Меры со знаком, плотности

Дата публикации

2 сентября 2026

Черновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Меры со знаком

1.1 Введение

Мы хотим понять, какие бывают меры со знаком и как их раскладывать на простые части. Сначала разложим на положительную/отрицательную (Жордан), затем относительно эталонной меры — на сингулярную/абсолютно непрерывную (Лебег), затем для абсолютно непрерывной найдём плотность (Радон-Никодим).

Пусть $(X, \mathcal{F})$ – это измеримое пространство.

Определение 1 Действительной мерой, мерой со знаком или зарядом будем называть функцию $\nu : \mathcal{F} \to [-\infty , +\infty ]$, такую что

$\nu (\varnothing ) = 0$;
$+\infty \not\in \operatorname {Im}\nu$ или $-\infty \not\in \operatorname {Im}\nu$. Иначе: $\nu$ не может принимать одновременно значения $+\infty$ и $-\infty$. Т.е. если $\nu$ на каком-то множестве принимает $+\infty$, то она не принимает значение $-\infty$ ни на каком другом множестве. И наоборот.
$\nu$ счетно-аддитивна: если $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F}$ – последовательность непересекающихся множеств из сигма-алгебры, то

\[ \nu \left(\bigsqcup _{n=1}^{+\infty }E_n\right) = \sum _{n=1}^{+\infty }\nu \left(E_n\right) \]

Условие 2 нужно, чтобы в аддитивности не возникало неопределенностей вида $+\infty + (-\infty )$.

Значение слова «мера» разнится в математической литературе. Как правило, «мера» – это счетно-аддитивная функция на сигма-алгебре $\mu : \mathcal{F} \to [0,+\infty ]$, такая что $\mu (\varnothing ) = 0$ (это то, как мы <<меру>> определили в самом начале). Однако некоторые авторы используют слово «мера» для обозначения того, что мы только что ввели под названием «действительная мера»; в таком случае они используют выражение «положительная мера» или «неотрицательная мера» для обозначения того, что мы определили как <<меру>>. Чтобы устранить эту неоднозначность, в этой главе мы будем <<меру>> называть «(неотрицательная) мера». (Неотрицательная) мера – это частный случай действительной меры (в наших формулировках).

Как правило, (неотрицательную) меру мы будем обозначать буквой $\mu$, а действительную меру буквой $\nu$.

Некоторые авторы используют термин «мера со знаком» вместо «действительной меры»; некоторые авторы не допускают, чтобы действительная мера принимала значение $+\infty , -\infty$.

Рассмотрим подробнее счетную аддитивность действительной меры.

Пример 1

Пусть $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F}$ – произвольный попарно непересекающийся набор множеств. Исследуйте сходимость ряда $\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)$.

Примечание. Обратите внимание, что теперь слагаемые в ряду $\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)$ могут быть отрицательные.

Решение

Может ли этот ряд расходиться? (Расходиться в том смысле, что у него есть несколько предельных точек, включая бесконечности.) Нет! Действительно, этот ряд обязан быть равным $\nu (E) \in [-\infty , +\infty ]$, где $E =\bigsqcup_{n=1}^{+\infty }E_n$. Т.е. ряд $\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)$ либо сходится к конечному числу, либо к какой-то из бесконечностей.
Допустим $\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)$ сходится к конечному числу. Может ли он сходиться условно? Тоже нет! Действительно, если $p: \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ – какая-то перестановка натуральных чисел, то $\bigsqcup_{n=1}^{+\infty }E_n = \bigsqcup_{n=1}^{+\infty }E_{p_n}$. Т.е. нам не важно, в каком порядке объединять множества. По определению счетной аддитивности получаем

\[ \sum _{n=1}^{+\infty } \nu \left(E_{n}\right)=\nu \left(\bigsqcup _{n=1}^{+\infty }E_n \right) = \nu \left( \bigsqcup _{n=1}^{+\infty }E_{p_n}\right) = \sum _{n=1}^{+\infty } \nu \left(E_{p_n}\right) \]

Получается, что сумма ряда $\sum_{n=1}^{+\infty } a_n$ (где $a_n = \nu \left(E_{p_n}\right)$) не зависит от перестановки слагаемых в ряду. По теореме Римана ряд из действительных чисел сходится (к конечному числу) и его сумма не зависит от перестановки слагаемых (такая сходимость называется безусловной) тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно, т.е. сходится ряд из его модулей.

Сформулируем итоговую лемму

Лемма 1 Пусть $\nu$ – действительная мера на $(X,\mathcal{F})$, пусть $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F}$ – попарно непересекающийся набор множеств. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{+\infty } \nu (E_n)$ сходится безусловно (к конечному числу или к какой-то из бесконечностей).

Далее, если он сходится к конечному числу, то он сходится абсолютно.

Как можно получить действительные меры? Через интеграл Лебега по какой-то (неотрицательной) мере.

Лемма 2 Пусть $\mu$ – это (неотрицательная) мера на $(X,\mathcal{F})$. Пусть $h: X \to \overline{\mathbb {R}}$ – это измеримая функция. Обозначим \[ \nu _h(E) := \int _{E} h \; d\mu \] (если интеграл существует).

Если $h$ неотрицательная (т.е. $\operatorname {Im}h \subset [0, +\infty ]$), то $\nu_h$ – это (неотрицательная) мера;
Если хоть одна из функций $h^+$, $h^-$ интегрируема, то $\nu_h$ – это действительная мера.

Для $\nu_h$ еще используется такое обозначение: $\nu_h = h \; d\mu$, чтобы подчеркнуть роль $\mu$.

В каком случае $\nu = \nu_h$ для какой-то функции $h$? См. теорему Радона-Никодима ниже.

1.2 Теорема Хана и теорема Жордана: раскладываем действительную меру на положительную и отрицательную части

Теорема 1 (разложение Хана, б/д) Пусть $\nu$ – действительная мера на $(X, \mathcal{F})$. Тогда существует разбиение $X$ на $X^+, X^- \in \mathcal{F}$ (т.е. $X = X^+ \sqcup X^-$), что

$\nu (E) \geq 0$ для всех $E \in \mathcal{F}$, $E \subset X^{+}$
$\nu (E) \leq 0$ для всех $E \in \mathcal{F}$, $E \subset X^{-}$

Действительные или (неотрицательные) меры $\nu_1$, $\nu_2$ называют сингулярными, если они “живут” на непересекающихся множествах, т.е. существует разбиение $X$ на $X_1, X_2 \in \mathcal{F}$ ($X = X_1 \sqcup X_2$), что

\[ \nu _1 (E) = \nu _1\left(E \cap X_1\right), \quad \nu _2(E) = \nu _{2}\left(E \cap X_2\right) \qquad \text{для всех } E\in \mathcal{F} \]

Пример 2

Покажите, что $\lambda$ и $\#_{\mathbb {Z}}$ (считающая мера на $\mathbb {Z}$) являются сингулярными (неотрицательными) мерами на $(\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))$.

Решение

Пусть $X_1 = \mathbb {R} \setminus \left\{ \mathbb {Z}\right\}$, $X_2 = \mathbb {Z}$.

Заметим, что если в теореме Хана определить

\[ \nu ^+(E) := \nu (E \cap X^+), \qquad \nu ^{-}(E) := -\nu (E \cap X^-), \]

то $\nu^+$ и $\nu^-$ как раз будут сингулярными (неотрицательными). Причем $\nu = \nu^+ - \nu^-$. По-сути доказали

Теорема 2 (разложение Жордана) Любая действительная мера есть разность двух (неотрицательных) сингулярных мер, хотя бы одна из которых конечна. А именно, если $\nu$ – действ. мера на $(X, \mathcal{F})$, то существуют (неотрицательные) сингулярные меры $\nu^+$ и $\nu^-$, что $\nu = \nu^+ - \nu^-$.

$\nu$ может принимать $+\infty$ или $-\infty$, но не одновременно. Значит, среди (неотрицательных) мер $\nu^+$, $\nu^-$ хотя бы одна будет конечной. Причем они обе конечны (не принимают значение $+\infty$) тогда и только тогда, когда $\nu$ конечно ($+\infty , -\infty \not\in \operatorname {Im}\nu$).

(Неотрицательная) мера $\left|\nu \right| := \nu^+ + \nu^{-}$ называется мерой полной вариации для $\nu$.

Если $d\nu = h \; d\mu$ для некоторой измеримой $h$, то несложно показать, что

\[ d\nu ^+ = h^+ \; d\mu , \qquad d\nu ^- = h^- \; d\mu , \qquad d\left|\nu \right| = \left|h\right| \; d\mu \]

Т.е.

\[ \nu ^+(E) = \int _{E} h^{+} \; d\mu , \qquad \nu ^-(E) = \int _{E} h^{-} \; d\mu , \qquad \left|\nu \right|(E) = \int _{E} \left|h\right| \; d\mu \]

для всех $E \in \mathcal{F}$.

Задача 1

На измеримом пространстве $(\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))$ пусть

$d\nu_1 = f \; d\lambda$, где $f_1(x) = x^2 - 4$
$\nu_2 = \sum_{k=-3}^{3}(-1)^k\cdot k \cdot \delta_{k}$

Пусть $\nu = \nu_1 + \nu_2$.

Найдите разложение Жордана $\nu = \nu^+ - \nu^-$ для действительной меры $\nu$.
Найдите интеграл $\int_{[-2,0]} f \; d\left|\nu \right|$, где $f(x) = x^2$.

Задача 2

На измеримом пространстве $(\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))$ пусть

$d\nu_1 = h_1\; d\lambda$, где $h_1(x) = x^2 - 4$
$d\nu_2 = h_2 \; d\lambda$, где $h_2(x) = (x-2)^2 - 5$

Пусть $\nu = \nu_1 + \nu_2$.

Найдите разложение Жордана $\nu = \nu^+ - \nu^-$ для действительной меры $\nu$.
Найдите интеграл $\int_{[-2,0]} f \; d\left|\nu \right|$, где $f(x) = x^2$.

2 Меры, получаемые через интеграл от другой (неотрицательной) меры

2.1 Теорема Радона-Никодима: характеризация мер, получаемых через интеграл от другой меры

$\mu$ будет всюду (неотрицательной) мерой, а $\nu$ сначала будет (неотрицательной), затем действительной мерой. Обе они будут $\sigma$-конечными. Без условия сигма-конечности возникают различные патологические контрпримеры к теореме ниже.

2.1.1 Случай (неотрицательной) меры $\nu$

Напомним, что если $(X,\mathcal{F}, \mu )$ – пространство с (неотрицательной) мерой и $h: X \to [0,+\infty ]$ – это неотрицательная функция, то

\[ \nu _h(E) := \int _E h \; d\mu \]

также будет (неотрицательной) мерой. Причем если $\mu (E) = 0$, то $\nu_h(E) = 0$. Это свойство называются абсолютной непрерывностью. А именно, если $\mu$, $\nu$ – две (неотрицательные) меры, то говорят, что $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ или $\nu$ доминируется $\mu$ и пишут $\nu \ll \mu$, если $\nu (E) = 0$ для всех множеств $\mu$-меры ноль.

Увяжем это определение с более привычной конструкцией через $\varepsilon$-$\delta$.

Лемма 3 (Эквивалентное условие абсолютной непрерывности для конечной (неотрицательной) меры) Пусть $\nu$ – конечная (неотрицательная) мера, $\mu$ – произвольная (неотрицательная) мера. Следующие условия эквивалентны:

$\nu \ll \mu$
Для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что $\nu (E) < \varepsilon$ для всех измеримых $E$, таких что $\mu (E) < \delta$.

Оказывается, что в случае сигма-конечности абсолютная непрерывность эквивалентна представлению меры через интеграл!

Теорема 3 (Радон–Никодим) Пусть $\mu$, $\nu$ — (неотрицательные) $\sigma$-конечные меры на $(X,\mathcal F)$. Следующие условия эквивалентны:

$\nu \ll \mu$;
$d\nu = h \; d\mu$ для некоторой неотрицательной измеримой $h: X \to [0,+\infty ]$

Более того, $h$ единственна с точностью до совпадения $\mu$-п.в. Т.е. если $g$ – другая функция, такая что $\nu (E) = \int_E g \; d\mu$, то $h = g$ $\mu$-п.в.

$\Rightarrow$ (i) очевидна: если $d\nu = h\, d\mu$ и $\mu (E)=0$, то $\nu (E) = \int_E h\, d\mu = 0$.

Докажем (i) $\Rightarrow$ (ii). Идея (принадлежащая Дж. фон Нейману) – применить теорему Рисса о представлении для гильбертова пространства $L^2(\mu +\nu )$ (теорема Рисса о представлении, глава о гильбертовом пространстве $L^2(\mu )$); это ровно то место в курсе, где окупается изучение гильбертовых пространств.

Шаг 1 (существование, конечные меры). Пусть сначала $\mu (X), \nu (X) < \infty$. Тогда $\mu +\nu$ – конечная мера, и $L^2(\mu +\nu )$ – гильбертово пространство со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int fg \; d(\mu +\nu )$ (теорема Рисса–Фишера, семинар про $L^p$-пространства). Определим линейный функционал

\[ \varphi (f) := \int f \; d\nu , \qquad f \in L^2(\mu +\nu ). \]

Он корректно определен: поскольку $\nu \ll \mu$, а тем более $\nu \ll \mu +\nu$, функции, равные $(\mu +\nu )$-п.в., равны и $\nu$-п.в., так что значение $\varphi (f)$ не зависит от выбора представителя класса эквивалентности. Он ограничен: применяя неравенство Коши–Буняковского–Шварца (теорема неравенство Коши–Буняковского–Шварца) к функциям $\left|f\right|$ и $\mathbb 1$ (последняя лежит в $L^2(\mu +\nu )$, поскольку мера $\mu +\nu$ конечна),

\[ \left|\varphi (f)\right| \; \leq \; \int \left|f\right| \; d\nu \; \leq \; \int \left|f\right| \; d(\mu +\nu ) \; \leq \; \left(\mu (X)+\nu (X)\right)^{1/2} \cdot \left\| f\right\| _{2} \; < \; \infty \]

(переход $\int \left|f\right| \, d\nu \leq \int \left|f\right| \, d(\mu +\nu )$ верен, т.к. $\mu \geq 0$). Значит, $\varphi$ – ограниченный линейный функционал на $L^2(\mu +\nu )$. По теореме Рисса о представлении найдется $g \in L^2(\mu +\nu )$, такая что

\[ \int f \; d\nu \; = \; \int fg \; d(\mu +\nu ), \qquad \forall f \in L^2(\mu +\nu ), \]

т.е.

\[ \int f(1-g) \; d\nu \; = \; \int fg \; d\mu , \qquad \forall f \in L^2(\mu +\nu ). \tag {$*$} \]

Подставим в ($*$) $f = \; \mathbb {1}_{g \geq 1}$: слева $\int_{\left\{ g\geq 1\right\} }(1-g)\, d\nu \leq 0$ (т.к. $1-g\leq 0$ на $\left\{ g\geq 1\right\}$, $\nu \geq 0$), справа $\int_{\left\{ g\geq 1\right\} } g\, d\mu \geq 0$ (т.к. $g\geq 1>0$ там, $\mu \geq 0$). Обе части равны и зажаты между $\leq 0$ и $\geq 0$, значит обе равны нулю; из равенства нулю правой части и того, что $g\geq 1$ на $\left\{ g\geq 1\right\}$, следует $\mu (\left\{ g\geq 1\right\} )=0$. Аналогично, подставив $f=\; \mathbb {1}_{g<0}$: слева $\int_{\left\{ g<0\right\} }(1-g)\, d\nu \geq 0$ (т.к. $1-g>1>0$ там), справа $\int_{\left\{ g<0\right\} }g\, d\mu \leq 0$ (т.к. $g<0$ там); те же рассуждения дают $\mu (\left\{ g<0\right\} )=0$.

Так как $\nu \ll \mu$, из $\mu (\left\{ g\geq 1\right\} ) = \mu (\left\{ g<0\right\} ) = 0$ вытекает также $\nu (\left\{ g\geq 1\right\} ) = \nu (\left\{ g<0\right\} ) = 0$. Переопределим $g$, положив её равной $\tfrac 12$ на множестве $\left\{ g\geq 1\right\} \cup \left\{ g<0\right\}$ – это множество имеет нулевую $(\mu +\nu )$-меру, так что тождество ($*$) не меняется, – и теперь $0\leq g < 1$ всюду на $X$. Положим

\[ h := \frac{g}{1-g} \; \geq \; 0 \]

(знаменатель строго положителен всюду), и докажем, что $d\nu =h\, d\mu$. Зафиксируем $E\in \mathcal F$ и для $k\in \mathbb {N}$ положим

\[ f_k(x) := \begin{cases} \dfrac {\; \mathbb {1}_{E}(x)}{1-g(x)}, & \text{если } \dfrac {\; \mathbb {1}_{E}(x)}{1-g(x)} \leq k, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases} \]

Функция $f_k$ ограничена числом $k$, значит $f_k \in L^2(\mu +\nu )$ (мера $\mu +\nu$ конечна). Подставляя $f_k$ в ($*$): $\int f_k(1-g)\, d\nu = \int f_k g \, d\mu$. При фиксированном $x$ последовательность $f_k(x)$ не убывает по $k$ (от $0$ до значения $\tfrac {\; \mathbb {1}_{E}(x)}{1-g(x)}$, на котором и остается при всех дальнейших $k$); значит $f_k(1-g) \uparrow \; \mathbb {1}_{E}$ и $f_kg \uparrow \; \mathbb {1}_{E} \cdot h$ поточечно и монотонно. По теореме Лебега о монотонной сходимости, переходя к пределу при $k\to \infty$:

\[ \nu (E) \; = \; \int _E 1 \; d\nu \; = \; \int _E h \; d\mu . \]

Так как $E\in \mathcal F$ было произвольно, $d\nu = h\, d\mu$. Это завершает Шаг 1.

Единственность. Пусть $h,\widetilde h : X \to [0,+\infty ]$ – обе измеримые и $\nu (E) = \int_E h\, d\mu = \int_E \widetilde h\, d\mu$ для всех $E\in \mathcal F$. Так как $\mu$ $\sigma$-конечна, найдется $X_1\subseteq X_2\subseteq \cdots \in \mathcal F$, $\bigcup_k X_k = X$, $\mu (X_k)<\infty$. Зафиксируем $k$ и положим $E := \left\{ h>\widetilde h\right\} \cap X_k$; тогда $\int_E (h-\widetilde h)\, d\mu = \nu (E)-\nu (E) = 0$, а подынтегральная функция строго положительна на $E$ и $\mu (E)\leq \mu (X_k)<\infty$ – стандартный факт об интеграле Лебега дает $\mu (E)=0$. Аналогично $\mu (\left\{ h<\widetilde h\right\} \cap X_k)=0$. Устремляя $k\to \infty$ (непрерывность меры снизу): $\mu (\left\{ h>\widetilde h\right\} ) = \mu (\left\{ h<\widetilde h\right\} ) = 0$, т.е. $h=\widetilde h$ $\mu$-п.в.

Шаг 2 (существование, $\sigma$-конечные меры). Пусть теперь $\mu ,\nu$ лишь $\sigma$-конечны. Так как обе $\sigma$-конечны, можно выбрать (пересекая исчерпывающие последовательности для $\mu$ и для $\nu$) одну возрастающую последовательность $X_1\subseteq X_2\subseteq \cdots \in \mathcal F$, такую что $\bigcup_k X_k = X$ и $\mu (X_k), \nu (X_k) < \infty$ для каждого $k$. Пусть $\mathcal F_k := \left\{ E \cap X_k \; : \; E \in \mathcal F\right\}$, а $\mu_k, \nu_k$ – ограничения $\mu , \nu$ на $(X_k, \mathcal F_k)$; это конечные меры, и $\nu_k \ll \mu_k$ (немедленно из $\nu \ll \mu$). По Шагу 1 найдется неотрицательная измеримая $h_k : X_k \to [0,+\infty )$, такая что $\nu_k(E) = \int_E h_k \, d\mu_k$ для всех $E \in \mathcal F_k$. По уже доказанной единственности, для $j<k$ функции $h_j$ и $h_k$ обе представляют $\nu_j = \nu_k|_{\mathcal F_j}$ относительно $\mu_j = \mu_k|_{\mathcal F_j}$, так что $h_j = h_k$ $\mu$-п.в. на $X_j$.

Определим $h: X \to [0,+\infty )$ так: $h(x) := h_k(x)$ для $x \in X_k$ (это определение согласовано $\mu$-п.в. ввиду только что сказанного; на оставшемся множестве $\mu$-меры $0$ доопределим $h$ нулем). Для произвольного $E \in \mathcal F$, по непрерывности меры снизу ($E = \bigcup_k (E\cap X_k)$, множества возрастают) и теореме Лебега о монотонной сходимости,

\[ \nu (E) \; = \; \lim _{k\to \infty } \nu (E \cap X_k) \; = \; \lim _{k\to \infty }\int _{E\cap X_k} h_k \; d\mu \; = \; \lim _{k\to \infty }\int _E h \cdot \; \mathbb {1}_{X_k} \; d\mu \; = \; \int _E h \; d\mu . \]

Значит, $d\nu = h\, d\mu$. Это завершает доказательство существования, а значит и всей теоремы (единственность в общем $\sigma$-конечном случае уже установлена выше).

2.2 анонс: смена плотности на пространстве траекторий – теорема Камерона–Мартина и Гирсанова

Теорема Радона-Никодима доказана для произвольного измеримого пространства $(X,\mathcal F)$. В качестве $X$ можно взять и пространство непрерывных функций $C[0,1]$ с равномерной метрикой (см. главу о лебеговых пространствах $L^p$, где обсуждалось, что $C[0,1]$ – это естественное фазовое пространство для траекторий случайных процессов) – и тогда теорема Радона-Никодима становится содержательным инструментом теории случайных процессов, а не только анализа на $\mathbb {R}^n$.

Пусть $\mathbb {P}$ – винеровская мера на $C[0,1]$, т.е. распределение траектории стандартного броуновского движения $(W_t)_{t\in [0,1]}$, $W_0=0$. Зафиксируем константу $c\in \mathbb {R}$ и рассмотрим <<снесённое>> броуновское движение $W_t + ct$; пусть $\mathbb {Q}$ – его распределение (тоже мера на $C[0,1]$). Простейший частный случай теоремы Гирсанова – теорема Камерона–Мартина: $\mathbb {Q} \ll \mathbb {P}$, причём

\[ \frac{d\mathbb {Q}}{d\mathbb {P}}(\omega ) = \exp \left(c\, \omega (1) - \frac{c^2}{2}\right), \qquad \omega \in C[0,1]. \]

Иначе говоря, чтобы посчитать вероятность любого события про снесённое броуновское движение, достаточно взять то же событие для обычного броуновского движения и домножить подынтегральное выражение на явную, вычислимую плотность $\exp (c\, \omega (1)-c^2/2)$, зависящую лишь от значения траектории $\omega (1)$ в конечный момент времени. Формулу правдоподобно проверить на конечномерных распределениях: вектор $(W_{t_1},\ldots ,W_{t_n})$ имеет многомерную гауссовскую плотность, и прямым вычислением (сдвиг среднего в гауссовской плотности) плотность сдвинутого вектора относительно обычного действительно оказывается экспонентой линейной функции от значений.

Общая теорема Гирсанова заменяет постоянный снос $ct$ на снос $\int_0^t \theta_s\, ds$ по произвольному (адаптированному) случайному процессу $\theta$, и формула плотности превращается в экспоненциальный мартингал $\exp \left(\int_0^1 \theta_s\, dW_s - \frac12\int_0^1\theta_s^2\, ds\right)$ вместо простого $c\, \omega (1)-c^2/2$. Чтобы придать смысл этому интегралу по броуновскому движению ($dW_s$, а не $ds$), нужен стохастический интеграл Итô – тема отдельного курса случайных процессов. Но принцип, ради которого мы это анонсируем, ровно тот же, что мы уже доказали: теорема Радона-Никодима, применённая не к $\mathbb {R}^n$, а к пространству траекторий.

Обозначение: $h = \frac{d\nu }{d\mu }$. $h$ называют производной Радона-Никодима.

Лемма 4 (Свойства производной Радона-Никодима) Пусть $\mu$ – (неотрицательная) $\sigma$-конечная мера, пусть $\nu_1$, $\nu_2$ – это также (неотрицательные) $\sigma$-конечные меры. Тогда

если $\nu_1 \ll \mu$ и $\nu_2 \ll \mu$, то

\[ \frac{d(\nu _1 + \nu _2)}{d\mu } = \frac{d\nu _1}{d\mu } + \frac{d\nu _2}{d\mu } \qquad \mu \text{-п.в.} \]
если $\nu_1 \ll \nu_2 \ll \mu$, то

\[ \frac{d\nu _1}{d\mu } = \frac{d\nu _1}{d\nu _2} \cdot \frac{d\nu _2}{d\mu } \qquad \mu \text{-п.в.} \]
если $\nu_1 \ll \nu_2$ и $\nu_2 \ll \nu_1$, то

\[ \frac{d\nu _2}{d\nu _1} = \left(\frac{d\nu _1}{d\nu _2}\right)^{-1} \qquad \nu _1\text{-п.в.} \]

Задача 3

Рассмотрим на $(\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))$ различные (неотрицательные) меры:

$\lambda$ (мера Лебега на $\mathbb {R}$);
$\frac{1}{3} \cdot \lambda_{[-1,1]}$ (мера Лебега на $[-1,1]$ с коэффициентом);
$f \; d\lambda$, где $f(x) = x^{2}I_{[0,1]}(x)$;
$f \; d\lambda + 3\delta_{7}$, где $f(x) = x^{2}I_{[0,1]}(x)$;
$f \; d\lambda$, где $f(x) = e^{-3\left|x\right|}I_{[-1,1]}(x)$;
$f \; d\lambda$, где $f(x) = \frac{1}{x} \cdot I_{(0,1]}(x)$;
$\#_{\mathbb {N}}$;
$\#_{\mathbb {Z}}$;
$\#_{\mathbb {Q}}$;
$\delta_0$;
$7\cdot \delta_{-3} + \frac{1}{3}\delta_{2}$; Проверьте, что они являются сигма-конечными. Далее, переберите все возможные пары $\nu , \mu$ из них и проверьте, будет ли выполнено $\nu \perp \mu$ или $\nu \ll \mu$. Если будет выполнено последнее, найдите $\frac{d\nu }{d\mu }$.

Тот же самый вопрос имеет смысл не только на $\mathbb {R}$: любая измеримая (в частности, непрерывная) инъекция $\varphi : \mathbb {R}^n \to X$ из конечномерного пространства в произвольное измеримое $(X, \mathcal F)$ позволяет перенести меру с $\mathbb {R}^n$ на $X$ – в точности так же, как распределение случайной величины переносит вероятностную меру с $\Omega$ на $\mathbb {R}$. Следующая задача проделывает это для $X = C[0,1]$ (с борелевской сигма-алгеброй относительно равномерной метрики, глава о лебеговых пространствах $L^p$) – бесконечномерного пространства, – но все вычисления в ней устроены так, что сводятся к уже знакомой одно- и двумерной мере Лебега.

Задача 4

Пусть $X = C[0,1]$. Обозначим $\mathbf{0} \in X$ – тождественно нулевую функцию, и для $n \in \mathbb {N}$ пусть $f_n(x) := x^n$ (так что $f_1(x)=x$). Пусть $\varphi : \mathbb {R} \to X$, $\varphi (a) :=$ (постоянная функция $\equiv a$), и $\psi : \mathbb {R}^2 \to X$, $\psi (a,b) := \left(x \mapsto a + bx\right)$ (обе – непрерывные, а значит измеримые, инъекции). Рассмотрим на $(X, \mathcal B)$ следующие (неотрицательные) меры:

$\delta_{\mathbf0}$;
$\mu_1(A) := \lambda \left(\varphi^{-1}(A) \cap [0,1]\right)$ (перенос меры Лебега на прямую констант);
$\mu_2(A) := \lambda_2\left(\psi^{-1}(A) \cap [0,1]^2\right)$ (перенос двумерной меры Лебега на плоскость аффинных функций);
$\mu_3(A) := \int_{\psi^{-1}(A) \cap [0,1]^2} (a+b) \; d\lambda_2(a,b)$ (та же плоскость, но с плотностью $(a+b)$);
$\mu_5(A) := \lambda_2\left(\psi^{-1}(A) \cap [0,\tfrac 12]^2\right)$ (та же плоскость, но с урезанной областью параметров);
$\mu_4 := \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\delta_{f_n}$ (взвешенная сумма масс в точках-мономах);
$\#$ – считающая мера на счетном множестве $\left\{ f_n \; : \; n \in \mathbb {N}\right\} \subset X$;
$\delta_g$, где $g(x) := \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$. Переберите все пары $\nu , \mu$ из этого списка и проверьте, выполнено ли $\nu \perp \mu$ или $\nu \ll \mu$; если выполнено последнее, найдите $\frac{d\nu }{d\mu }$ – по возможности не через параметры $(a,b)$, а внутренним образом, через саму функцию $f \in X$ (скажем, через $f(0)$, $f(1)$ или номер $n$, если $f=f_n$).

Примечание. Чтобы проверить, что $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_5$ – вообще корректно определенные меры на $\mathcal B$, достаточно заметить, что счетная аддитивность переносится через инъективный прообраз один в один с $\lambda$ (соотв. $\lambda_2$) – это тот же самый факт, которым вы пользовались, проверяя, что распределение случайной величины является мерой. Для сравнения меры “вдоль одного и того же $\psi$” (пары $\mu_2,\mu_3,\mu_5$) сравнение сводится к сравнению плотностей/областей на $\mathbb {R}^2$ – как в обычном $\mathbb {R}^n$. Одна точка $\left\{ f\right\}$ всегда имеет нулевую $\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_5$-меру (прообраз точки при инъекции – это точка, а она $\lambda$- или $\lambda_2$-нулевая) – воспользуйтесь этим для всех пар, где участвует точечная масса. Заметьте также, что $a = f(0)$, $b = f(1)-f(0)$ для $f = \psi (a,b) = a+bx$ – это позволяет переписать любой ответ, использующий $(a,b)$, через значения $f$ в точках $0$ и $1$.

2.2.1 Случай действительной меры $\nu$

Напомним, что если $(X,\mathcal{F}, \mu )$ – пространство с (неотрицательной) мерой и $h: X \to \mathbb {R}$ – это такая функция что хотя бы кто-то из $h^+$ и $h^-$ интегрируем, то

\[ \nu _h(E) := \int _E h \; d\mu \]

будет действительной мерой. Причем если $\mu (E) = 0$, то $\left|\nu_h\right|(E) = \int_E \left|h\right| \; d\mu = 0$.

Если $\mu$ – неотрицательная мера, $\nu$ – действительная мера, то говорят, что $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ или $\nu$ доминируется $\mu$ и пишут $\nu \ll \mu$, если $\left|\nu \right| \ll \mu$ в смысле определения выше, т.е. если $\left|\nu \right|(E) = 0$ для всех множеств $\mu$-меры ноль. Несложно показать, что это эквивалентно $\nu^+ \ll \mu$ и $\nu^- \ll \mu$.

Итого, кратко

\[ \nu \ll \mu \quad \stackrel{\text{def}}{\iff } \quad \left|\nu \right| \ll \mu \quad \iff \quad \begin{cases} \nu ^+ \ll \mu \\ \nu ^- \ll \mu \end{cases} \]

Оказывается, в случае сигма-конечности абсолютная непрерывность опять эквивалентна представлению меры через интеграл! Действительно, если $\nu \ll \mu$, то $\nu^+ \ll \mu$ и $\nu^- \ll \mu$, а значит по теореме Радона-Никодима для предыдущего случая есть плотности $h^+$, $h^-$.

Теорема 4 (Радон-Никодим) Пусть $\mu$ – $\sigma$-конечная (неотрицательная) мера, $\nu$ – действительная $\sigma$-конечная мера, $\nu \ll \mu$. Тогда найдется измеримая функция $h: X \to \overline{\mathbb {R}}$, такая что \[ \nu (E) = \int _E h \; d\mu , \qquad \forall E \in \mathcal{F} \]

2.3 Теорема Лебега: раскладываем меру на абсолютно непрерывную и сингулярную части

$\mu$ будет всюду (неотрицательной) мерой, а $\nu$ сначала будет (неотрицательной), затем действительной мерой. Обе они будут $\sigma$-конечными.

2.3.1 Случай (неотрицательной) меры $\nu$

Теорема 5 (Лебег) Пусть $\mu$ – (неотрицательная) $\sigma$-конечная мера на $(X, \mathcal{F})$. Тогда для любой (неотрицательной) $\sigma$-конечной меры $\nu$ на $(X, \mathcal{F})$ существуют единственные (неотрицательные) меры $\nu_{a}$, $\nu_{s}$, такие что $\nu = \nu_{a} + \nu_{s}$ и \[ \nu _a \ll \mu , \qquad \nu _s \perp \mu \]

2.3.2 Случай действительной меры $\nu$

Пусть теперь $\nu$ – действительная $\sigma$-конечная мера. Пусть $\nu = \nu^+ - \nu^-$ – это ее разложение Жордана, причем состоящее из $\sigma$-конечных (неотр.) мер. Каждую из $\nu^+$ и $\nu^-$ по теореме Лебега выше можно разложить на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие по $\mu$:

\[ \nu ^+ = \nu ^+_a + \nu ^+_{s}, \qquad \nu ^- = \nu ^-_a + \nu ^-_{s} \]

Пусть

\[ \nu _a := \nu ^+_a - \nu ^-_a, \qquad \nu _{s} := \nu ^+_{s} - \nu ^-_{s} \]

Что можно сказать про действительные меры $\nu_a$, $\nu_{s}$?

$\left|\nu_a\right| = \nu^+_a + \nu^-_a \ll \mu$. Т.е. действительная мера $\nu_a$ абс. непрерывна относительно (неотрицательной) меры $\mu$.
$\nu^+_{s}$, $\nu^-_{s}$ – это (неотрицательные) меры, сингулярные относительно $\mu$. Т.е. Существуют $A_1, B_1, A_2, B_2\in \mathcal{F}$: $X = A_1 \sqcup B_1 = A_2 \sqcup B_2$, $\nu^+_{s}$ “живет” на $A_1$ (в том смысле, что $\nu^+_{s}(E) = \nu^+_{s}(E \cap A_1)$ для любого $E \in \mathcal{F}$), $\nu^-_{s}$ “живет” на $A_2$, $\mu$ “живет” на $B_1$ и $B_2$. Значит $\mu$ “живет” на $B_1 \cap B_2$, $\nu_{s} = \nu^+_{s} - \nu^-_{s}$ “живет” на $A_1 \cup A_2$. При этом

\[ X = \left(A_1 \cup A_2\right) \sqcup \left(B_1 \cap B_2\right) \]

Итого, $\nu_{s}$ и $\mu$ сингулярны.

Теорема 6 (Лебег) Пусть $\mu$ – (неотрицательная) $\sigma$-конечная мера на $(X, \mathcal{F})$. Тогда для любой действительной $\sigma$-конечной меры $\nu$ на $(X, \mathcal{F})$ существуют единственные действительные меры $\nu_{a}$, $\nu_{s}$, такие что $\nu = \nu_{a} + \nu_{s}$ и \[ \nu _a \ll \mu , \qquad \nu _s \perp \mu \]

Всё, что мы обсудили в этой главе, абстрактно и применимо к произвольным измеримым пространствам. Применение этой теории к конкретному случаю $X=\mathbb {R}$ с мерой Лебега – связь абсолютной непрерывности мер с абсолютной непрерывностью функций, дифференцирование плотности распределения – вынесено в отдельную главу о дифференцировании интеграла Лебега, поскольку там же естественно живёт и вся техника анализа (максимальная функция Харди–Литтлвуда, теорема Лебега о дифференцировании), нужная для честного доказательства.

Меры со знаком, плотности

1 Меры со знаком

1.1 Введение

1.2 Теорема Хана и теорема Жордана: раскладываем действительную меру на положительную и отрицательную части

2 Меры, получаемые через интеграл от другой (неотрицательной) меры

2.1 Теорема Радона-Никодима: характеризация мер, получаемых через интеграл от другой меры

2.1.1 Случай (неотрицательной) меры \(\nu\)

2.2 анонс: смена плотности на пространстве траекторий – теорема Камерона–Мартина и Гирсанова

2.2.1 Случай действительной меры \(\nu\)

2.3 Теорема Лебега: раскладываем меру на абсолютно непрерывную и сингулярную части

2.3.1 Случай (неотрицательной) меры \(\nu\)

2.3.2 Случай действительной меры \(\nu\)