Слабая сходимость в банаховом пространстве
18 октября 2026
Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
1 Слабая и слабая-* сходимость векторов
1.1 Слабая сходимость
Определение 1 Пусть \(V\) – некоторое нормированное пространство.
Говорят, что последовательность \(\left\{ f_n: n \geq 1\right\}\) элементов НП \(V\) слабо сходится к элементу \(f \in V\), если действие любого линейного непрерывного функционала на \(f_n\) сходится к действию на \(f\):
\[ \varphi \left(f_n\right) \xrightarrow [n \to \infty ]{} \varphi (f), \qquad \forall \varphi \in V^* \]
Обозначение: \(f_n \xrightarrow {w} f\).
Говорят, что последовательность \(\left\{ f_n: n \geq 1\right\} \subset V\) сходится сильно к \(f \in V\), если \(f_n\) сходится к \(f\) в \(V\) в обычном смысле, т.е. по норме.
Последовательность векторов \(\left\{ f_n: n \geq 1\right\} \subset V\) называется слабо ограниченной, если для каждого ограниченного линейного функционала \(\varphi \in V^*\) последовательность чисел \(\left\{ \varphi \left(f_n\right): n \geq 1\right\}\) ограничена.
Последовательность векторов \(\left\{ f_n: n \geq 1\right\} \subset V\) называется слабой последовательностью Коши, если для каждого ограниченного функционала \(\varphi \in V^*\) последовательность чисел \(\left\{ \varphi \left(f_n\right): n \geq 1\right\}\) является последовательностью Коши.
Сильная сходимость последовательности векторов из НП влечет слабую сходимость:
\[ f_n \xrightarrow [n \to \infty ]{} f \quad \; \Rightarrow \; \quad f_n \xrightarrow [n \to \infty ]{w} f \]
Обратное утверждение в общем случае неверно.
Докажите, что всякая сильно сходящаяся в НП последовательность сходится слабо. Верно ли обратное утверждение?
Любой элемент \(\varphi\) из \(V^*\) по определению ограничен, что эквивалентно непрерывности (для линейных отображений). Т.е. если \(f_n \to f\), то
\[ \varphi (f_n) \xrightarrow [n \to \infty ]{} \varphi (f) \]
Обратное утверждение неверно, приведем контрпример. Пусть \(V = \ell^{2}\), рассмотрим последовательность векторов \(e^{(n)}, \ n \geq 1\). Поскольку \(\left\| e^{(n)}-e^{(m)}\right\| = \sqrt{2}\) для всех \(n \neq m\), последовательность \(\left\{ f^{(n)}: n \geq 1\right\}\) не является фундаментальной, следовательно, она не сходится (сильно) в \(\ell^{2}\).
Теперь установим, что \(f^{(n)} \xrightarrow {w} 0, \ n \rightarrow \infty\).
Напомним, что \(\left(\ell^{2}\right)^{*}\) можно отождествить с самим \(\ell^{2}\): если \(\varphi \in \left(\ell^{2}\right)^{*}\), то существует \(g \in \ell^{2}\) такое, что \(\varphi (f) = \sum_{n = 1}^{\infty } f_{n} \overline{g_{n}}, \ f \in \ell^{2}\). В нашем случае
\[ \varphi \left(e^{(n)}\right) = \overline{a_{n}} \xrightarrow [n \to \infty ]{} 0 = \varphi (0) \]
поскольку ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty }\left|a_{n}\right|^{2}\) сходится. Следовательно, \(e^{(n)} \xrightarrow {w} 0, \ n \rightarrow \infty\).
Лемма 1 Пусть \(V\) – БП, пусть \(f_n \xrightarrow {w}f\). Тогда \((f_n)\) – ограниченная последовательность (т.е. \(\left\{ \left\| f_n\right\| \right\}\) – ограниченное множество), причем \[ \left\| f\right\| \leq \varliminf _{n \to \infty }\left\| f_n\right\| \]
Теорема 1 (Критерий слабой сходимости в произвольном БП) Пусть \(V\) — БП, пусть \(f, f_1, f_2, \ldots \in V\). \(f_n \xrightarrow {w} f\) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
последовательность \(f_n\) равномерно ограничена: найдется такое \(C > 0\), что \(\left\| f_n\right\| \leq C\) для всех \(n\);
найдется полное множество функционалов \(M\) в \(V^*\) (т.е. \(\overline{\operatorname {span}M} = V^*\)), такое что на них \(f_n\) сходятся к \(f\):
\[ \varphi (f_n) \xrightarrow [n \to \infty ]{}f \qquad \forall \varphi \in M \]
Иначе говоря, чтобы установить слабую сходимость \(f_n\) к \(f\), не нужно проверять сходимость \(\varphi (f_n)\) к \(\varphi (f)\) для всех возможных непрерывных функционалов \(\varphi \in V^*\). Достаточно проверить сходимость \(\varphi (f_n)\) к \(\varphi (f)\) для всех \(\varphi\) из некоторого полного множества из \(V^*\) (+ проверить техническое условие равномерной ограниченности \(\left\{ f_n\right\}_{n \in \mathbb {N}}\)).
Лемма 2 (Критерий слабой сходимости в \(C[ a, b]\)) Последовательность \(f_1, f_2, \ldots \in C[0,1]\) слабо сходится к \(f \in C[a, b]\) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
последовательность \(f_n\) равномерно ограничена;
\(f_n(t) \xrightarrow [n \to \infty ]{} f(t)\) для всех возможных \(t \in [a,b]\)
Лемма 3 (Критерий слабой сходимости в \(l^{p}, 1 < p < +\infty\)) Пусть \(1 < p < +\infty\). Последовательность \(\left\{ f^{(n)} = \left(f_{1}^{(n)}, f_{2}^{(n)}, \ldots \right): n \geq 1\right\} \subset \ell^{p}\) слабо сходится к элементу \(f = \left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \in \ell^{p}\) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
последовательность \(f_n\) равномерно ограничена;
\(f^{(n)}_k \xrightarrow [n \to \infty ]{} f_k\) для всех возможных \(k \in \mathbb {N}\)
Лемма 4 (Критерий слабой сходимости элементов в \(L^{p}[ a, b], 1 < p < +\infty\)) Пусть \(1 < p < +\infty\). Последовательность \(\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset L^{p}[a,b]\) слабо сходится к элементу \(f \in L^{p}[a,b]\) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
последовательность \(f_n\) равномерно ограничена;
\(\int_a^t f_n(s)ds \xrightarrow [n \to \infty ]{} \int_a^t f(s)ds\) для всех возможных \(t \in [a,b]\)
Теорема 2 (Шур) В \(\ell^1\) сильная и слабая сходимости совпадают.
Докажите следующие утверждения:
(Критерий слабой сходимости элементов в \(C[a, b]\).)
(Критерий слабой сходимости элементов в \(\ell^{p}, 1 < p < +\infty\).)
(Критерий слабой сходимости элементов в \(L^{p}[a, b], 1 < p < +\infty\).)
Необходимость. Условие (a) выполняется в силу критерия слабой сходимости (Теорема 5.5). Для любого фиксированного \(t \in [a, b]\) рассмотрим функционал \(\varphi (f) = f(t), \ \varphi \in (C[a, b])^{*}\). Поскольку
\[ \varphi \left(f_{n}\right) = f_{n}(t) \rightarrow \varphi (f) = f(t), \quad n \rightarrow \infty , \]
условие (b) также выполнено. Достаточность. По Теореме 3.4 любой функционал \(\varphi \in (C[a, b])^{*}\) имеет вид \(\varphi (f) = \int_{a}^{b} f(t) d g(t)\), где \(g \in B V_{0}[a, b]\). Пусть \(\lambda_{v}\) — мера Лебега–Стилтьеса, соответствующая функции \(v(t) = V(g,[a, t], \ t \in [a, b]\). Тогда
\[ \begin{aligned} \left|\varphi \left(f_{n}\right)-\varphi (f)\right| & = \left|\int _{a}^{b}\left(f_{n}(t)-f(t)\right) d g(t)\right| \leq \\ & \leq \int _{a}^{b}\left|f_{n}(t)-f(t)\right| d v(t) = \int _{[a, b]}\left|f_{n}(t)-f(t)\right| d \lambda _{v}(t) \end{aligned} \]
Из условий (a), (b) и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что \(\varphi \left(f_{n}\right) \rightarrow \varphi (f), \ n \rightarrow \infty\).
Применим критерий слабой сходимости (Теорема 5.5). Рассмотрим функционалы \(\varphi_{k}(f) = f_{k}, \ f = \left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \in \ell^{p}, \ k \geq 1\). Условие (b) пункта (2) означает, что \(\varphi_{k}\left(f^{(n)}\right) \rightarrow \varphi_{k}(f), \ n \rightarrow \infty\). Поэтому достаточно проверить, что множество \(M = \left\{ \varphi_{k}: k \geq 1\right\}\) является тотальным в \(\left(\ell^{p}\right)^{*}\). Это верно, поскольку пространства \(\left(\ell^{p}\right)^{*}\) и \(l_{q}\), где \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1\), изометрически изоморфны (см. Следствие 3.1 из Теоремы 3.3), и образом множества \(M\) при этом изоморфизме является множество \(\left\{ e_{k}: k \geq 1\right\}\), которое тотально в \(l_{q}\).
Применим критерий слабой сходимости (Теорема 5.5). Рассмотрим функционалы \(\varphi_{\tau }(f) = \int_{a}^{\tau } f(t) d t, \ f \in L^{p}[a, b], \ \tau \in (a, b]\). Условие (b) пункта (3) означает, что \(\varphi_{\tau }\left(f_{n}\right) \rightarrow \varphi_{\tau }(f), \ n \rightarrow \infty\). Поэтому достаточно проверить, что множество \(M = \left\{ \varphi_{\tau } \mid \tau \in (a, b]\right\}\) является тотальным в \(\left(L^{p}[a, b]\right)^{*}\). Это верно, поскольку пространства \(\left(L^{p}[a, b]\right)^{*}\) и \(L_{q}[a, b]\), где \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1\), изометрически изоморфны (см. Теорему 3.3), и образом множества \(M\) при этом изоморфизме является множество \(\left\{ \chi_{[a, \tau ]} \mid \tau \in (a, b]\right\}\), которое тотально в \(L_{q}[a, b]\).
Замечание Критерий слабой сходимости в \(L^{p}(\mathbb {R}), 1 < p < +\infty\), аналогичен (см. задачу 5.7).
Исследуйте последовательности на сильную и слабую сходимость в НП \(V\). Для сходящихся последовательностей найдите их пределы.
\(V = \ell^{p}, 1 \leq p < +\infty , \ f^{(n)} = (0, \ldots , 0, \underbrace{\frac{n}{n+1}}_{n}, 0, \ldots )\);
\(V = \ell^{p}, 1 \leq p \leq +\infty , \ f^{(n)} = \left(1, \frac{1}{2}, \ldots , \frac{1}{n}, 0, \ldots \right)\);
\(V = L^{p}[0,1], 1 \leq p \leq +\infty , \ f_{n}(t) = \begin{cases} n, & t \in \left[0, \frac{1}{n^{2}}\right], \\ 0, & t \in \left(\frac{1}{n^{2}}, 1\right]; \end{cases}\)
\(V = L^{p}[0,1], 1 < p < +\infty , \ f_{n}(t) = \sin \pi n t, \ t \in [0,1]\);
\(V = C[0,1], \ f_{n}(t) = \frac{n t^{2}}{1+n^{2} t^{4}}, \ t \in [0,1]\).
Если последовательность сходится слабо (в частности, если она сходится сильно) в \(\ell^{p}\), \(1 \leq p < +\infty\), то она сходится покоординатно. Для \(1 < p < +\infty\) это следует из задачи 5.1, пункт (2), а для \(p = 1\) можно непосредственно рассмотреть функционалы \(\varphi_{k}(f) = f_{k}, \ f \in \ell^{1}, \ k \geq 1\). Поэтому покоординатный предел последовательности является единственным «кандидатом» на слабый или сильный предел. Для каждого \(k \geq 1\) имеем \(f_{k}^{(n)} = 0, \ n \geq k+1\), следовательно, \(f_{k}^{(n)} \rightarrow 0, \ n \rightarrow \infty\). Теперь исследуем последовательность на сильную и слабую сходимость к \(f = 0\).
Для всех \(1 \leq p < +\infty\) имеем
\[ \left\| f^{(n)}-0\right\| _{p}^{p} = \sum _{k = 1}^{\infty }\left(f_{k}^{(n)}-0\right)^{p} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{p} \rightarrow 1 \neq 0, \quad n \rightarrow \infty , \]
следовательно, сильной сходимости нет.
Пусть \(1 < p < +\infty\). Применим критерий слабой сходимости в \(\ell^{p}\). (a) Имеем \(\left\| f^{(n)}\right\| = \frac{n}{n+1} \leq 1, \ n \geq 1\). (b) Покоординатная сходимость к нулю уже установлена. Следовательно, \(f^{(n)} \xrightarrow {w} 0, \ n \rightarrow \infty\).
Осталось рассмотреть случай \(p = 1\). Возьмём функционал
\[ \varphi (f) = \sum _{n = 1}^{\infty } f_{n}, \quad f \in \ell ^{1}. \]
Тогда \(\varphi \in \left(\ell^{1}\right)^{*}\), поскольку \((1,1,\ldots ) \in \ell^{\infty }\), и
\[ \varphi \left(f^{(n)}\right) = \frac{n}{n+1} \rightarrow 1 \neq 0 = \varphi (0), \quad n \rightarrow \infty . \]
Следовательно, \(f^{(n)} \xrightarrow {w} 0\) не выполняется в \(\ell^{1}\).
Замечание. Для \(p = +\infty\) последовательность не сходится сильно. Так как и элементы последовательности, и «кандидат» на предел принадлежат подпространству \(c_{0}\) пространства \(\ell^{\infty }\), то последовательность сходится слабо в \(\ell^{\infty }\) тогда и только тогда, когда она сходится слабо в \(c_{0}\). Можно применить критерий слабой сходимости в \(c_{0}\) (см. пункт (1) задачи 5.8), чтобы проверить, что эта последовательность сходится слабо.
Найдём покоординатный предел. Для каждого \(k \geq 1\) имеем \(f_{k}^{(n)} = \frac{1}{k}, \ n \geq k+1\), следовательно, \(f_{k}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{k}, \ n \rightarrow \infty\). Положим \(f = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right)\) и проверим, сходится ли \(f^{(n)} \rightarrow f\) в \(\ell^{p}\).
Для \(p = 1\) имеем \(f \notin \ell^{1}\), поскольку ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n}\) расходится. Следовательно, при \(p = 1\) последовательность не сходится ни слабо, ни сильно.
Пусть \(1 < p < +\infty\). Тогда \(f \in \ell^{p}\), поскольку ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{p}}\) сходится. Имеем
\[ \left\| f^{(n)}-f\right\| _{p}^{p} = \sum _{k = n+1}^{\infty } \frac{1}{k^{p}} \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty , \]
как остаток сходящегося ряда. Следовательно, \(f^{(n)} \rightarrow f\) в \(\ell^{p}\) и, значит, \(f^{(n)} \xrightarrow {w} f\).
Для \(p = +\infty\) имеем \(f \in \ell^{\infty }\), поскольку последовательность \(\left\{ \frac{1}{k}\right\}\) ограничена. Так как
\[ \left\| f^{(n)}-f\right\| _{\infty } = \sup _{k \geq n+1} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1} \rightarrow 0, \]
то \(f^{(n)} \rightarrow f\) в \(\ell^{\infty }\), и потому \(f^{(n)} \xrightarrow {w} f\).
Ни сильная, ни слабая сходимость в \(L^{p}[0,1]\), вообще говоря, не влечёт сходимости почти всюду. Однако если для данной последовательности существует предел почти всюду, естественно рассматривать его как «кандидат» на предел.
Для каждого \(t \in (0,1]\) существует \(N\), такое что \(\frac{1}{n^{2}} < t\) при \(n \geq N\), следовательно, \(f_{n}(t) = 0\) при \(n \geq N\). Значит, \(f_{n}(t) \rightarrow 0 = f_{0}(t)\) почти всюду.
Пусть \(1 \leq p < +\infty\). Тогда
\[ \left\| f_{n}-f_{0}\right\| _{p}^{p} = \int _{0}^{1/n^{2}} n^{p} dt = \frac{1}{n^{2-p}}. \]
Отсюда \(f_{n} \rightarrow f_{0}\) в \(L^{p}\) тогда и только тогда, когда \(p < 2\).
При \(p = 2\) имеет место слабая, но не сильная сходимость. При \(p > 2\) последовательность не ограничена и потому не сходится ни слабо, ни сильно.
Положим \(f_{0}(t) = 0\). Тогда по критерию слабой сходимости имеем \(f_{n} \xrightarrow {w} f_{0}\), но
\[ \left\| f_{n}\right\| _{p}^{p} = \frac{1}{\pi }\int _{0}^{\pi }|\sin s|^{p} ds \nrightarrow 0, \]
следовательно, сильной сходимости нет.
Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).
План: : f_n(t)=sin(pi n t) на [0,1] для n=2,5,15 (numpy, шаг зависит от n чтобы избежать алиасинга при рисовании, детерминировано, seed не нужен). Амплитуда/норма не меняется с ростом n (||f_n||_p не зависит от n, см. решение в тексте), но f_n -> 0 слабо: интеграл против любой гладкой/непрерывной “тестовой” функции гасится быстрыми знакопеременными колебаниями (эффект типа леммы Римана-Лебега). Интерактив: ползунок n (можно нецелый через интерполяцию частоты), с бегущим графиком _0^t f_n и визуальным “гашением” площади при растущем n.
Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/FA/contents/specials/080/010_weak_oscillation_fig.tex
По критерию слабой сходимости в \(C[0,1]\) покоординатный предел равен \(f_{0}(t)=0\). Однако
\[ \left\| f_{n}\right\| = \frac{1}{2}, \]
поэтому сильной сходимости нет, но слабая есть: \(f_{n} \xrightarrow {w} f_{0}\).
1.2 Слабая-* сходимость
Напомним важнейшую теорему.
Теорема 3 (Банаха-Штейнгауза; Принцип равномерной ограниченности) Пусть \(V\) — БП, \(\left\{ \varphi_\alpha : \alpha \in A\right\}\) — семейство функционалов из \(V^*\), ограниченное в каждой точке. Тогда это семейство ограничено (равномерно, по норме \(V^*\)): найдется \(C>0\), что \[ \left\| \varphi _{\alpha }\right\| \leq C \qquad \forall \alpha \in A \]
Определение 2 Пусть \(V\) – некоторое нормированное пространство.
Говорят, что последовательность \(\left\{ \varphi_n: n \geq 1\right\}\) функционалов из \(V^*\) слабо- сходится* к функционалу \(\varphi \in V\), если их действия на любой вектор из \(V\) сходятся:
\[ \varphi _n\left(f\right) \xrightarrow [n \to \infty ]{} \varphi (f), \qquad \forall f \in V \]
Обозначение: \(\varphi_n \xrightarrow {w-*} \varphi\).
Говорят, что последовательность \(\left\{ \varphi_n: n \geq 1\right\} \subset V^*\) сходится сильно к \(\varphi \in V^*\), если \(\varphi_n\) сходится к \(\varphi\) в \(V^*\) в обычном смысле, т.е. по норме.
Теорема 4 (Критерий слабой* сходимости функционалов) Пусть \(V\) — БП, \(\left\{ \varphi_n: n \geq 1\right\} \subset V^*, \varphi \in V^*\). Тогда \(\varphi_n \xrightarrow {w-*} \varphi\), тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
\(\left\{ \varphi_n\right\}\) ограничено в \(V^*\): множество норм \(\left\{ \left\| \varphi_n\right\| \right\}\) ограничено;
существует полное множество \(M\) в \(V\) такое, что \(\varphi_n(f) \rightarrow \varphi (f)\), для всех \(f \in M\).
Теорема 5 (Двойственное пространство к БП слабо-* полно) Пусть \(V\) — БП, и пусть последовательность функционалов \(\left\{ \varphi_n: n \geq 1\right\} \subset V^*\) является слабо-* последовательностью Коши, т.е. для каждого \(f \in V\) последовательность \(\left\{ \varphi_n(f): n \geq 1\right\}\) является последовательностью Коши. Тогда существует функционал \(\varphi \in V^*\) такой, что \(\varphi_n \xrightarrow {w-*} \varphi , n \rightarrow \infty\).
Теорема 6 (Банах-Алаоглу, слабая-* компактность шара в двойственном пространстве) Пусть \(V\) — сепарабельное НП, \(R>0\). Тогда любая последовательность функционалов из шара \(\bar{B}(0, R)= \left\{ \varphi \in V^* \mid \| \varphi \| \leq R\right\}\) в \(V^*\) имеет подпоследовательность, которая слабо-* сходится к некоторому функционалу из \(V^*\).
Докажите, что последовательность функционалов \(\left\{ \varphi_{n}: n \geq 1\right\} \subset V^{*}\) сходится слабо-* , если
\(V = L^{1}[a, b], \ \varphi_{n}(f) = \int_{a}^{b} f(t) e^{i n t} d t ;\)
\(V = L^{p}[0,1], \ 2 \leq p < +\infty , \ \varphi_{n}(f) = \int_{0}^{1 / n^{2}} n f(t) d t\);
\(V = C[0,1], \ \varphi_{n}(f) = \sqrt{n} \int_{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}^{1} f(t) d t\).
Применим критерий слабой-* сходимости функционалов. Проверим его условия.
- Ограниченность? Положим \(h_{n}(t) = e^{i n t}, \ t \in [a, b]\). Поскольку \(h_{n} \in L^{\infty }[a, b]\), то по Теореме 3.3 имеем \(\varphi_{n} \in V^{*}\) и
\[ \left\| \varphi _{n}\right\| = \left\| h_{n}\right\| _{\infty } = 1. \]
- Сходимость на каком-то полном множестве? Множество \(M = \left\{ \; \mathbb {1}_{[a, s]} \mid s \in [a, b]\right\}\) индикаторов отрезков является полным в \(L^{1}[a, b]\). Для произвольного \(f = \; \mathbb {1}_{[a, s]} \in M\) имеем
\[ \left|\varphi _{n}(f)\right| = \left|\int _{a}^{s} e^{i n t} d t\right| = \left|\frac{e^{i n s}-e^{i n a}}{i n}\right| \leq \frac{2}{n} \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty . \]
Следовательно, \(\varphi_{n} \xrightarrow {w-*} 0, \ n \rightarrow \infty\), в \(\left(L^{1}[a, b]\right)^{*}\).
Замечание. Эта сходимость означает, что
\[ \int _{a}^{b} f(t) e^{i n t} d t \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty , \]
для всех \(f \in L^{1}[a, b]\) (лемма Римана–Лебега).
Если \(\left\{ \varphi_{n}: n \geq 0\right\} \subset \left(L^{p}[a, b]\right)^{*}\), то
\[ \varphi _{n}(f) = \int _{a}^{b} h_{n}(t) f(t) d t, \quad n \geq 0, \]
где \(h_{n} \in L^{q}[a, b]\) и \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1\). По определению, \(\varphi_{n} \xrightarrow {w-*} \varphi_{0}, \ n \rightarrow \infty\), тогда и только тогда, когда
\[ \forall f \in L^{p}[a, b]: \int _{a}^{b} h_{n}(t) f(t) d t \rightarrow \int _{a}^{b} h_{0}(t) f(t) d t, \quad n \rightarrow \infty . \]
Это эквивалентно слабой сходимости \(h_{n} \xrightarrow {w} h_{0}, \ n \rightarrow \infty\), в \(L^{q}[a, b]\). В нашем случае \([a, b] = [0,1]\) и
\[ h_{n}(t) = \begin{cases} n, & t \in \left[0, \frac{1}{n^{2}}\right], \\ 0, & t \in \left(\frac{1}{n^{2}}, 1\right], \end{cases} \quad n \geq 1. \]
Можно доказать \(h_{n} \xrightarrow {w} 0 = h_{0}, \ n \rightarrow \infty\), в \(L^{q}[0,1]\) для \(1 < q \leq 2\). Следовательно, \(\varphi_{n} \xrightarrow {w-*} 0, \ n \rightarrow \infty\), в \(\left(L^{p}[0,1]\right)^{*}\) для \(2 \leq p < +\infty\).
Положим \(\varphi (f) = f(1), \ f \in C[0,1]\). Покажем, что \(\varphi_{n} \xrightarrow {w-*} \varphi , \ n \rightarrow \infty\). Сначала рассмотрим пространство вещественных функций \(C[0,1]\). По теореме о среднем значении для интеграла Римана для каждой функции \(f \in C[0,1]\) и для каждого \(n \geq 1\) существует \(\theta_{n} \in \left[1-\frac{1}{\sqrt{n}}, 1\right]\) такое, что
\[ \varphi _{n}(f) = f\left(\theta _{n}\right), \quad n \geq 1. \]
Поскольку \(\theta_{n} \rightarrow 1\), \(n \rightarrow \infty\), и \(f \in C[0,1]\), то
\[ \varphi _{n}(f) = f\left(\theta _{n}\right) \rightarrow f(1) = \varphi (f), \quad n \rightarrow \infty . \]
Аналогично, в комплексном пространстве \(C[0,1]\) для каждой функции \(f \in C[0,1]\) существуют \(\theta_{n}^{\prime }, \theta_{n}^{\prime \prime } \in \left[1-\frac{1}{\sqrt{n}}, 1\right]\) такие, что
\[ \varphi _{n}(f) = \operatorname {Re} f\left(\theta _{n}^{\prime }\right) + i \operatorname {Im} f\left(\theta _{n}^{\prime \prime }\right) \rightarrow f(1) = \varphi (f), \quad n \rightarrow \infty . \]
По определению это означает, что \(\varphi_{n} \xrightarrow {w-*} \varphi , \ n \rightarrow \infty\), в \((C[0,1])^{*}\).
Найти замыкание единичной сферы пространства \(\ell^{2}\) в смысле слабой сходимости.
[@VKK, Задача 10.1]
Будет ли гильбертово (произвольное банахово) пространство полным в смысле слабой сходимости?
[@VKK, Задача 10.2]
Пространства \(C[0,1]\), \(c_0\), \(c\) не явл. полными в смысле слабой сходимости. Покажите это
\(c_0\). Пусть \(f^{(n)} = (\underbrace{1,\ldots ,1}_{n},0,0,\ldots )\). Так как \((c_0)^* \cong \ell^1\), для любого \(g \in \ell^1\) имеем \(\varphi_g(f^{(n)}) = \sum_{k=1}^n g_k \to \sum_{k=1}^\infty g_k\) (ряд сходится абсолютно) – значит, \((f^{(n)})\) слабо фундаментальна. Если бы она сходилась слабо к некоторому \(f \in c_0\), то, применяя \(\varphi_g\) с \(g=e_k\) (координатный функционал), получили бы \(f_k = \lim_n f^{(n)}_k = 1\) для каждого \(k\), т.е. \(f=(1,1,\ldots )\) – но это не элемент \(c_0\) (не стремится к \(0\)). Значит, слабого предела в \(c_0\) нет.
\(c\). Та же последовательность \(f^{(n)}\): она слабо фундаментальна и в \(c\) (это следует из представления \(c^* \cong \mathbb {R} \oplus \ell^1\): функционал имеет вид \(\varphi (x) = \alpha \lim_k x_k + \sum_k \beta_k x_k\), \((\beta_k)\in \ell^1\); тогда \(\varphi (f^{(n)}) = \alpha \cdot 0 + \sum_{k=1}^n\beta_k \to \sum_k\beta_k\), так как \(\lim_kf^{(n)}_k=0\) для каждого конечного \(n\)). Если бы предел \(f\in c\) существовал, то из координатных функционалов (\(\alpha =0,\beta =e_k\)) вновь получаем \(f_k=1\) для всех \(k\), т.е. \(f=(1,1,\ldots )\); но из функционала “предел” (\(\alpha =1,\beta =0\)) получаем противоречие: \(\varphi (f^{(n)}) = 0 \to 0\), а должно быть \(\to \varphi (f)=\lim_kf_k=1\). Значит, слабого предела в \(c\) тоже нет.
\(C[0,1]\). Пусть \(f_n(t) = t^n\). Для любой конечной борелевской меры \(\mu\) на \([0,1]\) (по теореме Рисса, \(C[0,1]^*\) состоит из таких мер) по теореме о мажорируемой сходимости (\(|t^n|\leq 1\)) имеем \(\int_0^1 t^n\, d\mu (t) \to \mu (\left\{ 1\right\} )\) – предел существует, т.е. \((f_n)\) слабо фундаментальна. Если бы \(f_n \xrightarrow {w} f\) для некоторой \(f \in C[0,1]\), то в частности для точечных функционалов \(\varphi_t(g)=g(t)\) получили бы \(f(t) = \lim_n t^n = 0\) при \(t<1\) и \(f(1)=1\) – разрывная функция, не лежащая в \(C[0,1]\). Противоречие; слабого предела нет.
Пусть \(V\) — гильбертово пространство, \(f_n \xrightarrow {} f\), \(g_{n} \xrightarrow {w} g\). Доказать, что \[ \left\langle f_n, g_n \right\rangle \xrightarrow [n \to \infty ]{} \left\langle f, g \right\rangle \] Можно ли условие \(f_n \xrightarrow {} f\) сильной сходимости заменить более слабым \(f_{n} \xrightarrow {w} f\)?
[@VKK, Задача 10.8]
Пусть последовательность \(f_{n}\) гильбертова пространства \(V\) слабо сходится к \(f\), причем нормы также сходятся: \[ \left\| f_n\right\| \xrightarrow [n\to \infty ]{}\left\| f\right\| \] Доказать, что \(f_n \xrightarrow {} f\). Верно ли это утверждение для произвольного банахова пространства?
[@VKK, Задача 10.9]
1.3 Компактные операторы и слабая сходимость
Лемма 5 Пусть \(V\) и \(W\) — банаховы пространства, и \(T: V \rightarrow W\) — компактный оператор. Если \(f_{n} \xrightarrow {w} f\), то \(T f_{n} \rightarrow T f\).
Лемма 6 Пусть \(V\) и \(W\) — гильбертовы пространства и \(T \in \mathcal{B}(H, K)\). Тогда \(T\) компактен тогда и только тогда, когда для любой последовательности \(\left(f_{n}\right) \subset V\), сходящейся слабо к \(f\), последовательность \((T f_{n})\) сходится (сильно) к \(Tf\) в \(W\).
2 Слабая и слабая-* сходимость операторов
Пусть \(V_{1}, V_{2}\) — нормированные линейные пространства. Последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right)\) называется равномерно сходящейся (или сходящейся по норме) к оператору \(A \in \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right)\), если \(\left\| A_{n}-A\right\| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty\). Равномерная сходимость обозначается как \(A_{n} \rightrightarrows A, n \rightarrow \infty\).
Последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right)\) называется сильно сходящейся (или поточечно сходящейся) к оператору \(A \in \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right)\), если \(\forall f \in V_{1}: A_{n} f \rightarrow A f, n \rightarrow \infty\), в \(V_{2}\). Сильная сходимость обозначается как \(A_{n} \xrightarrow {s} A, n \rightarrow \infty\), или \(A = s-\lim_{n \rightarrow \infty } A_{n}\).
Последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right)\) называется слабо сходящейся к оператору \(A \in \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right)\), если \(\forall f \in V_{1}: A_{n} f \xrightarrow {w} A f, n \rightarrow \infty\), в \(V_{2}\). Слабая сходимость обозначается как \(A_{n} \xrightarrow {w} A, n \rightarrow \infty\), или \(A = w-\lim_{n \rightarrow \infty } A_{n}\). Равномерная сходимость последовательности операторов подразумевает сильную сходимость, а сильная сходимость подразумевает слабую сходимость. Обратные утверждения, как правило, неверны.
Теорема 7 (Банаха-Штейнгауза; принцип равномерной ограниченности) Пусть \(V_{1}\) — банахово пространство, \(V_{2}\) — нормированное линейное пространство, и множество операторов \(\left\{ A_{\alpha }: \alpha \in T\right\} \subset \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right)\) такое, что \(\forall f \in V_{1} \exists C_{f} > 0 \forall \alpha \in T:\left\| A_{\alpha } f\right\| \leq C_{f}\). Тогда \(\exists C > 0 \forall \alpha \in T:\left\| A_{\alpha }\right\| \leq C\).
Исследовать последовательность операторов \(A_{n}: V \rightarrow V\), \(n \geq 1\), на равномерную, сильную и слабую сходимость, если
\(V = \ell^{2},\; A_{n} f = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, \frac{f_{n}}{n}, \frac{f_{n+1}}{n+1}, \ldots , \frac{f_{2 n}}{2 n}, 0,0, \ldots )\);
\(V = \ell^{2},\; A_{n} f = \left(f_{1}, \ldots , f_{n}, 0,0, \ldots \right)\);
\(V = \ell^{2},\; A_{n} f = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, f_{1}, 0,0, \ldots )\);
\(V = C[0,1],\; \left(A_{n} f\right)(t) = \int_{0}^{1} \sqrt{(t-s)^{2}+\frac{1}{n}}\, f(s)\, d s\);
\(V = C[0,1],\; \left(A_{n} f\right)(t) = \int_{0}^{1} t^{n} f(s)\, d s\);
\(V = L^{p}(\mathbb {R}),\; 1 \leq p < +\infty ,\; \left(A_{n} f\right)(t) = e^{-(t-n)^{2}} f(t)\);
\(V = L^{p}(\mathbb {R}),\; 1 \leq p < +\infty ,\; \left(A_{n} f\right)(t) = \begin{cases} f(t-n), & t \geq n, \\ 0, & t < n . \end{cases}\)
Прежде всего определим оператор, к которому может сходиться данная последовательность операторов. Если последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}\) сходится слабо (в частности, если она сходится сильно или равномерно), то для любого \(f \in \ell^{2}\) последовательность элементов \(\left\{ A_{n} f: n \geq 1\right\}\) сходится слабо в \(\ell^{2}\), а значит, сходится покоординатно в \(\ell^{2}\). Зафиксируем произвольный \(f \in \ell^{2}\) и найдём покоординатный предел последовательности \(\left\{ A_{n} f: n \geq 1\right\}\). Поскольку для любого \(k \in \mathbb {N}\) имеем \(\left(A_{n} f\right)_{k} = 0\) при \(n > k\), то \(\left(A_{n} f\right)_{k} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Следовательно, если последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}\) сходится равномерно, сильно или слабо, то её пределом является нулевой оператор \(A = 0\). Теперь проверим, сходится ли последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}\) к оператору \(A\) равномерно, сильно, слабо или не сходится ни в одном из этих смыслов.
Поскольку для всех \(f \in \ell^{2}\) имеем
\[ \left\| A_{n} f-A f\right\| ^{2} = \sum _{k = n}^{2 n} \frac{|f_{k}|^{2}}{k^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}}\| f\| ^{2}, \]
то \(\left\| A_{n}-A\right\| \leq \frac{1}{n}\), \(n \geq 1\). Следовательно, \(A_{n} \rightrightarrows A\), а значит, \(A_{n} \xrightarrow {s} A\) и \(A_{n} \xrightarrow {w} A\).
Определим оператор \(A\), к которому может сходиться последовательность. Для каждого \(f \in \ell^{2}\) найдём покоординатный предел последовательности \(\left\{ A_{n} f: n \geq 1\right\}\). Поскольку для каждого \(k \in \mathbb {N}\) имеем \(\left(A_{n} f\right)_{k} = f_{k}\) при \(n \geq k\), то \(\left(A_{n} f\right)_{k} \rightarrow f_{k}\) при \(n \rightarrow \infty\). Следовательно, если последовательность сходится в каком-либо смысле, то её пределом является тождественный оператор \(A = I\). Теперь исследуем, в каком смысле (если вообще) последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}\) сходится к оператору \(A\).
Сначала проверим сильную сходимость. Если она имеет место, то автоматически есть и слабая сходимость, и остаётся проверить равномерную. Если сильной сходимости нет, то равномерной тем более нет, и остаётся проверить слабую.
Для любого \(f \in \ell^{2}\) имеем \(A_{n} f-A f = (0, \ldots , 0,-f_{n+1},-f_{n+2}, \ldots )\), поэтому
\[ \left\| A_{n} f-A f\right\| ^{2} = \sum _{k = n+1}^{\infty }|f_{k}|^{2} \rightarrow 0,\quad n \rightarrow \infty , \]
как остаток сходящегося ряда \(\sum_{n = 1}^{\infty }|f_{n}|^{2}\). Следовательно, \(A_{n} \xrightarrow {s} A\), а значит, и \(A_{n} \xrightarrow {w} A\).
Покажем теперь, что \(A_{n} \nRightarrow A\). Положим \(f^{(n)} = e_{n+1}\), \(n \geq 1\). Тогда \(\| f^{(n)}\| = 1\), и
\[ \left\| A_{n}-A\right\| \geq \| A_{n} f^{(n)}-A f^{(n)}\| = 1. \]
Следовательно, \(\| A_{n}-A\| \nrightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\).
Аналогично находим, что возможный предел — нулевой оператор \(A=0\). Для любого \(f \in \ell^{2}\) имеем
\[ \| A_{n} f-A f\| ^{2} = |f_{1}|^{2}, \]
что не стремится к нулю при \(f_{1}\neq 0\). Следовательно, сильной и равномерной сходимости нет.
Однако легко проверить, что для каждого \(f \in \ell^{2}\) последовательность \(A_{n}f\) сходится слабо к нулю, и потому \(A_{n} \xrightarrow {w} A\).
Аналогично получаем, что пределом является оператор
\[ (A f)(t)=\int _{0}^{1}|t-s|\, f(s)\, ds, \]
и при этом имеет место равномерная сходимость.
В этом случае возможный покоординатный предел не является непрерывной функцией, следовательно, слабой (а значит, и сильной или равномерной) сходимости нет.
Пределом является нулевой оператор. Имеет место сильная и слабая сходимость, но равномерной нет.
Пределом может быть только нулевой оператор. Сильной и равномерной сходимости нет. Для \(1<p<\infty\) имеет место слабая сходимость, а для \(p=1\) слабой сходимости нет.
При каких условиях на число \(\alpha \in \mathbb {C}\) последовательность операторов \(A_{n}: \ell^{p} \rightarrow \ell^{p}\), \(1 \leq p \leq +\infty\), определённая формулой \[ A_{n} f = \left(\alpha ^{n} f_{1}, \alpha ^{n-1} f_{2}, \ldots , \alpha f_{n}, 0,0, \ldots \right), \quad f \in \ell ^{p}, \] сходится равномерно, слабо и сильно?
Пусть последовательность \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}\) сходится слабо. Тогда для любого \(f \in \ell^{p}\) последовательность \(\left\{ A_{n} f: n \geq 1\right\}\) сходится слабо в \(\ell^{p}\), а значит, сходится покоординатно. В частности, последовательность чисел \(\left\{ \alpha^{n} f_{1}: n \geq 1\right\}\) должна сходиться. Если \(f_{1} \neq 0\), то отсюда следует, что сходится последовательность \(\left\{ \alpha^{n}: n \geq 1\right\}\). Следовательно, либо \(|\alpha | < 1\), либо \(\alpha = 1\). Таким образом, для сходимости последовательности операторов \(\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}\) в каком-либо смысле необходимо, чтобы \(\alpha \in B(0,1) \cup \left\{ 1\right\}\) при любом \(1 \leq p \leq +\infty\). Отметим, что предельный оператор равен \(A = I\) при \(\alpha = 1\) и \(A = 0\) при \(|\alpha | < 1\).
Пусть \(1 \leq p < +\infty\). Если \(\alpha = 1\), то, аналогично примеру выше, пункт (2), имеем \(A_{n} \nRightarrow A\).
Если \(|\alpha | < 1\), то для любого \(f \in \ell^{p}\) и любого \(\varepsilon > 0\) существует \(m \in \mathbb {N}\) такое, что
\[ \sum _{k = m+1}^{\infty }|f_{k}|^{p} < \frac{\varepsilon }{2}. \]
Для \(n \geq m\) имеем
\[ \begin{aligned} \| A_{n} f- A f \| _{p}^{p} & = |\alpha |^{n p}|f_{1}|^{p}+|\alpha |^{(n-1) p}|f_{2}|^{p}+\ldots +|\alpha |^{p}|f_{n}|^{p} \\ & \leq |\alpha |^{(n+1-m) p} \sum _{k = 1}^{m}|f_{k}|^{p}+\sum _{k = m+1}^{n}|f_{k}|^{p} \\ & \leq |\alpha |^{(n+1-m) p}\| f\| _{p}^{p}+\frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon , \end{aligned} \]
если \(n\) достаточно велико. Следовательно, \(A_{n} \xrightarrow {s} A\). Однако если \(f^{(n)} = e^{(n)}\), \(n \geq 1\), то
\[ \left\| A_{n} f^{(n)}-A f^{(n)}\right\| _{p} = |\alpha |. \]
Значит, \(\left\| A_{n}-A\right\| \geq |\alpha |\), и потому равномерная сходимость имеет место только при \(\alpha = 0\).
Пусть теперь \(p = +\infty\). Если \(\alpha = 1\), то для \(f = (1,1,\ldots )\) имеем
\[ \left\| A_{n} f-A f\right\| = 1, \]
поэтому сильной сходимости нет. Покажем также, что нет и слабой сходимости. По теореме Хана–Банаха функционал \(\varphi (f)=\lim_{n\to \infty } f_n\) на \(c\) продолжается до функционала \(F\) на \(\ell^\infty\). Тогда
\[ F(A_{n}f)=0,\qquad F(Af)=1, \]
что противоречит слабой сходимости.
Если \(|\alpha |<1\), то для \(f=(1,1,\ldots )\) имеем
\[ \left\| A_{n}f-Af\right\| =|\alpha |, \]
поэтому сильной сходимости нет, кроме случая \(\alpha =0\). Покажем, что при \(|\alpha |<1\) имеет место слабая сходимость к нулю. Пусть \(f\in \ell^\infty\) произвольно. Тогда \(A_{n}f\in c_0\) и для любого \(F\in (\ell^\infty )^*\) его ограничение на \(c_0\) лежит в \(c_0^*\). По критерию слабой сходимости в \(c_0\) достаточно покоординатной сходимости и ограниченности норм, что выполняется. Следовательно, \(A_{n}f\xrightarrow {w}0\) в \(\ell^\infty\).
Итак, если \(1\leq p<+\infty\), то равномерная сходимость имеет место только при \(\alpha =0\), а сильная и слабая — при \(|\alpha |<1\) и при \(\alpha =1\); если \(p=+\infty\), то равномерная и сильная сходимость возможны только при \(\alpha =0\), а слабая — при \(|\alpha |<1\).
Пусть \(V\) — банахово пространство, и последовательности \(\left\{ f, f_{n}: n \geq 1\right\} \subset V\) и \(\left\{ A, A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}(V)\) таковы, что \(f_{n} \rightarrow f\), \(A_{n} \xrightarrow {w} A\) при \(n \rightarrow \infty\). Доказать, что \(A_{n} f_{n} \xrightarrow {w} A f\) при \(n \rightarrow \infty\).
Для каждого \(z \in V\) последовательность \(\left\{ A_{n} z: n \geq 1\right\}\) ограничена, поскольку она сходится слабо. Следовательно, по теореме Банаха–Штейнгауза последовательность норм \(\{ \| A_{n}\| : n \geq 1\}\) ограничена.
Для произвольного функционала \(\varphi \in V^{*}\) имеем
\[ \begin{aligned} |\varphi (A_{n} f_{n})-\varphi (A f)| & \leq |\varphi (A_{n} f_{n})-\varphi (A_{n} f)| + |\varphi (A_{n} f)-\varphi (A f)| \\ & \leq \| \varphi \| \cdot \| A_{n}\| \cdot \| f_{n}-f\| + |\varphi (A_{n} f)-\varphi (A f)| \rightarrow 0, \end{aligned} \]
при \(n \rightarrow \infty\). Следовательно, \(A_{n} f_{n} \xrightarrow {w} A f\).