Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Обратные операторы

Пусть \(V\) – линейное пространство. Оператор – это линейное отображение из \(V\) в себя. Если в \(V\) задана норма (т.е. \(V\) – это НП), то \(\mathcal{B}(V)\) обозначает пространство ограниченных операторов.

Оператор \(T\) на векторном пространстве \(V\) называется обратимым, если найдется такой (линейный) оператор \(T^{-1}\), что \(TT^{-1} = T^{-1}T = I\). Для существования \(T^{-1}\) необходима биективность. Но будет ли этого достаточно для того, чтобы \(T^{-1}\) также был линейным? Можно доказать, что этого достаточно (вообще говоря, это не очевидно! проверьте это самостоятельно). Поэтому эквивалентная формулировка обратимости: оператор \(T\) обратим \(\iff\) \(T\) биективен.

Далее, если \(V\) – это банахово пространство (т.е. полное нормированное пространство) и \(T\) – это ограниченный оператор, который к тому же обратим (т.е. биективен), то \(T^{-1}\) не просто будет линейным, но он будет и ограниченным тоже (т.е. \(T^{-1} \in \mathcal{B}(V)\)), по теореме об ограниченном обратном. Сам по себе этот факт тоже не очевиден, осознайте это! В частности, если \(V\) – это просто НП (неполное, т.е. не явл. банаховым), то \(T^{-1}\) не обязан быть ограниченным, даже если оператор \(T\) ограничен и биективен.

ExampleПример 1

Приведите пример таких НП \(V\), \(W\) и такого ограниченного отображения \(T: V\to W\), что у \(T\) есть обратное отображение \(T^{-1}\) (которое, соотв., линейно), не явл. ограниченным.

SolutionРешение

• \(V\), \(W\) не могут оба быть банаховыми, иначе по теореме об ограниченном обратном \(T^{-1}\) будет ограниченным. Пусть \(V = (\ell^1, \left\| \cdot \right\|_{1})\), \(W = (\ell^1, \left\| \cdot \right\|_{\infty })\). Это одинаковые ЛП, но разные НП.

  Пусть \(T := I\), т.е. тождественное отображение.

• Sidenote: \(V\) – это БП, поскольку мы берем \(\ell^1\) со стандартной нормой (это теорема Риса-Фишера). \(W\) банаховым не является. Действительно, пусть

  \[ f^{(n)} := \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots , \frac{1}{n}, 0,0,\ldots \right), \qquad n \in \mathbb {N} \]

  Последовательность \(f^{(n)}\) лежит в \(\ell^{1}\) и стягивается по супремум-норме. Однако она не имеет предела в \(\ell^1\): в \(\ell^{\infty } \supset \ell^{1}\) она сходится (по, соотв., супремум-норме) к \(f = (1,1/2,1/3,\ldots )\), но \(f \not\in \ell^{1}\).

• \(I: V \to W\) явл. ограниченным? Заметим, что \(\left\| f\right\|_{\infty } = \sup_{n \in \mathbb {N}}\left\{ \left|f_n\right|\right\} \leq \sum_{n=1}^{\infty }\left|f_n\right| = \left\| f\right\|_{1}\). Значит

  \[ \left\| I\right\| = \sup _{\left\| f\right\| _{1} = 1} \left\| f\right\| _{\infty } \leq \sup _{\left\| f\right\| _{1} = 1} \left\| f\right\| _{1} = 1 \]

  Итого, \(I: V \to W\) будет огр.: \(I \in \mathcal{B}(V,W)\).

• \(I: W \to V\) явл. ограниченным? Пусть

  \[ f^{(n)} = (\underbrace{1,1,1,\ldots ,1}_{n \text{ раз}},0,0,\ldots ) \]

  Заметим, что \(\left\| f^{(n)}\right\|_{\infty } = 1\) для всех \(n\), но \(\left\| f^{(n)}\right\|_{1} = n \to +\infty\). В итоге

  \[ \left\| I\right\| = \sup _{\left\| f\right\| _{\infty } = 1} \left\| f\right\| _{1} = +\infty \]

  \(I \not\in \mathcal{B}(W,V)\).

Лемма 1 (Норма композиции ограниченных отображений) Пусть \(U,V,W\) – это НП, \(T \in \mathcal{B}(U,V)\), \(S \in \mathcal{B}(V,W)\). Тогда \[ \left\| ST\right\| \leq \left\| S\right\| \cdot \left\| T\right\| \]

В отличие от линейных отображений из одного векторного пространства в другое векторное пространство, операторы в одном и том же векторном пространстве могут быть вставлены друг в друга и возведены в степени. А именно, если \(T\) – оператор на ВП \(V\), то

\[ T^{k} := T \circ T \circ \cdots \circ T, \quad k \in \mathbb {Z}_+ \]

В частности, \(T^{0} := I\) – тождественный оператор. Проверьте самостоятельно, что степени оператора удовлетворяют обычным арифметическим правилам: \(T^j T^k=T^{j+k}\) и \(\left(T^j\right)^k=T^{j k}\) для \(j, k \in \mathbb {N}\). Также, если \(V\) — НП и \(T \in \mathcal{B}(V)\), то

\[ \left\| T^{k}\right\| \leq \left\| T\right\| ^k \]

для каждого \(k \in \mathbb {N}\).

Напомним, что если \(z \in \mathbb {C}\) с \(|z|<1\), то формула для суммы геометрической прогрессии показывает, что

\[ \frac{1}{1-z}=\sum _{k=0}^{\infty } z^k \]

Следующий результат демонстрирует, что эта формула переносится на операторы в банаховых пространствах.

Лемма 2 (Ограниченные операторы на БП в открытом единичном шаре с центром в \(I\) обратимы) Пусть \(V\) – это БП. Пусть \(T\) — ограниченный оператор в \(V\) (\(T \in \mathcal{B}(V)\)) и \(\left\| T\right\| < 1\). Тогда \(I-T\) обратим и \[ (I-T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty } T^k \]

Предыдущий результат можно использовать, чтобы показать, что множество обратимых ограниченных операторов на банаховом пространстве является открытым.

Лемма 3 (обратимые ограниченные операторы на БП образуют открытое множество) Предположим, \(V\) — банахово пространство. Тогда \(\left\{ T \in \mathcal{B}(V) \; :\; T\text{ обратим}\right\}\) — открытое подмножество внутри \(\mathcal{B}(V)\).

Пусть \(V,W\) – это НП, пусть \(T\) — ограниченное отображение: \(T \in \mathcal{B}(V,W)\).

• \(T\) называется левообратимым, если существует \(S \in \mathcal{B}(W,V)\) такой, что \(ST = I\) (где \(I\) – тождественный оператор на \(V\)).

• \(T\) называется правообратимым, если существует \(S \in \mathcal{B}(W,V)\) такой, что \(TS=I\) (где \(I\) – это тождественный оператор на \(W\)).

Одна из замечательных теорем линейной алгебры утверждает, что левая обратимость, правая обратимость и обратимость эквивалентны друг другу для операторов (т.е. лин. отображений \(V\) в себя) на конечномерном НП. Следующий пример показывает, что этот результат не выполняется на бесконечномерных НП.

ExampleПример 2

Приведите пример, показывающий, что левая обратимость не эквивалентна правой обратимости.

SolutionРешение

Определим правый сдвиг \(T: \ell^2 \rightarrow \ell^2\) и левый сдвиг \(S: \ell^2 \rightarrow \ell^2\) следующим образом:

\[ T\left(a_1, a_2, a_3, \ldots \right)=\left(0, a_1, a_2, a_3, \ldots \right) \]

и

\[ S\left(a_1, a_2, a_3, \ldots \right)=\left(a_2, a_3, a_4, \ldots \right) . \]

Несложно проверить, что \(T,S\) линейные и ограниченные (сделайте это самостоятельно!).

Поскольку \(ST=I\), мы видим, что \(T\) является левообратимым, а \(S\) — правообратимым. Однако оператор \(T\) не является ни обратимым, ни правообратимым, поскольку он не сюръективен, а оператор \(S\) не является ни обратимым, ни левообратимым, поскольку он не инъективен.

На конечномерных НП левая обратимость эквивалентна инъективности. Следующий пример показывает, что на бесконечномерных НП это также неверно.

ExampleПример 3

Приведите пример инъективного, но не левообратимого ограниченного отображения.

SolutionРешение

Определим \(T: \ell^2 \rightarrow \ell^2\) следующим образом:

\[ T\left(a_1, a_2, a_3, \ldots \right)=\left(a_1, \frac{a_2}{2}, \frac{a_3}{3}, \ldots \right) . \]

Тогда \(T\) является инъективным ограниченным оператором на \(\ell^2\) (проверьте!).

Пусть \(S\) — оператор на \(\ell^2\) такой, что \(S T=I\). Для \(n \in \mathbb {N}\) пусть \(e_n \in \ell^2\) — вектор, в котором 1 находится в \(n^{\text{-м }}\)-слоте, а 0 — в остальных. Тогда

\[ S e_n=S\left(n T e_n\right)=n(S T)\left(e_n\right)=n e_n . \]

Приведенное выше уравнение подразумевает, что \(S\) неограничен. Таким образом, \(T\) не является обратимым слева, даже несмотря на то, что \(T\) инъективен.

Лемма 4 (Эквивалентные условия левообратимости) Пусть \(V\) – это БП, \(T \in \mathcal{B}(V)\). Следующие условия эквивалентны:

1. \(T\) левообратим;

2. \(T\) ограничен снизу: \(\inf \limits_{\left\| f\right\| = 1}\left\| Tf\right\| > 0\).

3. \(T\) инъективен и имеет замкнутый образ (\(\operatorname {Im}T\) – замкнутое подпространство);

4. Если \(V\) – это гильбертово пространство, то дополнительное эквив. условие: \(T^*\) – это правообратимый оператор.

5. Если \(V\) – это гильбертово пространство, то дополнительное эквив. условие: \(T^*T\) – обратимый оператор.

Возможно, вам знаком результат о том, что правосторонняя обратимость эквивалентна сюръективности в конечномерных пространствах. Следующий результат показывает, что эта эквивалентность также справедлива для бесконечномерных гильбертовых пространств.

Лемма 5 (Эквивалентные условия правообратимости) Пусть \(V\) – это БП, \(T \in \mathcal{B}(V)\). Следующие условия эквивалентны:

1. \(T\) правообратим;

2. \(T\) сюръективен;

3. Если \(V\) – это гильбертово пространство, то дополнительное эквив. условие: \(TT^{*}\) – обратимый оператор.

Лемма 6 (Эквивалентные условия обратимости оператора на БП) Пусть \(V\) – это БП, \(T \in \mathcal{B}(V)\). Следующие условия эквивалентны:

1. \(T\) обратим, т.е. существует такой ограниченный оператор \(T^{-1} \in \mathcal{B}(V)\), что \(TT^{-1} = T^{-1}T = I\);

2. \(T\) биективен, т.е. сюръективен и инъективен;

3. \(T\) правообратим и левообратим;

4. \(T\) ограничен снизу и \(\operatorname {Im}T\) – это всюду плотное (в \(V\)) множество.

5. Если \(V\) – это гильбертово пространство, то дополнительное эквив. условие: \(T^{*}\) – обратимый оператор.

2 Спектр

2.1 Определения

Пусть \(V\) – БП, \(T \in \mathcal{B}(V)\).

• Скаляр \(\lambda \in \mathbb {F}\) называется собственным значением, если уравнение \(Tf = \lambda f\) имеет какое-то ненулевое решение. Эквивалентно: \((T - \lambda I)f = 0\) имеет ненулевое решение. Эквивалентно: \(T - \lambda I\) не явл. инъективным. Обозначение всех собственных значений оператора: \(\sigma_{p}(T)\).

• Спектр оператора \(T\) состоит из таких скаляров \(\lambda \in \mathbb {F}\), что у оператора \(T - \lambda I\) не существует обратного. Обозначение: \(\sigma (T)\).

• Резольвента оператора \(T\) – это дополнение к спектру, т.е. это все такие \(\lambda\), что \(T - \lambda I\) обратим. Обозначение: \(\rho (T)\). Имеем \(\rho (T) = \mathbb {C} \setminus \sigma (T)\).

  Оператор \(R_{\lambda }(T) := (T - \lambda I)^{-1}\), \(\lambda \in \rho (T)\) называют резольвентным оператором.

Если оператор \(T-\lambda I\) не инъективен, то он не явл. обратимым. Таким образом, множество собственных значений ограниченного оператора \(T\) содержится в спектре \(T\): \(\sigma_{p}(T) \subseteq \sigma (T)\).

Латинская буква \(p\) в обозначении множества всех собственных значений \(\sigma_p(T)\) от англ. слова point (точка). Собственные значения еще называют точечным спектром.

Если \(V\) — конечномерное банахово пространство и \(T \in \mathcal{B}(V)\), то \(T-\lambda I\) не инъективен тогда и только тогда, когда \(T-\lambda I\) не обратим. Таким образом, если \(T\) — оператор на конечномерном банаховом пространстве, то спектр \(T\) равен множеству собственных значений \(T\): \(\sigma_p(T) = \sigma (T)\).

Однако на бесконечномерных банаховых пространствах спектр оператора не обязательно равен множеству собственных значений, как можно убедиться в следующих задачах.

ProblemЗадача 1

Пусть \(b = (b_{1}, b_{2}, \ldots )\) — ограниченная последовательность в \(\mathbb {F}\) (\(b \in \ell^{\infty }\), т.е. \(\exists M > 0\): \(\left|b_n\right| \leq M\) для всех \(n\)). Определим линейный оператор \(T_b: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}\) по формуле \[ T_b\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) = \left(a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \ldots \right) \]

1. Покажите, что \(T_b\) – это ограниченный оператор (\(T_b \in \mathcal{B}(\ell^2)\));

2. Покажите, что \(T_b\) инъективен тогда и только тогда, когда \(b_{k} \neq 0\) для всех \(k \in \mathbb {N}\).

3. Покажите, что образ \(T_b\) всюду плотен тогда и только тогда, когда \(b_{k} \neq 0\) для всех \(k \in \mathbb {N}\).

4. Покажите, что образ \(T_b\) замкнут тогда и только тогда, когда

\[ \inf \left\{ \left|b_{k}\right|: k \in \mathbb {N} \text{ и } b_{k} \neq 0\right\} > 0. \]

5. Покажите, что \(T_b\) обратим тогда и только тогда, когда

\[ \inf \left\{ \left|b_{k}\right|: k \in \mathbb {N}\right\} > 0. \]

6. Найти спектр \(\sigma (T_b)\) и точечный спектр \(\sigma_p(T_b)\). Убедитесь, что они могут не совпадать. В каком случае они совпадают?

ProblemЗадача 2

Рассмотрим снова левый сдвиг \(S: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}\), \(S\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right) = \left(a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots \right)\). Пусть \(\lambda \in \mathbb {F}\).

1. Доказать, что \(S-\lambda I\) инъективен тогда и только тогда, когда \(\left|\lambda \right| \geq 1\).

2. Доказать, что \(S-\lambda I\) обратим тогда и только тогда, когда \(\left|\lambda \right| > 1\).

3. Доказать, что \(S-\lambda I\) сюръективен тогда и только тогда, когда \(\left|\lambda \right| \neq 1\).

4. Доказать, что \(S-\lambda I\) имеет левый обратный оператор тогда и только тогда, когда \(\left|\lambda \right| > 1\).

5. Найти спектр \(\sigma (S)\) и точечный спектр \(\sigma_p(S)\). Убедитесь, что они не совпадают.

Спектр левого сдвига \(S(a_1,a_2,\ldots)=(a_2,a_3,\ldots)\) на \(\ell^2\)

Кликните на диск, чтобы проверить, к какой части спектра относится точка \(\lambda\).

2.2 Базовые свойства

Если \(\lambda \in \sigma_p(T)\) — собственное значение оператора \(T \in \mathcal{B}(V)\), а \(f\) — собственный вектор \(T\), соответствующий \(\lambda\), то

\[ \left\| T f\right\| =\left\| \lambda f\right\| =|\lambda |\left\| f\right\| , \]

что подразумевает, что \(|\lambda | \leq \left\| T\right\|\). Следующий результат утверждает, что то же неравенство справедливо для элементов \(\sigma (T)\).

Лемма 7 (\(T-\lambda I\) обратим для больших \(|\lambda |\)) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на банаховом пространстве. Тогда

1. \(T - \lambda I\) обратим для всех \(\lambda\) с \(\left|\lambda \right| > \left\| T\right\|\). Иначе говоря, спектр оператора лежит в (замкнутом) шаре вокруг нуля радиуса нормы оператора:

\[ \sigma (T) \subseteq \overline{B}_{\left\| T\right\| }(0) = \left\{ \lambda \in \mathbb {F} \; : \; \left|\lambda \right| \leq \left\| T\right\| \right\} \]

2. Норма резольвентного оператора \(R_{\lambda }(T) = T -\lambda I\) уходит в ноль при \(\lambda\), уходящем на \(\infty\):

\[ \left\| R_{\lambda }(T)\right\| \xrightarrow [\left|\lambda \right| \to \infty ]{} 0 \]

Вообще, радиус самого маленького замкнутого шара вокруг нуля, покрывающего спектр, называется спектральным радиусом оператора \(T\):

\[ r_{\sigma }(T) := \sup _{\lambda \in \sigma (T)} \left|T\right| \]

Как следует из предыдущей леммы, \(r_{\sigma }(T) \leq \left\| T\right\|\). Однако спектральный радиус можно найти точно без нахождения самого спектра.

Лемма 8 (Формула для спектрального радиуса) Пусть \(V\) – БП, пусть \(T \in \mathcal{B}(V)\). Тогда \[ r_{\sigma }(T) = \lim _{n \to \infty } \sqrt[n]{\left\| T^n\right\| } \]

Множество собственных значений ограниченного оператора на БП может быть любым ограниченным подмножеством \(\mathbb {F}\), даже неизмеримым множеством! В отличие от этого, следующий результат показывает, что спектр ограниченного оператора является замкнутым подмножеством \(\mathbb {F}\). В этом смысле спектр удобнее точечного спектра, т.е. множества собственных значений.

Лемма 9 (Спектр замкнут) Спектр ограниченного оператора на банаховом пространстве является замкнутым подмножеством \(\mathbb {F}\).

Далее, полезные формулы для резольвентного оператора.

Лемма 10 Пусть \(V\) – БП, пусть \(T \in \mathcal{B}(V)\). Пусть \(R_{\lambda } = R_{\lambda }(T) = (T - \lambda I)^{-1}\) – резольвентный оператор для огр. оператора \(T\).

1. Выполнено уравнение резольвенты:

\[ R_{\lambda _1} - R_{\lambda _2} = (\lambda _1 - \lambda _2)R_{\lambda _1}R_{\lambda _2}, \qquad \lambda _1,\lambda _2 \in \rho (T) \]

2. \(R_{\lambda }\) коммутирует с любым огр. оператором, с которым коммутирует \(T\);

3. Резольвентные операторы при разных \(\lambda\) коммутируют:

\[ R_{\lambda _1} R_{\lambda _2} = R_{\lambda _2} R_{\lambda _2}, \qquad \lambda _1,\lambda _2 \in \rho (T) \]

2.3 Классификация спектра

Пусть \(\lambda \in \sigma (T)\), т.е. \(T -\lambda I\) не обратим. Возможно 3 случая:

• \(T - \lambda I\) не инъективен. В этом случае \(\lambda\) – собственное значение \(T\). Как уже выше говорилось, множество всех собственных значений \(T\) называется точечным спектром и обозначается \(\sigma_p(T)\).

• \(T - \lambda I\) инъективен. При этом \(T - \lambda I\) все таки не явл. обратимым, т.е. (по лемме Лемма 6) \(T - \lambda I\) не должен быть сюръективным: \(\operatorname {Im}(T - \lambda I) \neq V\). Рассмотрим \(\operatorname {Im}(T - \lambda I)\) более подробно. Имеем 2 случая.

  • \(\operatorname {Im}(T - \lambda I)\) – вс. плотное в \(V\) множество. Другими словами, существует некоторый элемент \(v\) в \(V\) такой, что \((T - \lambda I)(u)\) может быть настолько близко к \(v\), насколько это необходимо, при этом \(u\) принадлежит \(V\); но никогда не равен \(v\). По лемме Лемма 6 это эквивалентно тому, что \(T - \lambda I\) не ограничен снизу (т.е. он сближает элементы \(V\), находящиеся на значительном расстоянии друг от друга). Эквивалентно, обратный линейный оператор \((T - \lambda I)^{-1}\), который можно попытаться определить на всюду плотном множестве \(\operatorname {Im}(T - \lambda I)\), не является ограниченным оператором и, следовательно, не может быть продлен на все \(V\). Тогда говорят, что \(\lambda\) находится в непрерывном спектре \(\sigma_c(T)\) оператора T.

  • \(\operatorname {Im}(T - \lambda I)\) не явл. всюду плотным в \(V\). Такие \(\lambda\) называют точками остаточного спектра. Обозначение: \(\sigma_{r}(T)\).

Итого, спектр распадается на точечный, непрерывный и остаточный спектры:

\[ \sigma (T) = \sigma _{p}(T) \sqcup \sigma _c(T) \sqcup \sigma _r(T) \]

: Оператор \(T - \lambda I\): куда попадает \(\lambda\) в зависимости от его свойств.

2.4 Спектр VS многочлены

Пусть \(T\) — оператор на векторном пространстве \(V\), а \(p\) — многочлен с коэффициентами из \(\mathbb {F}\):

\[ p(z)=b_0+b_1 z+\cdots +b_n z^n . \]

Тогда \(p(T)\) — оператор на \(V\), определяемый как:

\[ p(T)=b_0 I+b_1 T+\cdots +b_n T^n . \]

Проверьте, что если \(p\) и \(q\) — многочлены с коэффициентами из \(\mathbb {F}\) и \(T\) — оператор, то:

\[ (p q)(T)=p(T) q(T) \]

Следующий результат предоставляет удобный способ вычисления спектра многочлена, примененного к оператору. Например, этот результат подразумевает, что если \(T\) — ограниченный оператор на комплексном банаховом пространстве, то спектр \(T^2\) состоит из квадратов всех чисел в спектре \(T\).

Как и в случае с предыдущим результатом, следующий результат не применим к вещественным банаховым пространствам. В доказательстве используется факторизация многочлена с комплексными коэффициентами как произведение многочленов степени \(1\), что не обязательно возможно при ограничении полем вещественных чисел.

Теорема 1 (Теорема о спектральном отображении) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на комплексном банаховом пространстве, а \(p\) — многочлен с комплексными коэффициентами. Тогда \[ \sigma (p(T))=p(\sigma (T)) . \]

ProblemЗадача 3

Пусть \(V\) — банахово пространство, \(T \in \mathcal{B}(V)\).

1. Пусть \(\mathbb {F} = \mathbb {C}\), т.е. \(V\) – комплексное БП. Доказать, что \(\sigma \left(T^{n}\right) = \left(\sigma (T)\right)^n\), где \(\left(\sigma (T)\right)^n = \left\{ \lambda^{n} \mid \lambda \in \sigma (T)\right\}\).

2. Пусть \(\mathbb {F} = \mathbb {R}\). Покажите, что в этом случае \(\sigma \left(T^{n}\right) \supset \left(\sigma (T)\right)^n\), однако может быть так, что \(\sigma \left(T^{n}\right) \neq \left(\sigma (T)\right)^n\)

[@VKK, Задача  7.1]

ProblemЗадача 4

Рассмотрим оператор \(A: C[0,1] \rightarrow C[0,1]\) \[ (A f)(t) = \int _{0}^{t} f(s) d s + f(t) \] Доказать, что \(A\) имеет ограниченный обратный на всём \(C[0,1]\) и найти \(A^{-1}\).

[@VKK, Задача  7.6]

ProblemЗадача 5

Какие множества на комплексной плоскости могут являться спектром некоторого ограниченного оператора в \(\ell^{2}\)?

[@VKK, Задача  7.13]

3 Компактные операторы

Напомним, что в бесконечномерных БП замкнутые шары не являются компактами, несмотря на то, что они ограничены и замкнуты. Компактный оператор – это оператор, который отображает замкнутые шары в относительно компактные множества (т.е. множества, замыкание которых компактно). Компактные операторы по своему поведению максимально приближены к поведению матриц или операторов над конечномерным НП (которое, как мы доказывали в прошлом семестре, обязательно будет банаховым). Мы разберемся в нюансах определения чуть позже, а пока вспомним удобные спектральные свойства матриц и конечномерных операторов.

3.1 Свойства спектра: альтернатива Фредгольма

3.1.1 Спектр матрицы

Напомним результаты из теории матриц. Во-первых, множество собственных значений для матрицы совпадает с теми скалярами \(\lambda\), для которых \(A- \lambda E\) вырождена (необратима). Иначе говоря, спектр и множество собственных значений – это одно и то же.

Далее, разложение Жордана. Произвольную матрицу порядка \(n\) над полем \(\mathbb {C}\) можно привести, путем замены базиса, к “почти” диагональному, а точнее к блочно-диагональному виду, когда на диагонали стоят жордановы клетки. Жорданова клетка – это квадратная подматрица, у которой главная диагональ заполнена одинаковыми числами, следующая диагональ заполнена единицами, а все прочие элементы нулевые. Такой вид матрицы называется жордановой нормальной формой (ЖНФ). Пример:

\[ A =\operatorname {diag}\bigg(J_{2}(-2i), J_3(-2i),J_1(3),J_1(3),J_4(3),J_1(-7)\bigg) = \begin{pmatrix} -2i & 1 & & & & & & & & & & \\ 0 & -2i & & & & & & 0 & & & & \\ & & -2i & 1 & 0 & & & & & & & \\ & & 0 & -2i & 1 & & & & & & & \\ & & 0 & 0 & -2i & & & & & & & \\ & & & & & 3 & & & & & & \\ & 0 & & & & & 3 & & & & & \\ & & & & & & & 3 & 1 & 0 & 0 & \\ & & & & & & & 0 & 3 & 1 & 0 & \\ & & & & & & & 0 & 0 & 3 & 1 & \\ & & & & & & & 0 & 0 & 0 & 3 & \\ & & & & & & & & & & & -7 \\ \end{pmatrix} \]

Преимущество разложения Жордана в том, что оно может быть получено для любой матрицы, в отличие от диагонализации. Причем из вида ЖНФ можно извлечь много информации про матрицу. К примеру, ЖНФ верхнетреугольна, а значит собственные значения матрицы – это числа на диагонали, причем их количество равно алг. кратности. Для матрицы \(A\) выше собственные значения: \(-2i, 3, -7\). Алг. кратности:

\[ \operatorname {AlgMult}_{A}(-2i) = 5, \quad \operatorname {AlgMult}_{A}(3) = 6, \quad \operatorname {AlgMult}_{A}(-7) = 1 \]

Причем обратите внимание (проверьте сами!), что если для собственного значения \(\lambda\) начать возводить матрицу \((A - \lambda E)\) в степень, то в какой-то момент ядро стабилизируется (напомним, уменьшаться оно не может). Иначе говоря, найдется такое натуральное число \(m \leq n\), что

\[ \begin{align} \operatorname {Ker}(A - \lambda E)^{m-1} \subsetneq \operatorname {Ker}(A - \lambda E)^{m} & = \operatorname {Ker}(A - \lambda E)^{m+1} = \operatorname {Ker}(A - \lambda E)^{m+2} = \ldots = \\ & = \operatorname {Ker}(A - \lambda E)^{n} = \operatorname {Ker}(A - \lambda E)^{n+1} = \ldots \end{align} \]

(подумайте, почему стабилизация происходит до \(n\)). Это число называется индексом собственного значения \(\lambda\), обозначается \(\operatorname {ind}_{A}(\lambda )\) и равно максимальному размеру жордановой клетки \(\lambda\) (проверьте!). В нашем конкретном примере:

\[ \operatorname {ind}_{A}(-2i) = 3, \quad \operatorname {ind}_{A}(3) = 4, \quad \operatorname {ind}_{A}(-7) = 1 \]

\(\operatorname {Ker}(A - \lambda E)^n\) называется обобщенным собственным подпространством. Можно заметить (проверьте сами!), что алг. кратность получается как раз равна размерности обобщенного собственного подпространства:

\[ \operatorname {AlgMult}_{A}(\lambda )= \operatorname {dim}\operatorname {Ker}(A - \lambda E)^{\operatorname {Ind}_A(\lambda )} = \operatorname {dim}\operatorname {Ker}(A - \lambda E)^n \]

Эту формулу редко приводят в рамках курса линейной алгебры, хотя она, на наш взгляд, очень полезна, т.к. позволяет абстрактно (т.е. без перехода к базису, без составления хар. многочлена) определить алг. кратность для конечномерного оператора, подобно геометрической кратности.

Далее, геом. кратность, т.е. размерность собственного подпространства \(\operatorname {Ker}(A - \lambda E)\), равна количеству жордановых клеток (проверьте!):

\[ \operatorname {GeomMult}_A(-2i) = 2, \quad \operatorname {GeomMult}_{A}(3) = 3, \quad \operatorname {GeomMult}_{A}(-7) = 1 \]

Далее, все пространство \(\mathbb {C}^{n}\) распадается в прямую сумму обобщенных собственных подпространств:

\[ \mathbb {C}^{n} = \bigoplus _{\lambda \in \sigma (A)} \operatorname {Ker}(A - \lambda E)^n \]

Сформулируем абстрактно (т.е. без перехода к базису, без составления матриц) факты, подсказанные предыдущими рассуждениями ¹.

Теорема 2 Пусть \(V\) – это конечномерное НП (над \(\mathbb {R}\) или над \(\mathbb {C}\)), пусть \(T \in \mathcal{B}(V) = \mathcal{L}(\nu )\) (любое линейное отображение \(V \mapsto V\) будет ограниченным, поскольку \(V\) конечномерно). Тогда

• \(\sigma_{p}(T) = \sigma (T)\) (спектр полностью состоит из собственных значений);

• У любого \(\lambda \in \mathbb {F}\) конечный индекс и конечная алг. кратность: найдется такое число \(m = \operatorname {Ind}_{T}(\lambda ) \in \mathbb {N}\), что

  \[ \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m-1} \subsetneq \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m} = \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m+1} = \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m+2} = \ldots \]

  Подпространство \(\operatorname {Ker}(T - \lambda I)^m\), соотв., называется обобщенным собственным подпространством для \(\lambda\). Его размерность конечная:

  \[ \operatorname {AlgMult}_{T}(\lambda ) = \operatorname {dim}\operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{\operatorname {Ind}_{T}(\lambda )} < \infty \]

3.1.2 Спектр компактного оператора

Как мы видели в разделе про операторы в БП, в бесконечномерных пространствах спектр ведет себя хорошо (например, он всегда компактен в \(\mathbb {F}\), т.е. замкнут и ограничен), в отличие от собственных значений. С другой стороны, собственные значения проще искать: проще решить уравнение \(Tf= \lambda f\), чем определять, когда \(T - \lambda I\) не явл. обратимым. Компактные операторы – это такие операторы, у которых спектр почти совпадает с собственными значениями.

Теорема 3 Пусть \(V\) – это БП, пусть \(T\) – компактный оператор. Тогда

• Пусть \(\lambda \neq 0\). Тогда \(\lambda \in \sigma (T) \iff \lambda \in \sigma_p(T)\). Иначе говоря, спектр компактного оператора почти совпадает с собственными значениями, они могут отличаться только в нуле.

• Для нуля:

  • если \(\operatorname {dim}V < \infty\), то \(0 \in \sigma (T)\) \(\iff\) \(0 \in \sigma_p(T)\);

  • если \(\operatorname {dim}V = \infty\), то всегда \(0 \in \sigma (T)\) (т.е. компактный оператор всегда необратим в бесконечномерных БП), однако \(0\) может и не лежать в \(\sigma_p(T)\), т.е. может не быть собственным значением.

• Предельная точка у \(\sigma_p(T)\) и у \(\sigma (T)\) может быть только в нуле;

• \(\sigma (T)\) и \(\sigma_p(T)\) не более чем счетны.

• У любого ненулевого элемента из спектра (т.е. собственного значения) \(\lambda\) конечный индекс и конечная алг. кратность: найдется такое число \(m = \operatorname {Ind}_{T}(\lambda ) \in \mathbb {N}\), что

  \[ \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m-1} \subsetneq \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m} = \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m+1} = \operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{m+2} = \ldots \]

  Подпространство \(\operatorname {Ker}(T - \lambda I)^m\), соотв., называется обобщенным собственным подпространством для \(\lambda\). Его размерность конечная:

  \[ \operatorname {AlgMult}_{T}(\lambda ) = \operatorname {dim}\operatorname {Ker}(T - \lambda I)^{\operatorname {Ind}_{T}(\lambda )} < \infty \]

Итого, если \(V\) – бесконечномерное БП, то за пределами нуля \(\sigma_p(T)\) совпадает с \(\sigma (T)\), при этом это либо конечное множество, либо последовательность, сходящаяся к нулю. Сам ноль при этом обязательно лежит в \(\sigma (T)\). Лежит ли ноль в \(\sigma_p(T)\), нужно выяснять отдельно.

Сам факт совпадения спектра с собственными значениями настолько важен, что имеет отдельное название.

Теорема 4 (Альтернатива Фредгольма) Пусть \(V\) – БП, \(T\) – компактный оператор, \(\lambda \in \mathbb {F} \setminus \left\{ 0\right\}\). Тогда следующие условия эквивалентны:

1. \(T - \lambda I\) не обратим (т.е. \(\lambda \in \sigma (T)\));

2. \(T - \lambda I\) не инъективен (т.е. \(\lambda \in \sigma_p(T)\));

3. \(T - \lambda I\) не сюръективен.

В названии этого результата традиционно присутствует слово «альтернатива», поскольку его можно перефразировать следующим образом: если \(T\) — компактный оператор на БП \(V\) и \(\lambda \in \mathbb {F}\setminus \left\{ 0\right\}\), то выполняется ровно одно из следующих условий:

• либо уравнение \(Tf = \lambda f\) имеет ненулевое решение \(f \in V\);

• либо уравнение \(g = Tf - \lambda f\) имеет решение \(f \in V\) для всех возможных \(g \in V\).

3.2 Определение компактного оператора

Пусть \(V,W\) — нормированные пространства, а \(T: V \to W\) — линейное отображение. Следующие утверждения эквивалентны, и разные авторы могут выбирать любое из них в качестве основного определения того, что отображение \(T\) является компактным:

1. существует окрестность \(U\) нуля в \(V\) такая, что \(T(U)\) является относительно компактным подмножеством \(W\) (т.е. замыкание \(T(U)\) – компакт);

2. существует окрестность \(U\) нуля в \(V\) и компактное подмножество \(V \subseteq W\) такие, что \(T(U) \subseteq V\);

3. существует непустое открытое множество \(U\) в \(V\) такое, что \(T(U)\) является относительно компактным подмножеством \(W\).

4. образ единичного шара пространства \(V\) под действием оператора \(T\) является относительно компактным в \(W\);

5. образ любого ограниченного подмножества пространства \(V\) под действием оператора \(T\) является относительно компактным в \(W\);

6. для любой ограниченной последовательности \((x_n)_{n\in \mathbb {N}}\) в \(V\) последовательность \((Tx_n)_{n\in \mathbb {N}}\) содержит сходящуюся подпоследовательность.

7. если дополнительно \(W\) является банаховым пространством, то эти утверждения также эквивалентны следующему: образ любого ограниченного подмножества пространства \(V\) под действием оператора \(T\) является вполне ограниченным в \(W\).

Обозначим \(\mathcal{K}(V,W)\) множество всех компактных линейных отображений. \(\mathcal{K}(V) := \mathcal{K}(V,V)\).

3.3 Основные свойства

Теорема 5 Пусть \(V\) и \(W\) — банаховы пространства. Тогда

1. любое компактное отображение является ограниченным: \(\mathcal{K}(V, W) \subset \mathcal{B}(V, W)\);

2. \(\mathcal{K}(V, W)\) является замкнутым подпространством в \(\mathcal{B}(V, W)\). То есть если \((T_{n})\) — последовательность компактных отображений и \(T \in \mathcal{B}(V, W)\) таковы, что \(\left\| T_n - T\right\| \rightarrow 0\), то \(T \in \mathcal{K}(V, W)\).

Говорят, что линейное отображение \(T: V \rightarrow W\) имеет конечный ранг, если \(\operatorname {Im}T\) является конечномерным подпространством в \(W\).

Теорема 6 Пусть \(V\) и \(W\) — банаховы пространства. Любое линейное отображение конечного ранга из \(V\) в \(W\) является компактным.

ExampleПример 4

Пусть \(g \in C[0,1]\). Определим оператор интегрального преобразования: \(T_g: C[0,1] \to C[0,1]\), \[ (T_gf)(x) := \int _0^x f(t) g(t) \; dt \] Покажите, что он компактен.

SolutionРешение

Пусть \((f_n)\) – это ограниченная последовательность: \(\left\| f_n\right\| = \sup_{x \in [0,1]}\left|f(x)\right| \leq C\) для некоторой константы \(C > 0\). Что можно сказать про последовательность \((T_gf_n)\)?

• \((T_gf_n)\) равномерно ограничена?

  \[ \left\| T_gf_n\right\| \leq \int _0^x \left|f(t)g(t)\right| dt \leq C \cdot \left\| g\right\| \]

  Да.

• \((T_gf_n)\) равностепенно непрерывна?

  \[ \left|(T_gf_n)(x_1) - (T_gf_n)(x_2)\right| = \left|\int _{x_1}^{x_2} f_n(t)g(t) dt\right| \leq \int _{x_1}^{x_2} \left|f_n(t)g(t)\right| dt \leq \int _{x_1}^{x_2} C \cdot \left\| g\right\| dt = C \cdot \left\| g\right\| \cdot \left|x_1 - x_2\right| \]

  Да.

По теореме Арцела-Асколи последовательность \((T_gf_n)_{n \in \mathbb {N}}\) отн. компактна, значит из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

ExampleПример 5

Пусть \(V, W\) – БП, \(T \in \mathcal{K}(V,W)\).

1. Докажите, что если \(W\) бесконечномерно, то \(T\) не может быть обратимым. А именно, покажите, что \(T\) не может быть сюръективным: \(\operatorname {Im}T \neq W\)

2. Докажите более общее утверждение: \(\operatorname {Im}T\) не может содержать бесконечномерного замкнутого подпространства.

SolutionРешение

Enum-item(i)

Предположим, что \(T\) сюръективно. Тогда по теореме об открытом отображении \(T\) – открытое отображение (отображает открытые множества в открытые). Отсюда следует, что образ открытого единичного шара \(B_1(0_V)\) должен содержать открытый шар \(B_r(0_W)\) для некоторого \(r>0\). Значит, замыкание этого образа не может быть компактным (в бесконечномерном БП замкнутые шары не явл. вполне огр.).

Enum-item(ii)

Пусть \(W' \subset \operatorname {Im}T\) – замкнутое подпространство (в \(W\)). Тогда \(V' := T^{-1}(W')\) – подпространство в \(V\) (это легко проверяется). Причем оно тоже замкнутое, поскольку \(T\) – компактное лин. отображение, значит ограниченное, значит непрерывное, а прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении тоже замкнут. Пусть \(T' := T|_{V'}\) – ограничение \(T\) на \(V'\). Имеем \(V',W'\) – БП, \(T': V' \to W'\) – компактное лин. отображение, которое явл. сюръективным. По предыдущему пункту получаем, что \(W'\) не может быть бесконечномерным.

ExampleПример 6

Пусть \(V = \ell^p\), \(1 \leq p < \infty\). Рассмотрим линейный оператор, определенный следующим образом: \(T: \ell^p \to \ell^p\), \[ T(a_1,a_2,a_3, \ldots ) = \left(\frac{a_1}{1}, \frac{a_2}{2}, \frac{a_{3}}{3}, \ldots \right) \]

SolutionРешение

Очевидно, что \(T\) является линейным. Чтобы показать, что он компактен, мы покажем, что он является пределом нормы последовательности компактных операторов. Пусть \[ T_n: \ell ^p \rightarrow \ell ^p, \quad T_n a=\left(\frac{a_1}{1}, \frac{a_2}{2}, \ldots , \frac{a_n}{n}, 0,0, \ldots \right) \] Тогда \(T_n\) является линейным, ограниченным и конечного ранга, следовательно, компактным. Кроме того, \[ \begin{align} \left\| (T-T_n)a\right\| ^p & = \left\| \left(0,\ldots ,0, \frac{a_{n+1}}{n+1}, \frac{a_{n+2}}{n+2}\right)\right\| ^p \leq \frac{1}{n^p} \left\| \left(0,\ldots ,0,a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots \right)\right\| ^p \leq \\ & \leq \frac{1}{n^p} \left\| \left(a_1, \ldots , a_{n},a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots \right)\right\| ^p = \frac{1}{n^p} \left\| a\right\| ^p \end{align} \] Получили \(\left\| (T-T_n)a\right\| \leq \frac{1}{n}\left\| a\right\|\). Взяв супремум по всем \(a\) нормы 1, мы видим, что \[ \left\| T-T_n\right\| \leq \frac{1}{n} \] Следовательно, \(T_n \rightarrow T\) в пространстве \(\mathcal{B}(\ell^p)\). Таким образом, \(T\) является компактным.

ProblemЗадача 6

Пусть множество \(M \subset C^{1}[0,1]\) является замкнутым подпространством в \(C[0,1]\). Доказать, что \(\operatorname {dim} M < \infty\).

[@VKK, Задача  12.17]

ProblemЗадача 7

Пусть \((T f)(x) = f\left(x^{2}\right)\), \(f \in C[0,1]\). Докажите, что \(T\) линеен и ограничен на \(C[0,1]\), но не является компактным.

[@VKK, Задача  12.20]

ProblemЗадача 8

В пространстве \(C[0,1]\) рассмотрим оператор Вольтерры \[ (\mathcal{V} f)(x) = \int _{0}^{x} f(y) d y \] Найти спектр и резольвенту оператора \(A\).

[@VKK, Задача  7.7]

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

4 Сопряженное отображение

Определение 1 Пусть \(V\) и \(W\) — гильбертовы пространства, и \(T: V \rightarrow W\) — ограниченное линейное отображение. Сопряжённым к \(T\) называется отображение \(T^{*}: W \rightarrow V\), такое что \[ \left\langle T f, g \right\rangle _{W}= \left\langle f, T^{*} g \right\rangle _{V} \] для всех \(f \in V\) и всех \(g \in W\).

Чтобы понять, почему это определение корректно, зафиксируем \(g \in W\). Рассмотрим линейный функционал на \(V\), заданный формулой \(f \mapsto \left\langle T f, g \right\rangle\). Этот линейный функционал ограничен, поскольку

\[ | \left\langle T f, g \right\rangle | \leq \left\| T f\right\| \left\| g\right\| \leq \left\| T\right\| \left\| g\right\| \left\| f\right\| \]

для всех \(f \in V\); следовательно, функционал \(f \mapsto \left\langle T f, g \right\rangle\) имеет норму не больше \(\left\| T\right\| \left\| g\right\|\). По теореме Рисса о представлении существует единственный элемент пространства \(V\) (с нормой не более \(\left\| T\right\| \left\| g\right\|\)), такой что данный функционал задаётся скалярным произведением с этим элементом. Обозначим этот единственный элемент через \(T^{*} g\). Иначе говоря, \(T^{*} g\) — это единственный элемент пространства \(V\), для которого

\[ \left\langle T f, g \right\rangle _W = \left\langle f, T^{*} g \right\rangle _V \]

для всех \(f \in V\). Более того,

\[ \left\| T^{*} g\right\| \leq \left\| T\right\| \left\| g\right\| . \]

ExampleПример 7

Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой и \(h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mu )\) – п.в. ограниченная функция. Определим оператор умножения \(M_{h}: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )\) формулой \[ M_{h} f := f h. \]

1. Покажите, что \(M_{h} \in \mathcal{B}(V,W)\), т.е. \(M_h\) — ограниченное линейное отображение;

2. Найдите \(M_h^{*}\).

SolutionРешение

Enum-item(1)

Линейность очевидна. \(\left\| M_{h}\right\| \leq \left\| h\right\|_{\infty }\).

Enum-item(2)

\[ \left\langle M_{h} f, g \right\rangle =\int f h \overline{g} d \mu = \left\langle f, M_{\overline{h}} g \right\rangle \]

для всех \(f, g \in L^{2}(\mu )\), получаем \(M_{h}^{*}=M_{\overline{h}}\).

Если \(\mathbb {F} = \mathbb {R}\), то комплексные сопряжения, возникающие в этом примере, не нужны (хотя и не мешают).

ExampleПример 8

Пусть \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) – два пространства с \(\sigma\)-конечными мерами. Пусть \(K \in \mathcal{L}^2(\mu \times \nu )\). Обозначим \[ V = L^2(X, \mathcal{F}_{X}, \mu ) = L^2(\mu ), \qquad W = L^2(Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu ) = L^2(\nu ) \] Определим отображение \(T_{K}: W \to V\) так: \[ (T_{K}f)(x) = \int _{Y}K(x,y)f(y) \; d\nu (y), \qquad f \in W = L^2(\nu ) \] Этот оператор называется интегральным преобразованием Гильберта-Шмидта. Функция \(K\) называется ядром преобразования.

1. Докажите, что \(T_{K}\) определен корректно. А именно, покажите, что если \(f \in L^2(\mu )\), то \(T_{K}f \in L^2(\nu )\), т.е. \(T_Kf\) измеримая и \(\int_{X}\left|T_Kf\right|^2 \; d\mu < \infty\);

2. Докажите, что \(T_{K}\) – это линейное ограниченное отображение, т.е. \(T_{K} \in \mathcal{B}(V,W)\).

3. Охарактеризуйте \(T^*_K\).

SolutionРешение

Enum-item(1)

Чтобы убедиться в корректности определения, сначала отметим, что нет никаких проблем с измеримостью, поскольку для каждого \(x \in X\) функция \(y \mapsto K(x, y)\) является \(T\)-измеримой функцией на \(Y\) (одно из свойств измеримых функций на произведении пространств).

Далее, предположим, что \(f \in L^{2}(\nu )\). Используя неравенство КБШ, для каждого фиксированного \(x \in X\) получаем

\[ \begin{align} \left|(T_K f)(x)\right|^2 & \leq \left(\int _{Y} \left|K(x,y)\right| \cdot \left|f(y)\right| \; dv(y)\right)^2 = \left( \left\langle \left|K(x, \cdot )\right|, f(\cdot ) \right\rangle _{L^2(\nu )}\right)^2 \leq \\ & = \left\| K(x, \cdot )\right\| ^2_{L^2(\nu )} \cdot \left\| f\right\| ^2_{L^2(\nu )} = \\ & = \int _{Y} \left|K(x,y)\right|^2 \; d\nu (y) \cdot \left\| f\right\| ^2_{L^2(\nu )} \end{align} \]

Теперь проинтегрируем по \(x\), получим

\[ \underbrace{\int _{X}\left|(T_K f)(x)\right|^2 d \mu (x)}_{\left\| T_Kf\right\| ^2_{L(\mu )}} \leq \left(\int _{X} \int _{Y} \left|K(x,y)\right|^2 \; d\nu (y) \; d\mu (x) \right) \cdot \left\| f\right\| ^2_{L^2(\nu )} \]

По теореме Тонелли повторный интеграл \(\int_X\int_Y\) можно заменить на двойной \(\int_{X \times Y}\). В итоге получаем

\[ \left\| T_Kf\right\| ^2_{L(\mu )} \leq \left(\int _{X \times Y} \left|K\right|^2 \; d\mu \times \nu \right) \cdot \left\| f\right\| ^2_{L^2(\nu )} = \left\| K\right\| ^2_{L^2(\mu \times \nu )} \cdot \left\| f\right\| ^2_{L^2(\nu )} \]

Приведенное выше неравенство подразумевает, что интеграл в левой части конечен для \(\mu\)-почти всех \(x \in X\). Таким образом, интеграл в определении имеет смысл для \(\mu\)-почти всех \(x \in X\).

Enum-item(2)

Из предыдущего пункта:

\[ \left\| T_Kf\right\| _{L(\mu )} \leq \left\| K\right\| _{L^2(\mu \times \nu )} \cdot \left\| f\right\| _{L^2(\nu )} \]

Таким образом, \(T_{K}\) является ограниченным линейным отображением из \(L^{2}(\nu )\) в \(L^{2}(\mu )\) и

\[ \left\| T_K\right\| \leq \left\| K\right\| _{L^2(\mu \times \nu )} \]

Enum-item(3)

Определим \(K^{*}: Y \times X \rightarrow \mathbb {F}\) следующим образом:

\[ K^{*}(y, x)=\overline{K(x, y)}, \]

и заметим, что \(K^{*} \in \mathcal{L}^{2}(v \times \mu )\). Таким образом, \(T_{K^{*}}: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\nu )\) является ограниченным линейным отображением. Используя теорему Тонелли и теорему Фубини, получаем:

\[ \begin{align} \left\langle T_{K} f, g \right\rangle _{L^2(\mu )} & = \int _{X} \left(T_{K}f\right)(x) \cdot \overline{g(x)} \; d\mu (x) = \\ & = \int _{X} \left( \int _{Y} K(x, y) f(y) d\nu (y)\right) \cdot \overline{g(x)} \; d \mu (x) \\ & =\int _{Y} f(y) \left(\int _{X} K(x, y) \overline{g(x)} d \mu (x)\right) d\nu (y) \\ & =\int _{Y} f(y) \cdot \overline{\left(T_{K^{*}} g\right)(y)} d\nu (y)= \left\langle f, T_{K^{*}} g \right\rangle _{L^2(\nu )} \end{align} \]

для всех \(f \in L^{2}(\nu )\) и всех \(g \in L^{2}(\mu )\). Таким образом,

\[ \left(T_K\right)^* = T_{K^*} \]

ExampleПример 9

Пусть \(m,n \in \mathbb {N}\), пусть \(V = \mathbb {F}^m\), \(W = \mathbb {F}^n\), пусть \(K \in \mathbb {F}^{m \times n}\). Покажите, что отображение \[ w \mapsto K \cdot w, \qquad W \to V \] которое задается умножением на матрицу \(K\) – это частный случай интегрального оператора Гильберта-Шмидта. Найдите сопряженное.

SolutionРешение

• Пусть \(\mu\) — считающая мера на \(\left\{ 1, \ldots , m\right\}\), \(\nu\) — считающая мера на \(\left\{ 1, \ldots , n\right\}\). Тогда пространство

  \[ L^2\left(\left\{ 1,\ldots ,m\right\} , 2^{\left\{ 1,\ldots ,m\right\} }, \mu \right) \]

  состоит из всех возможных функций \(f \in \left\{ 1,\ldots ,m\right\} \to \mathbb {F}\), явл. квадратично суммируемыми: \(\sum_{k=1}^m\left|f(k)\right|^2 < \infty\). Последнее ограничение роли не играет, поскольку слагаемых конечное количество, и значит сумма всегда сойдется. Иначе говоря, в пространство \(L^2\left(\left\{ 1,\ldots ,m\right\} , 2^{\left\{ 1,\ldots ,m\right\} }, \mu \right)\) входят все возможные функции из \(\left\{ 1,\ldots ,m\right\}\) в \(\mathbb {F}\). Их можно отождествить с векторами из \(\mathbb {F}^m\) со стандартным скалярным произведением между ними:

  \[ L^2\left(\left\{ 1,\ldots ,m\right\} , 2^{\left\{ 1,\ldots ,m\right\} }, \mu \right) \; \cong \; \mathbb {F}^m \]

  Подробнее см. пример про \(\ell^p\) и \(\mathbb {F}^n\) как пространства Лебега

  Аналогично матрицу \(K\) можно отождествить с кв. суммируемой функцией из \(\left\{ 1,\ldots ,m\right\} \times \left\{ 1,\ldots ,n\right\}\) в \(\mathbb {F}\). В этом случае интегральное преобразование Гильберта-Шмидта \(T_K: L^{2}(\nu ) \rightarrow L^{2}(\mu )\), индуцированное интегрированием с ядром \(K\), задается так:

  \[ \left(T_K w\right)(i) = \int _{\left\{ 1,\ldots ,n\right\} } K(i,j) \cdot w(j) \cdot d\nu (j) = \sum _{j = 1}^{n}K(i,j) \cdot w(j) = (K \cdot w)_{i} \]

  Приведенная выкладка показывает, что линейное отображение \(T_K\) представляет собой простое умножение на матрицу \(K\).

  В этом случае \(K^{*}\) – это сопряженная транспонированная матрица \(K\), поскольку матрица \(n\)×m \(K^{*}\) получается путем перестановки строк и столбцов \(K\) и последующего взятия комплексного сопряжения каждого элемента.

• Найдем сопряженное. Вспомним, что \((T_K)^* = T_{K^*}\), где \(K^*(j,i) = \overline{K(i,j)}\). Т.е. \(K^* = \overline{K^T}\) – это эрмитово сопряженная матрица к \(K\). Иначе говоря, сопряженное отображение к умножению на матрицу – это умножение на эрмитово сопряженную матрицу. Этот результат может быть вам известен из линейной алгебры.

  В случае \(\mathbb {F} = \mathbb {R}\) сопряжение излишне и \(K^*\) – это просто транспонированная матрица \(K\).

Лемма 11 (Свойства сопряжения) Предположим, что \(V, W\) и \(U\) — ГП. Тогда:

1. Если \(T \in \mathcal{B}(V,W)\), то \(T^* \in \mathcal{B}(W,V)\), причем \(\left(T^*\right)^* = T\) и \(\left\| T\right\| = \left\| T^*\right\|\);

2. Если \(T \in \mathcal{B}(V,W)\), то \(\left\| T^*T\right\| = \left\| T\right\|^2\);

3. \((S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}\) для всех \(S, T \in \mathcal{B}(V, W)\);

4. \((\alpha T)^{*}=\overline{\alpha } \cdot T^{*}\) для всех \(\alpha \in \mathbb {F}\) и всех \(T \in \mathcal{B}(V, W)\);

5. \(I^{*}=I\), где \(I\) — тождественный оператор на \(V\);

6. \((ST)^{*}=T^{*}S^{*}\) для всех \(T \in \mathcal{B}(V, W)\) и \(S \in \mathcal{B}(W, U)\).

Лемма 12 (Связь образа и ядра оператора и его сопряженного) Предположим, что \(V\) и \(W\) – ГП, а \(T \in \mathcal{B} (V, W)\). Затем

1. \(\operatorname {Ker} T= \left(\operatorname {Im}T^*\right)^{\perp }\);

2. \(\overline{\operatorname {Im} T} = \left(\operatorname {Ker}T^*\right)^{\perp }\).

Лемма 13 (необходимое и достаточное условие всюду плотного образа) Предположим, что \(V\) и \(W\) — гильбертовы пространства и \(T \in \mathcal{B}(V, W)\). Тогда \(T\) имеет плотный образ тогда и только тогда, когда \(T^{*}\) инъективно.

ExampleПример 10

Рассмотрим на ГП \(V = L^2[0,1]\) оператор Вольтерры: \[ \left(\mathcal{V} f\right)(x) := \int _{0}^{x} f \; d\lambda \]

1. Докажите, что \(\mathcal{V}\) – это действительно оператор, т.е. это линейное ограниченное отображение из \(L^2[0,1]\) в \(L^2[0,1]\);

2. Найдите \(\mathcal{V}^{*}\);

3. Докажите, что подпространство \(\operatorname {Im}\mathcal{V}\) плотно в \(L^2[0,1]\).

SolutionРешение

Enum-item(1)

Чтобы показать, что \(\mathcal{V}\) является ограниченным линейным отображением из \(L^{2}([0,1])\) в \(L^{2}([0,1])\), пусть \(K\) — функция на \([0,1] \times [0,1]\), определенная следующим образом:

\[ K(x, y)= \begin{cases} 1 & \text{ если } x>y, \\ 0 & \text{ если } x \leq y .\end{cases} \]

Другими словами, \(K\) — характеристическая функция открытого треугольника под диагональю единичного квадрата. Очевидно, что \(K \in \mathcal{L}^{2}(\lambda \times \lambda )\) и \(\mathcal{V}=T_K\), интегральный оператор Гильберта-Шмидта. Таким образом, \(\mathcal{V}\) является ограниченным линейным отображением из \(L^{2}([0,1])\) в \(L^{2}([0,1])\) и

\[ \left\| \mathcal{V}\right\| ^2 \leq \left\| K\right\| _{L^2(\lambda \times \lambda )}^2 = \iint _{\substack {x,y \in [0,1] \\ x > y}} \; d(x,y) = \frac{1}{2} \]

Значит, \(\left\| \mathcal{V}\right\| \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Enum-item(2)

Пусть \(K^{*}(y, x)=K(x, y)\). Тогда \(K^{*}\) является характеристической функцией открытого треугольника над диагональю единичного квадрата, и \(\mathcal{V}^{*}=\mathcal{I}_{K^{*}}\). Таким образом,

\[ \left(\mathcal{V}^{*} f\right)(x)=\int _{x}^{1} f(y) dy=\int _{0}^{1} f(y) dy-\int _{0}^{x} f(y) dy \]

для \(f \in L^{2}([0,1])\) и \(x \in [0,1]\).

Enum-item(3)

Теперь мы можем показать, что \(\mathcal{V}^{*}\) инъективен. Для этого предположим, что \(f \in L^{2}([0,1])\) и \(\mathcal{V}^{*} f=0\). Дифференцируя обе стороны уравнения по \(x\) и используя теорему Лебега о дифференцировании, мы заключаем, что \(f=0\). Следовательно, \(\mathcal{V}^{*}\) инъективен. Таким образом, оператор Вольтерры \(\mathcal{V}\) имеет плотный образ.

P.S. Хотя образ \(\mathcal{V}\) плотен в \(L^{2}([0,1])\), он не равен \(L^{2}([0,1])\) (поскольку каждый элемент образа \(\mathcal{V}\) является непрерывной функцией на \([0,1]\), которая обращается в нуль в точке 0). Таким образом, оператор Вольтерры \(\mathcal{V}\) имеет плотный, но не замкнутый образ в \(L^{2}([0,1])\).

ProblemЗадача 9

Найти сопряжённый к оператору \(T: L^{2}[0,1] \rightarrow L^{2}[0,1]\), если

1. \((T f)(t) = \int_{0}^{1} t f(s) d s\);

2. \((T f)(t) = \int_{0}^{t} s f(s) d s\).

[@VKK, Задача  11.1]

ProblemЗадача 10

Пусть \(V\) — вещественное гильбертово пространство, пусть \(f_{k} \in V, \; k = 1,\ldots ,n\) – набор из \(n\) фиксированных векторов. Доказать, что \[ \sup _{\sum \alpha _{k}^{2} \leqslant 1}\left\| \sum _{k = 1}^{n} \alpha _{k} f_{k}\right\| = \sup _{\left\| f\right\| \leqslant 1}\left(\sum _{k = 1}^{n} \left\langle f, f_{k} \right\rangle ^{2}\right)^{1 / 2} \]

[@VKK, Задача  11.2]

HintПодсказка

Воспользуйтесь результатом \(\left\| T\right\| = \left\| T^*\right\|\).

ProblemЗадача 11

Пусть \(V = L^2[-1,1]\). Найти спектр и резольвенту оператора \(T \in \mathcal{B}(V)\): \[ (T f)(x) = \int _{0}^{1}(1+ x y) f(y) d y \]

[@VKK, Задача  7.12]

ProblemЗадача 12

\(T \in \mathcal{B}\left(\ell^2\right)\): \[ T(f_1,f_2,\ldots ) = \left(0, f_{1}, f_2, \ldots \right) \] Найдите формулу для \(T^*\). Найдите \(\sigma (T)\) и \(\sigma \left(T^{*}\right)\).

[@VKK, Задача  11.9]

ProblemЗадача 13

Докажите пункт б) из леммы Лемма 11. А именно, пусть \(T \in \mathcal{B}(V,W)\), где \(V,W\) – это ГП. Докажите, что \(\left\| T^{*} T\right\| = \left\| T\right\|^{2}\).

Можете пользоваться пунктом а) леммы и предыдущим материалом.

Эта формула для \(\left\| T^{*} T\right\|\) приводит к важной теме \(C^{*}\)-алгебр.

5 Отдельные виды операторов в ГП, в зависимости от их сопряженных

В данном разделе \(V = W\), т.е. рассматриваем именно операторы.

Классы ограниченных операторов на гильбертовом пространстве

Схематическая диаграмма (по включению множеств, не в масштабе). Кликните на область, чтобы увидеть определение и пример.

Кликните на область диаграммы.

5.1 Самосопряженные операторы

Ограниченный оператор \(T\) на гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если \(T^{*}=T\). \(T \in \mathcal{B}(V)\) самосопряжен тогда и только тогда, когда

\[ \left\langle T f, g \right\rangle = \left\langle f, T g \right\rangle \]

для всех \(f, g \in V\).

ExampleПример 11

SolutionРешение

• Предположим, что \(b_{1}, b_{2}, \ldots\) — ограниченная последовательность в \(\mathbb {F}\). Определим ограниченный оператор \(T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}\) следующим образом:

  \[ T\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)=\left(a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \ldots \right) . \]

  Тогда \(T^{*}: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}\) — оператор, определенный следующим образом:

  \[ T^{*}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)=\left(a_{1} \overline{b_{1}}, a_{2} \overline{b_{2}}, \ldots \right) . \]

  Следовательно, \(T\) является самосопряженным тогда и только тогда, когда \(b_{k} \in \mathbb {R}\) для всех \(k \in \mathbb {N}\).

  В более общем случае предположим, что ( \(X, \mathcal{S}, \mu\)) — конечномерное пространство с мерой и \(h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mu )\). Определим ограниченный оператор \(M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mu )\right)\) как \(M_{h} f=f h\). Тогда \(M_{h}{ }^{*}=M_{\overline{h}}\). Таким образом, \(M_{h}\) является самосопряженным тогда и только тогда, когда \(\mu (\left\{ x \in X: h(x) \notin \mathbb {R}\right\} )=0\).

• В более общем случае, предположим, что ( \(X, \mathcal{S}, \mu\)) — конечномерное пространство с мерой и \(h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mu )\). — Предположим, что \(n \in \mathbb {N}, K\) — матрица размером \(n\) на \(n\), а \(T_K: \mathbb {F}^{n} \rightarrow \mathbb {F}^{n}\) — оператор умножения матрицы на \(K\) (рассматривая элементы \(\mathbb {F}^{n}\) как вектор-столбцы). Тогда \(\left(T_K\right)^{*}\) — оператор умножения на сопряженную транспонированную матрицу \(K\), как показано в примере 10.10. Таким образом, \(T_K\) является самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда матрица \(K\) равна своей сопряженной транспонированной матрице.

• В более общем случае предположим, что \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — конечномерное пространство с мерой, \(K \in \mathcal{L}^{2}(\mu \times \mu )\), и \(T_K\) — интегральный оператор на \(L^{2}(\mu )\), определенный в примере 10.5. Определим \(K^{*}: X \times X \rightarrow \mathbb {F}\) как \(K^{*}(y, x)=\overline{K(x, y)}\). Тогда \(\left(T_K\right)^{*}\) — интегральный оператор, индуцированный \(K^{*}\), как показано в примере 10.5. Таким образом, если \(K^{*}=K\), или, другими словами, если \(K(x, y)=\overline{K(y, x)}\) для всех \((x, y) \in X \times X\), то \(T_K\) является самосопряженным.

• Предположим, что \(U\) — замкнутое подпространство гильбертова пространства \(V\). Напомним, что \(P_{U}\) обозначает ортогональную проекцию \(V\) на \(U\) (см. раздел 8B). Мы имеем

  \[ \begin{aligned} \left\langle P_{U} f, g \right\rangle & = \left\langle P_{U} f, P_{U} g+\left(I-P_{U}\right) g \right\rangle \\ & = \left\langle P_{U} f, P_{U} g \right\rangle \\ & = \left\langle f-\left(I-P_{U}\right) f, P_{U} g \right\rangle \\ & = \left\langle f, P_{U} g \right\rangle , \end{aligned} \]

  где второе и четвертое равенства выше выполняются в силу 8.37(a). Приведенное выше уравнение показывает, что \(P_{U}\) является самосопряженным оператором.

Лемма 14 (\(\left\langle T f, f \right\rangle =0\) для всех \(f\) \(\; \Rightarrow \;\) \(T=0\)) Предположим, что \(V\) — гильбертово пространство, \(T \in \mathcal{B}(V)\), и \(\left\langle T f, f \right\rangle =0\) для всех \(f \in V\).

• Если \(\mathbb {F}=\mathbb {C}\), то \(T=0\).

• Если \(\mathbb {F}=\mathbb {R}\) и \(T\) является самосопряженным, то \(T=0\).

Некоторое понимание сопряженного оператора можно получить, рассматривая операцию \(T \mapsto T^{*}\) на \(\mathcal{B}(V)\) как аналогию операции \(z \mapsto \overline{z}\) на \(\mathbb {C}\). В рамках этой аналогии самосопряженные операторы (характеризуемые \(T^{*}=T\)) соответствуют действительным числам (характеризуемым \(\overline{z}=z\)).

Следующие два результата углубляют аналогию между самосопряженными операторами и действительными числами. Сначала мы видим отражение этой аналогии в поведении \(\left\langle T f, f \right\rangle\), а затем — в спектре \(T\).

Лемма 15 Предположим, что \(T\) — ограниченный оператор на комплексном гильбертовом пространстве \(V\). Тогда \(T\) является самосопряженным тогда и только тогда, когда \[ \left\langle T f, f \right\rangle \in \mathbb {R} \] для всех \(f \in V\).

Лемма 16 (Самосопряженные операторы имеют вещественный спектр) Пусть \(T\) — ограниченный самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве. Тогда \(\sigma (T) \subseteq \mathbb {R}\).

Данная лемма бессмысленна в случае \(\mathbb {F} = \mathbb {R}\) (в этом случае спектр и не может выпасть за пределы собственных значений), но в случае \(\mathbb {F} = \mathbb {C}\) она приобретает смысл.

Мы показали, что ограниченный оператор на комплексном ненулевом гильбертовом пространстве имеет непустой спектр. Этот результат может быть неверным на вещественных гильбертовых пространствах (где по определению спектр содержится в \(\mathbb {R}\)). Например, оператор \(T\) на \(\mathbb {R}^{2}\), определенный как \(T(x, y)=(-y, x)\), имеет пустой спектр.

Хотя спектр каждого самосопряженного оператора непуст, неверно, что каждый самосопряженный оператор имеет собственное значение. Например, самосопряженный оператор \(M_{x} \in \mathcal{B}\left(L^{2}[0,1]\right)\), определяемый как \(\left(M_{x} f\right)(x)=x f(x)\), не имеет собственных значений.

5.2 Нормальные операторы

Теперь рассмотрим еще один хороший особый класс операторов. Ограниченный оператор \(T\) на гильбертовом пространстве называется нормальным, если он коммутирует со своим сопряженным оператором:

\[ T^{*} T=T T^{*} . \]

Очевидно, что каждый самосопряженный оператор является нормальным, но существуют нормальные операторы, которые не являются самосопряженными, как показано в следующем примере.

ExampleПример 12

SolutionРешение

• • Предположим, что \(\mu\) — положительная мера, \(h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mu )\), и \(M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mu )\right)\) — оператор умножения, определенный как \(M_{h} f=f h\). Тогда \(M_{h}{ }^{*}=M_{\overline{h}}\), что означает, что \(M_{h}\) является самосопряженным, если \(h\) имеет вещественное значение. Если \(\mathbb {F}=\mathbb {C}\), то \(h\) может иметь комплексное значение, и \(M_{h}\) не обязательно является самосопряженным. Однако,

  \[ M_{h}^{*} M_{h}=M_{|h|^{2}}=M_{h} M_{h}^{*} \]

  и, следовательно, \(M_{h}\) является нормальным оператором, даже когда \(h\) имеет комплексное значение.

• Предположим, что \(T\) — оператор на \(\mathbb {F}^{2}\), матрица которого относительно стандартного базиса равна

  \[ \left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{array}\right) . \]

  Тогда \(T\) не является самосопряженным, поскольку приведенная выше матрица не равна своей сопряженной транспонированной матрице. Однако \(T^{*} T=13 I\) и \(T T^{*}=13 I\), как вы должны проверить. Поскольку \(T^{*} T=T T^{*}\), мы заключаем, что \(T\) является нормальным оператором.

• Пример ненормального оператора: Предположим, что \(T\) — это правый сдвиг на \(\ell^{2}\); таким образом, \(T\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)=\left(0, a_{1}, a_{2}, \ldots \right)\). Тогда \(T^{*}\) — это левый сдвиг: \(T^{*}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)=\left(a_{2}, a_{3}, \ldots \right)\). Следовательно, \(T^{*} T\) — это тождественный оператор на \(\ell^{2}\), а \(T T^{*}\) — это оператор \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right) \mapsto \left(0, a_{2}, a_{3}, \ldots \right)\). Таким образом, \(T^{*} T \neq T T^{*}\), что означает, что \(T\) не является нормальным оператором.

Лемма 17 (Критерий нормального оператора) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве \(V\). Тогда \(T\) является нормальным тогда и только тогда, когда \[ \left\| T f\right\| =\left\| T^{*} f\right\| \] для всех \(f \in V\).

Каждое комплексное число \(z\) можно записать в виде \(a+b i\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа, причем \(a = \frac{z + \overline{z}}{2}\) и \(b = \frac{z - \overline{z}}{2i}\). Попробуем то же самое применить к ограниченному оператору \(T\) на ГП \(V\): пусть

\[ \operatorname {Re}T := A = \frac{T + T^*}{2}, \qquad \operatorname {Im}T := B = \frac{T - T^*}{2i} \]

Первая часть следующего результата дает аналогичный результат для ограниченных операторов на комплексном гильбертовом пространстве, где самосопряженные операторы играют роль действительных чисел. Операторы \(A\) и \(B\) можно назвать действительной и мнимой частями оператора \(T\). Вторая часть ниже показывает, что нормальность зависит от того, коммутируют ли эти действительная и мнимая части.

Лемма 18 (Оператор нормален тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части коммутируют) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на комплексном гильбертовом пространстве \(V\).

1. Существуют единственные самосопряженные операторы \(A, B\) на \(V\) такие, что \(T=A+i B\).

2. \(T\) нормален тогда и только тогда, когда \(A B=B A\), где \(A, B\) такие же, как в части (а).

ExampleПример 13

Докажите предыдущую лемму.

SolutionРешение

Доказательство. Предположим, что \(T=A+i B\), где \(A\) и \(B\) являются самосопряженными. Тогда \(T^{*}=A-i B\). Складывая эти уравнения для \(T\) и \(T^{*}\) и затем деля на 2, получаем формулу для \(A\); вычитая уравнение для \(T^{*}\) из уравнения для \(T\) и затем деля на \(2 i\), получаем формулу для \(B\). В частности, имеем:

\[ A=\frac{T+T^{*}}{2} \quad \text{ и } \quad B=\frac{T-T^{*}}{2 i}, \]

что доказывает единственность части (a). Существование части (a) доказывается определением \(A\) и \(B\) с помощью приведенных выше уравнений и замечанием, что \(A\) и \(B\), как определено выше, являются самосопряженными и \(T=A+i B\).

Чтобы доказать (b), проверим, что если \(A\) и \(B\) определены как в приведенных выше уравнениях, то

\[ A B-B A=\frac{T^{*} T-T T^{*}}{2 i} . \]

Таким образом, \(A B=B A\) тогда и только тогда, когда \(T\) является нормальным.

Оператор на конечномерном векторном пространстве является левообратимым тогда и только тогда, когда он является правообратимым. Мы видели, что этот результат не выполняется для ограниченных операторов на бесконечномерных гильбертовых пространствах. Однако следующий результат показывает, что мы восстанавливаем эту эквивалентность для нормальных операторов.

Лемма 19 (обратимость для нормальных операторов) Предположим, что \(V\) — гильбертово пространство, а \(T \in \mathcal{B}(V)\) — нормальный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. \(T\) обратим.

2. \(T\) левообратим.

3. \(T\) правообратим.

4. \(T\) сюръективен.

5. \(T\) инъективен и ограничен снизу;

6. \(T\) инъективен и имеет замкнутый образ.

7. \(T^{*} T\) обратим.

8. \(T T^{*}\) обратим.

Следующий результат показывает, что нормальный оператор и его сопряженный оператор имеют одинаковые собственные векторы, причем их собственные значения являются комплексно сопряженными друг другу. Этот результат может быть неверным для операторов, которые не являются нормальными. Например, 0 является собственным значением левого сдвига на \(\ell^{2}\), но его сопряженный оператор правого сдвига не имеет собственных векторов и собственных значений.

Лемма 20 (Для нормального оператора \(\sigma_p(T^*) = \overline{\sigma_p(T)}\)) Пусть \(T\) — нормальный оператор на гильбертовом пространстве \(V, \alpha \in \mathbb {F}\), и \(f \in V\). Тогда \(\alpha\) является собственным значением \(T\) с собственным вектором \(f\) тогда и только тогда, когда \(\overline{\alpha }\) является собственным значением \(T^{*}\) с собственным вектором \(f\).

Поскольку каждый самосопряженный оператор является нормальным, следующий результат также справедлив для самосопряженных операторов.

Лемма 21 (Собственные векторы для нормальных операторов ортогональны) Собственные векторы нормального оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

5.3 Изометрии и унитарные операторы

Пусть \(T\) — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве \(V\).

• \(T\) называется изометрией, если \(\left\| T f\right\| =\left\| f\right\|\) для каждого \(f \in V\).

• \(T\) называется унитарным, если \(T^{*} T=T T^{*}=I\). Иначе говоря, \(T^{-1} = T^*\).

ExampleПример 14

SolutionРешение

• • Пусть \(T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}\right)\) — правый сдвиг, определяемый следующим образом:

  \[ T\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right)=\left(0, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right) . \]

  Тогда \(T\) является изометрией, но не является унитарным оператором, поскольку \(T T^{*} \neq I\) (что ясно даже без вычисления \(T^{*}\), поскольку \(T\) не является сюръективным).

• Предположим, что \(T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}(\mathbb {Z})\right)\) — это правый сдвиг, определяемый следующим образом:

  \[ (T f)(n)=f(n-1) \]

  для \(f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {F}\) с \(\sum_{k=-\infty }^{\infty }|f(k)|^{2}<\infty\). Тогда \(T\) является изометрией и является унитарным.

• Предположим, что \(b_{1}, b_{2}, \ldots\) — ограниченная последовательность в \(\mathbb {F}\). Определим \(T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}\right)\) следующим образом:

  \[ T\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)=\left(a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \ldots \right) . \]

  Тогда \(T\) является изометрией тогда и только тогда, когда \(T\) является унитарным тогда и только тогда, когда \(\left|b_{k}\right|=1\) для всех \(k \in \mathbb {N}\).

  В более общем случае предположим, что ( \(X, \mathcal{S}, \mu\)) — \(\sigma\)-конечномерное пространство и \(h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mu )\). Определим \(M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mu )\right)\) как \(M_{h} f=f h\). Тогда \(T\) является изометрией тогда и только тогда, когда \(T\) является унитарным тогда и только тогда, когда \(\mu (\left\{ x \in X:|h(x)| \neq 1\right\} )=0\).

Лемма 22 (Эквивалентные условия изометрии) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве \(V\). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. \(T\) — изометрия.

2. \(T\) сохраняет скалярное произведение: \(\left\langle Tf, Tg \right\rangle = \left\langle f, g \right\rangle\) для любых \(f,g \in V\).

3. \(T^*T = I\).

4. \(T\) отображает любое ортонормированное семейство векторов в другое ортонормированное семейство;

5. \(T\) отображает некоторое ортонормированное семейство векторов в другое ортонормированное семейство.

Лемма 23 (Эквивалентные условия унитарного оператора) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве \(V\). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. \(T\) — унитарный оператор.

2. \(T\) — сюръективная изометрия.

3. \(T\) и \(T^{*}\) — изометрии.

4. \(T^{*}\) — унитарный оператор.

5. \(T\) — обратимый оператор, и \(T^{-1}=T^{*}\).

6. \(T\) отображает любой ОНБ в другой ОНБ;

7. \(T\) отображает некоторый ОНБ в другой ОНБ.

Уравнения \(T^{*} T=T T^{*}=I\) аналогичны уравнению \(|z|^{2}=1\) для \(z \in \mathbb {C}\). Теперь мы распространяем эту аналогию на поведение спектра унитарного оператора.

Лемма 24 (спектр унитарного оператора) Пусть \(T\) — унитарный оператор в гильбертовом пространстве. Тогда \[ \sigma (T) \subseteq \left\{ \alpha \in \mathbb {F}:|\alpha |=1\right\} . \]

В качестве частного случая следующего результата мы можем заключить (без каких-либо вычислений!), что спектр правого сдвига на \(\ell^{2}\) равен \(\left\{ \alpha \in \mathbb {F}:|\alpha | \leq 1\right\}\).

Лемма 25 (спектр изометрии) Пусть \(T\) — изометрия на гильбертовом пространстве, и \(T\) не является унитарным. Тогда \[ \sigma (T)=\left\{ \alpha \in \mathbb {F}:|\alpha | \leq 1\right\} . \]

ProblemЗадача 14

Пусть \(V\) — гильбертово пространство, оператор \(T: V \to V\) линеен и \(\left\langle Tf, g \right\rangle = \left\langle f, Tg \right\rangle\) для всех \(f, g \in V\). Докажите, что \(T\) ограничен, т.е. \(T \in \mathcal{B}(V)\).

[@VKK, Задача  11.11]

6 Компактные операторы в ГП

ExampleПример 15

Докажите, что интегральный оператор Гильберта-Шмидта компактен.

SolutionРешение

• Сначала рассмотрим случай, когда существуют \(g, h \in L^{2}(\mu )\) такие, что

  \[ K(x, y)=g(x) h(y) \]

  для почти всех \((x, y) \in X \times X\). В этом случае, если \(f \in L^{2}(\mu )\), то

  \[ \left(T_K f\right)(x)=\int _{X} g(x) h(y) f(y) \; d \mu (y)= \left\langle f, \overline{h} \right\rangle \cdot g(x) \]

  для почти всех \(x \in X\). Таким образом, \(T_K f= \left\langle f, \overline{h} \right\rangle g\). Другими словами, в этом случае \(T_K\) имеет одномерный образ (или нульмерный образ, если \(g=0\)). Следовательно, \(T_K\) является компактным.

• Теперь рассмотрим случай, когда \(K\) является конечной суммой функций вида, заданного правой частью 10.71. Тогда, поскольку множество компактных операторов на \(V\) замкнуто относительно сложения [согласно 10.69(a)], оператор \(T_K\) является компактным в этом случае.

  Далее рассмотрим случай \(K \in L^{2}(\mu \times \mu )\), такой что \(K\) является пределом в \(L^{2}(\mu \times \mu )\) последовательности функций \(K_{1}, K_{2}, \ldots\), каждая из которых имеет вид, рассмотренный в предыдущем абзаце. Тогда

  \[ \left\| T_K-\mathcal{I}_{K_{n}}\right\| =\left\| \mathcal{I}_{K-K_{n}}\right\| \leq \left\| K-K_{n}\right\| _{2} \]

  где неравенство выше следует из 10.8. Таким образом, \(T_K=\lim_{n \rightarrow \infty } \mathcal{I}_{K_{n}}\). Согласно предыдущему абзацу, каждый \(\mathcal{I}_{K_{n}}\) является компактным. Поскольку множество компактных операторов является замкнутым подмножеством \(\mathcal{B}(V)\) [по \(10.69(\mathrm{a})\) ], мы заключаем, что \(T_K\) является компактным.

• Завершаем доказательство, показывая, что случай, рассмотренный в предыдущем абзаце, включает все \(K \in L^{2}(\mu \times \mu )\). Для этого предположим, что \(F \in L^{2}(\mu \times \mu )\) ортогонален всем элементам \(L^{2}(\mu \times \mu )\) вида, рассмотренного в предыдущем абзаце. Таким образом,

  \[ 0=\int _{X \times X} g(x) h(y) \overline{F(x, y)} d(\mu \times \mu )(x, y)=\int _{X} g(x) \int _{X} h(y) \overline{F(x, y)} d \mu (y) d \mu (x) \]

  для всех \(g, h \in L^{2}(\mu )\), где мы использовали теорему Тонелли, теорему Фубини и неравенство Гёльдера (с \(p=2\)). Для фиксированного \(h \in L^{2}(\mu )\), то, что правая сторона выше равна 0 для всех \(g \in L^{2}(\mu )\), подразумевает, что

  \[ \int _{X} h(y) \overline{F(x, y)} d \mu (y)=0 \]

  почти для каждого \(x \in X\). Теперь \(F(x, y)=0\) для почти каждого \((x, y) \in X \times X\) [поскольку приведенное выше уравнение справедливо для всех \(\left.h \in L^{2}(\mu )\right]\), что, согласно 8.42, завершает доказательство.

В качестве частного случая предыдущего результата мы можем теперь видеть, что оператор Вольтерры \(\mathcal{V}: L^{2}([0,1]) \rightarrow L^{2}([0,1])\), определенный как

\[ (\mathcal{V} f)(x)=\int _{0}^{x} f \]

является компактным.

Оператор Вольтерры инъективен [поскольку дифференцирование обеих сторон уравнения \(\int_{0}^{x} f=0\) по \(x\) и использование теоремы Лебега о дифференцировании показывает, что \(f=0]\). Таким образом, оператор Вольтерры является примером компактного оператора с бесконечномерным образом. Следующая задача предоставляет другой класс компактных операторов, которые не обязательно имеют конечномерный диапазон.

ProblemЗадача 15

Пусть \(b \in \ell^{\infty }\), пусть \(T_b: \ell^2 \to \ell^2\) действует так: \[ T_b(a_1,a_2,\ldots ) = \left(a_1b_1, a_2b_2, \ldots \right) \]

1. Докажите, что \(\sigma (T_b) = \overline{\left\{ b_{n}\right\} }\).

2. Докажите, что \(T_b\) компактен \(\Leftrightarrow b_n \rightarrow 0\).

[@VKK, Задача  12.9]

Лемма 26 (\(T\) компактен \(\iff\) \(T^*\) компактен) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве. Тогда \(T\) компактен тогда и только тогда, когда \(T^{*}\) компактен.

7 Спектральная теорема

7.1 Ортонормированные базисы, состоящие из собственных векторов

Начнем этот раздел со следующей полезной леммы.

Лемма 27 (\(T^{*} T-\left\| T\right\|^{2} I\) не является обратимым) Если \(T\) — ограниченный оператор на ненулевом гильбертовом пространстве, то \(\left\| T\right\|^{2} \in \sigma \left(T^{*} T\right)\).

Следующий результат указывает на один из способов, которым самосопряженные компактные операторы ведут себя подобно самосопряженным операторам на конечномерных гильбертовых пространствах.

Лемма 28 (Каждый самосопряженный компактный оператор имеет собственное значение) Пусть \(T\) — самосопряженный компактный оператор на ненулевом гильбертовом пространстве. Тогда либо \(\left\| T\right\|\), либо \(-\left\| T\right\|\) является собственным значением \(T\).

Если \(T\) — оператор на векторном пространстве \(V\), а \(U\) — подпространство \(V\), то \(\left.T\right|_{U}\) — линейное отображение из \(U\) в \(V\). Для того чтобы \(\left.T\right|_{U}\) был оператором (то есть линейным отображением из векторного пространства в себя), нам нужно, чтобы \(T(U) \subseteq U\). Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Пусть \(T\) — оператор на векторном пространстве \(V\). Подпространство \(U\) пространства \(V\) называется инвариантным подпространством для \(T\), если \(T f \in U\) для каждого \(f \in U\).

ExampleПример 16

Примеры инвариантных подпространств

SolutionРешение

Вам следует проверить каждое из приведенных ниже утверждений.

• Для \(b \in [0,1]\) подпространство

\[ \left\{ f \in L^{2}([0,1]): f(t)=0 \text{ почти для каждого } t \in [0, b]\right\} \]

является инвариантным подпространством для оператора Вольтерры \(\mathcal{V}: L^{2}([0,1]) \rightarrow L^{2}([0,1])\), определенного как \((\mathcal{V} f)(x)=\int_{0}^{x} f\).

• Предположим, что \(T\) — оператор на гильбертовом пространстве \(V\) и \(f \in V\) с \(f \neq 0\). Тогда \(\operatorname {span}\left\{ f\right\}\) является инвариантным подпространством для \(T\) тогда и только тогда, когда \(f\) является собственным вектором \(T\).

— Предположим, что \(T\) — оператор на гильбертовом пространстве \(V\). Тогда \(\left\{ 0\right\} , V\), \(\operatorname {Ker}T\) и \(\operatorname {Im}T\) являются инвариантными подпространствами для \(T\).

— Если \(T\) — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве и \(U\) — инвариантное подпространство для \(T\), то \(\overline{U}\) — инвариантное подпространство для \(T\).

Если \(T\) — компактный оператор на гильбертовом пространстве и \(U\) — замкнутое инвариантное подпространство для \(T\), то \(\left.T\right|_{U}\) — компактный оператор на \(U\), как следует из определений.

Если \(U\) — замкнутое инвариантное подпространство для самосопряженного оператора \(T\), то \(\left.T\right|_{U}\) является самосопряженным, потому что

\[ \left\langle \left(\left.T\right|_{U}\right) f, g \right\rangle = \left\langle T f, g \right\rangle = \left\langle f, T g \right\rangle = \left\langle f, \left(\left.T\right|_{U}\right) g \right\rangle \]

для всех \(f, g \in U\). Следующий результат показывает, что верно еще несколько моментов.

Наиболее важным открытым вопросом в теории операторов является проблема инвариантных подпространств, которая спрашивает, имеет ли каждый ограниченный оператор на гильбертовом пространстве размерности больше 1 замкнутое инвариантное подпространство, отличное от \(\left\{ 0\right\}\) и \(V\).

Лемма 29 (Инвариантность U для самосопряженного оператора T подразумевает инвариантность \(U^{\perp }\) для \(T\)) Пусть \(U\) — инвариантное подпространство для самосопряженного оператора \(T\). Тогда (a) \(U^{\perp }\) также является инвариантным подпространством для \(T\); (b) \(\left.T\right|_{U^{\perp }}\) — самосопряженный оператор на \(U^{\perp }\).

Операторы, для которых существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, могут быть наиболее простыми для понимания операторами. Следующий результат утверждает, что любой такой оператор должен быть самосопряженным в случае вещественного гильбертова пространства и нормальным в случае комплексного гильбертова пространства.

Лемма 30 (Ортонормированный базис собственных векторов подразумевает самосопряженность или нормальность) Пусть \(T\) — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве \(V\), и существует ортонормированный базис \(V\), состоящий из собственных векторов оператора \(T\).

1. Если \(\mathbb {F}=\mathbb {R}\), то \(T\) является самосопряженным.

2. Если \(\mathbb {F}=\mathbb {C}\), то \(T\) является нормальным.

Следующий результат является одним из главных достижений теории компактных операторов на гильбертовых пространствах. Приведенный ниже результат применим как к вещественным, так и к комплексным гильбертовым пространствам. В случае вещественного гильбертова пространства приведенный ниже результат можно объединить с 10.103(a), чтобы получить следующий результат: Компактный оператор на вещественном гильбертовом пространстве является самосопряженным тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис гильбертова пространства, состоящий из собственных векторов оператора.

Теорема 7 (Спектральная теорема для самосопряженных компактных операторов) Пусть \(T\) — самосопряженный компактный оператор на гильбертовом пространстве \(V\). Тогда (a) существует ортонормированный базис \(V\), состоящий из собственных векторов \(T\); (b) существует счетное множество \(\Omega\), ортонормированное семейство \(\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Omega }\) в \(V\) и семейство \(\left\{ \alpha_{k}\right\}_{k \in \Omega }\) в \(\mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}\) такое, что

\[ T f=\sum _{k \in \Omega } \alpha _{k} \left\langle f, e_{k} \right\rangle e_{k} \]

для каждого \(f \in V\).

Нормальный компактный оператор на ненулевом вещественном гильбертовом пространстве может не иметь собственных значений [рассмотрим, например, нормальный оператор \(T\) вращения против часовой стрелки на прямой угол на \(\mathbb {R}^{2}\), определяемый как \(\left.T(x, y)=(-y, x)\right]\). Однако следующий результат показывает, что нормальные компактные операторы на комплексных гильбертовых пространствах ведут себя лучше. Ключевая идея доказательства этого результата заключается в том, что на комплексном гильбертовом пространстве вещественная и мнимая части нормального компактного оператора являются коммутирующими самосопряженными компактными операторами, что позволяет нам применить спектральную теорему для самосопряженных компактных операторов.

Теорема 8 (Спектральная теорема для нормальных компактных операторов) Пусть \(T\) — компактный оператор на комплексном гильбертовом пространстве \(V\). Тогда существует ортонормированный базис \(V\), состоящий из собственных векторов \(T\), тогда и только тогда, когда \(T\) является нормальным.

Следующий пример демонстрирует силу спектральной теоремы для нормальных компактных операторов. Нахождение собственных значений и собственных векторов нормального компактного оператора \(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\) в следующем примере приводит нас к ортонормированному базису \(L^{2}([0,1])\). Простые вычисления показывают, что семейство \(\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}\), где \(e_{k}\) определено как в 10.112, является ортонормированным семейством в \(L^{2}([0,1])\). Сложность доказательства того, что \(\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}\) является ортонормированным базисом \(L^{2}([0,1])\), заключается в том, чтобы показать, что замыкание линейной оболочки этого семейства равно \(L^{2}([0,1])\). Однако спектральная теорема для нормальных компактных операторов (10.107) предоставляет эту информацию без необходимости дальнейших действий.

ExampleПример 17

Пример ортонормированного базиса собственных векторов

SolutionРешение

Пусть \(\mathcal{V}: L^{2}([0,1]) \rightarrow L^{2}([0,1])\) — оператор Вольтерры, определяемый следующим образом:

\[ (\mathcal{V} f)(x)=\int _{0}^{x} f \]

Оператор \(\mathcal{V}\) компактен (см. абзац после доказательства 10.70), но он не нормален. Поскольку \(\mathcal{V}\) компактен, то и \(\mathcal{V}^{*}\) также компактен (согласно 10.73). Следовательно, \(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\) компактен. Также, \(\left(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\right)^{*}=\mathcal{V}^{*}-\mathcal{V}=-\left(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\right)\). Поскольку каждый оператор коммутирует со своим отрицательным значением, мы заключаем, что \(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\) является компактным нормальным оператором. Поскольку мы хотим применить спектральную теорему, в оставшейся части этого примера мы будем брать \(\mathbb {F}=\mathbb {C}\).

Если \(f \in L^{2}([0,1])\) и \(x \in [0,1]\), то формула для \(\mathcal{V}^{*}\), заданная формулой 10.16, показывает, что

\[ \left(\left(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\right) f\right)(x)=2 \int _{0}^{x} f-\int _{0}^{1} f \]

Правая сторона приведенного выше уравнения является непрерывной функцией от \(x\), значение которой при \(x=0\) противоположно значению при \(x=1\).

Дифференцируя обе стороны приведенного выше уравнения и используя теорему Лебега о дифференцировании (4.19), мы видим, что

\[ \left(\left(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\right) f\right)^{\prime }(x)=2 f(x) \]

почти для каждого \(x \in [0,1]\). Если \(f \in \operatorname {null}\left(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\right)\), то дифференцирование обеих сторон уравнения \(\left(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\right) f=0\) показывает, что \(2 f(x)=0\) почти для каждого \(x \in [0,1]\); следовательно, \(f=0\), и мы заключаем, что \(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\) инъективен (следовательно, 0 не является собственным значением).

Предположим, что \(f\) — собственный вектор \(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\) с собственным значением \(\alpha\). Таким образом, \(f\) находится в области значений \(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\), что, согласно 10.109, подразумевает непрерывность \(f\) на [ 0,1 ], а согласно 10.109, опять же подразумевает непрерывную дифференцируемость \(f\) на \((0,1)\). Дифференцируя обе стороны уравнения \(\left(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\right) f=\alpha f\), получаем:

\[ 2 f(x)=\alpha f^{\prime }(x) \]

для всех \(x \in (0,1)\). Следовательно, функция, значение которой в точке \(x\) равно \(e^{-(2 / \alpha ) x} f(x)\), имеет производную 0 везде на \((0,1)\) и, таким образом, является постоянной функцией. Другими словами,

\[ f(x)=c e^{(2 / \alpha ) x} \tag {10.110} \]

для некоторой константы \(c \neq 0\). Поскольку \(f \in \operatorname {range}\left(V-\mathcal{V}^{*}\right)\), мы имеем \(f(0)=-f(1)\), что с учетом приведенного выше уравнения подразумевает существование \(k \in \mathbb {Z}\) такого, что

\[ 2 / \alpha =i(2 k+1) \pi . \tag {10.111} \]

Заменив \(2 / \alpha\) в 10.110 значением \(2 / \alpha\), полученным в 10.111, мы видим, что для \(k \in \mathbb {Z}\) следует определить \(e_{k} \in L^{2}([0,1])\) следующим образом:

\[ e_{k}(x)=e^{i(2 k+1) \pi x} \tag {10.112} \]

Очевидно, что \(\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}\) является ортонормированным семейством в \(L^{2}([0,1])\) [ортогональность можно проверить простым вычислением или с помощью 10.57]. Приведенный выше абзац и спектральная теорема для компактных нормальных операторов (10.107) подразумевают, что это ортонормированное семейство является ортонормированным базисом \(L^{2}([0,1])\).

7.2 Сингулярное разложение

Следующий результат дает важное обобщение спектральной теоремы на произвольные компактные операторы, которые не обязательно должны быть самосопряженными или нормальными. Это обобщение требует двух ортонормированных семейств, в отличие от одного ортонормированного семейства в обычной спектральной теореме.

Теорема 9 (Сингулярное разложение) Пусть \(T\) — компактный оператор на гильбертовом пространстве \(V\). Тогда существует счетное множество \(\Omega\), ортонормированные семейства \[ \left\{ e^{(1)}_k\right\} _{k \in \Omega } \qquad \text{ и } \qquad \left\{ e^{(2)}_k\right\} _{k \in \Omega } \] в \(V\), и семейство \(\left\{ \alpha_{k}\right\}_{k \in \Omega }\) положительных чисел такое, что \[ Tf = \sum _{k \in \Omega } \alpha _{k} \cdot \left\langle f, e^{(1)}_{k} \right\rangle \cdot e^{(2)}_{k} \] для каждого \(f \in V\).

Ортонормированные семейства \(\left\{ e^{(1)}_{k}\right\}_{k \in \Omega }\) и \(\left\{ e^{(2)}_{k}\right\}_{k \in \Omega }\) в сингулярном разложении не определяются однозначно оператором \(T\). Однако положительные числа \(\left\{ \alpha_{k}\right\}_{k \in \Omega }\) определяются однозначно как положительные квадратные корни положительных собственных значений \(T^{*}T\). Эти положительные числа можно расположить в порядке убывания (поскольку, если их бесконечно много, то они образуют последовательность с пределом \(0\)). Эта процедура приводит к приведенному ниже определению сингулярных значений.

Предположим, что \(T\) — компактный оператор. Напомним, что геометрическая кратность положительного собственного значения \(\alpha\) оператора \(T^{*} T\) определяется как \(\operatorname {dim} \operatorname {null}\left(T^{*} T-\alpha I\right)\) [см. 10.81]. Эта геометрическая кратность — это число раз, когда \(\sqrt{\alpha }\) появляется в семействе \(\left\{ s_{k}\right\}_{k \in \Omega }\), соответствующем сингулярному разложению оператора \(T\). Согласно 10.82, эта геометрическая кратность конечна.

Теперь мы можем определить сингулярные значения компактного оператора \(T\), где мы тщательно указываем квадратный корень каждого положительного собственного значения оператора \(T^{*} T\) столько раз, сколько составляет его геометрическая кратность.

• Предположим, что \(T\) — компактный оператор на гильбертовом пространстве. Сингулярные значения \(T\), обозначаемые \(s_{1}(T) \geq s_{2}(T) \geq s_{3}(T) \geq \cdots\), — это положительные квадратные корни положительных собственных значений \(T^{*} T\), расположенные в порядке убывания, причем каждое сингулярное значение \(s\) указано столько раз, сколько геометрическая кратность \(s^{2}\) в качестве собственного значения \(T^{*} T\).

• Если \(T^{*} T\) имеет лишь конечное число положительных собственных значений, то определим \(s_{n}(T)=0\) для всех \(n \in \mathbb {N}\), для которых \(s_{n}(T)\) не определен первым пунктом.

ExampleПример 18

Пример сингулярных значений в конечномерном гильбертовом пространстве

SolutionРешение

Определим \(T: \mathbb {F}^{4} \rightarrow \mathbb {F}^{4}\) следующим образом:

\[ T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)=\left(0,3 z_{1}, 2 z_{2},-3 z_{4}\right) . \]

Вычисление показывает, что

\[ \left(T^{*} T\right)\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)=\left(9 z_{1}, 4 z_{2}, 0,9 z_{4}\right) . \]

Таким образом, собственные значения \(T^{*} T\) равны \(9, 4, 0\) и

\[ \operatorname {dim}\left(T^{*} T-9 I\right)=2 \quad \text{ и } \quad \operatorname {dim}\left(T^{*} T-4 I\right)=1 . \]

Извлекая квадратные корни из положительных собственных значений \(T^{*} T\) и затем добавляя бесконечную последовательность нулей, мы видим, что сингулярные значения \(T\) равны \(3 \geq 3 \geq 2 \geq 0 \geq 0 \geq \cdots\).

Заметим, что -3 и 0 являются единственными собственными значениями \(T\). Таким образом, в этом случае список собственных значений \(T\) не содержит числа 2, которое появляется в определении (и, следовательно, в поведении) \(T\), но список сингулярных значений \(T\) включает 2.

Следующий результат устанавливает важную связь между \(K \in L^{2}(\mu \times \mu )\) и сингулярными значениями интегрального оператора, связанного с \(K\).

Лемма 31 (сумма квадратов сингулярных значений интегрального оператора) Пусть \(\mu\) — \(\sigma\)-конечная мера и \(K \in L^{2}(\mu \times \mu )\). Пусть \(T_K\) — интегральный оператор с ядром \(K\). Тогда \[ \left\| K\right\| _{L^{2}(\mu \times \mu )}^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(s_{n}\left(T_K\right)\right)^{2} . \]

Теперь мы можем привести впечатляющее применение предыдущего результата.

ExampleПример 19

Пусть \(\mathcal{V} \in \mathcal{B}(L^2[0,1])\) – оператор Вольтерры.

1. Найдите сингулярные значения для (нормального) оператора \(T = \mathcal{V} - \mathcal{V}^*\);

2. Найдите \(\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots\).

SolutionРешение

Enum-item(i)

В примере 10.108 мы видели, что если \(e_{k}\) определяется формулой 10.112, то \(\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}\) является ортонормированным базисом \(L^{2}([0,1])\) и

\[ T e_{k}=\frac{2}{i(2 k+1) \pi } e_{k} \]

для каждого \(k \in \mathbb {Z}\), где собственное значение, показанное выше и соответствующее \(e_{k}\), берется из формулы 10.111. Теперь формула 10.56 подразумевает, что

\[ T^{*} e_{k}=\frac{-2}{i(2 k+1) \pi } e_{k} \]

для каждого \(k \in \mathbb {Z}\). Следовательно,

\[ T^{*} T e_{k}=\frac{4}{(2 k+1)^{2} \pi ^{2}} e_{k} \]

для каждого \(k \in \mathbb {Z}\). После извлечения положительных квадратных корней из собственных значений мы видим, что приведенное выше уравнение показывает, что сингулярные значения \(T\) равны:

\[ \frac{2}{\pi } \geq \frac{2}{\pi } \geq \frac{2}{3 \pi } \geq \frac{2}{3 \pi } \geq \frac{2}{5 \pi } \geq \frac{2}{5 \pi } \geq \cdots , \]

где первые два сингулярных значения выше получены из взятия \(k=-1\) и \(k=0\) в 10.119, следующие два сингулярных значения выше получены из взятия \(k=-2\) и \(k=1\), следующие два сингулярных значения выше получены из взятия \(k=-3\) и \(k=2\) и так далее. Каждое сингулярное значение \(T\) встречается дважды в приведенном выше списке сингулярных значений, поскольку каждое собственное значение \(T^{*} T\) имеет геометрическую кратность 2.

Enum-item(ii)

Определим \(K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}\) следующим образом:

\[ K(x, y)= \begin{cases} 1 & \text{ если } x>y \\ 0 & \text{ если } x=y \\ -1 & \text{ если } x<y \end{cases} \]

Пусть \(\lambda\) — мера Лебега на \([0,1]\), отметим, что интегральный оператор \(T_{K}\) — нормальный компактный оператор \(\mathcal{V}-\mathcal{V}^{*}\) на \(L^2[0,1]\), где \(\mathcal{V}\) – оператор Вольтерры.

Легко вычислить \(\left\| K\right\|_{L^{2}(\lambda \times \lambda )}=1\). Имеем

\[ 1=2 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{4}{(2 k+1)^{2} \pi ^{2}} \]

Таким образом,

\[ \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots =\frac{\pi ^{2}}{8} . \]

ProblemЗадача 16

Найти норму оператора Вольтерры \(\mathcal{V}: L^2[0,1] \to L^2[0,1]\), \[ (\mathcal{V} f)(x) = \int _{0}^{x} f(y) dy \]

[@VKK, Задача  12.18]

Сноски

1. То, что изложено в предыдущем параграфе, разумеется, не может служить доказательством, скорее оно призвано дать интуицию