}\sum_n (-1)^{n+1} \xi_n / \left(\left(n - \frac{1}{2}\right)\pi \right)\) – взвешенная сумма всей последовательности, распределение которой уже <<сглажено>> в духе ЦПТ. Глубокая причина, по которой у гауссовских \(\xi_n\) такой зависимости нет: переход от одного ОНБ к другому – это <<бесконечномерный поворот>> вектора коэффициентов \((\xi_1, \xi_2, \ldots )\), а стандартный гауссовский вектор – по сути единственный вектор с независимыми одинаково распределенными координатами, чье распределение инвариантно относительно всех поворотов (теорема Максвелла).

4.3 Построение Донскера (многомерная ЦПТ)

Пусть у нас есть \(X_1, X_2, \ldots\) – НОРСВ с конечной дисперсией. Не ограничивая общности, можно считать, что \(\mathbb {E}\left[X_i\right] = 0\) и \(\operatorname {Var}\left[X_i\right] = 1\)/ Действительно, если это не так, всегда можно перейти к центрированным нормированным случайным величинам

\[ \tilde{X}_i := \frac{X_i - \mathbb {E}\left[X_i\right]}{\sqrt{\operatorname {Var}\left[X_i\right]}} \]

.

Как вам известно из курса теорвера, для такой последовательности выполнена ЦПТ:

Теорема 16 (Центральная предельная теорема) В условиях выше имеем \(\frac{S_n}{\sqrt{n}} \xrightarrow [n \to \infty ]{d} \mathscr {N}\left(0, 1\right)\).

ProblemЗадача 13

Пусть \(m \in \mathbb {N}\) – некоторое фиксированное число. В условиях выше найдите предел по распределению случайного вектора \[ \frac{1}{\sqrt{n}} \; \cdot \; \begin{pmatrix} 0 \\ S_{\lfloor n/m \rfloor } \\ S_{\lfloor 2n/m \rfloor } \\ \cdots \\ S_{\lfloor (m-1)n/m \rfloor } \\ S_{n} \end{pmatrix} \]

Теорема 17 (Теорема Донскера, бесконечномерная ЦПТ) Пусть \(X_1, X_2, \ldots\) – НОРСВ, причем \(\mathbb {E}\left[X_i\right] = 0\), \(\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = 1\). Для фиксированного натурального \(n \in \mathbb {N}\) рассмотрим случайную функцию \[ Y^{(n)} = Y^{(n)}_t = Y^{(n)}_t(\omega ), \qquad t \in [0,1], \; \omega \in \Omega , \] которая в точках вида \(\frac{k}{n}\), \(k \in \left\{ 0,1,\ldots , n\right\}\) равна \[ Y^{(n)}_{k/n} := \frac{1}{\sqrt{n}}S_{k}, \] а в точках между указанными равна линейной интерполяции этих значений. Иначе говоря, \[ \begin{align} Y_{t}^{(n)} & := \frac{1}{\sqrt{n}}S_{\lfloor nt \rfloor } + \left(nt - \lfloor nt \rfloor \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}S_{\lfloor nt \rfloor + 1}, \qquad t \in [0,1] \end{align} \] где \(S_{n} := X_1 + \ldots + X_{n}\). Тогда \(Y^{(n)}\) – это случайный элемент в пространстве \(C[0,1]\) при каждом \(n\), причем \(Y^{(n)}\) слабо сходятся к некоторой вероятностной мере на \(C[0,1]\) при \(n \to \infty\). Эта мера и есть винеровская мера на \(C[0,1]\), т.е. распределение винеровского процесса.

Доказательство см. в (Биллингсли 1977 г., Теорема 8.2).

Визуализация для \(X_i \sim \frac{1}{2}\delta_{-1} + \frac{1}{2}\delta_1\), т.е. для \(S_n\) — простейшего симметричного случайного блуждания: масштабированная траектория \(Y_t^{(n)} = \frac{1}{\sqrt n} S_{\lfloor nt \rfloor} + (nt - \lfloor nt \rfloor)\cdot \frac{1}{\sqrt n} X_{\lfloor nt \rfloor + 1}\), продолженная на \(t \in [0,4]\) (в теореме используется \(t\in[0,1]\), здесь диапазон расширен, чтобы было видно больше “истории” блуждания). Двигайте слайдер \(n\), чтобы увидеть, как при увеличении числа шагов масштабированное блуждание всё точнее приближает траекторию винеровского процесса (принцип инвариантности Донскера), слайдер «Показать ещё траектории», чтобы добавить независимые реализации, и нажмите кнопку, чтобы перегенерировать шаги \(X_1,X_2,\ldots\) (новые траектории).

n = 2000 Показать ещё траектории = 0

.

5 Доказательства

5.1 Доказательство теоремы Теорема 15 (п.н. сходимость ряда \(\sum_n \xi_n \tilde{e}_n\) в \(C[0,1]\))

Мы следуем доказательству (Kwapien и Woyczynski 1992 г., Theorem 2.5.1, стр. 49–51). Оно опирается на два инструмента: теорему Ито–Нисио о сходимости рядов из независимых случайных элементов банахова пространства (мы приведем ее формулировку и будем пользоваться ею как черным ящиком) и операторы дробного интегрирования, свойства которых мы разберем с нуля. Доказательство самодостаточно в главном: винеровский процесс нигде заранее не предполагается построенным – наоборот, ряд сам его строит.

Сначала идея. Обозначим через \(D^1\) оператор взятия первообразной: \(\left(D^1 f\right)(t) = \int_0^t f(s) \, ds\); тогда \(\tilde{e}_n = D^1 e_n\), и наш ряд – это \(\sum_n \xi_n \, D^1 e_n\). Доказывать сходимость сразу в \(C[0,1]\) тяжело: пришлось бы контролировать супремумы гауссовского процесса. Зато в пространстве \(L^4[0,1]\) норма считается интегралом, и для гауссовских слагаемых все сводится к моментам, а от сходимости в среднем к сходимости п.н. нас перевезет теорема Ито–Нисио. План такой: разложим \(D^1\) в композицию двух <<дробных первообразных>>

\[ D^1 = D^{3/8} \circ D^{5/8} \]

Полуфабрикат – ряд \(\sum_n \xi_n \, D^{5/8}e_n\) – сходится п.н. в \(L^4[0,1]\), а оператор \(D^{3/8}\) окажется непрерывным из \(L^4[0,1]\) в \(C[0,1]\) и переведет сходимость в нужную нам.

5.1.1 Часть 1: теорема Ито–Нисио

Теорема 18 (Ито–Нисио; {}) Пусть \(V\) – сепарабельное банахово пространство, \(X_1, X_2, \ldots\) – независимые случайные элементы со значениями в \(V\), имеющие симметричные распределения: \(-X_n \overset {d}{=} X_n\) для всех \(n\). Пусть \(S_N := \sum_{n=1}^{N} X_n\). Тогда следующие условия эквивалентны:

1. \(S_N\) сходится п.н. (по норме \(V\));

2. \(S_N\) сходится по вероятности;

3. \(S_N\) сходится по распределению (т.е. распределения \(\operatorname {Law}(S_N)\) слабо сходятся);

4. найдутся случайный элемент \(S\) со значениями в \(V\) и множество \(\mathcal{D} \subseteq V'\) линейных непрерывных функционалов, разделяющее точки \(V\) (для любых \(v \neq u\) есть \(\varphi \in \mathcal{D}\) с \(\varphi (v) \neq \varphi (u)\)), такие что \(\varphi (S_N) = \sum_{n \leq N} \varphi (X_n) \to \varphi (S)\) по вероятности для каждого \(\varphi \in \mathcal{D}\).

Содержательный смысл: для рядов из независимых симметричных слагаемых все виды сходимости – от самой слабой, покоординатной по распределению, до самой сильной, п.н. по норме, – совпадают. Это бесконечномерное обобщение классической теоремы Леви (<<для рядов из независимых величин сходимость по распределению влечет сходимость п.н.>>). Доказательство красивое, но потребовало бы отдельного семинара – см. (Kwapien и Woyczynski 1992 г., Chapter 2.1). Нам понадобится импликация (ii) \(\; \Rightarrow \;\) (i).

5.1.2 Часть 2: дробное интегрирование

Для \(0 < \alpha \leq 1\) положим

\[ k_\alpha (s) := \frac{s^{\alpha - 1}}{\Gamma (\alpha )}, \quad s \in (0, 1], \qquad \qquad \left(D^\alpha f\right)(t) := \int _0^t k_\alpha (t - s) f(s) \, ds \]

Оператор \(D^\alpha\) называется оператором дробного интегрирования (порядка \(\alpha\)). При \(\alpha = 1\) ядро \(k_1 \equiv 1\), и \(D^1\) – обычная первообразная; при \(\alpha < 1\) ядро имеет интегрируемую особенность в нуле. Нам понадобятся три свойства.

Лемма 6 (Полугрупповое свойство) Пусть \(\alpha , \beta \in (0,1]\), \(\alpha + \beta \leq 1\), \(f \in L^2[0,1]\). Тогда \(D^{\beta }\left(D^{\alpha } f\right) = D^{\alpha + \beta } f\).

При фиксированном \(r\) меняем порядок интегрирования (Фубини; законность – ниже): \[ \begin{align} \left(D^{\beta }\left(D^{\alpha }f\right)\right)(r) & = \int _0^r k_\beta (r - t) \int _0^t k_\alpha (t-s) f(s) \, ds \, dt = \\ & = \int _0^r \left(\int _s^r k_\beta (r-t) \, k_\alpha (t - s) \, dt\right) f(s) \, ds \end{align} \] Внутренний интеграл считается заменой \(t = s + (r-s)u\), \(u \in [0,1]\): \[ \begin{align} \int _s^r (r-t)^{\beta - 1}(t - s)^{\alpha - 1} \, dt & = (r-s)^{\alpha + \beta - 1}\int _0^1 (1-u)^{\beta - 1} u^{\alpha - 1} \, du = \\ & = (r-s)^{\alpha + \beta - 1} \cdot B(\alpha , \beta ) \end{align} \] и, поскольку \(B(\alpha ,\beta ) = \frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha + \beta )}\) (известное свойство бета-функции), \[ \int _s^r k_\beta (r - t) k_\alpha (t-s) \, dt = \frac{(r-s)^{\alpha +\beta -1}}{\Gamma (\alpha + \beta )} = k_{\alpha + \beta }(r - s) \] – что и дает \(D^{\alpha +\beta }f\). Законность Фубини: тот же счет для \(\left|f\right|\) (теорема Тонелли, все неотрицательно) дает \(\left(D^{\alpha + \beta }\left|f\right|\right)(r) < \infty\) при п.в. \(r\), т.е. абсолютную интегрируемость.

Лемма 7 Пусть \(\alpha > \frac{1}{2}\). Тогда для \(f \in L^2[0,1]\) \[ \sup _{t \in [0,1]} \, \left|\left(D^{\alpha }f\right)(t)\right| \leq c_\alpha \left\| f\right\| _{L^2}, \qquad c_\alpha := \frac{1}{\Gamma (\alpha )\sqrt{2\alpha - 1}} \] В частности, \(D^{\alpha } f \in L^4[0,1]\) и \(\left\| D^\alpha f\right\|_{L^4} \leq c_\alpha \left\| f\right\|_{L^2}\).

Неравенство Коши–Буняковского в \(L^2(0,t)\): \[ \left|\left(D^\alpha f\right)(t)\right| \leq \left\| k_\alpha (t - \cdot )\right\| _{L^2(0,t)} \cdot \left\| f\right\| _{L^2} = \frac{1}{\Gamma (\alpha )}\left(\int _0^t u^{2\alpha - 2} \, du\right)^{1/2} \left\| f\right\| _{L^2} = \frac{t^{\alpha - \frac{1}{2}}}{\Gamma (\alpha )\sqrt{2\alpha - 1}}\left\| f\right\| _{L^2} \] и \(t \leq 1\). Показатель \(2\alpha - 2 > -1\) именно потому, что \(\alpha > \frac{1}{2}\).

Лемма 8 Пусть \(\beta > \frac{1}{4}\). Тогда \(D^{\beta }\) – непрерывный линейный оператор из \(L^4[0,1]\) в \(C[0,1]\): для \(f \in L^4[0,1]\) функция \(D^\beta f\) непрерывна на \([0,1]\) и \[ \left\| D^{\beta } f\right\| _{\infty } \leq c'_\beta \left\| f\right\| _{L^4}, \qquad c'_\beta := \left\| k_\beta \right\| _{L^{4/3}[0,1]} < \infty \]

Неравенство Гельдера с показателями \(4\) и \(\frac{4}{3}\):

\[ \left|\left(D^\beta f\right)(t)\right| \leq \left\| k_\beta (t - \cdot )\right\| _{L^{4/3}(0,t)} \cdot \left\| f\right\| _{L^4} \leq \left\| k_\beta \right\| _{L^{4/3}[0,1]} \cdot \left\| f\right\| _{L^4} \]

причем \(\left\| k_\beta \right\|_{L^{4/3}}^{4/3} = \Gamma (\beta )^{-4/3}\int_0^1 u^{(\beta - 1)\cdot \frac{4}{3}} \, du < \infty\), поскольку \((\beta - 1)\cdot \frac{4}{3} > -1 \iff \beta > \frac{1}{4}\).

Непрерывность \(D^\beta f\) по \(t\) (в книге этот момент опущен): запишем \(k_\beta (t-s)\; \mathbb {1}_{0 < s < t} = g(s - t)\), где \(g(u) := k_\beta (-u)\; \mathbb {1}_{(-1,0)}(u) \in L^{4/3}(\mathbb {R})\). Тогда

\[ \left|\left(D^\beta f\right)(t') - \left(D^\beta f\right)(t)\right| \leq \left\| g(\cdot - t') - g(\cdot - t)\right\| _{L^{4/3}(\mathbb {R})} \cdot \left\| f\right\| _{L^4} \xrightarrow [t' \to t]{} 0 \]

по непрерывности сдвига в \(L^{q}(\mathbb {R})\) – стандартный факт функционального анализа (непрерывные функции плотны в \(L^q\), а для них утверждение очевидно).

5.1.3 Часть 3: сходимость <<полуфабриката>> в \(L^4[0,1]\)

Возьмем \(\alpha = \frac{5}{8} > \frac{1}{2}\) и \(\beta = \frac{3}{8} > \frac{1}{4}\), так что \(\alpha + \beta = 1\). Положим

\[ \varphi _n := D^{5/8} e_n \in L^4[0,1], \qquad S_N := \sum _{n=1}^{N} \xi _n \varphi _n \]

– независимые симметричные случайные элементы \(L^4[0,1]\) и их частичные суммы. Оценим для \(M < N\) (теорема Тонелли – подынтегральное выражение неотрицательно):

\[ \mathbb {E}\left[\left\| S_N - S_M\right\| ^4_{L^4}\right] = \int _0^1 \mathbb {E}\left[\left(\sum _{n=M+1}^{N} \xi _n \varphi _n(t)\right)^4\right] dt = 3\int _0^1 \left(\sum _{n = M+1}^{N} \varphi _n(t)^2\right)^2 dt \]

– при каждом \(t\) величина \(\sum_{n=M+1}^N \xi_n\varphi_n(t)\) гауссовская \(\mathscr {N}\left(0, \; \sum_{M < n \leq N}\varphi_n(t)^2\right)\), а четвертый момент \(\mathscr {N}\left(0, \sigma^2\right)\) равен \(3\sigma^4\).

Теперь ключевая оценка. Заметим, что \(\varphi_n(t) = \left\langle k_{5/8}(t - \cdot )\; \mathbb {1}_{(0,t)}, e_n \right\rangle_{L^2[0,1]}\) – коэффициенты Фурье функции \(h_t := k_{5/8}(t - \cdot )\; \mathbb {1}_{(0,t)} \in L^2[0,1]\). По неравенству Бесселя и лемме Лемма 7

\[ \sum _{n=1}^{\infty } \varphi _n(t)^2 \leq \left\| h_t\right\| ^2_{L^2} \leq c_{5/8}^2 \qquad \forall t \in [0,1] \]

Значит, хвосты \(R_M(t) := \sum_{n > M}\varphi_n(t)^2\) монотонно убывают к нулю при каждом \(t\) (хвосты сходящегося числового ряда) и равномерно ограничены константой \(c_{5/8}^2\). По теореме Лебега о мажорируемой сходимости

\[ \sup _{N > M} \, \mathbb {E}\left[\left\| S_N - S_M\right\| ^4_{L^4}\right] \leq 3\int _0^1 R_M(t)^2 \, dt \; \xrightarrow [M \to \infty ]{} \; 0 \]

т.е. \((S_N)\) фундаментальна в среднем четвертой степени, а тогда (неравенство Маркова) и по вероятности; пространство \(L^4[0,1]\) полно относительно сходимости по вероятности в следующем смысле: фундаментальная по вероятности последовательность сходится по вероятности к некоторому пределу (стандартный факт: перейдите к п.н. сходящейся подпоследовательности). Итак, \(S_N \to S\) по вероятности в \(L^4[0,1]\). Пространство \(L^4[0,1]\) сепарабельно и банахово, слагаемые \(\xi_n\varphi_n\) независимы и симметричны – по теореме Ито–Нисио (импликация (ii) \(\; \Rightarrow \;\) (i))

\[ S_N \; \xrightarrow [N \to \infty ]{\text{п.н.}} \; S \qquad \text{в } L^4[0,1] \]

5.1.4 Часть 4: сборка

Осталось применить оператор \(D^{3/8}\). По полугрупповому свойству (лемма Лемма 6) и линейности

\[ D^{3/8} S_N = \sum _{n=1}^{N} \xi _n \, D^{3/8}\left(D^{5/8} e_n\right) = \sum _{n=1}^{N} \xi _n \, D^{1} e_n = \sum _{n=1}^{N} \xi _n \tilde{e}_n = W^{(N)} \]

– это в точности исходные частичные суммы! Оператор \(D^{3/8}: L^4[0,1] \to C[0,1]\) линеен и непрерывен (лемма Лемма 8), поэтому на том же событии полной вероятности, где \(S_N \to S\) в \(L^4\),

\[ W^{(N)} = D^{3/8}S_N \; \xrightarrow [N \to \infty ]{} \; D^{3/8}S \qquad \text{в } C[0,1] \]

Теорема доказана; предел \(W := D^{3/8}S\) – п.н. непрерывная функция.

Замечания.

• Откуда взялись показатели \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{3}{8}\)? Нужны \(\alpha > \frac{1}{2}\) (лемма Лемма 7), \(\beta > \frac{1}{p}\) (лемма Лемма 8 для \(L^p\)) и \(\alpha + \beta = 1\). При \(p = 2\) получилось бы \(1 = \alpha + \beta > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) – противоречие: разложить \(D^1\) на два подходящих множителя можно только через \(L^p\) с \(p > 2\). Мы взяли \(p = 4\) (первый четный показатель), чтобы момент \(\mathbb {E}\left[\eta^4\right] = 3\sigma^4\) считался в одну строчку; в (Kwapien и Woyczynski 1992 г.) тот же счет проведен для произвольного \(2 < p < \infty\) через \(c(p) := \mathbb {E}\left[\left|\xi_1\right|^p\right]\).

• Полнота ОНБ в частях 3–4 не использовалась: хватило неравенства Бесселя, верного для любой ортонормированной системы. Поэтому доказательство дословно проходит для <<прореженных>> рядов \(\sum_{n \in A}\xi_n \tilde{e}_n\) (см. задачу в разделе Глава 4) и не зависит от порядка нумерации базиса. Полнота нужна только на следующем шаге – когда мы отождествляем предел с винеровским процессом через равенство Парсеваля (задача после теоремы Теорема 15).

• Бонус (Remark 2.5.1 в (Kwapien и Woyczynski 1992 г.)): при \(\beta > \frac{1}{p} + \gamma\) оператор \(D^\beta\) непрерывен из \(L^p[0,1]\) в пространство \(\gamma\)-гельдеровых функций. Выбирая \(p\) большим и \(\beta\) чуть меньше \(\frac{1}{2}\), получаем бесплатно: траектории предельного процесса \(\gamma\)-гельдеровы при любом \(\gamma < \frac{1}{2}\) – в полном согласии с разделом о локальных свойствах траекторий ВП.

• Для системы Хаара есть и совсем прямое доказательство, без дробного интегрирования и теоремы Ито–Нисио (по сути – изначальное рассуждение Леви 1940 года): сгруппируем ряд по поколениям. Шатры \(\tilde{\psi }_{m,k}\), \(0 \leq k < 2^m\), имеют непересекающиеся носители, поэтому

  \[ \sup _t \, \left|\; \sum _{k} \xi _{m,k} \tilde{\psi }_{m,k}(t)\right| = 2^{-\frac{m+2}{2}} \max _{k} \left|\xi _{m,k}\right|, \]

  а из оценки гауссовского хвоста \(\mathbb {P}\left(\left|\xi \right| > x\right) \leq e^{-x^2/2}\) (при \(x \geq 1\)) и леммы Бореля–Кантелли: \(\sum_m \mathbb {P}\left(\max_k \left|\xi_{m,k}\right| > 2\sqrt{m}\right) \leq \sum_m 2^m e^{-2m} < \infty\), т.е. п.н. при всех больших \(m\) поколение вносит не более \(2^{-\frac{m+2}{2}} \cdot 2\sqrt{m}\) – сходящийся числовой ряд. По признаку Вейерштрасса ряд (по поколениям) сходится равномерно п.н. Недостаток этого пути: он привязан к конкретному базису, для произвольного ОНБ так не получится.

использованная литература

Kwapien, S., и W. Woyczynski. 1992 г. Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple. Probability и Its Applications. Birkhäuser Boston.

Schilling, René L. 2021 г. Brownian Motion: A Guide to Random Processes and Stochastic Calculus. De Gruyter. https://doi.org/doi:10.1515/9783110741278.

Биллингсли, П. 1977 г. Сходимость вероятностных мер. Наука.

Булинский, А. В., и А. Н. Ширяев. 2005 г. Теория случайных процессов. Физматлит.

Сноски

1. Не путайте функции Шаудера с системой Фабера-Шаудера и с базисом Шаудера. Система Фабера-Шаудера получается из системы Шаудера нормировкой в супремум-норме и добавлением функции, тождественно равной \(1\). Что такое базис Шаудера (его иногда просто называют базисом для бесконечномерного банахова пространства), вы должны проходить на функциональном анализе. Любопытно, что система Фабера-Шаудера является базисом Шаудера в банаховом пространстве \(C[0,1]\).