Обобщенные функции

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Пробные функции

Пусть \(T: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}\) — непрерывная функция. Носителем функции \(T\) называется замыкание множества \(\{ x \mid T(x) \neq 0\}\). Носитель обозначается как \(\operatorname {supp} T\). Функция \(T\) называется функцией с ограниченным носителем, если её носитель \(\operatorname {supp} T\) — ограниченное множество, т.е. существует \(C>0\) такое, что \(T(x)=0\) для всех \(x\), для которых \(|x|>C\).

Пространство пробных функций \(\mathcal{D}(\mathbb {R})\) (в общем случае \(\mathcal{D}(\mathbb {R})\)) — это множество всех бесконечно дифференцируемых функций из \(\mathbb {R}\) в \(\mathbb {C}\) с компактным носителем.

Последовательность \(\{ f_n\} \subset \mathcal{D}(\mathbb {R})\) называется сходящейся к функции \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\), если

1. найдется компакт, в котором содержатся носители всех \(f_n\). Иначе говоря, \(\exists R>0 \ \forall n \ge 1: \operatorname {supp} f_n \subset [-R, R]\),

2. \(f_n\) и любая их производная сходятся равномерно к соотв. производной \(f\). А именно, \(\forall k \ge 0: f_n^{(k)}(x) \rightrightarrows f^{(k)}(x)\) на \(\mathbb {R}\) при \(n \to \infty\).

Обозначение: \(f_n \xrightarrow {\mathcal{D}(\mathbb {R})} f\).

Следующий пример пробной функции в \(\mathbb {R}^{n}\) известен как \(\varepsilon\)-<<шапочка>>:

\[ \omega _{\varepsilon }(x)= \begin{cases} C_{\varepsilon } \exp \left(- \frac{1}{1 - \left\| x\right\| ^2/\varepsilon ^2}\right), & \text{если } \left\| x\right\| < \varepsilon , \\ 0, & \text{если } \left\| x\right\| \ge \varepsilon , \end{cases} \]

где \(\varepsilon >0\), а константа \(C_{\varepsilon }\) выбирается так, что \(\int_{\mathbb {R}^{n}} \omega_{\varepsilon }(x)\, dx = 1\).

Для каждого \(1 \le p < +\infty\) множество \(\mathcal{D}(\mathbb {R})\) плотно в \(L^p(\mathbb {R})\).

2 Пространство обобщенных функций (распределений)

Обозначим через \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\) множество всех непрерывных линейных функционалов на пространстве пробных функций \(\mathcal{D}(\mathbb {R})\). Функционал \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\) называется обобщённой функцией или распределением. Значение функционала \(T\) на пробной функции \(f\) обозначается \(T(f)\) или \(\langle T, f\rangle\). Чтобы указать аргумент пробной функции, иногда вместо \(T\) и \(\langle T, f\rangle\) пишут \(T(x)\) и \(\langle T(x), f(x)\rangle\).

Последовательность \(\{ f_n : n \ge 1\} \subset \mathcal{D}'(\mathbb {R})\) называется сходящейся к \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\), если \(f_n(f) \to T(f)\) при \(n \to \infty\) для каждой \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\). В частности, ряд обобщённых функций \(u_1 + u_2 + \ldots + u_n + \ldots\) называется сходящимся в \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\) к обобщённой функции \(T\), если для каждой \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\) ряд \(\sum_{n=1}^{\infty } \langle u_n, f \rangle\) сходится к числу \(\langle T, f \rangle\).

Пространство \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\) полно, т.е. любая последовательность \(\{ f_n : n \ge 1\} \subset \mathcal{D}'(\mathbb {R})\), для которой существует предел \(\lim_{n \to \infty } \langle f_n, f\rangle\) для всех \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\), сходится в \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\) к некоторому \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\).

Говорят, что обобщённая функция \(T\) равна нулю на открытом множестве \(G \subset \mathbb {R}\), если \(T(f)=0\) для всех \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\), для которых \(\operatorname {supp} f \subset G\). Носителем обобщённой функции \(T\) называется множество всех точек, в любой окрестности которых \(T\) не равна нулю. Носитель обозначается \(\operatorname {supp} T\); это замкнутое подмножество \(\mathbb {R}\).

2.1 Регулярные распределения

Измеримая по Лебегу функция \(T: \mathbb {R} \to \mathbb {C}\) называется локально интегрируемой, если \(T \in L^1([a,b])\) для всех \(a<b\). Множество таких функций обозначается \(L^1_{\text{loc}}(\mathbb {R})\).

Регулярная обобщённая функция из \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\) — это функционал вида

\[ \langle T, f\rangle = \int _{\mathbb {R}} T(x)f(x)\, dx, \]

где \(T \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb {R})\). Верно следующее утверждение.

Лемма 14.1 (Дю Буа-Реймона). Пусть \(G\) — открытое множество в \(\mathbb {R}\), а функция \(T: G \to \mathbb {C}\) локально интегрируема на \(G\). Если для любой \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\) с носителем в \(G\) выполнено

\[ \int _{\mathbb {R}} T(x)f(x)\, dx = 0, \]

то \(T(x)=0\) почти всюду в \(G\).

Из этой леммы следует, что между пространством \(L^1_{\text{loc}}(\mathbb {R})\) и пространством регулярных обобщённых функций существует взаимно-однозначное соответствие. Таким образом, функцию \(T \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb {R})\) можно отождествлять с соответствующей регулярной обобщённой функцией. Например:

\[ \langle 1, f\rangle = \int _{\mathbb {R}} 1 \cdot f(x)\, dx = \int _{\mathbb {R}} f(x)\, dx, \quad f \in \mathcal{D}(\mathbb {R}). \]

Если \(T \in C(\mathbb {R})\), то \(\operatorname {supp} T\) как носитель обобщённой функции совпадает с носителем \(\operatorname {supp} T\) как классической функции.

2.2 Сингулярные распределения

Каждая обобщённая функция, не являющаяся регулярной, называется сингулярной. Например, дельта-функция Дирака \(\delta\), определяемая как \(\langle \delta , f\rangle = f(0)\), \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\), является сингулярной. Сдвинутая дельта-функция \(\delta_a\), \(a \in \mathbb {R}\), определяется как \(\langle \delta_a, f \rangle = f(a)\), и также является сингулярной. В частности, \(\delta_0 = \delta\).

ExampleПример 1

Докажите, что ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty } a_n \delta_n\) сходится в пространстве \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\) для любых \(a_n \in \mathbb {C}\).

SolutionРешение

Для каждого \(N \in \mathbb {N}\) частичная сумма \(S_N = \sum_{n = 1}^{N} a_n \delta_n\) принадлежит пространству \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\), так как является линейной комбинацией сдвинутых дельта-функций. Пусть \(\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\). Существует \(m \in \mathbb {N}\) такое, что \(\varphi (x) = 0\) при \(|x| > m\). Тогда для всех \(N \ge m\) имеем

\[ \left\langle S_N, \varphi \right\rangle = \sum _{n = 1}^{N} a_n \varphi (n) = \sum _{n = 1}^{m} a_n \varphi (n) \rightarrow \sum _{n = 1}^{m} a_n \varphi (n) \in \mathbb {C}, \quad N \to \infty . \]

В силу полноты пространства \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\) существует \(S \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\), такое что \(S_N \xrightarrow {\mathcal{D}’(\mathbb {R})} S\), поэтому ряд сходится к \(S\) в \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\).

ExampleПример 2

Докажите, что функционал \(\mathcal{P} \frac{1}{x}\), определённый формулой \[ \left(\mathcal{P} \frac{1}{x}\right)(\varphi ) = \text{v.p.} \int _{\mathbb {R}} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx := \lim _{\varepsilon \to 0+} \int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon , \varepsilon )} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx, \quad \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R}), \] является сингулярной обобщённой функцией.

SolutionРешение

Сначала покажем, что предел существует. Для \(0 < \varepsilon < 1\) и \(\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\) имеем

\[ \int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon , \varepsilon )} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx = \int _{\mathbb {R} \setminus (-1,1)} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx + \int _{[-1,1] \setminus (-\varepsilon , \varepsilon )} \frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x} \, dx. \]

Существует предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x} = \varphi '(0)\), поэтому интеграл \(\int_{-1}^{1} \frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x} \, dx\) существует как интеграл Римана. Следовательно,

\[ \lim _{\varepsilon \to 0+} \int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon , \varepsilon )} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx = \int _{\mathbb {R} \setminus (-1,1)} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx + \int _{-1}^{1} \frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x} \, dx, \]

то есть функционал \(\mathcal{P} \frac{1}{x}\) корректно определён. Линейность \(\mathcal{P} \frac{1}{x}\) очевидна из его представления. Докажем его непрерывность, оценив \(\left|\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle \right|\) при \(\operatorname {supp} \varphi \subset [-a, a]\), где \(a > 1\). Имеем

\[ \left|\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle \right| \le \int _{[-a,a] \setminus (-1,1)} |\varphi (x)| \, dx + \int _{-1}^{1} \frac{|\varphi (x) - \varphi (0)|}{|x|} \, dx. \]

Далее, для \(x \ne 0\) по теореме Лагранжа

\[ \left|\frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x}\right| = |\varphi '(\theta _x)| \le \max _{x \in \mathbb {R}} |\varphi '(x)|, \]

где \(\theta_x\) — промежуточная точка между \(0\) и \(x\). Тогда

\[ \left|\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle \right| \le 2a \cdot \max _{x \in \mathbb {R}} |\varphi (x)| + 2 \max _{x \in \mathbb {R}} |\varphi '(x)|. \]

Достаточно доказать непрерывность функционала в нуле. Пусть \(\varphi_n \xrightarrow {\mathcal{D}(\mathbb {R})} 0\), \(n \to \infty\). Тогда существует \(a > 1\) такое, что \(\operatorname {supp} \varphi_n \subset [-a,a]\) для всех \(n \ge 1\). Так как \(\varphi_n \rightrightarrows 0\) и \(\varphi_n' \rightrightarrows 0\) на \(\mathbb {R}\) при \(n \to \infty\), то

\[ \left|\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x}, \varphi _n \right\rangle \right| \le 2a \cdot \max _{x \in \mathbb {R}} |\varphi _n(x)| + 2 \max _{x \in \mathbb {R}} |\varphi _n'(x)| \to 0, \quad n \to \infty . \]

Следовательно,

\[ \left|\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x}, \varphi _n \right\rangle \right| \to 0 = \left|\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x}, 0 \right\rangle \right|, \quad n \to \infty . \]

Это означает, что \(\mathcal{P} \frac{1}{x}\) — непрерывный линейный функционал, то есть \(\mathcal{P} \frac{1}{x} \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\).

Предположим, что \(\mathcal{P} \frac{1}{x}\) является регулярным распределением, то есть \(\exists f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb {R})\), что для всех \(\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\)

\[ \left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle = \lim _{\varepsilon \to 0+} \int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon , \varepsilon )} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx = \int _{\mathbb {R}} f(x) \varphi (x) \, dx. \]

Если \(\operatorname {supp} \varphi \subset \mathbb {R} \setminus \{ 0\}\), то \(\int_{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon , \varepsilon )} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx = \int_{\mathbb {R}} \frac{\varphi (x)}{x} \, dx\) для всех достаточно малых \(\varepsilon > 0\). Тогда \(\int_{\mathbb {R}} \left(\frac{1}{x} - f(x)\right)\varphi (x) \, dx = 0\), и по лемме Дю Буа–Реймона получаем \(f(x) = \frac{1}{x}\) почти всюду на \(\mathbb {R} \setminus \{ 0\}\). Но \(f \notin L^1_{\text{loc}}(\mathbb {R})\) — противоречие. Следовательно, \(\mathcal{P} \frac{1}{x}\) является сингулярным распределением.

ExampleПример 3

Пусть для \(n \in \mathbb {N}\) функция \(\mathcal{P} \frac{\cos nx}{x}\) определяется формулой \[ \left\langle \mathcal{P} \frac{\cos nx}{x}, \varphi \right\rangle = \text{v.p.} \int _{\mathbb {R}} \frac{\cos nx}{x} \varphi (x) \, dx := \lim _{\varepsilon \to 0+} \int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon , \varepsilon )} \frac{\cos nx}{x} \varphi (x) \, dx, \quad \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R}). \] Докажите, что \(\mathcal{P} \frac{\cos nx}{x} \xrightarrow {\mathcal{D}’(\mathbb {R})} 0\) при \(n \to \infty\).

SolutionРешение

Аналогично решению предыдущего примера имеем

\[ \left\langle \mathcal{P} \frac{\cos nx}{x}, \varphi \right\rangle = \int _{\mathbb {R} \setminus (-1,1)} \frac{\cos nx}{x} \varphi (x) \, dx + \int _{-1}^{1} \frac{\cos nx}{x} (\varphi (x) - \varphi (0)) \, dx. \]

Пусть \(\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\) и \(\varphi (x) = 0\) при \(|x| > a\), где \(a > 1\). Тогда

\[ \left\langle \mathcal{P} \frac{\cos nx}{x}, \varphi \right\rangle = \int _{-a}^{-1} \cos nx \, \frac{\varphi (x)}{x} \, dx + \int _{-1}^{1} \cos nx \, \frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x} \, dx + \int _{1}^{a} \cos nx \, \frac{\varphi (x)}{x} \, dx. \]

Определим функцию \(\frac{\varphi (x) - \varphi (0)}{x}\) непрерывно в точке \(x=0\), положив её равной \(\varphi '(0)\). Тогда каждый из подынтегральных членов представляет собой произведение \(\cos nx\) и некоторой непрерывной функции. По лемме Римана каждый из трёх интегралов стремится к нулю при \(n \to \infty\). Следовательно, \(\left\langle \mathcal{P} \frac{\cos nx}{x}, \varphi \right\rangle \to 0 = \langle 0, \varphi \rangle\), \(n \to \infty\). Таким образом, \(\mathcal{P} \frac{\cos nx}{x} \xrightarrow {\mathcal{D}’(\mathbb {R})} 0\), \(n \to \infty\).

ExampleПример 4

Найти предел в \(\mathcal{D}^{\prime }\) следующих последовательностей:

1. \(\frac{1}{\varepsilon } e^{-|x| / \varepsilon }\) при \(\varepsilon \rightarrow +0\);

2. \(\frac{1}{\pi } \frac{\sin n x}{x}\) при \(n \rightarrow +\infty\).

[@BSSH, Задача  16.21]

SolutionРешение

Enum-item1.

Разобьём интеграл:

\[ \begin{align} \left\langle \frac{1}{\varepsilon } e^{-|x|/\varepsilon }, \varphi \right\rangle & = \frac{1}{\varepsilon } \int _{-\infty }^{0} e^{x/\varepsilon } \varphi (x) dx + \frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{\infty } e^{-x/\varepsilon } \varphi (x) dx \\ & = \int _{-\infty }^{0} e^{y} \varphi (\varepsilon y) dy + \int _{0}^{\infty } e^{-y} \varphi (\varepsilon y) dy \to \varphi (0) \int _{-\infty }^{0} e^{y} dy + \varphi (0) \int _{0}^{\infty } e^{-y} dy \\ & = \varphi (0)(1 + 1) = 2\varphi (0). \end{align} \]

Предел равен \(2\delta (x)\).

Enum-item2.

Это ядро Дирихле. Для любой \(\varphi \in \mathcal{D}\):

\[ \left\langle \frac{1}{\pi } \frac{\sin nx}{x}, \varphi \right\rangle = \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin nx}{x} \varphi (x) dx = \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin y}{y} \varphi \left(\frac{y}{n}\right) dy \to \varphi (0) \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin y}{y} dy = \varphi (0). \]

Предел равен \(\delta (x)\).

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(2 \delta_{0}\);

Enum-item2.

\(\delta_{0}\).

ProblemЗадача 1

Найти предел в \(\mathcal{D}^{\prime }\) следующих последовательностей:

1. \(\frac{1}{\pi } \frac{\varepsilon }{x^{2}+\varepsilon^{2}}\) при \(\varepsilon \rightarrow +0\);

2. \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon }} e^{-x^{2} / \varepsilon }\) при \(\varepsilon \rightarrow +0\);

[@BSSH, Задача  16.21]

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: : семейство гауссиан g_eps(x) = eps^{-1/2} exp(-x^2/eps) для eps=1, 0.2, 0.03 (точки посчитаны в numpy, шаг 0.05 по x, детерминировано, seed не нужен). Иллюстрирует пример из текста: g_eps -> sqrt(pi) delta_0 в D’(R) при eps->0+. Интерактив: слайдер eps (непрерывный, включая очень малые значения), перерисовывающий кривую с автомасштабом по высоте, плюс переключатель между этим примером и другими “приближениями единицы” из этой же главы (ядро Пуассона, e^{-|x|/eps}/eps, ядро Дирихле) с общим выводом \(\to c\cdot\delta_0\).

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/FA/contents/specials/060/010_approx_identity_fig.tex

2.3 Умножение на гладкие функции

Произведение функции \(\alpha (x) \in C^{\infty }(\mathbb {R})\) и обобщённой функции \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\) определяется как обобщённая функция \(\alpha T\), заданная правилом \(\langle \alpha T, f \rangle = \langle T, \alpha f \rangle\), \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\).

2.4 Координатные преобразования

Пусть \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\), \(a, b \in \mathbb {R}\), \(a \ne 0\). Тогда обобщённая функция \(T(a x + b)\) определяется формулой

\[ \langle T(a x + b), f(x)\rangle = \frac{1}{|a|}\left\langle T(t), f\left(\frac{t - b}{a}\right)\right\rangle , \quad f \in \mathcal{D}(\mathbb {R}). \]

При \(a=1\) имеем \(\langle T(x+b), f(x)\rangle = \langle T(t), f(t - b)\rangle\), что соответствует сдвигу обобщённой функции \(T\) на \((-b)\). В частности,

\[ \langle \delta (x - x_0), f(x)\rangle = \langle \delta (t), f(t + x_0)\rangle = f(x_0) = \langle \delta _{x_0}, f\rangle , \]

следовательно, \(\delta (x - x_0) = \delta_{x_0}\) — сдвинутая дельта-функция.

Пусть \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R}^{m})\), \(A\) — невырожденная матрица размера \(m \times m\), \(b \in \mathbb {R}^{m}\). Тогда

\[ \langle T(Ay + b), f(y)\rangle = \left\langle T(x), \frac{f(A^{-1}(x - b))}{|\det A|} \right\rangle , \quad f \in \mathcal{D}(\mathbb {R}^{m}). \]

В частности, если \(A = aI\), \(a \ne 0\), то

\[ \langle T(a y + b), f(y)\rangle = \left\langle T(x), \frac{f\left(\frac{x - b}{a}\right)}{a^m} \right\rangle . \]

3 Производная обобщенной функции

Производной обобщённой функции \(T\) называется обобщённая функция \(T'\), определяемая формулой

\[ \langle T', f\rangle = -\langle T, f'\rangle , \quad f \in \mathcal{D}(\mathbb {R}). \]

Каждая обобщённая функция \(T\) имеет производную любого порядка \(m\):

\[ \langle T^{(m)}, f\rangle = (-1)^m \langle T, f^{(m)}\rangle . \]

Пусть \(T\) — локально интегрируемая функция на \(\mathbb {R}\), чья классическая производная кусочно непрерывна. Тогда регулярная обобщённая функция, порождённая этой производной, обозначается \(\{ T'(x)\}\) в отличие от обобщённой производной \((Df)(x)=T'(x)\). Если \(T\) имеет изолированные разрывы первого рода в точках \(\{ x_n : n \ge 1\}\), а классическая производная \(\{ T'\}\) кусочно непрерывна на \(\mathbb {R}\), то

\[ T'(x) = \{ T'(x)\} + \sum _{n=1}^{\infty } \bigl(T(x_n + 0) - T(x_n - 0)\bigr)\, \delta _{x_n}. \]

Операция дифференцирования непрерывна в \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\), то есть если \(f_n \xrightarrow {\mathcal{D}’(\mathbb {R})} T\), то \(f_n' \xrightarrow {\mathcal{D}’(\mathbb {R})} T'\), \(n \to \infty\).

Пусть \(\alpha = (\alpha_1, \ldots , \alpha_m)\) — мультииндекс, \(\alpha_k \ge 0\). Для \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R}^{m})\) производная \(D^{\alpha }T\) определяется как

\[ \langle D^{\alpha } T, f\rangle = (-1)^{|\alpha |} \langle T, D^{\alpha } f\rangle , \quad f \in \mathcal{D}(\mathbb {R}^{m}), \]

где \(|\alpha | = \alpha_1 + \ldots + \alpha_m\).

ExampleПример 5

Вычислить вторую производную следующих обобщённых функций:

1. \(|\sin x|\);

[@BSSH, Задача  16.35]

SolutionРешение

Enum-item1.

\(\left|\sin x\right|\) кусочно непрерывно дифференцируема. А именно, при \(x \neq \pi k\) имеем

\[ \{ \left|\sin (x)\right|\} ' = \begin{cases} \cos (x), & x \in (2n\pi , (2n + 1) \pi ) \text{ для некоторого } n \in \mathbb {N} \\ -\cos (x), & x \in ((2n + 1)\pi , (2n + 2) \pi ) \text{ для некоторого } n \in \mathbb {N} \\ \end{cases} \]

Тогда, по формуле выше,

\[ \left|\sin (x)\right|' = \{ \left|\sin (x)\right|\} ' + \sum _{k \in \mathbb {Z}} \underbrace{\left(\sin \left|\pi k + 0\right| - \sin (\pi k - 0)\right)}_{= 0} \delta _{\pi k}(x) = {\left|\sin (x)\right|}' \]

Далее, \(\left|\sin (x)\right|'={\left|\sin (x)\right|}'\) снова кусочно непрерывно дифференцируема: при \(x \neq \pi k\) имеем

\[ \{ \left|\sin (x)\right|'\} ' = \begin{cases} -\sin (x), & x \in (2n\pi , (2n + 1) \pi ) \text{ для некоторого } n \in \mathbb {N} \\ \sin (x), & x \in ((2n + 1)\pi , (2n + 2) \pi ) \text{ для некоторого } n \in \mathbb {N} \\ \end{cases} = -\left|\sin x\right| \]

Тогда по формуле

\[ \begin{align} |\sin x|'' & = \{ \left|\sin (x)\right|'\} ' + \sum _{k \in \mathbb {Z}} \underbrace{\left({\left|\sin (x + 0)\right|}' - {\left|\sin (x - 0)\right|}'\right)}_{= 2} \delta _{\pi k}(x) = \\ & = -|\sin x| + 2\sum _{k \in \mathbb {Z}} \delta _{\pi k}(x). \end{align} \]

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(-|\sin x|+2 \sum_{k = -\infty }^{\infty } \delta_{k \pi }(x)\);

ProblemЗадача 2

Вычислить вторую производную следующих обобщённых функций:

1. \(|x|\);

2. \(x_{+}^{\lambda }\) (\(-1 < \operatorname {Re}\lambda < 0\), \(\lambda \neq -1\), где \(x_+^\lambda := x^\lambda\) при \(x>0\) и \(0\) при \(x\leq 0\));

3. \(\ln x_{+}\) (аналогично, \(\ln x_+ = \ln x\) при \(x>0\), \(0\) при \(x \leq 0\));

4. \(\ln |x|\);

5. \(\ln (x+i0) := \lim_{y\to 0+}\ln (x+iy)\) (граничное значение сверху);

6. \(\mathcal{P}\dfrac 1x\).

[@BSSH, Задача  16.35]

3.1 Диффуры

Если обобщённая функция \(T\) удовлетворяет уравнению \(T' = 0\), то \(T = \text{const}\), то есть существует \(C \in \mathbb {C}\) такое, что

\[ \langle T, f\rangle = \langle C, f\rangle = C \int _{\mathbb {R}} f(x)\, dx, \quad \forall f \in \mathcal{D}(\mathbb {R}). \]

Пусть \(a_k \in C^{\infty }(\mathbb {R})\), \(0 \le k \le m\). Рассмотрим дифференциальный оператор

\[ L y = \sum _{k=0}^{m} a_k(x) y^{(k)}, \quad y \in \mathcal{D}'(\mathbb {R}). \]

Пусть \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\). Обобщённым решением уравнения \(L y = T\) называется обобщённая функция \(y \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\), удовлетворяющая этому уравнению в пространстве \(\mathcal{D}'(\mathbb {R})\), то есть

\[ \left\langle \sum _{k=0}^{m} a_k y^{(k)}, f \right\rangle = \left\langle y, \sum _{k=0}^{m} (-1)^k (a_k f)^{(k)} \right\rangle = \langle T, f \rangle , \quad \forall f \in \mathcal{D}(\mathbb {R}). \]

Любое решение можно представить как сумму частного решения и общего решения однородного уравнения \(L y = 0\).

Пусть \(T, g: \mathbb {R} \to \mathbb {C}\), \(T, g \in L^1(\mathbb {R})\). Функция

\[ h(x) = \int _{\mathbb {R}} T(t) g(x - t)\, dt, \quad x \in \mathbb {R}, \]

называется свёрткой функций \(T\) и \(g\) и обозначается \(T * g\). Тогда \(h \in L^1(\mathbb {R})\).

Пусть \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb {R})\), \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\). Их свёртка определяется как

\[ (T * f)(x) = \langle T(y), f(x - y)\rangle , \quad x \in \mathbb {R}. \]

В правой части обобщённая функция \(T(y)\) действует на пробную функцию \(\psi (y) = f(x - y)\), где \(x\) рассматривается как параметр. Если \(T \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb {R})\), то

\[ (T * f)(x) = \int _{\mathbb {R}} T(y) f(x - y)\, dy, \quad x \in \mathbb {R}. \]

3.2 Фундаментальное решение

Рассмотрим дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

\[ L = D^n + a_1 D^{n-1} + \ldots + a_{n-1} D + a_n I, \quad n \ge 1, \quad a_1, \ldots , a_n \in \mathbb {C}. \]

Обобщённая функция \(\mathcal{E}\) называется фундаментальным решением оператора \(L\), если \(L \mathcal{E} = \delta_0\). Пусть \(z\) — решение задачи Коши

\[ L z = 0, \quad z(0)=z'(0)=\ldots =z^{(n-2)}(0)=0, \quad z^{(n-1)}(0)=1. \]

Тогда фундаментальное решение оператора \(L\) — локально интегрируемая функция

\[ \mathcal{E}(x) = \theta (x) z(x), \quad x \in \mathbb {R}, \]

где \(\theta (x) = \chi_{[0, +\infty )}(x)\) — функция Хевисайда. Для \(f \in \mathcal{D}(\mathbb {R})\) линейное неоднородное дифференциальное уравнение \(L u = f\), \(u \in C^{\infty }(\mathbb {R})\), имеет частное решение \(u(x) = (\mathcal{E} * f)(x)\).

ExampleПример 6

Решить в \(\mathcal{D}^{\prime }\) дифференциальные уравнения:

1. \(F^{\prime }+F = \delta_{0}\);

2. \(F^{\prime \prime }+F = \delta_{0}\);

3. \(x F^{\prime } = 1\);

[@BSSH, Задача  16.44]

SolutionРешение

Enum-item1.

Уравнение \(F' + F = \delta_0\). Однородное уравнение \(F' + F = 0\) имеет решение \(Ce^{-x}\). Частное решение: \(H(x)e^{-x}\), где \(H(x)\) — функция Хевисайда. Проверим:

\[ (H(x)e^{-x})' + H(x)e^{-x} = \delta (x)e^{-x} - H(x)e^{-x} + H(x)e^{-x} = \delta (x). \]

Общее решение: \(F(x) = Ce^{-x} + H(x)e^{-x}\).

Enum-item2.

Уравнение \(F'' + F = \delta_0\). Однородное решение: \(C_1 \cos x + C_2 \sin x\). Частное решение: \(H(x)\sin x\). Проверим (используя \(\delta (x)g(x)=g(0)\delta (x)\) для непрерывной \(g\)):

\[ \begin{align} (H(x)\sin x)' & = \delta (x)\sin x + H(x)\cos x = \sin (0)\delta (x) + H(x)\cos x = H(x)\cos x, \\ (H(x)\sin x)'' & = \delta (x)\cos x - H(x)\sin x = \cos (0)\delta (x) - H(x)\sin x = \delta (x) - H(x)\sin x, \\ (H(x)\sin x)'' + H(x)\sin x & = \delta (x). \end{align} \]

Значит, \(H(x)\sin x\) – действительно частное решение. Общее решение:

\[ F(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + H(x)\sin x. \]

Enum-item3.

Уравнение \(xF' = 1\). В классическом смысле на \(\mathbb {R}\setminus \{ 0\}\) решение: \(F(x) = \ln |x| + C\); действительно, \(x \cdot (\ln |x|)' = x \cdot \mathcal P\frac1x = 1\) (без v.p.-эффектов, так как \(x\cdot \frac{\varphi (x)}{x}=\varphi (x)\) уже регулярно). Однородное уравнение \(xG'=0\) означает \(G' = c_1\delta_0\) (общее решение \(xf=0\) в \(\mathcal D'\) – это \(f=c\delta_0\)), откуда \(G = c_1\theta (x) + c_2\) (так как \(\theta '=\delta_0\), а два решения с одинаковой производной отличаются на константу). Итого, в \(\mathcal{D}'\):

\[ F(x) = \ln |x| + c_1\theta (x) + c_2. \]

(Слагаемое \(c_2\delta (x)\) сюда добавлять нельзя: \(x\left(\ln |x|+c_2\delta (x)\right)' = 1 + c_2\, x\delta '(x) = 1 - c_2\delta (x) \neq 1\) при \(c_2\neq 0\), так как \(x\delta '(x)=-\delta (x)\).)

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(e^{-x}(\theta (x)+C)\), где \(C\) — произвольное число;

Enum-item2.

\(\theta (x) \sin x+A \cos x+B \sin x\), где \(A\) и \(B\) — произвольные числа;

Enum-item3.

\(\ln |x|+c_{1} \theta (x)+c_{2}\), где \(c_{j} \in \mathbb {C}\);

ProblemЗадача 3

Решить в \(\mathcal{D}^{\prime }\) дифференциальные уравнения:

1. \(F^{(n)} = 0\);

[@BSSH, Задача  16.44]