Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
\((\Omega , \mathcal{F})\) будет обозначать пространство и сигма-алгебру на нем (измеримое пространство).
Определения
Определение 1 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}), \; (\Omega^\prime , \mathcal{F}^\prime )\) – два произвольных измеримых пространства. Отображение \(f: \Omega \to \Omega^\prime\) называется \(\mathcal{F} | \mathcal{F}^\prime\)-измеримым (или просто измеримым, если из контекста понятно, о каких сигма-алгебрах идет речь), если прообразы всех элементов из \(\mathcal{F}'\) попадают в \(\mathcal{F}\):
\[
f^{-1}(B) \in \mathcal{F}, \qquad \forall B \in \mathcal{F}^\prime
\]
Данное условие можно переписать как \(f^{-1}(\mathcal{F}^\prime ) \subseteq \mathcal{F}\). Также применятся такая запись для \(f^{-1}(B)\): \(\left\{ f \in B\right\}\). Измеримую функцию еще записывают так:
\[
f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\Omega ^\prime , \mathcal{F}^\prime )
\]
Лемма 1 (Критерий измеримости) Пусть сигма-алгебра \(\mathcal{F}'\) на области значений \(\Omega '\) порождается каким-то семейством \(\mathcal{A} \subset 2^{\Omega '}\): \(\mathcal{F}' = \sigma (\mathcal{A})\). Тогда для измеримости \(f: \Omega \to \Omega '\) необходимо и достаточно, чтобы прообразы из \(\mathcal{A}\) попали в \(\mathcal{F}\): \(f^{-1}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{F}\).
Как правило, нас будут интересовать числовые измеримые отображения, т.е. измеримые функции. В этом случае \((\Omega^\prime , \mathcal{F}^\prime ) = (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\). Удобно в качестве области значений брать сразу расширенную числовую прямую, т.к. в дальнейшем нам предстоит, например, доказывать, что супремум от набора измеримых функций будет измеримым. Открытыми в \(\overline{\mathbb {R}} = [-\infty , +\infty ]\) считаются множества видов
\[
A, \quad A \cup [-\infty , x), \quad A \cup (y, +\infty ], \quad A \cup [-\infty ,x) \cup (y, +\infty ]
\]
где \(A \subset \mathbb {R}\) – открытое, \(x, y \in \mathbb {R}\). \(\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\) – борелевская сгма-алгебра в \(\overline{\mathbb {R}}\), т.е. минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые множества \(\overline{\mathbb {R}}\). Несложно доказать, что
\[
\begin{align} \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right) = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right) & \cup \left\{ B \cup \left\{ +\infty \right\} , B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\right\} \cup \\ & \cup \left\{ B \cup \left\{ -\infty \right\} , B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\right\} \cup \\ & \cup \left\{ B \cup \left\{ -\infty , +\infty \right\} , B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\right\} \end{align}
\]
Из критерия измеримости и свойств борелевской сигма-алгебры в \(\mathbb {R}\) вытекает следующая лемма.
Лемма 2 (критерий измеримости функции (числового отображения)) Пусть \(f: \Omega \to \mathbb {R}\), пусть \(\mathcal{F}\) — это сигма-алгебра на \(\Omega\). Пусть \(D\) — всюду плотное подмножество \(\mathbb {R}\). Следующие условия эквивалентны:
\(f\) явл. \(\mathcal{F}\mid \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримой;
\(f^{-1}((x, +\infty ]) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}([x, +\infty ]) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}([-\infty , x)) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}([-\infty , x]) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}(B) \in \mathcal{F} \; \forall B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\) и \(f^{-1}(\left\{ -\infty \right\} ), f^{-1}(\left\{ +\infty \right\} ) \in \mathcal{F}\).
Определение 2 Измеримая функция \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) называется измеримой по Борелю, если ее область определения \((\Omega , \mathcal{F})\) – борелевское подмножество \(\mathbb {R}^{k}\) с борелевской сигма-алгеброй: \(\left(\Omega , \mathcal{F}\right) = \left(B, \mathscr {B}\left(B\right)\right)\), \(B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)\).
Измеримая функция \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) называется измеримой по Лебегу, если если ее область определения – измеримое по Лебегу подмножество \(\mathbb {R}^{k}\) с сигма-алгеброй своих подмножеств, измеримых по Лебегу, т.е. \(\Omega = A \in \mathcal{M}(\lambda_k^*) \subset 2^{\mathbb {R}^{k}}\), \(\mathcal{F} = A \cap \mathcal{M}(\lambda^*_k)\).
Докажите, что функция \(f = \; \mathbb {1}_{A}\) является \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримой тогда и только тогда, когда \(A \in \mathcal{F}\).
Пусть \(B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)\) – произвольное борелевское подмножество \(\mathbb {R}^{k}\). Докажите, что непрерывная функция \(f: B \to \overline{\mathbb {R}}\) измерима по Борелю.
Функция непрерывна (т.е. непрерывна в каждой точке на всей области определения) тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества из области значений открыт в области определения.
Постройте на \([0,1]\) измеримую по Лебегу функцию, которая была бы разрывна в каждой точке.
Пусть \(A_1, \dots , A_n\) – разбиение \(\Omega\) и пусть \(\mathcal{F} = \sigma (\left\{ A_1, \dots , A_n\right\} )\). Охарактеризуйте все измеримые функции из \((\Omega , \mathcal{F})\) в данном случае.
Пусть \(f: [0,1] \to \overline{\mathbb {R}}\) – монотонная на \([0,1]\) функция. Докажите, что \(f\) является измеримой по Борелю.
Не огр. общности, пусть \(f\) – возрастающая. … дописать
Докажите, что \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right) \subsetneq \mathcal{M}(\lambda )\). А именно, постройте измеримое по Лебегу множество, не являющееся борелевским.
Приведите пример такой непрерывной функции \(f: [0,1] \to [0,1]\) и такого \(C \in \mathcal{M}(\lambda^*)\), что \(C \subset [0,1], \lambda (C) = 0\), но \(\lambda (f(C)) > 0\) (для этого, разумеется, необходимо потребовать, чтобы \(f(C) \in \mathcal{M}(\lambda^*)\)). А именно, пусть \(f\) – это канторова лестница, а \(C\) – множество Кантора. Охарактеризуйте множества \(f\left(C^{\complement }\right)\) и \(f(C)\).
Рассмотрим функцию \(g(x) = \frac{f(x) + x}{2}\). Докажите, что \(g\) удовлетворяет предыдущему пункту, но при этом она строго возрастающая, т.е. биективная на \([0,1]\).
Докажите, что функция \(h = g^{-1}\), где \(g\) получена в предыдущем пункте, – непрерывная, строго возрастающая.
Докажите при помощи алгоритма Витали, что найдется такое неизмеримое по Лебегу \(B \subset g(C)\).
Пусть \(A := h(B) = g^{-1}(B)\), где \(B, h, g\) из предыдущих пунктов. Докажите, что \(A\) является измеримым по Лебегу.
Докажите, что \(A\) из предыдущего пункта не является борелевским. Подсказка: непрерывная строго возрастающая функция отображает борелевские множества в борелевские.
Лестница Кантора f (зелёным) и функция g(x) = (f(x)+x)/2 (красным). Слайдер строит f по шагам самого канторовского построения — на каждом шаге функция подтверждается константой на очередной выброшенной средней трети.
Измеримые функции и арифметические операции
Пусть \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримая функция. Докажите, что \[
h(\omega ) = \begin{cases} \frac{1}{f(\omega )}, & f(\omega ) \neq 0 \\ c, & f(\omega ) = 0 \end{cases}
\] измерима. \(c \in \mathbb {R}\) в данном случае – это произвольная константа.
Пусть \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции. Докажите, что событие \(\left\{ f > g\right\}\) измеримо, т.е. что \[
\left\{ f > g\right\} = \left\{ \omega \; : \; f(\omega ) > g(\omega )\right\} \in \mathcal{F}
\]
Множество {f>g} как счётное объединение ⋃_{q∈ℚ}({f>q}∩{g<q}): двигайте слайдер q₀ и найдите такое рациональное q₀, для которого точка (f(ω₀),g(ω₀)) попадёт в прямоугольник {f>q₀}∩{g<q₀} (он и точка становятся зелёными) — такое q₀ обязано существовать, раз точка лежит выше диагонали f>g.
Заметим, что
\[
\left\{ f > g\right\} = \left\{ \omega \; : \; f(\omega ) > g(\omega )\right\} = \bigcup _{q \in \mathbb {Q}} \bigg[\left\{ \omega \; : \; f(\omega ) > q\right\} \cap \left\{ \omega \; : \; q > g(\omega )\right\} \bigg]
\]
Действительно, для произвольного \(\omega_0 \in \left\{ f > g\right\}\) найдется такое рациональное число \(q_0 = q(\omega_0)\), что \(f(\omega_0) > q_0 > g(\omega_0)\) (т.к. рациональные числа всюду плотны в \(\overline{\mathbb {R}}\)). Следовательно
\[
\left\{ f > g\right\} \subset \bigcup _{q \in \mathbb {Q}} \bigg[\left\{ \omega \; : \; f(\omega ) > q\right\} \cap \left\{ \omega \; : \; q > g(\omega )\right\} \bigg]
\]
Обратное включение
\[
\left\{ f > g\right\} \supset \bigcup _{q \in \mathbb {Q}} \bigg[\left\{ \omega \; : \; f(\omega ) > q\right\} \cap \left\{ \omega \; : \; q > g(\omega )\right\} \bigg]
\]
очевидно.
Имеем
\[
\begin{align} \left\{ f > g\right\} & = \bigcup _{q \in \mathbb {Q}} \bigg[\left\{ \omega \; : \; f(\omega ) > q\right\} \cap \left\{ \omega \; : \; q > g(\omega )\right\} \bigg] = \\ & = \bigcup _{q \in \mathbb {Q}}\bigg[\underbrace{f^{-1}\left((q, +\infty ]\right)}_{\in \mathcal{F}} \cap \underbrace{g^{-1}\left([-\infty ,q)\right)}_{\in \mathcal{F}} \bigg] \in \mathcal{F} \end{align}
\]
Воспользовались измеримостью \(f\), \(g\), а также замкнустостью сигма-алгебры относительно счетных пересечений.
Пусть \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции. Пусть \[
h(\omega ) = \begin{cases} f(\omega ) + g(\omega ), & f(\omega ) + g(\omega ) \text{ определено} \\ c, & \text{ в прот. случае}\end{cases}
\] где \(c\in \overline{\mathbb {R}}\) – произвольное фиксированное число. Докажите, что \(h\) – измеримая.
Примечание. Неопределнность может возникать, когда \(f(\omega ) = +\infty\), \(g(\omega ) = -\infty\).
Пусть \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции. Докажите, что \(\min (f,g), \max (f,g)\) – измеримые функции.
Следующая задача показывает, что если \(f\) – измеримая, \(g = f\) почти всюду (т.е. множество тех \(\omega\), где они не равны, имеет нулевую меру) и пространство полно, то \(g\) также измерима.
Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – измеримое пространство с полной мерой \(\mu\). Пусть \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримая функция, пусть \(g: \Omega \to \mathbb {R}\) – такая функция, что \(\left\{ f\neq g\right\} = \left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \neq g(\omega )\right\} \in \mathcal{F}\) и \(\mu (\left\{ f \neq g\right\} ) = 0\). Докажите, что \(g\) – \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримая функция.
Покажите, что в предыдущей задаче нельзя выкинуть условие полноты меры. Т.е. приведите пример такого пространства с мерой \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) и таких функций \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\), что \(f=g\) п.в., при этом \(f\) была бы измерима, а \(g\) нет.
Последовательности измеримых функций
Теорема 1 Пусть \(f_n: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)), n \in \mathbb {N}\) – последовательность \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримых функций. Тогда
- Функции
\[
\sup _n f_n, \quad \inf _n f_n, \quad \varliminf _{n \to \infty } f_n, \quad \varlimsup _{n \to \infty } f_n
\]
являются \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримыми;
\(\left\{ \exists \lim_{n \to \infty }f_n\right\} = \left\{ \omega \in \Omega : \lim_{n\to \infty }f_n(\omega ) \text{ существует}\right\} \in \mathcal{F}\);
Пусть
\[
h(\omega ) := \begin{cases} \lim \limits _{n\to \infty }f_n(\omega ), & \lim \limits _{n\to \infty }f_n(\omega )\text{ существует} \\ c, & \text{ в прот. случ.}\end{cases}
\]
где \(c \in \overline{\mathbb {R}}\) – произвольное фиксированное. Тогда функция \(h\) является \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримой.
Докажите пункт 2 теоремы.
Воспользуйтесь критерием Коши.
Имеем
\[
\begin{align} \left\{ \exists \lim \limits _{n \to \infty } f_n\right\} & = \left\{ \omega \in \Omega : \lim _{n\to \infty }f_n(\omega ) \text{ существует}\right\} = \\ & = \left\{ \forall k \in \mathbb {N} \; \exists N \in \mathbb {N}\; :\; \forall m,n \geq N \hookrightarrow \left|f_n - f_m\right| < \frac{1}{k}\right\} = \\ & =\bigcap _{k=1}^{\infty }\left\{ \exists N\; :\; \forall m,n \geq N \hookrightarrow \left|f_n - f_m\right| < \frac{1}{k}\right\} = \\ & = \bigcap _{k=1}^{\infty } \bigcup _{N=1}^{\infty } \bigcap _{m,n = N}^{\infty } \left\{ \left|f_n - f_m\right| < \frac{1}{k}\right\} = \\ & = \bigcap _{k=1}^{\infty } \bigcup _{N=1}^{\infty } \bigcap _{m,n = N}^{\infty } \left(\left\{ f_{n} - f_{m} < \frac{1}{k}\right\} \cap \left\{ f_{n} - f_{m} > -\frac{1}{k}\right\} \right) \end{align}
\]
(квантор всеобщности превращается в пересечение, квантор существования превращается в объединение). Далее, множества
\[
\left\{ f_{n} - f_{m} < \frac{1}{k}\right\} , \left\{ f_{n} - f_{m} > -\frac{1}{k}\right\} \in \mathcal{F}
\]
т.е. являются измеримыми (см. пример Пример 2, там это доказано). \(\bigcap_{k=1}^{\infty } \bigcup_{N=1}^{\infty } \bigcap_{m,n = N}^{\infty }\) – это счетные пересечения и объединения. Значит,
\[
\left\{ \exists \lim \limits _{n \to \infty } f_n\right\} \in \mathcal{F}
\]
Важно, что все объединения и пересечения идут по не более чем счетным наборам событий.
Используя первые 2 пункта, докажите пункт 3 теоремы.
Приведите пример такого несчетного набора \(f_e: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)), e \in E\) измеримых функций, что функция \(\sup_{e \in E}f_e\) не была бы измеримой.
«Почти всюду»
Определение 3 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой. Говорят, что некоторое свойство выполнено для почти всех исходов \(\omega\) (еще говорят \(\mu\)-почти всюду, сокращенно \(\mu\)-п.в. или просто п.в.), если мера тех исходов, где свойство не выполнено, нулевая. Например, можно сказать, что почти все числа из \(\mathbb {R}\) (на \(\mathbb {R}\) берем меру Лебега, если не говорится иного) иррациональны, поскольку мера рациональных чисел нулевая.
Определим функцию \(f(x)\) на отрезке \([0, 1]\) (с мерой Лебега) следующим образом. Если \(x=\) \(\overline{0, n_{1} n_{2} n_{3} \cdots }\)- десятичная запись числа \(x\), то \(f(x)=\max_{i} n_{i}\). Доказать, что \(f(x)\) измерима и почти всюду постоянна.
Пусть \(f : \mathbb {R} \to \overline{\mathbb {R}}\). На области определения берем меру Лебега. Рассмотрим 2 условия:
\(f\) непрерывна почти всюду;
существует такая непрерывная функция \(g: \mathbb {R} \to \overline{\mathbb {R}}\), что \(f=g\) почти всюду. Приведите примеры, показывающие, что ни одно из них не есть следствие другого.
2 новые сходимости функций: почти всюду и по мере
В этом разделе вместо расширенной числовой прямой \(\overline{\mathbb {R}}\) функции будут действовать в \(\mathbb {R}\), чтобы избежать неопределенностей вида \(+\infty - (+\infty )\).
Определение 4 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой. Пусть \(f, f_1, f_2, \dots : (\Omega , \mathcal{F}) \to (\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) – набор \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримых функций. Говорят, что \(f_n\) сходится к \(f\) почти всюду по мере \(\mu\) или \(\mu\)-п.в. (или просто п.в., если понятно, о какой мере идет речь), если \[
\mu \left(\left\{ \lim f_n \neq f\right\} \right) = \mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : \lim _{n \to \infty } f_n(\omega ) \neq f(\omega )\right\} \right) = 0
\] Запись “\(\lim_{n \to \infty } f_n(\omega ) \neq f(\omega )\)” означает, что либо предела не существует, либо он существует, но он не равен \(f(\omega )\).
Для корректности определения требуется измеримость \(\left\{ \lim f_n \neq f\right\}\), т.е. чтобы \(\left\{ \omega \in \Omega : \lim_{n \to \infty } f_n(\omega ) \neq f(\omega )\right\} \in \mathcal{F}\). Заметим, что
\[
\begin{align} \left\{ \omega \in \Omega : \lim _{n \to \infty } f_n(\omega ) = f(\omega )\right\} & = \left\{ \omega \in \Omega : \; \forall m \in \mathbb {N} \, \exists N \in \mathbb {N} \, \forall n \geq N \, \hookrightarrow \, \left|f(\omega ) - f_{n}(\omega )\right| \leq \frac{1}{m}\right\} = \\ & = \bigcap _{m=1}^\infty \bigcup _{N=1}^\infty \bigcap _{n=N}^\infty \underbrace{\left\{ \omega : \left|f(\omega ) - f_n(\omega )\right| \leq \frac{1}{m}\right\} }_{\in \mathcal{F}} \in \mathcal{F} \end{align}
\]
Следовательно,
\[
\left\{ \lim f_n \neq f\right\} = \left\{ \lim f_n = f\right\} ^{\complement } \in \mathcal{F}
\]
Определение 5 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой. Пусть \(f, f_1, f_2, \dots : (\Omega , \mathcal{F}) \to (\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) – набор \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримых функций. Говорят, что \(f_n\) сходится к \(f\) по мере \(\mu\), если \[
\mu \left(\omega : \left|f_n(\omega ) - f(\omega )\right| > \varepsilon \right) \xrightarrow [n \to \infty ]{} 0, \quad \forall \varepsilon > 0
\]
В теории вероятностей, как вы помните, сходимость по мере называли сходимостью по вероятности. Сходимость по вероятности – это частный случай сходимости по мере, когда мера является вероятностной.
Пусть \[
f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2x^2}, \qquad g_n(x) = \frac{n^2x}{n^4 + x^2}
\] Сходятся ли указанные ниже функциональные последовательности по мере Лебега или почти везде на промежутке \(I\)?
\(f_n, \quad I = (0,1)\)
\(f_n, \quad I = (1,+\infty )\)
\(g_n, \quad I = (0,1)\)
\(g_n, \quad I = (1,+\infty )\)
Пусть \(f_n \to f\) почти всюду, \(f_n \to g\) почти всюду. Докажите, что тогда \(f=g\) почти всюду.
Пусть \(f_n \to f\) по мере, \(f_n \to g\) по мере. Докажите, что тогда \(f=g\) почти всюду.
Постройте такую последовательность \((f_n)\) функций на \([0,1]\), что \(f_n \to 0\) по мере (Лебега), но \(\varlimsup_{n \to \infty } f_n = +\infty\) почти всюду и \(\varliminf_{n \to \infty } f_n = -\infty\) почти всюду.
Пусть последовательность неотрицательных функций \(\left\{ f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty }\) сходится по мере к \(f(x)\) на \(A\). Доказать, что \(f(x) \geqslant 0\) п.в. на \(A\).
Теорема 2 (Ф. Рис) Если \((f_n)\) сходится к \(f\) по мере, то найдется такая подпоследовательность \((f_{n_k})_{k=1}^\infty\), которая сходится к \(f\) почти всюду.
Теорема 3 (А. Лебег) Если \(\mu \left(\Omega \right) < +\infty\), то из сходимости п.в. следует сходимость по мере.
Показать, что вообще говоря из сходимости п.в. не следует сходимость по мере в случае, когда мера \(\sigma\)-конечна.
Теорема Егорова
Поточечно сходящаяся последовательность функций не обязательно сходится равномерно. Однако следующий результат утверждает, что поточечно сходящаяся последовательность функций на мерном пространстве с конечной суммарной мерой сходится почти равномерно, в том смысле, что она сходится равномерно, за исключением множества, которое может иметь сколь угодно малую меру.
Теорема 4 (Д. Егоров) Пусть \(\mu \left(\Omega \right) < +\infty\) и пусть \(f_n\) сходится к \(f\) почти всюду. Тогда \(\forall \varepsilon > 0\) найдется такое \(B_\varepsilon \in \mathcal{F}\), что \(f_n \to f\) равномерно на \(B_\varepsilon\) и \(\mu \left(B_\varepsilon^\complement \right) < \varepsilon\).
Покажите, что в теореме Егорова нельзя выбросить условие \(\mu \left(\Omega \right) < +\infty\). Покажите, например, что утверждение теоремы Егорова не выполняется для меры Лебега на \(\mathbb {R}\).
Измеримые по Лебегу функции
Переход от функций, измеримых по Борелю, к функциям, измеримым по Лебегу, — дело рук дьявола. Даже не думайте об этом!
— Барри Саймон (лауреат премии Стила Американского математического общества) в своем пятитомнике «Всеобъемлющий курс анализа»
Хотя существуют измеримые по Лебегу множества, не являющиеся борелевскими, вы вряд ли с ними столкнётесь. Аналогично, измеримая по Лебегу функция, не являющаяся измеримой по Борелю, вряд ли возникнет в вашей работе. Отличный способ избежать потенциальной путаницы — рассматривать только функции, измеримые по Борелю.
Следующий результат утверждает, что если мы придерживаемся философии, согласно которой то, что происходит на множестве с внешней мерой \(0\), не имеет большого значения, то мы можем ограничить своё внимание функциями, измеримыми по Борелю.
Теорема 5 (каждая измеримая по Лебегу функция почти измерима по Борелю.) Предположим, что \(f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\) — измеримая по Лебегу функция. Тогда существует измеримая по Борелю функция \(g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\) такая, что \[
\lambda \left(g \neq f\right) = \lambda \left(\left\{ x \in \mathbb {R} \; : \; g(x) \neq f(x)\right\} \right) = 0
\]