Интеграл Лебега: интеграл по мере

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Недостатки интеграла Римана

Интеграл Лебега родился из попытки обобщить интеграл Римана так, чтобы можно было гораздо более свободно переставлять взятие пределов и интегрирование. Напомним, что если у нас есть посл. функций \((f_n)\), заданных на ограниченном отрезке \([a,b]\), сходящихся равномерно к \(f = \lim_{n\to \infty } f_n\), то

\[ \begin{align} \lim _{n\to \infty } \int _a^b f_n(x) dx = \int _a^b \lim _{n\to \infty } f_n dx \end{align} \tag{1}\]

Если же \((f_n)\) сходится к \(f\) поточечно, то так просто переставлять предел и интеграл нельзя, даже если последовательность \((f_n)\) монотонна. К примеру, если \(\mathbb {Q} \cap [0,1] = \left\{ r_n\right\}_{n=1}^\infty , f_n = I_{\left\{ r_i\right\}_{i=1}^n}\), то \((f_n)\) поточечно, но не равномерно, сходится к \(f = I_{\mathbb {Q} \cap [0,1]}\). При этом \(\lim_{n\to \infty } \int_0^1 f_n(x) dx = \lim_{n\to \infty } 0 = 0\), а \(\int_0^1 f dx\) не существует. Если мы хотим, чтобы в таких случаях предельный переход под знаком интеграла был возможен, мы должны требовать, чтобы \(f\) была интегрируема, и чтобы интеграл от нее был равен \(0\).

На проблему интеграла Римана можно посмотреть под несколько другим углом. Из школьной геометрии известно, что площадь прямого цилиндра высоты \(h\), т.е. фигуры \(A \times [0,h], A \subset \mathbb {R}\), – это произведение длины основания \(A\) на \(h\). Интеграл Римана вводился в попытке численно выразить площадь под графиком функции. Соответственно, наиболее естественное требование к такому функционалу – его значение от индикаторной функции \(I_{A}\) должно быть равно длине \(A\). Если множество \(A\) – интервал, отрезок или конечное дизъюнктое объединение интервалов и отрезков, то интеграл Римана удовлетворяет этому требованию. Однако в общем случае, как видно из примера выше, это не так. Более того, это не так хотя бы потому, что при введении интеграла Римана в принципе не обсуждается вопрос о том, у каких подмножеств прямой есть длина, какие подмножества прямой можно измерить. Этот вопрос, как видно из нашего курса, совсем не тривиален. У нас же на данный момент как раз есть строгий аппарат, отвечающий на этот вопрос. Мы строго ввели понятие измеримых множеств и меры (длины), в частности, меры Лебега в \(\mathbb {R}^{n}\).

2 Естественные требования к новому интегралу

Итак, на данный момент у нас есть аппарат для введения и измерения длины (или площади, объема, меры) подмножеств произвольного множества \(X\) – тройка \((X, \mathcal{F}, \mu )\), состоящая из самого множества, сигма-алгебры его подмножеств (подмножеств, которые можно измерить) и меры \(\mu\). Пусть \(f,g,f_1, f_2, \dots : X \to \overline{\mathbb {R}}\) – функции из \(X\) в расширенную числовую прямую. Выпишем естественные требования к новому интегралу \(\int \cdot \quad\):

1. Для любой индикаторной функции \(f = I_{A}, A \in \mathcal{F}\) любого измеримого множества \(A\) интеграл должен существовать ¹ и его значение должно быть равно мере этого множества, т.е. \(\int f = \mu \left(A\right)\);

2. Интеграл должен быть линеен:

• Однородность интеграла: если \(c \in \mathbb {R}\) и \(\int f\) существует, то \(\int cf\) должен существовать и должно выполняться \(\int cf = c \int f\) ².

• Аддитивность интеграла: если \(\int f, \int g\) существуют и они не равны бесконечностям разных знаков, то \(\int h\) должнен существовать и должно выполняться \(\int h = \int f + \int g\), где

\[ h(x) := \begin{cases} f(x)+g(x), & f(x)+g(x) \text{ определено} \\ 0, & \text{в прот. случ.} \end{cases} \]

3. Должнен выполняться предельный переход при поточечной монотонной сходимости, ограниченной снизу. Т.е. если \(0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \dots\) и \(\int f_i\) существует \(\forall i\), то \(\int f\) должен существовать и должно выполняться \(\int f = \lim_n \int f_n\), где \(f := \lim_n f_n = \sup_n f_n\).

Это утверждение называется теоремой Лебега о монотонной сходимости. Заметим, что далее окажется, что у любой неотрицательной измеримой функции интеграл не может не существовать. Соответственно, требование существования \(\int f_i \; \forall i\) окажется излишним.

Исходя из этих требований и вводится функционал, называемый интегралом Лебега.

Несмотря на то, что интеграл Лебега родился из интеграла Римана, в общем случае он строится для измеримых функций, заданных на произвольном пространстве с мерой \((X, \mathcal{F}, \mu )\).

3 Построение интеграла Лебега

3.1 Шаг 1. Неотрицательные простые функции

Определение 1 Простая функция (или ступенчатая функция) на \((X, \mathcal{F})\) – это конечная линейная комбинация индикаторных функций от измеримых множеств. Т.е. \(f: (X, \mathcal{F}) \to (\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) – простая, если она может быть представлена в виде \(f(x) = \sum_{i=1}^n c_i I_{x \in A_i}, \; c_i \in \mathbb {R}, A_i \in \mathcal{F}, \forall i, \; X = \bigsqcup_{i=1}^n A_i\). Эквивалентно, это \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримая функция, принимающая конечное число конечных значений.

Учитывая требования , , для любой неотрицательной простой функций \(f = \sum_{i=1}^n c_i I_{A_i}, 0 \leq c_i\) интеграл должен существовать и должен быть равен

\[ \mathfrak {I}^{1}\left(f\right) := \sum _{i=1}^n c_i \cdot \mu \left(A_i\right) \]

(неопределенности вида \(0 \cdot +\infty\) считаем равными \(0\)).

Мы берем пока только неотрицательные простые функции, чтобы при определении избежать неопределенностей вида \((+\infty ) - (+\infty )\).

Введенный функционал, очевидно, удовлетворяет требованию . Легко доказать, что он удовлетворяет и требованию линейности (если коэфф. \(c\) неотрицателен). Удовлетворяет, в частности, потому, что [конечная] линейная комбинация простых функций – всегда простая функция.

Из рассмотрения требования о монотонном предельном переходе вытекает следующий шаг.

3.2 Шаг 2. Неотрицательные измеримые функции

Рассмотрим теперь требование к интегралу. На данный момент интеграл введен для простых неотрицательных функций. Функцию \(f\) какого вида можно получить как поточечный предел возрастающей последовательности неотрицательных простых функций \((f_n)\)? Очевидно, такая функция \(f\) должна быть измеримой, поскольку поточечный возрастающий предел измеримых функций равен их поточечному супремуму, следовательно измерим. Также она должна быть неотрицательна.

Оказывается, этих двух требований, неотрицательности и измеримости, достаточно, чтобы функцию \(f\) можно было получить как поточечный возрастающий предел простых. Действительно, пусть \(f\) неотрицательна и измерима. Тогда если положить

\[ \begin{align} f_n := & \sum _{i=0}^{n-1} \sum _{j=0}^{2^n-1}\left( i + \frac{j}{2^n} \right) \cdot I_{f \in \left[i + \frac{j}{2^n}, i + \frac{j+1}{2^n}\right)} + \\ & + n \cdot I_{f \in [n, +\infty ]} \end{align} \]

то \(f_n\) будет сходится в \(f\) монотонно снизу в любой точке области определения. Если \(f: (X, \mathcal{F}, \mu ) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримая неотриц. функция (может принимать \(+\infty\)), то мы обязаны положить

\[ \mathfrak {I}^{2}\left(f\right) := \lim _n \mathfrak {I}^{1}\left(f_n\right), \]

где функции \((f_n)\) определены выше.

Можно доказать более сильное утверждение:

\[ \mathfrak {I}^{2}\left(f\right) = \sup \{ \mathfrak {I}^{1}\left(s\right): \; 0 \leq s \leq f, \; s \text{ -- простая}\} \]

Если \(f\) – неотрицательная простая, то \(\mathfrak {I}^{2}\left(f\right) = \mathfrak {I}^{1}\left(f\right)\), т.е. \(\mathfrak {I}^{2}\left(\cdot \right)\) – расширение \(\mathfrak {I}^{1}\left(\cdot \right)\) на более широкий класс функций.

ProblemЗадача 1

Анри Лебег написал следующее о своем методе интегрирования:

«Мне нужно заплатить определенную сумму, которую я собрал в кармане. Я вынимаю банкноты и монеты из кармана и отдаю их кредитору в том порядке, в котором нахожу, пока не достигну общей суммы. Это интеграл Римана. Но я могу поступить иначе. После того как я вынул все деньги из кармана, я упорядочиваю банкноты и монеты по одинаковым значениям, а затем отдаю кредитору несколько стопок одну за другой. Это мой интеграл.»

Пусть \(f \geq 0\) – измеримая неотрицательная. Пусть \(f^*(t) := \mu \left(\left\{ x: f(x) > t\right\} \right)\). Докажите, что \[ \mathfrak {I}^{2}\left(f\right) = \int _0^{+\infty } f^*(t) \; dt. \] где интеграл справа – это интеграл Римана, являющийся несобственным в \(+\infty\) и, возможно, в \(0\). Используйте эту формулу чтобы объяснить, что имел ввиду Лебег: объяснить, почему интегрирование функции по мере можно рассматривать как разбиение области значений функции, в отличие от интегрирования по Риману, которое зависит от разбиения области определения функции.

Докажите формулу, используя лишь определение интеграла Лебега, а именно, формулу \(\mathfrak {I}^{2}\left(f\right) = \sup \{ \mathfrak {I}^{1}\left(s\right): \; 0 \leq s \leq f, \; s \text{ -- простая}\}\). Не используйте произведение мер, теоремы Тонелли, Фубини!

Примечание. Приведенная выше цитата взята со страницы 796 книги The Princeton Companion to Mathematics, под редакцией Тимоти Гауэрса (Timothy Gowers).

3.3 Шаг 3. Произвольные измеримы функции

На данный момент мы ввели интеграл для неотрицательных измеримых функций. Вернемся к рассмотрению требования линейности . Заметим, что если \(f\) – измерима, то \(f = f^+ - f^-\), где

\[ f^+(x) := \max (f(x), 0), \quad f^-(x) := \max (-f(x), 0). \]

\(f^+, f^-\) – неотрицательные измеримые функции, следовательно, если хотя бы одно из чисел \(\mathfrak {I}^{2}_{E}\left(f^+\right), \mathfrak {I}^{2}_{E}\left(f^-\right)\) меньше \(+\infty\), мы обязаны положить

\[ \mathfrak {I}^{3}\left(f\right) := \mathfrak {I}^{2}\left(f^+\right) - \mathfrak {I}^{2}\left(f^-\right). \]

Если \(f\) – неотрицательная измеримая, то \(\mathfrak {I}^{3}\left(f\right) = \mathfrak {I}^{2}\left(f\right)\). Таким образом, \(\mathfrak {I}^{3}\left(\cdot \right)\) – расширение функционала \(\mathfrak {I}^{2}\left(\cdot \right)\) на более широкий класс функций, а именно на класс измеримых функций, у которых \(\min (\mathfrak {I}^{2}\left(f^+\right), \mathfrak {I}^{2}\left(f^-\right)) < +\infty\).

Расширять определение указанного функционала можно и дальше, к примеру, ввести его для функций, определенных \(\mu\)-п.в. на \(X\), однако для нашего курса того, что уже построено, достаточно. С этого момента \(\mathfrak {I}^{3}\left(f\right)\) мы будем обозначать \(\int f d\mu\) и называть интегралом Лебега. Возможные альтернативные обозначения:

\[ \int _X f(x) d\mu (x), \quad \int f(x) \; \mu (dx), \quad \int _X f(x) \; \mu (dx). \]

Повторим еще раз, интеграл Лебега \(\int f d\mu\) для измеримой функции \(f\) существует, если \(\min \left( \int f^+ d\mu , \int f^- d\mu \right) < +\infty\). Функция называется интегрируемой по Лебегу, если ее интеграл Лебега существует и конечен.

ExampleПример 1

Пусть \(f\) измерима. Докажите, что \(f\) интегрирума по Лебегу тогда и только тогда, когда \(\int \left|f\right| d\mu < +\infty\) (не существовать \(\int \left|f\right| d\mu\) не может).

SolutionРешение

…

ProblemЗадача 2

Приведите пример борелевской функции на \(\left(\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right), \lambda \right)\), интегрируемой по Лебегу, но не по Риману.

ProblemЗадача 3

Пусть \(X = \mathbb {R}\), \(\mathcal{F} = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\), \(\mu (B) := \left|B \cap \mathbb {Z}\right|\), т.е. мера \(B\) равна количеству целых чисел, попавших в \(B\). Найти \(\int e^{-\left|x\right|} \; d\mu (x)\).

ProblemЗадача 4

Пусть \(f(x)=\frac{1}{x}, x \in (0,1]\) и \(\lambda\)- мера Лебега на \((0 , 1]\). Доказать, что \[ \int _{(0,1]} f(x) d \lambda = +\infty , \] используя только определение интеграла Лебега.

ProblemЗадача 5

Приведите пример последовательности \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) вещественных чисел такой, что \[ \lim _{n \rightarrow \infty } \sum _{k = 1}^{n} x_{k} \text{ существует в } \mathbb {R} \] но \(\int x d \mu\) не определена, где \(\mu\) — считающая мера на \(\mathbb {N}\) и \(x\) — функция из \(\mathbb {N}\) в \(\mathbb {R}\), определенная как \(x(k) = x_{k}\).

ProblemЗадача 6

Предположим, \((X, \mathcal{F}, \mu )\) — пространство с мерой и \(f: X \rightarrow [0, \infty ]\) — \(\mathcal{F}\)-измеримая неотрицательная функция. Докажите, что \[ \int f d \mu = 0 \quad \iff \quad f = 0 \; \mu \text{-п.в.} \]

Пусть \(f, f_1, f_2, \ldots\) – измеримые функции, заданные на одном пространстве с мерой. Говорят, что \((f_n)\) сходятся к \(f\) в пространстве \(L^p\), \(p \in (0, +\infty )\), если

\[ \int _{X}\left|f_n - f\right|^p \; d\mu \xrightarrow [n \to \infty ]{} 0 \]

ProblemЗадача 7

Предположим, \(\lambda\) обозначает меру Лебега на \(\mathbb {R}\). Приведите пример последовательности \(f_{1}, f_{2}, \ldots\) простых борелевски измеримых функций из \(\mathbb {R}\) в \([0, \infty )\) таких, что \(f_n\) сходятся к \(0\) \(\lambda\)-п.в., но \(\int f_n = 1\) для всех \(n\) (и, следовательно, \(f_n\) не сходятся к \(0\) в \(L^1\)).

4 Свойства интеграла Лебега

Везде в этом разделе \((X,\mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой, \(f,g, f_1, f_2, \dots : (X, \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции.

4.1 Линейность, предельные свойства

Теорема 1 (Значение инт. Лебега не меняется при изменении ф-ии п.в.) Если \(f=g\) \(\mu\)-п.в., то \(\int f d\mu\) существует тогда и только тогда, когда \(\int g d\mu\) существует, и в этом случае \(\int f d\mu = \int g d\mu\).

Теорема 2 (Линейность)  

• Если \(c \in \mathbb {R}\) и \(\int f d\mu\) существует, то \(\int cf d\mu\) существует и \(\int cf d\mu = c \int f d\mu\) (если \(c = 0\), то неопределенности вида \(0 \cdot \pm \infty\) надо считать равными \(0\)).

• Если \(\int f d\mu , \int g d\mu\) существуют и они не равны бесконечностям разных знаков, то \(\int h d\mu\) должнен существовать и должно выполняться \(\int h d\mu = \int f d\mu + \int g d\mu\), где

  \[ h(x) := \begin{cases} f(x)+g(x), & f(x)+g(x) \text{ определено} \\ 0, & \text{в прот. случ.} \end{cases} \]

Теорема 3 (Лебега о монотонной сходимости) Пусть \(0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \dots\) и \(f(x) = \lim_n f_n(x), \; \forall x \in X\). Тогда \[ \int f d\mu = \lim _n \int f_n d\mu . \]

Теорема 4 (лемма Фату) Пусть \(f_1, f_2, \dots\) – неотрицательные. Тогда \[ \int \varliminf _n f_n d\mu \leq \varliminf _n \int f_n d\mu . \]

ExampleПример 2

Приведите пример такой последовательности неотрицательных измеримых функций \((f_n)\), что для них неравенство в лемме Фату строгое.

SolutionРешение

\((X, \mathcal{F}, \mu ) = \left([0,1], \mathscr {B}\left([0,1]\right), \lambda \right)\). Далее, функции: \(f_n = nI_{[0,\frac{1}{n}]}\). Интеграл для любой функции равен \(1\):

\[ \int f_n \; d\lambda = n \cdot \lambda \left(\left[0,\frac{1}{n}\right]\right) = n \cdot \frac{1}{n} = 1 \]

Значит, \(\varliminf_{n \to \infty } \int f_n \; d\lambda = 1\). При этом \(\varliminf f_n = 0\) и \(\int 0 d\lambda = 0\).

ProblemЗадача 8

Покажите, что лемма Фату не работает, если функции могут принимать отрицательные значения.

ProblemЗадача 9

На пространстве \((\mathbb {R}, 2^{\mathbb {R}}, \# )\) опишите класс интегрируемых функций.

Теорема 5 (Лебега о мажорируемой сходимости) Пусть \((f_n)\) поточечно сходятся к \(f\) и пусть \(\left|f_n\right| \leq g, \forall n\), где \(g\) интегрируема по Лебегу. Тогда \[ \int f d\mu = \lim _n \int f_n d\mu . \]

ProblemЗадача 10

Пусть на пространстве конечной меры интегрируемые функции \(f_n\) сходятся равномерно к измеримой функции \(f\). Тогда \(f\) интегрируема, и \(f_n\) сходятся к ней в среднем.

ProblemЗадача 11

Пусть интегрируемые \(f_n\) сходятся в среднем к интегрируемой \(f\), а функция \(g\) ограничена почти всюду. Тогда \(f_ng\) сходятся в среднем к \(fg\).

Теорема 6 (Неравенство Маркова) Пусть \(f\) интегрируема: \(\left\| f\right\|_{1} := \int \left|f\right| \; d\mu < \infty\). Тогда \[ \mu \left(\left|f\right| \geq t\right) \leq \frac{\left\| f\right\| _{1}}{t} \] где \(\mu \left(\left|f\right| \geq t\right) = \mu \left(\left\{ x \in X \; : \; \left|f(x)\right| \geq t\right\} \right)\).

Поточечно выполнено неравенство \[ \left|f(x)\right| \; \geq \; t \cdot \; \mathbb {1}_{\left|f(x)\right| \geq t}, \qquad \forall x \in X \] (если \(\left|f(x)\right| \geq t\), то слева стоит число, не меньшее \(t\), а справа ровно \(t\); иначе справа \(0\)). Интегрируя обе части (интеграл Лебега монотонен и линеен), получаем \[ \left\| f\right\| _{1} = \int \left|f\right| \; d\mu \geq t \int \; \mathbb {1}_{\left|f\right| \geq t} \; d\mu = t \cdot \mu \left(\left|f\right| \geq t\right) \] Осталось поделить на \(t\).

Тем самым мы закрыли обещание, данное в главе о предельных теоремах: неравенство Маркова доказано в полной общности – для произвольного пространства с мерой, а не только для дискретных распределений. Вместе с ним автоматически закрывается и неравенство Чебышева.

ProblemЗадача 12

Пусть \((X, \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой, \(\mu (X) = 1\), \(h\) интегрируема. Докажите, что \[ \mu \left(\left\{ x \in X \; : \; \left|h(x) - \textstyle \int h \, d\mu \right| \geq c\right\} \right) \leq \frac{1}{c^2}\left(\int h^2 \, d\mu - \left(\int h \, d\mu \right)^2\right) \] для любого \(c > 0\). На вероятностном языке это в точности неравенство Чебышева из главы о предельных теоремах.

HintПодсказка

Примените неравенство Маркова к функции \(\left(h - \int h \, d\mu \right)^2\).

В частности, если \(\mu = \mathbb {P}\) – это вероятностная мера, а \(\xi\) – это неотрицательная случайная величина, то

\[ \mathbb {P}\left(\xi \geq t\right) \leq \frac{\mathbb {E}\left[\xi \right]}{t} \]

Неравенство Маркова позволяет ограничить “хвост” распределения \(\xi\).

Чуть иначе на неравенство Маркова можно так посмотреть:

\[ F_{\xi }(t) = \mathbb {P}\left(\xi \leq t\right) \geq \mathbb {P}\left(\xi < t\right) = 1 - \mathbb {P}\left(\xi \geq t\right) \geq 1 - \frac{\mathbb {E}\left[\xi \right]}{t} \]

Итого,

\[ 1 \geq F_{\xi }(t) \geq 1 - \frac{\mathbb {E}\left[\xi \right]}{t} \]

Получили границу снизу для функции распределения \(\xi\).

4.2 Интеграл Лебега VS интеграл Римана

До этого момента мы рассматривали интеграл Лебега для измеримой функции, заданной на произвольном измеримом пространстве \((X, \mathcal{F})\) с мерой \(\mu\). В этом параграфе речь пойдет об интеграле Лебега для функций в \(\mathbb {R}^{k}\).

Пусть \(I = [\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}] = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_k, b_k] \subset \mathbb {R}^{k}\) – многомерный прямоугольник

Теорема 7 (Собственный интеграл Римана ограниченной функции на отрезке совпадает с интегралом Лебега) Пусть \(f: I \to \mathbb {R}\) – ограниченная функция: существует \(M > 0\), что \(\left|f(x)\right| \leq M\) для всех \(x \in I\). Тогда

1. \(f\) на \(I\) интегрируема по Риману \(\iff\) \(f\) п.в. непрерывна (по мере Лебега в \(\mathbb {R}^{k}\)) на \(I\);

2. \(f\) на \(I\) интегрируема по Риману \(\; \Rightarrow \;\) она измерима по Лебегу;

3. \(f\) на \(I\) интегрируема по Риману \(\; \Rightarrow \;\) \(f\) интегрируема по Лебегу, ее интеграл Римана совпадает с интегралом Лебега по мере Лебега в \(\mathbb {R}^{k}\):

\[ \int _I f(x) dx = \int _I f d\lambda _k \]

Обратите внимание, что в теореме говорится об ограниченной функции на отрезке (на прямоугольнике в общем случае). Т.е. речь идет о собственном интеграле Римана.

ExampleПример 3 - Несобственный интеграл Римана и интеграл Лебега могут различаться

Пусть \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\). Напомним, что несобственный интеграл Римана \(\int_0^{+\infty } f(x) dx = \lim_{n \to \infty } \int_0^{b_n} f(x) dx\), где \(\lim_n b_n = +\infty\) – это знаменитый интеграл Дирихле, его значение равно \(\frac{\pi }{2}\). Докажите, что интеграл Лебега \(\int_{[0, +\infty )}f(x) \lambda \left(dx\right)\) не существует.

SolutionРешение

Интеграл Лебега \(\int_{[0, +\infty )}f(x) \lambda \left(dx\right)\) не существует, если \(\int_{[0, +\infty )}f^+(x) \lambda \left(dx\right), \int_{[0, +\infty )}f^-(x) \lambda \left(dx\right)\) равны одновременно \(+\infty\). Заметим, что

\[ f^+(x) = \sum _{n=0}^\infty f(x) \; \mathbb {1}_{x \in [2n\pi , (2n+1)\pi ]} \]

Пользуясь теоремой @LebInt:LebIntIsAmeasure, получаем

\[ \begin{align} \int _{[0, +\infty )}f^+(x) \lambda \left(dx\right) & = \sum _{m=0}^\infty \int _{[m\pi , (m+1)\pi )}f^+(x) \lambda \left(dx\right) = \\ & = \sum _{n=0}^\infty \int _{[2n\pi , (2n+1)\pi )}f^+(x) \lambda \left(dx\right) = \\ & = \sum _{n=0}^\infty \int _{[2n\pi , (2n+1)\pi )}f(x) \lambda \left(dx\right) \end{align} \]

Для произвольного \(n \in \mathbb {Z}_+\), согласно теореме Теорема 1, \(\int_{[2n\pi , (2n+1)\pi )}f(x) \lambda \left(dx\right) = \int_{[2n\pi , (2n+1)\pi ]}f(x) \lambda \left(dx\right)\). Далее, поскольку \(f(x)\) ограничена на \([2n\pi , (2n+1)\pi ]\) единицей, согласно теореме Теорема 7, имеем

\[ \int _{[2n\pi , (2n+1)\pi ]}f(x) \lambda \left(dx\right) = \int _{2n\pi }^{(2n+1)\pi } f(x) dx \]

Далее, заметим, что

\[ \begin{align} \int _{2n\pi }^{(2n+1)\pi } \frac{\sin x}{x} dx \geq \int _{2n\pi }^{(2n+1)\pi } \frac{\sin x}{(2n+1)\pi } dx = \frac{1}{(2n+1)\pi } \end{align} \]

Таким образом,

\[ \int _{[0, +\infty )}f^+(x) \lambda \left(dx\right) \geq \sum _{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)\pi } = +\infty \]

Аналогично можно доказать, что \(\int_{[0, +\infty )}f^-(x) \lambda \left(dx\right) = +\infty\). ЧТД.

ProblemЗадача 13

Пусть \(\lambda\) обозначает меру Лебега на \(\mathbb {R}\).

1. Пусть

\[ f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ 1 / \sqrt{x}, & x \in (0,1] \\ 1, & x \in (1,2], \; x \not\in \mathbb {Q} \\ -1, & x \in (1,2], \; x \in \mathbb {Q} \end{cases} \]

Найдите интеграл Лебега \(\int_{[0,2]} f \; d \lambda\).

2. Пусть \(f(x) = 1 /\left(1+x^{2}\right)\). Найдите интеграл Лебега \(\int_{\mathbb {R}} f \; d \lambda\).

Примечание. Доказательство измеримости по Борелю этих функций мы в этой задаче опускаем, считаем известным.

ProblemЗадача 14

1. Предположим, \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой такое, что \(\mu (X) < \infty\). Предположим, \(p, r\) — положительные числа с \(p < r\). Докажите, что если \(f: X \rightarrow [0, \infty )\) — \(\mathcal{S}\)-измеримая функция такая, что \(\int f^{r} d \mu < \infty\), то \(\int f^{p} d \mu < \infty\).

2. Приведите пример, показывающий, что результат предыдущего пункта может быть ложным без гипотезы, что \(\mu (X) < \infty\).

Сноски

1. Как и сами функции, интеграл действует в расширенную числовую прямую. Т.е. фраза “интеграл существует” не говорит о его конечности.

2. Если \(c = 0\), то неопределенности вида \(0 \cdot \pm \infty\) надо считать равными \(0\).