Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
Примеры метрических пространств
Определение 1 Пусть \(X \neq \varnothing\). Функция \(\rho : X \times X \to [0, +\infty )\) называется метрикой, если для любых \(x, y, z \in X\) выполнены следующие аксиомы:
Неотрицательность: \(\rho (x, y) \geq 0\), положительная определенность: \(\rho (x, y) = 0 \iff x = y\);
Симметричность: \(\rho (x, y) = \rho (y, x)\);
Неравенство треугольника: \(\rho (x, z) \leq \rho (x, y) + \rho (y, z)\).
Пара \((X, \rho )\) называется метрическим пространством (сокращенно МП).
Пусть \(X \neq \varnothing\) – линейное пространство над \(\mathbb {F}\) (\(\mathbb {F} = \mathbb {R}\) или \(\mathbb {C}\)). Функция \(\left\| \cdot \right\| : X \to \mathbb {R}\) называется нормой, если для любых \(x, y \in X\) и скаляра \(\alpha\) выполнены следующие аксиомы:
Неотрицательность: \(\left\| x\right\| \geq 0\), положительная определенность: \(\left\| x\right\| = 0 \iff x = \overrightarrow {0}\);
Однородность: \(\left\| \alpha x\right\| = |\alpha | \cdot \left\| x\right\|\)
Неравенство треугольника: \(\left\| x + y\right\| \leq \left\| x\right\| + \left\| y\right\|\)
Пара \((X, \left\| \cdot \right\| )\) называется нормированным пространством (сокращенно НП).
Норма порождает метрику по следующему правилу: \(\rho (x, y) = \left\| x - y\right\|\). Все аксиомы метрики при этом выполняются (проверьте это).
Примеры нормированных пространств (они же и метрические пространства с индуцированной метрикой):
\(\mathbb {R}^n\) с \(\left\| \vec{x}\right\|_{p} = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i|^p \right)^{1/p}\) для \(1 \leq p < \infty\) и \(\left\| \vec{x}\right\|_{\infty } = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\).
\(L^p(X, \mathcal{F}, \mu )\), \(1 \leq p \leq \infty\). В частности, \(\ell^p(X) = L^p(X, 2^X, \# )\), где \(\#\) – это считающая мера .
\(C[a,b]\) с супремум-нормой: \(\left\| f\right\|_{\infty } = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|\).
Дискретная метрика. Для любого непустого множества \(X\) дискретная метрика \(\rho\) определяется следующим образом: \(\rho (x, y)=0\), если \(x=y\), и \(\rho (x, y)=1\), если \(x \neq y\). Эта метрика не порождается нормой (если \(X\) – линейное пространство), так как не выполняется свойство однородности (\(\rho (2x, 0) = 1 \neq 2 \cdot \rho (x, 0)\)).
Определение 2 Отображение \(f\) из метрического пространства \((X, \rho )\) в метрическое пространство \((Y, \sigma )\) называется изометрией, если оно отображает \(X\) на \(Y\) и для всех \(x_1, x_2 \in X\),
\[
\sigma \left(f\left(x_1\right), f\left(x_2\right)\right)=\rho \left(x_1, x_2\right).
\]
Два метрических пространства называются изометричными, если существует изометрия одного из них на другое. Изометричность — это отношение эквивалентности между метрическими пространствами. С точки зрения метрических пространств, два изометричных метрических пространства абсолютно одинаковы, а изометрия сводится лишь к переименованию точек и метрик.
- Покажите, что для \(a, b, c \geq 0\),
\[
\text{ если } a \leq b+c, \text{ тогда } \frac{a}{1+a} \leq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c} .
\]
- Пусть \((X, \mathcal{F}, \mu )\) — пространство с конечной мерой. Рассмотрим векторное пространство измеримых функций. Обычно его обозначают \(\mathcal{L}^0\):
\[
\mathcal{L}^0 = \mathcal{L}^0(X, \mathcal{F}, \mu ) = \left\{ f: X \to \mathbb {F} \; : \; f \text{ изм., т.е. } f^{-1}(B) \in \mathcal{F}\; \; \; \forall B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {F}\right)\right\}
\]
Введем отношение эквивалентности \(f \sim g \stackrel{\text{def}}{\iff } f = g\) \(\mu\)-п.в., т.е. \(\mu (f-g \neq 0) = 0\). Определим факторпространство
\[
L^0 = L^0(X, \mathcal{F}, \mu ) = \mathcal{L}^0 /_{\sim } = \left\{ [f] \; : \; f \in \mathcal{L}^0\right\}
\]
Пренебрегая обозначениями, мы будем для измеримой функции \(f\) иногда писать \(f \in L^0\), имея в виду \([f] \in L^0\) (или \(f \in \mathcal{L}^0\)).
Определим
\[
\rho (f, g) = \int _{E} \frac{|f-g|}{1+|f-g|} d \mu
\]
Покажите, что \(\rho\) задает метрику на \(L^0\). Задает ли \(\rho\) метрику на \(\mathcal{L}^0\)?
- Какую сходимость порождает метрика \(\rho\) на \(L^0\)?
Открытые множества, замкнутые множества и сходящиеся последовательности
Определение 3 Открытый шар, открытое множество …
Окрестность точки, окрестность множества…
Утверждение: топ. свойства открытых множеств, определенных выше.
Поведение точки \(x\) и её проколотой окрестности vs различные производные множества для множества \(A\).
|
Условие на проколотую окрестность |
|
Существует проколотая окрестность \(x\), полностью лежащая в \(A\): \[ \exists\, \dot U(x): \dot U(x)\subset A \] |
Любая проколотая окрестность \(x\) пересекается и с \(A\), и с \(A^{\complement}\): \[ \forall\, \dot U(x): \dot U(x)\cap A\neq\varnothing,\ \dot U(x)\cap A^{\complement}\neq\varnothing \] |
Существует проколотая окрестность \(x\), полностью лежащая в \(A^{\complement}\): \[ \exists\, \dot U(x): \dot U(x)\subset A^{\complement} \] |
| Условие на саму точку |
\(x\in A\) |
Точка из внутренности множества: \(x\in\operatorname{int}A\) |
|
Точка \(x\) является изолированной для \(A\) |
| \(x\in A^{\complement}\) |
|
|
Точка из внешности множества, т.е. из внутренности дополнения: \(x\in\operatorname{ext}A=\operatorname{int}A^{\complement}\) |
Точки границы \(A\) (точки из \(\partial A=\operatorname{bd}A\))
Точки замыкания \(A\) (точки из \(\overline{A}=\operatorname{cl}A\))
Точка замыкания (прикосновения) – это …
Открытое множество – это множество, в котором каждая точка входит в него вместе с каким-то открытым шаром (положительного радиуса).
Замкнутое множество – это такое множество, дополнение к которому открыто.
Замкнутый шар:
\[
\overline{B}_r(x_0) = \left\{ x \in X \; : \; \rho (x,x_0) \leq r\right\}
\]
Замкнутый шар – это всегда замкнутое множество.
Утверждение 1 Пусть \(X\) – это МП, \(A \subset X\). Следующие условия эквивалентны:
\(A\) замкнуто, т.е. \(A^{\complement }\) открыто;
\(A = \operatorname {cl}A\);
\(\partial A \subset A\);
…
Утверждение 2 Пусть \(X\) – это МП. Топологические св-ва открытых и замкнутых множеств:
\(X\), \(\varnothing\) являются открытыми, \(X\), \(\varnothing\) являются замкнутыми;
Открытые множества замкнуты относительно конечных пересечений, замкнутые множества замкнуты относительно конечных объединений;
Открытые множества замкнуты относительно произвольных объединений, замкнутые множества замкнуты относительно произвольных пересечений.
Говорим, что \(x_n \to x\) в МП \(X\), если \(\rho (x_n, x) \to 0\).
Предел может быть только один.
Покажите, что следующие метрики индуцируют одинаковые сходящиеся последовательности в евклидовом пространстве: \[
\begin{aligned} & \rho ^{*}(x, y) = \left|x_{1}-y_{1}\right|+\cdots +\left|x_{n}-y_{n}\right| \\ & \rho ^{+}(x, y) = \max \left\{ \left|x_{1}-y_{1}\right|, \ldots ,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right\} . \end{aligned}
\]
Для любых \(x, y \in \mathbb {R}^{n}\) выполняется \[
\rho ^{+}(x, y) \le \rho ^{*}(x, y) \le n \, \rho ^{+}(x, y) .
\] Следовательно, если последовательность \(\{ x^{(k)}\}\) сходится к \(x\) по метрике \(\rho^*\), то \[
\rho ^{+}(x^{(k)}, x) \le \rho ^{*}(x^{(k)}, x) \to 0,
\] значит, она также сходится по метрике \(\rho^+\). Обратно, если \(\{ x^{(k)}\} \to x\) по \(\rho^+\), то \[
\rho ^{*}(x^{(k)}, x) \le n \, \rho ^{+}(x^{(k)}, x) \to 0.
\] Следовательно, обе метрики индуцируют одинаковые сходящиеся последовательности.
Найдите метрику на \(\mathbb {R}^{n}\), которая не индуцирует те же сходящиеся последовательности, что и метрика, вызванная евклидовой нормой.
Рассмотрим дискретную метрику \[
\rho (x, y) = \begin{cases} 0, & x = y, \\ 1, & x \neq y. \end{cases}
\] В этой метрике последовательность сходится к \(x\) тогда и только тогда, когда она в конце концов становится постоянной и равной \(x\). Это отличается от сходимости в евклидовой метрике, поэтому дискретная метрика не индуцирует те же сходящиеся последовательности.
Покажите, что в метрическом пространстве открытый шар является открытым множеством.
Пусть \(B(x, r) = \{ y \in X : \rho (x, y) < r\}\). Возьмём \(y \in B(x,r)\) и положим \(\varepsilon = r - \rho (x, y) > 0\). Для любого \(z\) с \(\rho (y,z) < \varepsilon\) по неравенству треугольника имеем \[
\rho (x, z) \le \rho (x, y) + \rho (y, z) < \rho (x, y) + \varepsilon = r,
\] значит, \(z \in B(x,r)\). Следовательно, \(B(x,r)\) открыто.
В метрическом пространстве \(X\), возможно ли, чтобы для \(r > 0\) и двух различных точек \(u\) и \(v\) выполнялось \(B(u, r) = B(v, r)\)? Возможно ли это в евклидовом пространстве \(\mathbb {R}^{n}\)? Возможно ли в нормированном линейном пространстве?
В общем метрическом пространстве это возможно. Например, пусть \(X = \{ a,b\}\) с \(\rho (a,b)=1\) и \(r=2\), тогда \(B(a,2) = B(b,2) = X\).
В евклидовом пространстве \(\mathbb {R}^{n}\) это невозможно: если \(B(u,r)=B(v,r)\) и \(u \neq v\), положим \(d = \| u-v\| > 0\), возьмём \(\varepsilon \in (0, \min (r,d))\) и точку \(w = u + \frac{r-\varepsilon }{d}(u-v)\); тогда \(\| w-u\| = r-\varepsilon < r\), т.е. \(w \in B(u,r)\), но \(\| w-v\| = \| w-u\| + \| u-v\| = r - \varepsilon + d > r\) (точки \(v,u,w\) лежат на одном луче в этом порядке, а норма аддитивна вдоль луча), противоречие.
В любом нормированном линейном пространстве применяется тот же аргумент, что и в евклидовом пространстве, поэтому это также невозможно.
Пусть \((X, \rho )\) — метрическое пространство, в котором \(\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u\) и \(\left\{ v_{n}\right\} \rightarrow v\). Покажите, что \(\left\{ \rho \left(u_{n}, v_{n}\right)\right\} \rightarrow \rho (u, v)\).
Пусть \(X\) — метрическое пространство, \(x \in X\) и \(r > 0\).
Покажите, что \(\bar{B}(x, r)\) замкнут и содержит \(B(x, r)\).
Покажите, что в нормированном линейном пространстве \(X\) замкнутый шар \(\bar{B}(x, r)\) является замыканием открытого шара \(B(x, r)\), но это не всегда верно в общем метрическом пространстве.
Пусть МП \(X\) – подпространство другого МП \(Y\) (т.е. \(X \subset Y\), а метрика в \(X\) совпадает с метрикой в \(Y\)). Докажите, что \[
E \text{ открыто в } X \iff \exists O \; : \; E = X \cap O, \, O \text{ открыто в }Y
\]
Для подмножества \(E\) метрического пространства \(X\) точка \(x \in X\) называется граничной точкой \(E\), если любой открытый шар, центрированный в \(x\), содержит точки из \(E\) и точки из \(X \setminus E\). Множество всех граничных точек \(E\) называется границей \(E\) и обозначается \(\operatorname {bd} E\) или \(\partial E\). Покажите:
что \(\operatorname {bd} E\) всегда замкнуто,
что \(E\) открыто тогда и только тогда, когда \(E \cap \operatorname {bd} E = \emptyset\),
что \(E\) замкнуто тогда и только тогда, когда \(\operatorname {bd} E \subseteq E\).
Непрерывные отображения между метрическими пространствами
Отображение \(f: X \to Y\) между двумя МП называется непрерывным в точке \(x\), если …
Следующие три утверждения обобщают соответствующие результаты для вещественнозначных функций вещественного переменного, и их доказательства в целом совпадают с доказательствами для этого частного случая.
Утверждение 3 Отображение непрерывно в точке \(\iff\) оно секвенциально непрерывно в этой точке.
Утверждение 4 Отображение непрерывно на всем \(X\) \(\iff\) прообраз любого открытого в \(Y\) открыт в \(X\).
Утверждение 5 Композиция 2-х непрерывных отображений непрерывна.
Отображение \(f: (X,\rho ) \to (Y, \sigma )\) между двумя МП называется равномерно непрерывным, если …
Равномерно непрерывное отображение всюду непрерывно.
Отображение \(f: (X,\rho ) \to (Y, \sigma )\) между двумя МП называется липшицевым, если …
Липшицево отображение равномерно непрерывно.
Приведите пример непрерывного отображения, которое не является равномерно непрерывным, и равномерно непрерывного отображения, которое не является Липшицевым.
Непрерывное, но не равномерно непрерывное: \(f(x) = x^2\) на \(\mathbb {R}\). Равномерно непрерывное, но не Липшицево: \(f(x) = \sqrt{x}\) на \([0,1]\).
Покажите, что любое отображение из метрического пространства (\(X, \rho\)) в метрическое пространство (\(Y, \sigma\)) является непрерывным, если \(\rho\) является дискретной метрикой.
Если \(\rho\) дискретна, возьмем \(\delta = 1/2\) для любого \(\varepsilon >0\). Тогда \(\rho (x,y)<\delta\) означает \(x=y\), следовательно, \(\sigma (f(x),f(y))=0<\varepsilon\), и любое отображение является непрерывным.
Пусть \(z\) — точка в метрическом пространстве (\(X, \rho\)). Определим функцию \(f: X \rightarrow \mathbb {R}\) как \(f(x) = \rho (x, z)\). Покажите, что \(f\) равномерно непрерывна.
Для любых \(x,y \in X\) по неравенству треугольника имеем \[
\left|f(x) - f(y)\right| = \left|\rho (x,z)-\rho (y,z)\right| \leq \rho (x,y)
\] \(f\) является Липшицевой с константой \(1\), значит, равномерно непрерывной.
Пусть \(A\) — фиксированное непустое подмножество метрического пространства (\(X, \rho\)). Докажите, что функция расстояния до множества \(\operatorname {dist}_A: X \rightarrow \mathbb {R}\), \[
\operatorname {dist}_A(x) := \inf _{z \in A} \rho (z,x)
\] непрерывна.
[@VKK, Задача 1.5]
\(\operatorname {dist}_A(x)\) еще иногда обозначают \(\rho (x,A)\).
Покажите, что \(\operatorname {dist}_A\) липшицева.
Покажите, что подмножество \(E\) метрического пространства \(X\) открыто тогда и только тогда, когда существует непрерывная вещественная функция \(f\) на \(X\), такая что \(E = \left\{ f > 0\right\} = \left\{ x \in X \mid f(x) > 0\right\}\).
Полные метрические пространства
Последовательность Коши
Последовательность Коши (также фундаментальная последовательность) – это …
В метрическом пространстве \(X\) покажите
что сходящаяся последовательность является последовательностью Коши,
что последовательность Коши является ограниченной.
Пусть \(x_n \to x\). Для любого \(\varepsilon >0\) существует \(N\), такое что \(n\ge N \Rightarrow \rho (x_n,x)<\varepsilon /2\). Тогда для \(m,n\ge N\): \(\rho (x_n,x_m) \le \rho (x_n,x)+\rho (x_m,x)<\varepsilon\). Следовательно, \(x_n\) — последовательность Коши.
Для последовательности Коши \(\{ x_n\}\) существует \(N\), такое что \(m,n\ge N \Rightarrow \rho (x_n,x_m)<1\). Тогда все \(x_n\) для \(n\ge N\) лежат в шаре радиуса \(1\) вокруг \(x_N\), а конечное множество первых \(N-1\) членов также ограничено. Следовательно, вся последовательность ограничена.
МП называется полным, если любая последовательность Коши в нем сходится к какому-то элементу из МП.
Примеры полных МП:
\(\mathbb {R}^{n}\);
\(C[a,b]\) с супремум-метрикой (если не оговаривается иного, мы всегда полагаем, что в \(C[0,1]\) задана супремум-метрика);
\(L^p(X, \mathcal{F}, \mu )\), \(1 \leq p \leq \infty\) для любого пространства с мерой \((X, \mathcal{F}, \mu )\). Это утверждение называется теоремой Риса-Фишера.
Для каждого индекса \(n\) определим \(f_{n}(x) = \alpha x^{n}+\beta \cos (x / n)\) для \(0 \leq x \leq 1\). Для каких значений параметров \(\alpha\) и \(\beta\) последовательность \(\left\{ f_{n}\right\}\) является последовательностью Коши в метрическом пространстве \(C[0,1]\)?
Подпространства полных МП
В общем случае подпространство полного МП может не быть полным. Однако
Утверждение 6 Пусть \(X\) – это полное МП, \(E \subset X\) – это его подпространство. \(E\) полно \(\iff\) \(E\) замкнуто.
Пусть \(\mathcal{D}\) — подпространство \(C[-1,1]\), состоящее из непрерывных функций \(f:[-1,1] \rightarrow \mathbb {R}\), дифференцируемых на \((-1,1)\). Полно ли \(\mathcal{D}\)?
Если не оговаривается иного, в \(C[-1,1]\) используется супремум-метрика (метрика равномерной сходимости).
\(C[-1,1]\) полно, т.е. чтобы проверить его подмножество на полноту, нужно проверить его на замкнутость.
\(f_n(x)=\sqrt{x^2+1/n}\) дифференцируемы и сходятся равномерно к \(f(x)=|x|\), которая непрерывна, но не дифференцируема в \(0\). Т.е. \(\mathcal{D}\) не замкнуто.
Определим \(\mathcal{L}\) как подпространство \(C[0,1]\), состоящее из функций \(f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}\), являющихся липшицевыми. Полно ли \(\mathcal{L}\)?
Нужно проверить \(\mathcal{L}\) на замкнутость в \(C[0,1]\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = \sqrt{x}\), рассмотрим последовательность функций
\[
f_n(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{n}}nx, & x < \frac{1}{n}\\ \sqrt{x}, & x \geq \frac{1}{n} \end{cases}
\]
Т.е. график \(f_n\) – это линия из \((0,0)\) в \(\left(\frac{1}{n}, \sqrt{\frac{1}{n}}\right)\), а затем график корня \(\sqrt{x}\).
Понятно, что \(f_n\) сходятся к \(f\) поточечно. Можно доказать руками или воспользоваться теоремой Дини, чтобы показать, что \(f_n\) сходится равномерно к \(f\), т.е. по норме пространства \(C[0,1]\)
\(f_n\) липшицева при любом \(n\) (это несложное упражнение), а \(f\) – нет.
Получаем, что \(\mathcal{L}\) не замкнуто.
Определим \(\mathcal{L}_3\) как подпространство \(C[0,1]\), состоящее из функций \(f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}\), являющихся липшицевыми с одной и той же константой (в данном случае \(3\)): \[
\mathcal{L}_3 = \left\{ f \in C[0,1] \; : \; \left|f(x) - f(y)\right| \leq 3 \cdot \left|x-y\right|, \; \forall x,y \in [0,1]\right\}
\] Полно ли \(\mathcal{L}_3\)?
Равномерный (и даже поточечный) предел липшицевых функций с одной и той же константой будет липшицевым с той же константой. Действительно, пусть \(f_n \in \mathcal{L}_3\), \(f_n \xrightarrow []{\rho }f\). Тогда \[
\begin{align} \left|f(x) - f(y)\right| & \leq \left|f(x) - f_n(x)\right| + \left|f_n(x) - f_n(y)\right| + \left|f_n(y) - f(y)\right| \\ & \leq \left|f(x) - f_n(x)\right| + 3 \cdot \left|x-y\right| + \left|f_n(y) - f(y)\right| \xrightarrow [n \to \infty ]{} 3 \cdot \left|x-y\right| \end{align}
\] Т.е. \(\mathcal{L}_3\) замкнуто в \(C[0,1]\).
Пусть \(X = C[0,1]\) с супремум-метрикой. Определите для следующих подмножеств (подпространств), будут ли они полными.
Непрерывные функции, имеющие корень. Т.е.
\[
\mathcal{R} = \left\{ f \in C[0,1] \; : \; \exists x \in [0,1] \; \; f(x) = 0\right\}
\]
Непрерывные функции, имеющие неподвижную точку. Т.е.
\[
\mathcal{FP} = \left\{ f \in C[0,1] \; : \; \exists x \in [0,1] \; \; f(x) = x\right\}
\]
Непрерывные функции, имеющие хотя бы 2 различные неподвижные точки. Т.е.
\[
\mathcal{FPP} = \left\{ f \in C[0,1] \; : \; \exists x_1, x_2 \in [0,1]\; : \; x_1 \neq x_2, \, f(x_i) = x_i\right\}
\]
Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).
План: : g_n(x) = x^2 - x/n = f_n(x) - x для n=1,2,5 и предела g(x)=x^2; корни g_n – это неподвижные точки f_n(x)=x+x^2-x/n. Точки кривых посчитаны в python (numpy, x=-0.05..1.06 шаг 0.05), детерминировано, seed не нужен. Интерактив: слайдер n (непрерывный, не только 1/2/5), перерисовывающий кривую g_n и отмечающий её два корня \(0\) и \(1/n\); при n -> Infinity корни визуально сливаются в один – анимация slider->предел наглядно показывает, почему множество FPP (>=2 неподвижных точки) не замкнуто.
Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/FA/contents/specials/010/020_merging_fixed_points_fig.tex
Пополнение неполного МП
Теорема 1 (о пополнении) Пусть \((X,\rho )\) – это МП. Тогда существует полное МП \((\hat{X}, \sigma )\), такое что \(X\) всюду плотно в \(\hat{X}\) (точнее, \(X\) можно изометрично отобразить в некоторое подмножество \(\tilde{X} \subset \hat{X}\), которое будет всюду плотно в \(\hat{X}\)) и \[
\rho (u,v) = \sigma (u,v), \qquad \forall u,v \in X
\]
Описанное выше полное МП \((Y, \sigma )\) называется пополнением \((X,\rho )\). Пополнение является единственным в том смысле, что любые два пополнения изометричны посредством изометрии, которая является тождественным отображением на \(X\).
Схема доказательства
Если \(\left\{ x_{n}\right\}\) и \(\left\{ y_{n}\right\}\) — последовательности Коши в \(X\), необходимо показать, что \(\left\{ \rho (x_{n}, y_{n})\right\}\) является последовательностью Коши в \(\mathbb {R}\) и, следовательно, сходится.
Определим \(X^{\prime }\) как множество последовательностей Коши в \(X\). Для двух последовательностей Коши \(\left\{ x_{n}\right\}\) и \(\left\{ y_{n}\right\}\) определим \(\rho^{\prime }(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} ) = \lim \rho (x_{n}, y_{n})\).
Определим две последовательности \(\left\{ x_{n}\right\}\) и \(\left\{ y_{n}\right\}\) в \(X^{\prime }\) как эквивалентные, если \(\rho^{\prime }(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} ) = 0\). Необходимо показать, что это отношение эквивалентности. Обозначим через \(\widehat{X}\) множество классов эквивалентности. Определим расстояние \(\widehat{\rho }\) между классами как \(\rho^{\prime }\) между представителями классов. Необходимо показать, что \(\widehat{\rho }\) корректно определена и является метрикой на \(\widehat{X}\).
Необходимо показать, что метрическое пространство \((\widehat{X}, \widehat{\rho })\) полно.
Подсказка: Если \(\left\{ x_{n}\right\}\) — последовательность Коши из \(X\), можно предположить [выбирая подпоследовательности], что \(\rho (x_{n}, x_{n+1}) < 2^{-n}\) для всех \(n\). Если \(\left\{ \{ x_{n, m}\}_{n = 1}^{\infty }\right\}_{m = 1}^{\infty }\) — последовательность таких последовательностей Коши, представляющих последовательность Коши в \(\widehat{X}\), тогда диагональная последовательность \(\left\{ x_{n, n}\right\}_{n = 1}^{\infty }\) является последовательностью Коши в \(X\), представляющей предел последовательностей Коши из \(\widehat{X}\).
Определим отображение \(h\) из \(X\) в \(\widehat{X}\), присваивая каждому \(x \in X\) класс эквивалентности постоянной последовательности, все члены которой равны \(x\). Необходимо показать, что \(h(X)\) плотно в \(\widehat{X}\) и что \(\widehat{\rho }(h(u), h(v)) = \rho (u, v)\) для всех \(u, v \in X\).
Определим множество \(\widetilde{X}\) как дизъюнктное объединение \(X\) и \(\widehat{X} \setminus h(X)\). Для \(u, v \in \widetilde{X}\) определим \(\widetilde{\rho }(u, v)\) так: \(\widetilde{\rho }(u, v) = \rho (u, v)\), если \(u, v \in X\); \(\widetilde{\rho }(u, v) = \widehat{\rho }(u, v)\), если \(u, v \in \widehat{X} \setminus h(X)\); и \(\widetilde{\rho }(u, v) = \widehat{\rho }(h(u), v)\) для \(u \in X, v \in \widehat{X} \setminus h(X)\). Из предыдущих частей следует, что метрическое пространство (\(\widetilde{X}, \widetilde{\rho }\)) полно и содержит (\(X, \rho\)) как плотное подпространство.
Напомним, что носителем функции \(f: X \to \mathbb {R}\) на МП \(X\) называется множество \[
\operatorname {supp}f = \overline{\left\{ x \in X \; : \; f(x) \neq 0\right\} }
\] Рассмотрим множество \(C(\mathbb {R})\) всех непрерывных функций на \(\mathbb {R}\). Рассмотрим его подмножество \(C_{C}(\mathbb {R})\) непрерывных функций на \(\mathbb {R}\) с компактным носителем (такие функции еще называются финитными). Пусть в нем действует супремум-метрика \[
\rho (x, y) = \sup _{t\in \mathbb {R}}|x(t)-y(t)|, \qquad x,y \in C_{C}(\mathbb {R})
\] (можете самостоятельно проверить, что это действительно метрика на \(C_C(\mathbb {R})\)).
Охарактеризуйте пополнение \(C_C(\mathbb {R})\) как подмножество \(C(\mathbb {R})\).
[@VKK, Задача 2.6]
Компактные метрические пространства
Утверждение 7 (Эквивалентность различных определений компактности для метрических пространств) Пусть \(X\) – это метрическое пространство. Следующие условия эквивалентны:
\(X\) компактно: из любого бесконечного покрытия \(X\) открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие;
\(X\) секвенциально компактно: из любой последовательности в \(X\) можно выделить подпоследовательность, которая будет сходиться к точке из \(X\);
\(X\) счетно-компактно: из любого счетного покрытия \(X\) открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие;
\(X\) предельно-точечно компактно: любое бесконечное подмножество из \(X\) имеет предельную точку в \(X\);
\(X\) псевдо-компактно: любая непрерывная функция \(f: X \to \mathbb {R}\) является ограниченной;
Обобщение теоремы Больцано-Вейерштрасса: критерий компактности для произвольного метрического пространства
Напомним критерий компактности в \(\mathbb {R}^{n}\) (а, по сути, в любом конечномерном нормированном пространстве над \(\mathbb {R}\), поскольку оно всегда изоморфно \(\mathbb {R}^{n}\)).
Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасс) Пусть \(X = \mathbb {R}^{n}\) со стандартной евклидовой метрикой. Пусть \(A \subset \mathbb {R}^{n}\). \(A\) можно рассматривать как подпространство метрического пространства \(\mathbb {R}^{n}\). Тогда \[
A \text{ компактно} \iff A \text{ замкнуто (в $\mathbb {R}^{n}$) и ограниченно}
\]
Попробуем получить критерий компактности для произвольного МП. Условие замкнутости в этом случае теряет смысл, т.к. любое пространство замкнуто (само в себе). Его следует заменить на полноту. Собственно, поскольку \(\mathbb {R}^{n}\) полно, его подпространство замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. Поэтому и в теореме Больцано-Вейерштрасса замкнутость в \(\mathbb {R}^{n}\) можно заменить на полноту.
Поговорим теперь про ограниченность. Произвольное метрическое пространство \(X\) ограниченно, если оно полностью лежит в каком-то шаре конечного радиуса. Эквивалентно: МП ограниченно, если его диаметр конечен:
\[
\operatorname {diam}X = \sup _{x_1,x_2 \in X} \rho (x_1,x_2) < \infty
\]
Оказывается, что из компактности следует ограниченность. Однако ограниченности (в связке с полнотой) в общем случае недостаточно для компактности.
Покажите, что единичный замкнутый шар с центром в нуль-векторе (нулевой последовательности) в \(\ell^2\) является полным и ограниченным подпространством, но не является компактным.
Напомним, что \(\ell^2\) – это линейное пространство квадратично суммируемых последовательностей \[
\ell ^2 = \left\{ x = (x_n)_{n \in \mathbb {N}} \; : \; x_n \in \mathbb {R}, \; \sum _{n=1}^{\infty }\left|x_n\right|^2 < \infty \right\}
\] Норма в пространстве: \(\left\| x\right\|_{2} := \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty }\left|x_n\right|^2 }\).
Обозначим для краткости \(\bar{B} := \bar{B}_1(0)\).
Заметим, что \(\ell^2 = L^{2}(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}, \# )\), где \(\#\) – это считающая мера. Т.е. \(\ell^2\) – это частный случай пространства Лебега. Для \(L^p\) известно, что оно полно. Т.е. \(\ell^2\) полно.
Замкнутый шар всегда является замкнутым множеством. Само \(\ell^2\) полно, а как мы знаем, в полном пространстве замкнутость подмножества эквивалентна его полноте. Значит, \(\bar{B}\) – полное подпространство.
\(\bar{B}\), очевидно, ограничено.
Рассмотрим векторы \(e^{(i)} \in \ell^2\), \(i \in \mathbb {N}\): у \(e^{(i)}\) на \(i\)-м месте стоит \(1\), на всех остальных \(0\). Это последовательность точек из \(\bar{B}\), при этом расстояние между любыми двумя из них равно \(\sqrt{2}\). Т.е. там невозможно найти сходящуюся подпоследовательность. Значит, \(\bar{B}\) не явл. секвенциально компактным, а значит и не явл. компактным.
Как видно из примера, для компактности нужно более сильное условие, чем обычная ограниченность.
Под \(\varepsilon\)-сетью для метрического пространства \(X\) понимается конечная совокупность открытых шаров \(\left\{ B_{\varepsilon }\left(x_k\right)\right\}_{k=1}^n\) с центрами \(x_k \in X\), которая покрывает \(X\). Говорят, что метрическое пространство \(X\) вполне ограничено, если для каждого \(\epsilon >0\) существует \(\epsilon\)-сеть для \(X\).
Если метрическое пространство \(X\) вполне ограничено, то оно ограничено в смысле конечности его диаметра. Действительно, если \(X\) покрыто конечным числом шаров радиуса \(r\), то из неравенства треугольника следует, что \(\operatorname {diam} X \leq c\), где \(c = 2 \cdot r + d\), а \(d\) — максимальное расстояние между центрами покрывающих шаров. Однако, как видно из следующего примера, ограниченное метрическое пространство может не быть вполне ограниченным.
Покажите, что \(\bar{B}_1(0)\) в \(\ell^2\) не является вполне ограниченным.
Теорема 3 (Критерий компактности МП) Пусть \(X\) – это метрическое пространство. \[
X \text{ компактно} \iff X \text{ полно и вполне ограниченно}
\]
В конечномерных нормированных пространствах ограниченное множество всегда будет вполне ограниченным.
Утверждение 8 Подмножество \(\mathbb {R}^{n}\) ограниченно \(\iff\) оно вполне ограниченно.
Разница в понятиях проявляется в бесконечномерных нормированных пространствах. Как мы докажем далее, выполнена следующая теорема.
Теорема 4 (Рисс) Пусть \(X\) – нормированное пространство. Тогда \[
\text{Замкнутый единичный шар $\bar{B}_1(0)$ компактен} \iff X \text{ конечномерно}
\]
Свойства компактного МП
Утверждение 9 (Непрерывный образ компакта компактен) Пусть \(X\) – компактное МП, \(Y\) – произвольное МП, \(f : X \to Y\) непрерывно. Тогда \(f(X)\) тоже компактно.
Утверждение 10 (Теорема Вейерштрасса о функции на компакте) Пусть \(X\) – компактное МП, \(f : X \to \mathbb {R}\). Тогда \(f\) достигает своего максимума и минимума.
Утверждение 11 (Непрерывное отображение на компакте равномерно непрерывно) Пусть \(X\) – компактное МП, \(Y\) – произвольное МП, \(f: X \to Y\) – непрерывна. Тогда \(f\) равномерно непрерывна.
Доказать, что компакт нельзя изометрично отобразить на свое собственное подмножество.
[@VKK, Задача 3.10]
Пусть \[
\bar{B} := \left\{ x = (x_1, x_2, \ldots ) \in \ell ^{2} \quad : \quad \sqrt{\sum _{n = 1}^{\infty } x_{n}^{2}} \leq 1\right\}
\] — замкнутый единичный шар в \(\ell^{2}\). Покажите, что \(\bar{B}\) не является компактным,
показав, что \(\bar{B}\) не является секвенциально компактным,
показав, что \(\bar{B}\) не является компактным,
показав, что \(\bar{B}\) не является вполне ограниченным.
Рассмотрим векторы (последовательности) \(e^{(n)}\), у которых на месте \(n\) стоит \(1\), а на всех остальных \(0\). Каждый \(e^{(n)} \in \bar{B}\), но ни одна подпоследовательность не сходится в \(\ell^{2}\). Действительно, если бы такая нашлась, то она была бы фундаментальной. Но расстояние между любыми двумя векторами из последовательности равно \(\sqrt{2}\). Т.е. там не может найтись фундаментальной подпоследовательности. Таким образом, \(\bar{B}\) не секвенциально компактно.
Необходимо найти открытое покрытие \(\bar{B}\), не имеющее конечного подпокрытия. Рассмотрим открытые множества \(U_0 = \ell^2 \setminus \left\{ e^{(n)}\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) и \(U_n = B_1\left(e^{(n)}\right)\), \(n \in \mathbb {N}\).
\(U_0\) открыто: множество \(\left\{ e^{(n)}\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) замкнуто (даже дискретно) в \(\ell^2\), поскольку любые две его точки удалены на \(\sqrt2\) (см. пункт а), а значит, у него нет предельных точек.
\(\left\{ U_n\right\}_{n \geq 0}\) покрывает \(\bar B\): точки \(\bar B \setminus \left\{ e^{(n)}\right\}_n\) лежат в \(U_0\), а сама точка \(e^{(n)}\) – в своём \(U_n\).
Из данного покрытия невозможно выбрать конечное подпокрытие. Действительно, \(U_0\) не содержит ни одной точки \(e^{(n)}\), а каждый \(U_n\) содержит из точек \(\left\{ e^{(m)}\right\}_m\) только саму \(e^{(n)}\) (расстояние до любой другой \(e^{(m)}\) равно \(\sqrt2 > 1\)). Значит, конечное объединение \(U_0, U_{n_1}, \ldots , U_{n_k}\) содержит из \(\left\{ e^{(n)}\right\}_n\) лишь конечный набор \(e^{(n_1)}, \ldots , e^{(n_k)}\) и пропускает бесконечно много остальных точек этого (бесконечного) множества, лежащих в \(\bar B\).
Пусть \(\varepsilon < \frac{\sqrt{2}}{2}\) – произвольно. Как уже показано выше, в \(\bar{B}\) есть бесконечный набор векторов, попарные расстояния между которыми больше \(2 \varepsilon\). По неравенству треугольника невозможно найти (конечную) \(\varepsilon\)-сеть для \(\bar{B}\).
Пусть \(\bar{B} = \{ f \in L^{2}[0, 1] \mid \| f\|_{2} \leq 1\}\) — замкнутый единичный шар в \(L^{2}[0, 1]\). Покажите, что \(B\) не является компактным,
показав, что \(\bar{B}\) не является секвенциально компактным,
показав, что \(\bar{B}\) не является компактным,
показав, что \(\bar{B}\) не является вполне ограниченным.
Сепарабельные метрические пространства
Пусть \(X\) – это МП. \(D \subset X\) называется всюду плотным, если …
МП называется сепарабельным, если у него есть счетное всюду плотное подмножество.
Примеры сепарабельных МП:
\(\mathbb {R}^{n}\) для любого \(n\);
Теорема Вейерштрасса об аппроксимациях (теорема Вейерштрасса-Стоуна) говорит, что любую функцию из \(C[0,1]\) можно сколь угодно близко приблизить полиномом. Любой полином можно сколь угодно близко приблизить на \([0,1]\) полиномом с рациональными коэффициентами. Таким образом, \(C[0,1]\) сепарабельно: счетной всюду плотной системой будут полиномы с рациональными коэффициентами.
При \(1 \leq p < \infty\) пространство \(L^p[0,1]\) сепарабельно. \(L^{\infty }[0,1]\) не является сепарабельным.
Утверждение 12 Компактное МП всегда сепарабельно.
Утверждение 13 МП сепарабельно \(\iff\) оно удовлетворяет 2-й аксиоме счетности: у него есть счетная база окрестностей (т.е. существует счетный набор \(\left\{ \mathcal{O}_n\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) открытых подмножеств \(X\), таких что любое другое открытое подмножество \(X\) может быть представлено как объединение поднабора из \(\left\{ \mathcal{O}_n\right\}_{n \in \mathbb {N}}\)).
Например, если \(X = \mathbb {R}^{n}\), то счетной базой окрестностей будут открытые шары с рациональными радиусами и центрами в рациональных точках.
Утверждение 14 Любое подпространство сепарабельного МП обязательно будет сепарабельным.
Данное утверждение не настолько очевидно, как кажется на первый взгляд, т.к. если \(X\) – это пространство, \(D \subset X\) всюду плотно и счетно, а \(A \subset X\) – это подпространство, то недостаточно просто взять пересечение \(A \cap D\) и заявить, что оно будет счетным всюду плотным в \(A\). Например, \(X = \mathbb {R}\) сепарабельно: \(D = \mathbb {Q}\) будет в нем всюду плотным счетным множеством. Тогда, по утверждению, подпространство иррациональных чисел \(A = \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}\) тоже будет сепарабельным, хотя \(A \cap D = \varnothing\).
Пусть \(X\) — метрическое пространство, содержащее конечное плотное подмножество \(D\). Покажите, что \(X = D\).
Предположим, \(D = \{ d_{1},\dots ,d_{n}\}\) плотно в \(X\). Если существует \(x \in X \setminus D\), то рассмотрим \[
\delta = \min _{1\leq i \leq n} \rho (x,d_{i}) > 0 .
\] Тогда шар \(B(x,\delta /2)\) содержит \(x\), но не содержит ни одной точки \(d_{i}\), что противоречит плотности \(D\). Следовательно, такого \(x\) не существует и \(X=D\).
Доказать, что пространства \(\ell^{p}\) (\(1 \leqslant p < \infty\)) — сепарабельные полные метрические пространства, а пространство \(\ell^{\infty }\) — полное, но не сепарабельное.
[@VKK, Задача 2.2]
Напомним, что \(\ell^p\) и \(\ell^{\infty }\) – это пространства числовых последовательностей, в которых действуют нормы \[
\left\| x\right\| _{p} = \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left|x_n\right|^{p}\right)^{1/p} ,\qquad \left\| x\right\| _{\infty } = \sup _{n \in \mathbb {N}}\left|x_n\right|
\] Разумеется, в \(\ell^{p}\), \(\ell^{\infty }\) входят только последовательности с конечными соотв. нормами.
Доказать, что компактное метрическое пространство сепарабельно.
[@VKK, Задача 3.8]
Принцип сжимающих отображений
Определение 4 Точка \(x\) в \(X\) называется неподвижной точкой отображения \(T: X \rightarrow X\), если \(T(x)=x\).
В этом параграфе мы ищем условия на отображение, гарантирующие наличие неподвижной точки. Для вещественной функции от одной переменной это соответствует пересечению её графика с диагональю \(y=x\). Из этого легко следует первый результат: если \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) непрерывна и \(f([a,b])\subseteq [a,b]\), то у \(f\) есть неподвижная точка. Действительно, положив \(g(x)=f(x)-x\), получаем \(g(a)\geq 0\), \(g(b)\leq 0\), а значит, по теореме о промежуточном значении \(g(x_0)=0\) для некоторого \(x_0\in [a,b]\), то есть \(f(x_0)=x_0\).
В многомерном случае справедливо обобщение: если \(K\subset \mathbb {R}^n\) — компактное выпуклое множество и \(T:K\to K\) непрерывно, то \(T\) имеет неподвижную точку. Это теорема Брауэра о неподвижной точке.
В этом параграфе мы докажем иной результат — принцип сжимающих отображений Банаха. Он требует более жёсткого условия на отображение, но допускает очень общее пространство.
Напомним определение.
Определение 5 Отображение \(T\) метрического пространства \((X, \rho )\) в себя называется липшицевым, если существует число \(c \geq 0\), называемое константой Липшица для отображения, такое что \[
\rho (T(u), T(v)) \leq c \rho (u, v) \quad \text{для всех } u, v \in X.
\] Если \(c<1\), то липшицево отображение называется сжатием.
Теорема 5 (Принцип сжимающих отображений Банаха) Пусть \(X\) — полное метрическое пространство, и отображение \(T: X \rightarrow X\) является сжатием. Тогда \(T: X \rightarrow X\) имеет ровно одну неподвижную точку.
Пусть \(c\) — число из \([0, 1)\), являющееся константой Липшица для отображения \(T\).
Выберем точку в \(X\) и обозначим её \(x_{0}\). Определим последовательность \(\{ x_{k}\}\) индуктивно: \(x_{k+1}=T(x_{k})\). Мы покажем, что эта последовательность сходится к неподвижной точке \(T\).
Действительно, заметим, что для каждого \(k\)
\[
\rho (x_{k+1}, x_{k}) = \rho (T(x_{k}), T(x_{k-1})) \leq c \rho (x_{k}, x_{k-1}),
\]
и поэтому по индукции
\[
\rho (x_{k+1}, x_{k}) \leq c^{k} \rho (T(x_{0}), x_{0}).
\]
Следовательно, по неравенству треугольника и формуле суммы геометрической прогрессии при \(m>k\)
\[
\begin{align} \rho (x_{m}, x_{k}) & \leq \rho (x_{m}, x_{m-1}) + \rho (x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + \rho (x_{k+1}, x_{k}) \\ & \leq \left[c^{m-1} + c^{m-2} + \cdots + c^{k}\right] \rho (T(x_{0}), x_{0}) \\ & = c^{k}\left[1 + c + \cdots + c^{m-1-k}\right] \rho (T(x_{0}), x_{0}) \\ & = c^{k} \cdot \frac{1 - c^{m-k}}{1 - c} \cdot \rho (T(x_{0}), x_{0}). \end{align}
\]
Таким образом, поскольку \(0 \leq c < 1\),
\[
\rho (x_{m}, x_{k}) \leq \frac{c^{k}}{1 - c} \cdot \rho (T(x_{0}), x_{0}) \quad \text{при } m > k.
\]
Но \(\lim_{k \to \infty } c^{k} = 0\), и поэтому из предыдущего неравенства следует, что \(\{ x_{k}\}\) — фундаментальная последовательность.
По предположению, метрическое пространство \(X\) полно, и поэтому существует точка \(x \in X\), к которой последовательность \(\{ x_{k}\}\) сходится. Поскольку \(T\) липшицево, оно непрерывно. Отсюда следует, что
\[
T(x) = \lim _{k \to \infty } T(x_{k}) = \lim _{k \to \infty } x_{k+1} = x.
\]
Следовательно, отображение \(T: X \rightarrow X\) имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Осталось проверить, что неподвижная точка единственна. Но если \(u\) и \(v\) — точки в \(X\) такие, что \(T(u)=u\) и \(T(v)=v\), то
\[
0 \leq \rho (u, v) = \rho (T(u), T(v)) \leq c \rho (u, v),
\]
так что, поскольку \(0 \leq c < 1\), имеем \(\rho (u, v) = 0\), т.е. \(u = v\). \(\square\)
Приведённое выше доказательство принципа сжимающих отображений предоставляет существенно больше, чем просто доказательство существования единственной неподвижной точки. Оно включает алгоритм для нахождения неподвижной точки. Действительно, если взять произвольную точку \(x_{0} \in X\) и рекуррентно определить последовательность \(x_{k+1}=T(x_{k})\) для \(k \geq 0\), то эта последовательность сходится к неподвижной точке \(x_{*}\) отображения \(T\), причем с экспоненциальной скоростью (расстояние до \(x_*\) убывает экспоненциально):
\[
\rho (x_{*}, x_{k}) \leq \frac{c^{k}}{1 - c} \rho (T(x_{0}), x_{0}).
\]
При помощи принципа сжимающих отображений найти достаточное условие на параметр \(\lambda\), при котором уравнение \[
\varphi (x) = \lambda \int _{a}^{b} K(x, y) \varphi (y) d y+f(x)
\] имеет единственное решение \(\varphi \in C[a, b]\). (Здесь \(f \in C[a, b]\), \(\left.K \in C\left([a, b]^{2}\right)\right)\).
[@VKK, Задача 2.5]
Пусть \(E\) — компактное метрическое пространство с метрикой \(\rho (\cdot , \cdot )\). Пусть \(f: E \rightarrow E\), причем \(\rho (f(x), f(y)) < \rho (x, y)\) для всех \(x \neq y\). Доказать, что \(f\) имеет неподвижную точку. Верно ли, что неподвижная точка единственна? Верно ли, что \(f\) сжимающее отображение?
[@VKK, Задача 3.12]
Зафиксируем \(\alpha > 0\), определим \(f(x) = \alpha x(1-x)\) для \(x\) в \([0,1]\).
При каких значениях \(\alpha\) выполняется \(f([0,1]) \subseteq [0,1]\)?
При каких значениях \(\alpha\) выполняется \(f([0,1]) \subseteq [0,1]\) и \(f:[0,1] \rightarrow [0,1]\) является сжатием?
В евклидовом пространстве \(\mathbb {R}^{n}\) рассмотрим замкнутый единичный шар \(B = \{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid \| x\| \leq 1\}\). Пусть \(f\) отображает \(B\) в \(B\) и является липшицевым с константой Липшица 1. Не используя теорему Брауэра о неподвижной точке, покажите, что \(f\) имеет неподвижную точку.
Пусть \(X\) — полное метрическое пространство, содержащее точку \(x_{0}\), и пусть \(r\) — положительное действительное число. Определим \(K = \{ x \in X \mid \rho (x, x_{0}) \leq r\}\). Предположим, что отображение \(T: K \rightarrow X\) является липшицевым с константой Липшица \(c\). Предположим также, что \(c r+\rho (T(x_{0}), x_{0}) \leq r\). Докажите, что \(T(K) \subseteq K\) и что \(T: K \rightarrow X\) имеет неподвижную точку.
Компактность в пространстве непрерывных функций на компакте: теорема Арцела-Асколи
Пусть \(C[0,1]\) — пространство непрерывных действительных функций на отрезке \([0,1]\) с нормой
\[
\| f\| _\infty =\max _{x\in [0,1]}|f(x)|.
\]
Напомним определения.
Равномерная ограниченность. Семейство функций \(\mathcal F\subset C[0,1]\) называется равномерно ограниченным, если существует \(M<\infty\) такое, что для всех \(f\in \mathcal F\) и всех \(x\in [0,1]\) выполняется \(|f(x)|\le M\).
Равностепенная непрерывность. Семейство \(\mathcal F\) называется равностепенно непрерывным, если
\[
\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall f\in \mathcal F\ \forall x,y\in [0,1]:\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon .
\]
Теорема 6 (Арцела–Асколи в \(C[0,1]\)) Для семейства \(\mathcal{F} \subset C[0,1]\) следующие условия эквивалентны:
\(\mathcal{F}\) относительно компактно в \(C[0,1]\), т.е. его замыкание компактно (или, эквивалентно, \(\mathcal{F}\) вполне ограничено).
\(\mathcal{F}\) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на \([0,1]\).
Следствия и замечания
Из теоремы следует: если последовательность функций \((f_n)\) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на \([0,1]\).
Формулировка и доказательство переносятся на пространство непрерывных функций с метрической топологией компактного метрического пространства вместо \([0,1]\).
Пусть \(X = \ell^2\), \(M \subset \ell^2\) – подпространство. Докажите, что \[
M \text{ компактно} \iff \begin{cases} M \text{ замкнуто} \\ M \text{ ограниченно} \\ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n \quad \forall x \in M \quad \sum _{k = n}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{2} < \varepsilon \end{cases}
\]
[@VKK, Задача 3.11]