Чёрная кривая — траектория \(W_t\). Красная штриховая кривая — траектория отражённого процесса \(W^{\tau}_t\) для момента остановки \(\tau = \tau_{[a, +\infty)}\) — момента достижения исходным процессом \(W_t\) уровня \(a\).
Марковские процессы, моменты остановки
ПредупреждениеЧерновик
Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
В данном разделе либо
\(T = \mathbb {Z}_+\) или \(T = \mathbb {Z}_+ \cup \left\{ +\infty \right\} = \left\{ 0,1,2,3,\ldots , +\infty \right\}\) (дискретный случай).
\(T = [0,1]\) или \(T = \mathbb {R}_+\) или \(T = \mathbb {R}_+ \cup \left\{ +\infty \right\} = [0,+\infty ]\) (непрерывный случай).
Вспомним, что объединение сигма-алгебр не всегда является сигма-алгеброй. Для минимальной сигма-алгебры на \(\Omega\), порожденной объединением некоторых под-сигма-алгебр \(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2 \subset 2^{\Omega }\), используется обозначение \(\mathcal{F}_1 \vee \mathcal{F}_2\). Кратко:
\[ \begin{align} \mathcal{F}_1 \vee \mathcal{F}_2 & := \sigma \left(\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \right) \\ & = \sigma \left(\left\{ A \; : \; A \in \mathcal{F}_1 \text{ или } A \in \mathcal{F}_2\right\} \right) \end{align} \]
Обратите внимание, что пересечение любого набора сигма-алгебр является сигма-алгеброй. Так что нет смысла вводить обозначение \(\mathcal{F}_1 \wedge \mathcal{F}_2\). А именно,
\[ \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2 = \sigma \left\{ \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2\right\} \]
1 Фильтрация
1.1 Поток информации: фильтрация
Фильтрацию можно понимать как поток информации, который увеличивается с течением времени.
Откуда может появиться фильтрация на вероятностном пространстве?
Любой процесс согласован со своей естественной фильтрацией.
1.2 Стандартные условия
Обозначим \(\mathcal{N}_{\mathbb {P}} := \left\{ B \subset \omega : \exists A \in \mathcal{F} \hookrightarrow B \subset A, \; \mathbb {P}\left(A\right) = 0\right\}\) все пренебрежимые подмножества \(\Omega\), т.е. все возможные подмножества всех множеств \(\Omega\) \(\mathbb {P}\)-меры нуль. Эквивалентная формула:
\[ \mathcal{N}_{\mathbb {P}} = \bigcup _{\substack {A \in \mathcal{F} \\ \mathbb {P}\left(A\right) = 0}} 2^A. \]
Напомним, что ВП \((\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})\) называется полным, если \(\mathcal{N}_{\mathbb {P}} \subset \mathcal{F}\).
На самом деле для полноты фильтрованного пространства достаточно требовать, чтобы все \(\mathbb {P}\)-пренебрежимые множества \(\mathcal{N}_{\mathbb {P}}\) содержались в \(\mathcal{F}_0\). Ведь все прочие сигма-алгебры в фильтрации содержат \(\mathcal{F}_0\).
Зачем нужна полнота фильтрации? Мы неоднократно переходили к модификациям процессов, считая их практически неотличимыми друг от друга. Однако это интуитивное представление вступает в противоречие с понятием согласованности. Напомним: \(Y_t\) является модификацией \(X_t\), если для каждого \(t \in T\) выполнено \(X_t \stackrel{\text{п.н.}}{=} Y_t\), то есть существует \(\Omega_t \subset \Omega\) с \(\mathbb {P}\left(\Omega_t\right) = 1\), на котором \(X_t(\omega ) = Y_t(\omega )\). Заметим, что фильтрация в этом определении никак не фигурирует. Это порождает патологию: модификация согласованного процесса может не быть согласованной. Простейший пример: пусть \(X_0 \equiv 1\) и \(Y_0 = \; \mathbb {1}_{\Omega '}\) для некоторого \(\Omega ' \in \mathcal{F}\) с \(\mathbb {P}\left(\Omega '\right) = 1\). Тогда \(Y_0 \stackrel{\text{п.н.}}{=} X_0\), но \(X_0\) измерима относительно тривиальной \(\sigma\)-алгебры \(\{ \varnothing , \Omega \}\), тогда как \(Y_0\) — нет. Полнота фильтрации устраняет этот дефект: если \(\mathcal{F}_0\) содержит все множества нулевой меры, то событие \(\Omega '\) автоматически попадает в \(\mathcal{F}_0\), и \(Y_0\) оказывается измеримой. Более общо, любая модификация согласованного процесса остаётся согласованной относительно полной фильтрации — именно это свойство делает полноту стандартным требованием в теории случайных процессов.
В непрерывном случае полезным требованием является непрерывность справа фильтрации:
\[ \mathcal{F}_t = \mathcal{F}_{t+},\quad \text{ для всех }t\in T \]
где
\[ \mathcal{F}_{t+} := \bigcap _{\varepsilon > 0} \mathcal{F}_{t + \varepsilon } \]
В случае дискретного времени требование непрерывности справа фильтрации излишне.
Любое фильтрованное пространство можно минимально расширить с тем, чтобы оно удовлетворяло стандартным условиям. А именно,
\[ \mathcal{F}'_{t} := \mathcal{F} \vee \mathcal{N}_{\mathbb {P}}, \qquad \mathcal{F}''_t := \mathcal{F}'_{t+} \]
При этом (забегая вперед) марковость и мартингальность согласованных процессов сохраняется.
2 Марковское свойство: общий случай
2.1 Определение через фильтрацию
До этого мы рассматривали марковское свойство именно для естественной фильтрации процесса.
Смысл определения марковского процесса состоит в том, что распределение “будущего” \(\left(X_{t}\right)\) зависит от “прошлого” \(\left(\mathcal{F}_{s}\right)\) только через “настоящее” \(X_{s}\).
2.2 Некоторые примеры
Первый класс процессов, который полностью входит в класс марковских процессов, – это процессы с независимыми приращениями. Сформулируем их определение в общем виде, относительно фильтрации. Случайный процесс \((X_t, t \in T)\), согласованный с фильтрацией \(\mathbb {F} = (\mathcal{F}_t, t \in T)\), называется процессом с независимыми приращениями (относительно фильтрации \((\mathcal{F}_t, t \in T)\)), если
\[ X_{t} - X_{s} \quad \text{ и } \quad \mathcal{F}_s \quad \text{ независимы для любых } s < t. \]
Ранее мы формулировали определение процессов с независимыми приращениями, в сущности, для естественной фильтрации \(\mathbb {F}^{X} = (\mathcal{F}^X)\).
Данная теорема сразу дает нам несколько хороших примеров марковских процессов:
винеровский процесс \(\left(W_{t}, t \geqslant 0\right)\);
пуассоновский процесс \(\left(N_{t}, t \geqslant 0\right)\);
случайное блуждание.
В отличие от процессов с независимыми приращениями, гауссовские процессы далеко не всегда являются марковскими. Как мы помним, распределение гауссовских процессов зависит от ковариационной функции. Естественно ожидать, что свойство марковости должно формулироваться как некоторое условие на ковариационную функцию. Это условие сформулировано в следуюшей теореме.
2.3 Переходные функции марковского процесса
Обширные исследования марковских процессов связаны с изучением переходных функций.
2.3.1 Несколько слов про необходимость переходной функции в случае несчетного пространства состояний
По прочтении определения Определение 8 может возникнуть вопрос: почему нельзя в качестве \(P_{s,t}(x,B)\) сразу взять
\[ \tilde{P}_{s,t}(x,B) := \mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s}=x\right) ? \]
Зачем вообще вводить дополнительно определение переходной функции?
Пусть, для начала, \(s<t\) – фиксированные. Для простоты можно считать, что \(T = \left\{ 0,1\right\}\), т.е. в процессе \(X = (X_n, n \in \left\{ 0,1\right\} )\) всего 2 момента времени (заметим, что любой такой процесс будет марковским), и \(s=0, t=1\). По сути мы будем исследовать двумерное распределение \((X_0, X_1)\). В выражении \(\mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s}=x\right)\) будем варьировать \(B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\) и \(x \in \mathbb {R}\) и смотреть на выполнение свойств 1, 2 из опр. Определение 7.
Напомним, как определяется условная вероятность \(\mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s}=x\right)\) в общем случае, т.е. когда \(\mathbb {P}\left(X_{s}=x\right) = 0\). Это делается в 2 этапа:
Для фиксированного множества \(B\) определяется случайная вероятность \(\mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s}\right)\), т.е. случайная величина
\[ \mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s}\right) = \mathbb {E}\left[\; \mathbb {1}_{B}(X_t) \mid X_{s}\right] = \mathbb {E}\left[\; \mathbb {1}_{B}(X_t) \mid \sigma (X_s)\right] \]
через условное матожидание. Определяется с точностью до соответствия п.н., как и любое условное матожидание;
Далее, необходимо вспомнить, что по определению условное матожидание \(\mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s}\right)\) – случайная величина, измеримая относительно \(X_s\), т.е. относительно порожденной сигма-алгебры \(\sigma (X_s)\). При этом известно, что случайная величина, измеримая относительно \(X_s\), является просто некоторой борелевской функцией от \(X_s\). Следовательно, в нашем случае существует такая борелевская функция \(\varphi_B\), что \(\mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s}\right) = \varphi_B(X_s)\). И в этом случае полагают
\[ \mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s} = x\right) := \varphi _B(x) \]
Исходя из определения, при фиксированном \(B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\) функция \(\mathbb {P}\left(X_{t} \in B \mid X_{s} = \cdot \right): \mathbb {R} \to [0,1]\) будет борелевской, т.е. св-во 2 из опр. Определение 7 выполнено. Однако выполено ли св-во 1, т.е. является ли ф-я \(\mathbb {P}\left(X_{t} \in \cdot \mid X_{s} = x\right)\) вероятностной мерой для всех \(x \in \mathbb {R}\)?
Заметим, что условную верноятность всегда можно выбрать так, чтобы она была неотрицательной для любого элементарного исхода \(\omega \in \Omega\). Следовательно, можно считать, что \(\forall x \in \mathbb {R}\) функция множеств \(\mathbb {P}\left(X_t \in \cdot \mid X_s = x\right)\) неотрицательна.
Осталось проверить счетную аддитивность. Пусть \(B_1, B_2, \ldots \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\) – непересекающиеся мн-ва. Тогда мы должны иметь
\[ \mathbb {P}\left(X_t \in \bigsqcup _{i=1}^\infty B_i \mid X_s = x\right) = \sum _{i=1}^\infty \mathbb {P}\left(X_t \in B_i \mid X_s = x\right), \]
\(\forall x \in \mathbb {R}\). При этом мы имеем
\[ \begin{split} \mathbb {P}\left(X_t \in \bigsqcup _{i=1}^\infty B_i\mid X_s\right) & = \mathbb {E}\left[\sum _{i=1}^\infty \; \mathbb {1}_{X_t \in B_i}\mid X_s\right] \stackrel{\text{п.н.}}{=} \\ & \stackrel{\text{п.н.}}{=} \sum _{i=1}^\infty \mathbb {E}\left[\; \mathbb {1}_{X_t \in B_i} \mid X_s\right] = \\ & =\sum _{i=1}^\infty \mathbb {P}\left(X_t \in B_i \mid X_s\right) \end{split} \tag{1}\]
Равенство выполнено п.н., как и почти любое равенство, где фигурируют условные матожидания. Обозначим \(\mathcal{N}(B_1,B_2,\ldots ) \subset \Omega\) множество тех эл. исходов, где равенство Уравнение 1 не выполнено. Заметим, что оно имеет меру нуль, но оно зависит от \(B_1,B_2,\ldots\). Т.е. чтобы получить все множество элементарных исходов \(\mathcal{N}\), где счетная аддитивность функции множеств \(\mathbb {P}\left(X_t \in \cdot \mid X_s\right)(\omega )\) нарушается, нужно взять объединение \(\mathcal{N}(B_1,B_2,\ldots )\) по всем непересек. \(B_1, B_2,\ldots \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\):
\[ \begin{align} \mathcal{N} & = \bigcup _{\substack {B_1, B_2,\ldots \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right) \\ B_i \cap B_j = \varnothing , \; i \neq j}} \\ & \quad \mathcal{N}(B_1,B_2,\ldots ) \end{align} \]
Несмотря на то, что каждое множество в объединении имеет меру нуль, объединение ведется по несчетному набору. Следовательно, оно может иметь ненулевую меру1. Гипотетически может выйти так, что \(\mathcal{N} = \Omega\), т.е. счетная аддитивность \(\mathbb {P}\left(X_t \in \cdot \mid X_s = x\right)\) будет нарушаться вообще при всех \(x \in X_s(\Omega )\).
Тем не менее оказывается, что если \(X_t, X_s\) действуют в борелевские пространства, то при каждом отдельном \(B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\) можно выбрать такую версию \(\mathbb {P}\left(X_t \in B \mid X_s \right)\), что в итоге для любого \(x \in \mathbb {R}\) функция множеств \(\mathbb {P}\left(X_t \in \cdot \mid X_s = x\right)\) будет вероятностной мерой. Подробнее см. марковские ядра.
Пусть теперь при каждом \(s < t\) мы выбрали \(\tilde{P}_{s,t}(\cdot , \cdot ) = \mathbb {P}\left(X_t \in \cdot \mid X_s \in \cdot \right)\) так, что она удовлетворяет свойствам 1-2 из опр. Определение 7. Но даже в этом случае могут возникнуть проблемы:
Для \(s < u < t\) обозначим \(\mathcal{N}(s,u,t) \subset \mathbb {R}\) множество тех \(x\), где уравнения Колмогорова-Чепмена не выполнены. Чтобы получить множество \(\mathcal{N}\) всех \(x\), где уравнения К-Ч не выполнены, нужно объеденить \(\mathcal{N}(s,u,t)\) по всем \(s < u < t\):
\[ \mathcal{N} = \bigcup _{\substack {s,u,t \in T \\ s < u < t } }\mathcal{N}(s,u,t) \]
Если \(T\) континуально (например, \(T = \mathbb {R}_+\)), то опять имеем континуальное объединение множеств меры нуль. Т.е. гипотетически может получиться так, что \(\mathcal{N} = \mathbb {R}\), и уравнения К-Ч не будут выполнены ни для какого \(x \in \mathbb {R}\).
Таким образом, смысл определения Определение 8 состоит в том, что у марковского процесса с переходной функцией существует “хороший” вариант условного распределения, стоящего в левой части равенства.
Вопрос о том, существует ли у марковского процесса переходная функция, является очень сложным и до конца не изученным. MarkovProcesses:WeakTransFunc означает, что для произвольных марковских процессов имеет место лишь ослабленный вариант свойства 4, справедливый не для всех \(x\), а лишь для почти всех по мере \(\mathbb {P}_{X_{s}}\).
В заключение дадим определение переходной плотности.
3 Марковские моменты
С точки зрения приложений полезным является анализ поведения случайного процесса в случайные моменты времени. В данном разделе мы рассмотрим важнейший подобный класс случайных моментов, называемых марковскими. Для этого нам понадобится ввести ряд определений.
3.1 Определения
Обсудим неформальный смысл определения. Пусть \(\tau\) – случайный момент наступления некоторого события в процессе \(\left(X_{t}, t \in T\right)\). Тогда \(\tau\) будет являться марковским моментом относительно естественной фильтрации процесса \(X_{t}\), если для любого \(t_{0} \in T\) можно однозначно сказать, наступило уже \(\tau\) к моменту времени \(t_{0}\) или еще нет (то есть \(\tau \leqslant t_{0}\) или \(\tau > t_{0}\)?), зная лишь значения процесса \(X_{t}\) до момента времени \(t_{0}\) включительно.
3.2 Момент первого попадания
Оказывается, что для большинства встречающихся на практике случайных процессов момент попадания в измеримое множество является марковским моментом. Чуть позже мы сформулируем точные условия, при которых это так (и частично докажем их), а пока рассмотрим несколько примеров из практики. Пусть 2 команды играют в футбол, и пусть \(X_t\) – общее количество забитых мячей к моменту времени \(t\) мин., \(t \in [0,90]\) (для простоты считаем, что арбитр не добавляет время к таймам). Пусть \(B = [1, +\infty )\). Тогда \(\tau_B = \inf \left\{ t \in T: X_t(\omega ) \geq 1\right\}\) – время забития первого гола в матче. Интуитивно очевидно, что, имея на любой момент времени \(t_0\) лишь информацию о забитых мячах к моменту времени \(t_0\) (т.е. \(\mathcal{F}^X_{t_0}\)), можно определить, был ли уже (к моменту времени \(t_0\)) забит первый гол в матче (т.е. \(\tau_B \leq t_0\)) или не был. Т.е. \(\left\{ \tau_B \leq t_0\right\} \in \mathcal{F}^X_{t_0}\).
Напротив, если рассмотреть случайное время \(\tau '_B := \inf \left\{ t \in T: X_{t+1}(\omega ) \geq 1\right\}\), т.е. момент времени за минуту до забития первого гола, то, зная к моменту \(t\) лишь \(\mathcal{F}^X_t\), не всегда можно точно сказать, произошло ли уже \(\tau '_B\) или нет, поскольку нам не известно будущее. Т.е. в общем случае \(\tau '_B\) не является марковским моментом.
Еще одним примером случайного времени, не являющегося марковским, может служить момент забития последнего гола: \(\tau '' := \inf \left\{ t \in T: X_t = X_{90}\right\}\) (для определенности считаем, что в матче был забит хотя бы один гол, иначе \(\tau '' = 0\)). Чтобы сказать, произошло ли \(\tau ''\) к моменту времени \(t_0\), нужно знать значение \(X_{90}\), т.е. будущее, а мы его не знаем на произвольный момент времени \(t_0 \in (0,90)\).
Пункты (i) и (ii) мы докажем в задачах ниже. Пункт (iii) – это общая теорема о дебюте (P. A. Meyer): при стандартных условиях марковость \(\tau_B\) сохраняется для произвольного борелевского \(B\). Его доказательство опирается на теорему об измеримой проекции и далеко выходит за рамки нашего курса5. Общая теорема о дебюте – одна из главных причин, по которым фильтрованные пространства принято стандартно расширять: например, для броуновского движения с пополненной и непрерывной справа естественной фильтрацией момент попадания в любое борелевское \(B \subset \mathbb {R}\) оказывается марковским.
Два полезных дополнения к теореме.
Непрерывность справа фильтрации в пункте (ii) нужна лишь в самом конце доказательства: без нее для открытого \(B\) и непрерывных справа траекторий все равно верно, что \(\left\{ \tau_B < t\right\} \in \mathcal{F}_t\) для всех \(t\), т.е. \(\tau_B\) – марковский момент относительно фильтрации \(\mathbb {F}_+ := (\mathcal{F}_{t+}, \; t \in T)\).
Для замкнутого \(B\) и процесса, все траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева (càdlàg), элементарными средствами доказывается марковость не самого \(\tau_B\), а момента
\[ \widehat{\tau }_B := \inf \left\{ t \in T \; : \; X_t \in B \text{ или } X_{t-} \in B\right\} . \]
Как видно, чтобы \(\tau_B\) был марковским, в непрерывном случае необходимо накладывать какие-то ограничения
на множество \(B\),
на траектории процесса \(X_t\),
на фильтрацию \(\mathbb {F}\).
Без этого возникают патологические случаи.
3.3 События , произошедшие к марковскому моменту
С марковским моментом можно связать сигма-алгебру событий, “произошедших до момента времени \(\tau\)”. Дадим формальное определение.
В \(\mathcal{F}_{\tau }\) входят все возможные события (из общей сигма-алгебры \(\mathcal{F}\)), такие что в каждый момент времени \(t\) можно определить, произошло ли это событие, если уже произошел момент остановки \(\tau\).
4 Процессы Леви и приложения
4.1 Процессы Леви: непрерывность по вероятности и неависимые стационарные приращения
Перейдем к приложениям марковских моментов к винеровскому процессу. Сначала приведем формулировку несложного утверждения (которое частично уже вошло в самостоятельную работу к прошлой главе): если остановить винеровский процесс в любой фиксированный момент времени и запустить время и положение заново, то новый процесс также будет винеровским.
Естественный вопрос: можно ли заменить \(a\) на случайную величину? Оказывается, утверждение останется верным, если \(a\) заменить на момент остановки относительно естественной фильтрации винеровского процесса. Более того, подобный факт верен для целого класса процессов, называемых процессами Леви.
Процессы Леви, включающие в качестве частных случаев процесс Пуассона и броуновское движение, были первым классом стохастических процессов, изученных в современном ключе (французским математиком Полем Леви). Они до сих пор служат прототипическими примерами для марковских процессов, а также для полумартингалов.
Мы предполагаем наличие фильтрованного вероятностного пространства \((\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {F}, \mathbb {P})\), удовлетворяющего обычным гипотезам.
Следующая теорема показывает, что процесс Леви «обновляется» в моменты остановки.
Поскольку стандартное броуновское движение является процессом Леви, теорема тем более подтверждает сильное марковское свойство броуновского движения. Это позволяет нам установить довольно красивый результат для броуновского движения, известный как принцип отражения.
4.2 Принцип отражения винеровского процесса
Какие марковские моменты было бы интересно рассмотреть в связи с винеровским процессом? Мы рассмотрим первый момент времени достижения уровня \(x \in \mathbb {R}\) винеровским процессом:
\[ \tau _{x} := \inf \left\{ t \geq 0 \; : \; W_t = x\right\} \]
4.3 Распределения, связанные с максимумом винеровского процесса на отрезке
С помощью случайной величины \(\tau_{x}\) можно найти распределение максимального значения винеровского процесса на отрезке \([0, t]\). Обозначим \(M_{t} := \max_{s \leqslant t} W_{s}\). Заметим простую связь \(M_{t}\) с \(\tau_{x}\): для любого \(x>0\)
\[ \left\{ M_{t} \geqslant x\right\} =\left\{ \tau _{x} \leqslant t\right\} . \tag{2}\]
В качестве следствия мы получаем, что процесс \(M_{t}\) является согласованным с естественной фильтрацией винеровского процесca.
Поскольку \(W\) является непрерывным процессом, \(M_t=\sup_{0 \leq u \leq t, u \in \mathbb {Q}} W_u\), где \(\mathbb {Q}\) обозначает рациональные числа; следовательно, \(M_t\) является согласованным процессом (с естественной фильтрацией \(W_t\)) с неубывающими траекториями.
Смоделированная (не подлинная) траектория \(W_t\) и её бегущий максимум \(M_t = \max_{s \leq t} W_s\). Двигайте слайдер уровня \(x\), нажмите «Новая траектория», чтобы перегенерировать путь, или «Анимация», чтобы увидеть, как \(M_t\) «догоняет» уровень \(x\) ровно в момент \(\tau_x\) — это и есть тождество \(\{M_t \geq x\} = \{\tau_x \leq t\}\).
С помощью принципа отражения можно отыскать совместное распределение \(M_{t}\) и \(W_{t}\). Предположим, что \(W_t\)- это броуновское движение, и для некоторой траектории броуновское движение поднимается выше уровня \(y\) до момента времени \(t\), но в момент времени \(t\) значение \(W_t\) меньше \(y-x\), где \(x > 0\). Мы можем взять график этого пути и отразить его через горизонтальную линию на уровне \(y\) в первый раз, когда траектория пересекает уровень \(y\). Это даст нам новый путь, который заканчивается выше \(y + x\). Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между траекториями, где максимум до момента времени \(t\) находится выше \(y\), а \(W_t\) ниже \(y-x\) и траекториями, где \(W_t\) выше \(y + x\). Выполнена
Принцип отражения для \(W_t\): смоделированная (не подлинная) траектория, попавшая на уровень \(y\), и её отражение \(2y - W_t\) после момента \(\tau_y\). Двигайте слайдеры \(y\) и \(x\), нажмите «Новая траектория» для перегенерации пути или «Анимация», чтобы увидеть, как хвост траектории плавно «поворачивается» вокруг уровня \(y\), иллюстрируя тождество \(\mathbb{P}\left(W_t < y-x,\, M_t \geq y\right) = \mathbb{P}\left(W_t > y+x\right)\).
Совместное распределение \((W_1, M_1)\): облако из \(2200\) смоделированных пар. Носитель — область \(\{(w,m) : m \geq \max(w,0)\}\) (граница красным); на саму границу точки не попадают, так как \(\mathbb{P}\left(M_1 = W_1\right) = \mathbb{P}\left(M_1 = 0\right) = 0\). Среди точек выделены оранжевым \(18\) пар, для которых сохранена полная траектория — наведите курсор (или нажмите) на такую точку, чтобы увидеть её справа.
Наведите курсор на выделенную (оранжевую) точку слева, чтобы увидеть её траекторию
Из данной леммы можно найти распределение случайной величины \(M_{t}=\max_{s \in [0, t]} W_{s}\). Очевидно, что \(\mathbb {P}\left(M_t \geq 0\right) = 1\). Далее, пусть \(y \geq 0\). Имеем
\[ \begin{align} \mathbb {P}\left(M_t \geq y\right) & = \mathbb {P}\left(M_t \geq y; W_t < y\right) + \mathbb {P}\left(M_t \geq y; W_t \geq y\right) = \\ & = \mathbb {P}\left(W_t > y\right) + \mathbb {P}\left(W_t \geq y\right) = \\ & = 2\mathbb {P}\left(W_t \geq y\right), \end{align} \]
где для получения 2-го равенства применена предыдущая лемма, а также соображение, что \(W_t \geq y \; \Rightarrow \; M_t \geq y\), т.е. \(\left\{ M_t \geq y; W_t \geq y\right\} = \left\{ W_t \geq y\right\}\). Таким образом, выполнена
Теорему Башелье можно переформулировать следующим образом: максимум винеровского процесса \(W_t\) на отрезке \([0,1]\) (т.е. \(M_t\)) имеет полунормальное распределение с параметром \(t\).
Теорема Башелье эмпирически: живая гистограмма значений \(M_1\) и \(\left|W_1\right|\), накапливающихся партиями по мере генерации, против плотности полунормального распределения. Слайдер \(t\) меняет параметр (масштаб) распределения, слайдер «число симуляций» — целевой размер выборки, кнопка «Начать заново» перезапускает накопление с нуля. Чтобы не гонять \(2 \cdot 10^4\) полных траекторий по 3000 шагов в браузере, значения \(M_1, \left|W_1\right|\) генерируются напрямую по их (совпадающему, согласно теореме Башелье) полунормальному распределению.
накоплено: 0
Плотности \(f_{\tau_x}(t) = \dfrac{x}{\sqrt{2\pi t^3}}\, e^{-x^2/(2t)}\) момента первого достижения уровня \(x\) (распределение Леви, \(IG(1/2, x^2/2)\)) для трёх фиксированных уровней (серые кривые) и для уровня \(x\), задаваемого слайдером (оранжевая кривая). С ростом \(x\) пик смещается вправо и понижается; тяжёлый хвост порядка \(t^{-3/2}\) даёт \(\mathbb{E}\left[\tau_x\right] = +\infty\).
Симуляция \(\tau_1 \overset{d}{=} 1/Z^2\), \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\), накапливается в реальном времени: бегущее среднее \(\frac{1}{n}\sum_{i \leq n} \tau_1^{(i)}\) (красная линия) не сходится – редкие огромные значения \(\tau_1\) (когда \(Z\) оказывается очень близко к нулю) снова и снова подбрасывают его вверх. Бегущая медиана (синяя линия) при этом быстро стабилизируется около теоретического значения \(\approx 2{,}2\) (серый пунктир). Оси логарифмические. Нажмите «Перезапустить», чтобы увидеть новый набор скачков.
n = 0
Сильное марковское свойство «вживую»: после момента \(\tau_x\) первого достижения уровня \(x\) винеровским процессом \(W_t\) процесс \(X_a := W_{\tau_x + a} - x\) – это заново стартовавший винеровский процесс, независимый от \(\mathcal{F}_{\tau_x}\) (зелёные «новые оси» с началом в точке \((\tau_x, x)\)). Двигайте слайдер \(a\), чтобы увидеть, как растёт окно \([\tau_x, \tau_x+a]\) (голубая заливка) и его супремум \(Y_a = \sup_{t \in [\tau_x, \tau_x+a]} W_t\) (красная точка), и нажмите кнопку, чтобы сгенерировать новую (смоделированную) траекторию.
Исследуем теперь, при каком аргументе винеровский процесс на произвольном отрезке \([a,b]\) достигает максимума. Введем случайную величину
\[ T_{[a, b]} := \operatorname *{arg\, max}_{s \in [a, b]} W_{s}, \quad 0 \leq a < b < +\infty \]
Чтобы эта величина была корректно определена, необходимо, чтобы п.н. все траектории винеровского процесса достигали своего максимума на \([a,b]\) ровно в одной точке. Чтобы это показать, решим следующую вспомогательную задачу.
Приступим теперь к поиску распределения \(T_{[a,b]}\)
Закон арксинуса в реальном времени: слева – одна свежая смоделированная траектория \(W_s, s \in [0,1]\) с подсвеченной точкой \(T = \argmax_{s \in [0,1]} W_s\); справа – накапливающаяся гистограмма \(2 \cdot 10^4\) значений \(T\) и (после того как накопится достаточно данных) теоретическая плотность арксинуса \(\frac{1}{\pi\sqrt{t(1-t)}}\). Вопреки интуиции, максимум чаще всего достигается у краёв отрезка, а не в середине. Нажмите «Перезапустить», чтобы начать заново.
свежая траектория Wₛ и её argmax
n = 0 / 20000
Семь смоделированных траекторий \(W_t\) на каждый клик: синие не имеют нулей на отрезке \([u,v]\) (серая полоса), красные – имеют. Здесь \(\mathbb{P}\left(W \text{ не имеет нулей на } [u,v]\right) = \frac{2}{\pi}\arcsin\sqrt{u/v}\), что равно \(\frac12\) при \(u=1, v=2\). Двигайте слайдеры \(u\) и \(v\) (счётчик при этом сбрасывается, так как меняется целевая вероятность) и нажимайте «Сгенерировать ещё», чтобы накопить эмпирическую долю траекторий без нулей и увидеть её сходимость к теоретическому значению.
теоретическая P(нет нулей) = 0.500
|
эмпирическая доля: 0 / 0
Сноски
Например, если \(\left(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}\right) = \left([0,1], \mathscr {B}\left([0,1]\right), \lambda \right)\), то \(\forall \omega \in \Omega \; \mathbb {P}\left(\left\{ \omega \right\} \right) = 0\). При этом \(\mathbb {P}\left(\bigcup_{\omega \in \Omega }\left\{ \omega \right\} \right) = \mathbb {P}\left(\Omega \right) = 1\).↩︎
Зачастую в литературе не выделяют п.н. конечные марковские моменты, и используют термины “марковский момент” и “момент остановки” как синонимы.↩︎
\(\inf\) по пустому множеству считаем равным \(+\infty\).↩︎
В англоязычной литературе первый момент попадания, помимо hitting time, называют еще début; отсюда второе название – теорема о дебюте.↩︎
См., например, C. Dellacherie, P.-A. Meyer. Probabilities and Potential, гл. III (теоремы о сечении и о проекции).↩︎