Системы множеств. Борелевская сигма-алгебра

Дата публикации

2 сентября 2026

Черновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

@debt:borel-lebesgue (первая половина), @debt:measurability (частично) С этой главы начинается возврат долгов, накопленных в главах о вероятностном пространстве–о предельных теоремах (их полный список – в конце главы о предельных теоремах). Абстрактное понятие сигма-алгебры мы уже определили в неделе 1, когда оно понадобилось для геометрической вероятности. Здесь мы достроим вокруг него полную картину: более простые и наглядные системы множеств – полукольца, кольца, алгебры – из которых сигма-алгебры удобно порождать, и, что важнее всего, дадим наконец строгое определение конкретной, эталонной сигма-алгебры \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\) – борелевской, – которой мы пользовались в геометрических моделях и в определении случайной величины, зная только её название. Вторая половина долга @debt:borel-lebesgue – мера Лебега – будет возвращена в главах о теореме Каратеодори–о мере Лебега.

Теория меры занимается вычислением длин, площадей, объемов и т.д. Все эти численные характеристики — длина (линейного множества), площадь (плоского множества) и объем (множества в трехмерном пространстве) — известны как меры, определенные для (подходящих) подмножеств объемлющего пространства, обычно обозначаемого \(\Omega\). В приведенных выше примерах \(\Omega\) равна одномерному, двумерному или трехмерному пространству \(\mathbb {R}^{1}, \mathbb {R}^{2}, \mathbb {R}^{3}\) соотв.

Преимущество такой абстракции заключается в том, что понятие меры может быть применено к различным ситуациям, начиная от дискретного пространства (известные из школы модели с конечным или счетным числом возможных исходов случайного эксперимента) до конечномерных пространств \(\mathbb {R}^n, n \geq 1\), где знаменитая мера Лебега — это \(n\)-мерный объем (в частности, это длина при \(n=1\), площадь при \(n=2\), обычный объем при \(n=3\)), и даже до бесконечномерных пространств (таких как \(C[0,1]\) или \(C[0, \infty )\), где, например, мера Винера соответствующих множеств функций — это вероятность того, что случайная траектория, совершающая броуновское движение, принадлежит этому множеству).

Чтобы начать, рассмотрим естественный выбор пространства элементарных исходов \(\Omega\), когда необходимо рассмотреть вероятностные вопросы, касающиеся простых экспериментов с различными возможными исходами.

Эксперимент 1: Дважды подбросьте честную монету и запишите результат каждого броска. Совокупность всех (четырех) возможных исходов можно описать как \(\Omega = \{ H H, H T, T H, T T\}\), где \(H\) — орел, а \(T\) — решка.
Эксперимент 2: Бросьте шестигранную честную игральную кость и запишите результат. Мы знаем, что существует шесть возможных исходов: \(\Omega =\{ 1,2,3,4,5,6\}\).
Эксперимент 3: Подбрасывайте честную монету до первого выпадения орла и запишите количество бросков. Результаты этого эксперимента можно параметризовать множеством \(\Omega =\mathbb {N}\) натуральных чисел.
Эксперимент 4: Выберите случайную точку, «равномерно распределенную в \(I=(0,1]\)», и запишите результат. Здесь пространство результатов — \(\Omega =I\).

Более общие эксперименты приведут к различным множествам результатов \(\Omega\). Если задан эксперимент с множеством всех результатов, обозначенным \(\Omega\), то интересуют конкретные события. Например,

в эксперименте 1 пусть \(E_1\) будет событием \(\{\) первый бросок выпадает \(H\}\);
в эксперименте 2 пусть \(E_2\) будет событием \(\{\) результат — четное число \(\}\);
в эксперименте 3 пусть \(E_3\) будет событием \(\{\) орёл выпадает не более чем в 10 бросках,
в эксперименте 4 пусть \(E_4\) будет событием \(\{\) выбранное число больше половины \(\}\).

Как видно выше, каждое такое событие обычно является подмножеством \(\Omega\). В экспериментах 1, 2 и 3 мы смогли перечислить множество исходов, поэтому мы могли взять множество всех подмножеств \(\Omega\), множество всех событий, равное степени \(\mathcal{P}(\Omega )\). Однако когда множество \(\Omega\) бесконечно, как в эксперименте 4, возникает проблема с определением вероятности произвольных подмножеств \(\Omega\). Чтобы точно понять природу этой проблемы, рассмотрим следующий вопрос.

Вопрос: дано множество \(A \subset \mathbb {R}^3\), можем ли мы измерить объем \(A\)?

Давайте исследуем «разумные требования», которым должен соответствовать процесс присвоения объемов множествам. В частности, если \(|S|\) обозначает объем множества \(S \subseteq \mathbb {R}^3\), то представляется естественным потребовать, чтобы присваивание \(S \mapsto |S|\) удовлетворяло следующим условиям:

\(|S| \in [0, \infty ]\). (Объемы не могут быть отрицательными.)
\(\left|S_1 \cup S_2\right|=\left|S_1\right|+\left|S_2\right|\), если \(S_1 \cap S_2=\emptyset\). (Объемы непересекающихся множеств должны «суммироваться».)
Если \(\left\{ S_n\right\}_{n=1}^{\infty }\) — возрастающая последовательность множеств с объединением \(S\), т.е. \(S_1 \subset S_2 \subset \ldots\) и \(S=\bigcup_{n=1}^{\infty } S_n=S\), тогда \(|S|=\lim_{n \rightarrow \infty }\left|S_n\right|\). (Это «требование непрерывности», которое кажется естественным.)
\(|C|=1\), если \(C = [0,1]^n\) — \(n\)-мерный куб со стороной \(1\).
Если \(x \in \mathbb {R}^3\) и \(S+x=\{ s+x: s \in S\}\) обозначает сдвиг \(S\) на \(x\), тогда \(|S+x|=|S|\): (объемы остаются инвариантными относительно сдвига.)

К сожалению, невозможно определить \(|S|\) для всех подмножеств \(S\) из \(\mathbb {R}^3\) таким образом, чтобы все условия (1)-(5) выше были выполнены. Эта проблема вызвана тем, что существуют некоторые очень странные «Неизмеримые» множества.

Следовательно, независимо от того, исходит ли мотивация из вычисления вероятностей определенных событий эксперимента, имеющих пространство исходов \(\Omega\), или из вычисления длин подмножеств пространства \(\Omega\), сначала необходимо разобраться с понятием событий или подмножеств. Именно это мы и делаем в следующем разделе.

Зачем нужны системы множеств?

Как уже сказано, невозможно (а для \(\mathbb {R}^n\), \(n \ge 1\), и просто противоречиво в рамках ZFC с аксиомой выбора) определить меру на всех подмножествах \(\mathbb {R}^n\) так, чтобы она была счётно-аддитивной, инвариантной относительно сдвигов и согласованной с обычной длиной/площадью/объёмом – существуют неизмеримые множества (например, множество Витали). Поэтому меру нужно определять не на всех множествах, а на специально подобранном классе множеств.
Этот класс должен быть достаточно богатым, чтобы включать все “разумные” множества, встречающиеся на практике (интервалы, открытые и замкнутые множества, счётные объединения и пересечения и т.д.), и достаточно структурированным (замкнутым относительно дополнений, счётных объединений и пересечений), чтобы операции с измеримыми множествами и предельные переходы не выводили нас за пределы класса.
Именно такой структурой обладает понятие \(\sigma\)-алгебры. В теории вероятностей \(\sigma\)-алгебра \(\mathcal{F}\) событий играет ту же роль: она задаёт класс множеств (событий), для которых вообще определена вероятность, и гарантирует, что счётные комбинации событий (объединения, пересечения, дополнения) – тоже события.
Удобно строить \(\sigma\)-алгебры не “руками”, а порождая их из более простых и наглядных систем множеств (полуколец, колец, алгебр) – через операцию “наименьшая \(\sigma\)-алгебра, содержащая данный класс множеств”. Так возникает, в частности, борелевская \(\sigma\)-алгебра \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\) – \(\sigma\)-алгебра, порождённая открытыми (или, что эквивалентно, полуинтервалами вида \((x,y]\)) множествами в \(\mathbb {R}^n\).
Изучение различных систем множеств (полукольцо, кольцо, алгебра, \(\sigma\)-алгебра, монотонный класс) и соотношений между ними – это необходимый технический фундамент, на котором затем строится как мера Лебега (через теорему Каратеодори), так и общая теория вероятностных мер.

1 Полукольца, кольца, алгебры, сигма-алгебры

Всюду далее \(\mathcal{S}\) – некоторое семейство подмножеств множества \(\Omega\), т.е. \(\mathcal{S} \subset 2^\Omega\).

Определение 1 Семейство подмножеств \(\mathcal{S}\) называется полукольцом, если

\(\varnothing \in \mathcal{S}\);
Если \(A, B \in \mathcal{S}\), то \(A \cap B \in \mathcal{S}\) (замкнутость относительно пересечения);
Если \(A, B \in \mathcal{S}, B \subset A\), то в \(\mathcal{S}\) найдется конечный набор дизъюнктных множеств \(C_1, \dots , C_n\) (не пересекающихся также с \(B\)), что

\[ \begin{align} A = B \sqcup C_1 \sqcup \dots \sqcup C_n \end{align} \]

Самым главным полукольцом для нас будет семейство полуинтервалов в \(\mathbb {R}^{n}\):

\[ \mathcal{S} = \left\{ (x,y] \; \; : \; \; x,y \in \mathbb {R}^{n}\right\} \]

где

\[ (x,y] = (x_1, y_1] \times \ldots \times (x_n, y_n] \]

3-е условие полукольца на примере полукольца (многомерных, в данном случае 2-мерных) полуинтервалов. Обратите внимание на границы множеств \(B,C_1,\ldots,C_4\) — наведите курсор на область, чтобы увидеть её точное определение. Поскольку мы брали полуинтервалы, объединение \(A = B \sqcup C_1 \sqcup C_2 \sqcup C_3 \sqcup C_4\) действительно дизъюнктное.

Определение 2 Если полукольцо \(\mathcal{S} \subset 2^{\Omega }\) дополнительно замкнуто относительно объединений (т.е. \(A,B \in \mathcal{S} \; \Rightarrow \; A \cup B \in \mathcal{S}\)), то оно называется кольцом.

Кольцо из полукольца можно получить просто взятием всевозможных конечных объединений элементов полукольца. В частности, полукольцом будет система множеств, каждое из которых можно представить конечным объединением полуинтервалов.

Определение 3 Если \(\mathcal{S}\) – это кольцо, и дополнительно \(\Omega \in \mathcal{S}\), то \(\mathcal{S}\) кольцо \(\mathcal{S}\) называют алгеброй.

	Обязательно ли система ℱ замкнута относительно								Обяз. ли ℱ непусто?
	\(A\cap B\)	\(A\cup B\)	\(B\setminus A\)	\(A^{\complement}\)	\(A_1 \cap A_2 \cap \ldots\)	\(A_1 \cup A_2 \cup \ldots\)	\(\Omega\in\mathcal{F}\)	\(\varnothing\in\mathcal{F}\)	Обяз. ли ℱ непусто?
Полукольцо	✓	Не всегда	Не всегда, но \(B \setminus A\) обязано разложиться в виде \(C_1 \sqcup \ldots \sqcup C_n\)	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда	✓	✓
Кольцо	✓	✓	✓	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда	✓	✓
Алгебра	✓	✓	✓	✓	Не всегда	Не всегда	✓	✓	✓
\(\delta\)-кольцо	✓	✓	✓	Не всегда	✓	Не всегда	Не всегда	✓	✓
\(\sigma\)-кольцо	✓	✓	✓	Не всегда	✓	✓	Не всегда	✓	✓
\(\sigma\)-алгебра (и \(\delta\)-алгебра, соотв.)	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
Монотонный класс	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Если \(A_i \searrow\); в противном случае не всегда	Если \(A_i \nearrow\); в противном случае не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда
\(\pi\)-система	✓	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда	Не всегда	✓
\(\lambda\)-система	Не всегда	Не всегда	✓	✓	Не всегда	Если \(A_i \nearrow\) или если \(A_i\) не пересекаются; в противном случае не всегда	✓	✓	✓
Топология	✓	✓	Не всегда	Не всегда	Не всегда	✓	✓	✓	✓

Задача 1

Докажите, что кольцо можно определить так: непустой набор подмножеств, замкнутый относительно \(\cup , \setminus\).

Задача 2

Докажите, что набор подмножеств, включающий в себя \(\varnothing\) и замкнутый относительно \(\cap , \setminus\) может не быть кольцом.

Задача 3

Докажите, что алгебру можно определить так: набор подмножеств, включающий в себя \(\varnothing\), замкнутый относительно

\({}^{\complement }\), \(\cup\).
\({}^{\complement }\), \(\cap\).

Примечание. \({}^{\complement }\) означает взятие дополнения (от англ. complement): \(A^{\complement } := \Omega \setminus A\).

Определение 4 \(\mathcal{S}\) – сигма-кольцо (сокр. \(\sigma\)-кольцо), если \(\mathcal{S}\) – кольцо и \(\mathcal{S}\) замкнуто относительно счетных объединений, т.е. \(\forall (A_i)_{i=1}^\infty \subset \mathcal{S}\) выполнено \[ \begin{align} \bigcup _{i=1}^{\infty } A_i \in \mathcal{S} \end{align} \] Сигма-алгебра (сокр. \(\sigma\)-алгебра) определяется аналогично.

Связь некоторых систем подмножеств. \(\lambda\)-системы обсудим чуть позже.

Задача 4

Докажите, что в определении сигма-алгебры замкнутость относительно счетных объединений можно заменить на замкнутость относительно счетных пересечений.

Примечание. Из-за этого термин “\(\delta\)-алгебра” почти не используется. Как правило, используется термин “\(\sigma\)-алгебра”.

Задача 5

Пусть \(\mathcal{S}, \mathcal{T}\) – сигма-алгебры на \(\Omega\). Обязательно ли будут \(\sigma\)-алгебрами системы множеств

\(\mathcal{S} \cap \mathcal{T}\)
\(\mathcal{S} \cup \mathcal{T}\) ?

Задача 6

Пусть \(\Omega = \mathbb {R}\). Являются ли следующие системы полукольцом/кольцом/алгеброй/\(\sigma\)-алгеброй:

Полуинтервалы на прямой:

\[ \mathcal{S} = \{ (a, b]: -\infty < a \leq b < + \infty \} \]

Все конечные подмножества натуральных чисел;
Все открытые множества на прямой;
Все ограниченные множества на прямой.

2 Минимальная сигма-алгебра, минимальная система

Определение 5 Пусть \(\mathcal{D}\) – произвольное семейство подмножеств \(\Omega\): \(\mathcal{D} \subset 2^{\Omega }\). Тогда минимальная \(\sigma\)-алгебра, порожденная \(\mathcal{D}\) – такая \(\sigma\)-алгебра \(\mathcal{S}\), что она содержится в любой другой сигма-алгебре, содержащей \(\mathcal{D}\). Обозначение: \(\sigma (\mathcal{D})\). Говорят, что \(\mathcal{D}\) генерирует, порождает \(\sigma (\mathcal{D})\).

Аналогично определяется минимальная алгебра, минимальное кольцо, минимальная \(\lambda\)-система (см. определение ниже) (обозн. \(\lambda (\mathcal{D})\)), минимальный монотонный класс (определение ниже) (обозн.: \(M(\mathcal{D})\)).

Пример 1

Докажите, что \(\forall \Omega , \; \forall \mathcal{D} \subset 2^\Omega\) минимальная \(\sigma\)-алгебра \(\sigma (\mathcal{D})\) существует и единственна.

Решение

Легко показать, что пересечение любого набора сигма-алгебр (даже несчетного) будет сигма-алгеброй. Следовательно, \(\sigma (\mathcal{D})\) \[ \sigma (\mathcal{D}) = \bigcap _{\substack {\mathcal{F} \text{ явл. } \sigma \text{-алг.}\\ \mathcal{F} \supset \mathcal{D}}} \mathcal{F} \tag{1}\] Заметим, что пересечение справа непусто, поскольку \(2^\Omega\) – это сигма-алгебра и \(2^\Omega \supset \mathcal{D}\) по условию. ЧТД.

Пример 2

Опишите \(\sigma\)-алгебру подмножеств числовой прямой \(\mathbb {R}\), порожденную системой одноточечных множеств: \[ \mathcal{D} = \left\{ \left\{ x\right\} \mid x \in \mathbb {R}\right\} \]

Решение

На практике через формулу Уравнение 1 минимальную сигма-алгебру получать затруднительно: слишком много сигма-алгебр требуется перебрать. Гораздо удобнее идти “снизу вверх”: при помощи операций, относительно которых сигма-алгебра замкнута, строить новые подмножества \(\Omega\) из тех, что в есть в \(\mathcal{D}\). Затем из старых и только что построенных построить еще, и т.д. На каком-то шаге новые множества перестанут появляться, наступит замкнутость относительно операций, и полученный набор и будет минимальной сигма-алгеброй. При этом количество шагов может быть конечным (простая ситуация) или бесконечным.

Итак, берем конечные и счетные объединения одноточечных подмножеств, получаем не более чем счетные подмножества \(\mathbb {R}\). Берем далее дополнения, получаем

\[ \mathcal{F} = \left\{ A \subset \mathbb {R} \mid \text{ либо } A \text{, либо } A^\complement \text{ не более чем сч.}\right\} \]

Несложно проверить, что новых подмножеств аксиомами сигма-алгебры из \(\mathcal{F}\) уже не получить, следовательно \(\mathcal{F}\) – это сигма-алгебра, при этом \(\mathcal{F} = \sigma (\mathcal{D})\).

Задача 7

Пусть \(\Omega = [0,1]\). Опишите сигма-алгебры, порождаемые системами подмножеств:

\(\{ [0, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1]\}\);
\(\{ \{ 0\} , \{ 1\} \}\);
\(\{ [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]\}\);
\(\{ \{ r\} : r \in [0,1], r \not\in \mathbb {Q}\}\).

Определение 6 Пусть дано топологическое пространство \((X,\tau )\)¹. Сигма-алгебру \(\sigma (\tau )\) называют борелевской сигма-алгеброй и обозначают \(\mathscr {B}\left(X\right)\). Она зависит от \(\tau\), но, как правило, из контекста понятно, какая топология \(\tau\) рассматривается, и поэтому \(\tau\) не указывается в обозначении.

Кратко: борелевская сигма-алгебра – это минимальная сигма-алгебра, порожденная открытыми подмножествами.

Задача 8

Докажите, что борелевская сигма-алгебра \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\) на прямой может быть порождена следующими семействами подмножеств:

все промежутки;
\(\left\{ (-\infty , a] \; : \; a \in \mathbb {R}\right\}\);
\(\left\{ (-\infty , a] \; : \; a \in \mathbb {Q}\right\}\).

Задача 9

Пусть \(\mathcal{S}\) – конечное кольцо (\(\left|\mathcal{S}\right| \in \mathbb {N}\)). Какое количество элементов там может быть? Может ли там быть, например, \(3\) элемента? \(8\)?

Примечание. Для каждого варианта ответа приведите пример кольца с таким количеством элементов. Докажите, что других ответов нет.

Задача 10

Существует ли

конечная,
счетная счетная система подмножеств \(\mathbb {R}\), порождающая борелевскую сигма-алгебру \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)?

Сноски

Напомним, что набор подмножеств \(\tau \subset 2^X\) называют топологией для \(X\), если
1. \(\varnothing , X \in \tau\);
2. \(\tau\) замкнуто относительно конечных пересечений;
3. \(\tau\) замкнуто относительно любых, даже несчетных, объединений. Элементы \(\tau\) принято называть открытыми подмножествами \(X\). Поднабор \(\tau ' \subset \tau\) называют базой топологии \(\tau\), если любой элемент из \(\tau\) можно представить как объединение некоторого числа элементов из \(\tau '\). В \(\mathbb {R}^n\) (шире: в любом метрическом пространстве) в качестве базы топологии принято брать открытые шары, т.е. множества вида \(\left\{ x \in X \mid \rho (x, x_0) < \varepsilon \right\}\), \(x_0 \in X\), \(\varepsilon > 0\).
↩︎