Банаховы пространства

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Векторные пространства

1.1 Векторные пространства и подпространства

\(\mathbb {F}\) обозначает либо \(\mathbb {R}\), либо \(\mathbb {C}\).

Векторное пространство \(V\) над полем \(\mathbb {F}\) – это …

Напомним, что подмножество \(U\) векторного пространства \(V\) является подпространством \(V\) тогда и только тогда, когда \(U\) удовлетворяет следующим трём условиям:

1. нулевой элемент: \(0 \in U\);

2. замкнутость относительно сложения: \(f, g \in U \implies f+g \in U\);

3. замкнутость относительно умножения на скаляр: \(\alpha \in \mathbb {F}, f \in U \implies \alpha f \in U\).

Указанные три условия обычно позволяют быстро определить, является ли данное подмножество \(V\) подпространством \(V\), как показано ниже. Все примеры ниже, кроме первого пункта, связаны с понятием меры.

2 Нормированные векторные пространства

2.1 Нормы и полные нормы

Пусть есть ВП \(V\) над полем \(\mathbb {F}\) (\(\mathbb {F} = \mathbb {R}\) или \(\mathbb {C}\)). Функция \(\left\| \cdot \right\| : V \to [0, +\infty )\) называется нормой, если она положительно определена, абсолютно гомогенна и субаддитивна (т.е. выполняется неравенство треугольника, подробное определение см. определение выше). ВП \(V\) с заданной на нем нормой называется нормированным пространством (НП).

ExampleПример 1

Исследуйте, являются ли следующие функции нормами на соотв. ВП.

1. \(\left\| \cdot \right\|_1\) и \(\left\| \cdot \right\|_{\infty }\) на \(\mathbb {F}^n\);

2. \(\left\| \cdot \right\|_1\) на \(\ell^1\);

3. Пусть \(X \neq \varnothing\). Пусть \(b(X)\) – множество ограниченных функций на \(X\). Для \(f \in b(X)\) определим

\[ \left\| f\right\| := \sup _{x \in X}\left|f(x)\right| \]

4. На \(C[0,1]\) определим

\[ \left\| f\right\| = \int _0^1 \left|f\right| \]

5. \(\left\| \cdot \right\|_1\) на \(\mathcal{L}^1(\mathbb {R})\): есть однородность, неравенство треугольника, нет положительной определенности;

6. \(\sqrt{\left|x_1\right|} + \ldots + \sqrt{\left|x_n\right|}\) на \(\mathbb {F}^n\): есть положительная определенность и нер-во треугольника, нет однородности;

7. \(\left\| \cdot \right\|_{1/2}\) на \(\mathbb {F}^n\): есть однородность и положительная определенность, нет неравенства треугольника.

SolutionРешение

Enum-item(1)

Обе – нормы: положительная определенность и однородность очевидны из соотв. свойств \(\left|\cdot \right|\) на \(\mathbb F\); неравенство треугольника для \(\left\| \cdot \right\|_1\) и \(\left\| \cdot \right\|_\infty\) следует покоординатно из \(\left|x_i+y_i\right| \leq \left|x_i\right|+\left|y_i\right|\) (суммируя или беря максимум по \(i\)).

Enum-item(2)

Норма: те же три аксиомы, что и в а), только с бесконечной суммой вместо конечной; ряд \(\sum \left|x_i+y_i\right|\) сходится и мажорируется \(\sum \left|x_i\right|+\sum \left|y_i\right|\) почленно.

Enum-item(3)

Норма: \(\left\| f\right\| =0 \iff \sup_X\left|f\right| = 0 \iff f\equiv 0\); однородность и неравенство треугольника – как для \(\left\| \cdot \right\|_\infty\), только \(\sup\) берётся по всему \(X\), а не по конечному набору индексов.

Enum-item(4)

Норма (важно, что рассматриваем именно \(C[0,1]\), а не произвольные измеримые функции): однородность и неравенство треугольника – из монотонности и линейности интеграла: \(\int_0^1\left|f+g\right| \leq \int_0^1(\left|f\right|+\left|g\right|)\). Положительная определённость: если \(\int_0^1\left|f\right| = 0\) для непрерывной \(f\geq 0\), то \(f\equiv 0\) (иначе \(f(x_0)>0\) в какой-то точке, и по непрерывности \(f>c>0\) на целом интервале вокруг \(x_0\), откуда \(\int_0^1\left|f\right| \geq c\cdot (\text{длина интервала})>0\) – противоречие).

Как видно из пунктов д)–ж) ниже (сформулированных прямо в условии): без непрерывности (д) или при \(p<1\) (ж) положительная определённость и неравенство треугольника перестают быть автоматическими, а при показателе степени \(<1\) в определении однородности (е) ломается однородность.

Любое НП является МП: норма естественным образом порождает метрику. Банахово пространство – это НП, полное по метрике, порожденной нормой.

ExampleПример 2

Исследуйте, являются ли следующие НП банаховыми.

1. \(C[0,1]\) с \(\left\| \cdot \right\|_{\infty }\);

2. \(\ell^1\) с \(\left\| \cdot \right\|_{1}\);

3. \(C[0,1]\) с \(\left\| \cdot \right\|_1\);

4. \(\ell^1\) с \(\left\| \cdot \right\|_{\infty }\).

SolutionРешение

Enum-item(1)

Да, банахово. Пусть \((f_n)\) – последовательность Коши в \((C[0,1],\left\| \cdot \right\|_{\infty })\). Для каждого \(x\in [0,1]\) числовая последовательность \((f_n(x))\) является последовательностью Коши в \(\mathbb F\) (так как \(\left|f_n(x)-f_m(x)\right|\leq \left\| f_n-f_m\right\|_{\infty }\)), значит, сходится; обозначим предел \(f(x)\). Из условия Коши для любого \(\varepsilon >0\) найдётся \(N\), что при \(n,m\geq N\) и всех \(x\) выполнено \(\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\varepsilon\); переходя к пределу по \(m\to \infty\), получаем \(\left|f_n(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon\) при всех \(n\geq N\) и всех \(x\), т.е. \(f_n\to f\) равномерно. Равномерный предел непрерывных функций непрерывен, значит, \(f\in C[0,1]\), и \(\left\| f_n-f\right\|_{\infty }\to 0\).

Enum-item(2)

Пусть \((a^{n})_{n\in \mathbb {N}}\) — последовательность Коши в \((\ell^1,\left\| \cdot \right\|_{1})\). Тогда для любого \(\varepsilon >0\) существует \(N\), что для всех \(m,n\ge N\) выполнено

\[ \sum _{i=1}^{\infty }\left|a^n_i - a^m_i\right| < \varepsilon . \]

В частности для каждого фиксированного \(j\) имеем \(\left|a^n_j - a^m_j\right| \le \sum_{i=1}^{\infty }\left|a^n_i - a^m_i\right| < \varepsilon\), поэтому для каждого \(j\) последовательность \((a^n_j)_{n}\) — последовательность Коши в \(\mathbb {F}\) и потому сходится; обозначим \(a_j = \lim_{n\to \infty } a^n_j\). Получаем предельную последовательность \(a=(a_1,a_2,\dots )\). Остаётся показать, что \(a\in \ell^1\) и \(a^n\to a\) в норме \(\left\| \cdot \right\|_{1}\) — это делается стандартным трюком с оценкой хвоста сумм и передачей предела в сумму (используя неравенство треугольника и тот факт, что суммы \(\sum_{i=1}^N |a^n_i-a_i|\) малые при большом \(n\), а хвост \(\sum_{i>N}|a_i|\) мал при большом \(N\)).

Enum-item(3)

Нет, не банахово. Приведём последовательность непрерывных функций, являющуюся Коши в норме \(\left\| \cdot \right\|_1\), но не сходящуюся (в этой норме) ни к какой непрерывной функции. Пусть

\[ f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0, \tfrac 12-\tfrac 1n], \\ n\left(x - \tfrac 12 + \tfrac 1n\right), & x \in \left(\tfrac 12-\tfrac 1n, \tfrac 12\right), \\ 1, & x \in [\tfrac 12, 1]. \end{cases} \]

Тогда \(f_n \in C[0,1]\), и при \(g := \; \mathbb {1}_{[1/2,1]}\) (разрывная в \(\tfrac 12\)) имеем \(f_n = g\) вне интервала \(\left(\tfrac 12-\tfrac 1n,\tfrac 12\right)\) длины \(\tfrac 1n\), а на нём \(\left|f_n - g\right|\leq 1\), так что

\[ \left\| f_n - g\right\| _1 = \int _0^1 \left|f_n - g\right| \leq \frac1n \xrightarrow [n\to \infty ]{} 0. \]

В частности, \((f_n)\) фундаментальна в \(\left\| \cdot \right\|_1\) (так как сходится в этой полунорме к \(g\)). Если бы \(f_n \to h\) в \(\left\| \cdot \right\|_1\) для некоторой \(h \in C[0,1]\), то \(h=g\) почти всюду (предел в \(L^1\) единствен с точностью до п.в.-эквивалентности); но никакая непрерывная функция не может совпадать п.в. с \(g\), имеющей скачок в \(\tfrac 12\) (непрерывная \(h\), совпадающая с \(g\) на всюду плотном множестве по обе стороны от \(\tfrac 12\), обязана иметь \(h(\tfrac 12^-)=0\) и \(h(\tfrac 12^+)=1\) – противоречие с непрерывностью в точке \(\tfrac 12\)). Значит, предела в \(C[0,1]\) нет, и пространство \((C[0,1],\left\| \cdot \right\|_1)\) не полно.

Enum-item(4)

Рассмотрим последовательность

\[ a^n = \bigl(1,\tfrac {1}{2},\ldots ,\tfrac {1}{n}, 0, 0, \ldots \bigr), \qquad n \in \mathbb {N}. \]

В норме \(\left\| \cdot \right\|_{\infty }\) эта последовательность является Коши (обрезки последовательности приближаются в супремум-норме), но её предел в \(\ell^1\) с этой нормой должен быть последовательностью \((1,\tfrac 12,\tfrac 13,\ldots )\), у которой супремум равен \(1\) и она не принадлежит \(\ell^1\) в смысле суммы абсолютных значений — однако в данном контексте важнее то, что предел, который бы лежал в \(\ell^1\), отсутствует (последовательность не сходится в \((\ell^1,\left\| \cdot \right\|_{\infty })\)). Следовательно, пространство неполно.

ExampleПример 3

Пусть \(X\) — непустое множество, а \(b(X)\) — векторное пространство ограниченных функций \(X \to \mathbb {F}\). Докажите, что если на \(b(X)\) задать норму \(\left\| f\right\| = \sup_X \left|f\right|\), то \(b(X)\) является банаховым пространством.

SolutionРешение

Пусть \((f_n)\) — последовательность Коши в \((b(X),\left\| \cdot \right\| )\). Тогда для каждого \(x\in X\) последовательность чисел \((f_n(x))\) является Коши в \(\mathbb {F}\), следовательно сходится к некоторому \(f(x)\in \mathbb {F}\). Это определяет функцию \(f:X\to \mathbb {F}\). Нужно показать, что \(f\) ограничена и \(f_n \to f\) в супремум-норме. Из условия Коши следует, что существует \(N\) такое, что для всех \(m,n\ge N\) имеем \(\sup_X|f_n - f_m|<\varepsilon\), откуда при \(n\ge N\) предел по \(m\) даёт \(\sup_X|f_n - f| \le \varepsilon\). Значит \(f\) ограничена и \(f_n \to f\) в норме, а пространство полно.

2.1.1 Банаховость \(\iff\) ряд векторов, сходящийся абсолютно, сходится (по норме пространства)

Бесконечная сумма векторов в НП:

\[ \sum _{k=1}^{\infty }v_k := \lim _{n \to \infty }\sum _{k=1}^{n}v_k \]

Последовательность \(v_1, v_2, \ldots \in V\) мы будем называть быстрой последовательностью Коши, если

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\left\| v_{n+1} - v_{n}\right\| < \infty . \]

Любая быстрая последовательность Коши является последовательностью Коши в обычном смысле. Действительно, если

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\left\| v_{n+1} - v_{n}\right\| < \infty , \]

то для любых \(m > n\) имеем

\[ \left\| v_m - v_n\right\| \leq \sum _{k=n}^{m-1}\left\| v_{k+1} - v_k\right\| \xrightarrow [n \to \infty ]{} 0, \]

а это и есть определение последовательности Коши.

Утверждение 1 (Эквивалентные условия полноты в НП, т.е. Банаховости) Пусть \(V\) — это нормированное пространство. Следующие условия эквивалентны:

1. Любая последовательность Коши в \(V\) сходится к элементу из \(V\) (т.е. \(V\) — Банахово пространство);

2. Любая быстрая последовательность Коши в \(V\) сходится к элементу из \(V\);

3. Из абсолютной сходимости произвольного ряда следует его сходимость по норме:

   \[ \sum _{k=1}^{\infty } \left\| v_k\right\| < \infty \; \; \Rightarrow \; \; \sum _{k=1}^{\infty }v_k \text{ сходится в } V. \]

ProblemЗадача 1

Доказать, что нормированное пространство полно \(\Longleftrightarrow\) в нем всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

[@VKK, Задача  4.1]

2.2 Ограниченные линейные отображения

Пусть \(V\), \(W\) – это ЛП над одним полем \(\mathbb {F}\). Отображение \(T: V \to W\) называется линейным, если …

Множество \(\mathcal{L}(V,W)\) тоже будет ЛП. Пусть теперь у \(V\) и \(W\) есть нормы (которые могут быть разными, но мы будем обозначать одним способом). Мы сфокусируемся на подмножестве \(\mathcal{B}(V,W)\) ограниченных линейных отображений. А именно, для линейного отображения \(T: V \to W\) определим

\[ \left\| T\right\| := \sup _{f \in V, \left\| f\right\| \leq 1}\left\| Tf\right\| \]

Лемма 1 (Эквивалентные определения нормы линейного отображения) Пусть \(V\) и \(W\) — нормированные векторные пространства, причём \(V\neq \{ 0\}\), и \(T:V\to W\) — линейный оператор. Тогда \[ \begin{align} \left\| T\right\| & = \sup _{f \in V, \left\| f\right\| \leq 1}\left\| Tf\right\| =\sup _{f \in V, \left\| f\right\| < 1}\left\| Tf\right\| = \sup _{f \in V, \left\| f\right\| = 1}\left\| Tf\right\| = \sup _{f \in V\setminus \left\{ 0_V\right\} }\frac{\left\| Tf\right\| }{\left\| f\right\| } = \\ & = \inf \left\{ c\in [0,\infty ): \left\| Tf\right\| \le c\left\| f\right\| \ \forall f\in V\right\} \end{align} \]

Отображение называется ограниченным, если \(\left\| T\right\| < \infty\).

\[ \mathcal{B}(V,W) = \left\{ T \in \mathcal{L}(V,W) \; : \; \left\| T\right\| < \infty \right\} \]

Можно проверить, что \(\mathcal{B}(V,W)\) – это тоже НП.

ExampleПример 4

1. Пусть \(V = W = C[0,3]\), пусть \((Tf)(x) := x^2f(x)\). Проверьте, что \(T\) линейно. Найдите \(\left\| T\right\|\). Является ли \(T\) ограниченным?

2. Пусть \(V = W = c_{00}\) с нормой из \(\ell^{\infty }\), пусть

   \[ T(a_1, a_2, a_3, \ldots ) := (a_1, 2a_2, 3a_3, \ldots ) \]

   Проверьте, что \(T\) линейно. Найдите \(\left\| T\right\|\). Является ли \(T\) ограниченным?

SolutionРешение

Enum-item1.

Пусть \(V = W = C[0,3]\) со стандартной супремум-нормой \(\left\| f\right\| =\sup_{x\in [0,3]}|f(x)|\), и пусть

\[ Tf(x):=x^2 f(x). \]

Проверим линейность. Для любых \(f,g\in C[0,3]\) и скаляров \(\alpha ,\beta\) имеем

\[ T(\alpha f+\beta g)(x)=x^2(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha x^2 f(x)+\beta x^2 g(x)=\alpha Tf(x)+\beta Tg(x), \]

здесь оператор \(T\) — линейный.

Найдём норму оператора. Для любого \(f\) с \(\left\| f\right\| =1\) имеем

\[ \left\| Tf\right\| =\sup _{x\in [0,3]}|x^2 f(x)|\leq \sup _{x\in [0,3]}x^2\cdot \sup _{x\in [0,3]}|f(x)|=9\cdot 1=9. \]

С другой стороны, взяв функцию \(f_0\) такую, что \(f_0(3)=1\) и \(\left\| f_0\right\| =1\) (например, постоянная функция \(f_0\equiv 1\)), получаем

\[ \left\| T f_0\right\| =\sup _{x\in [0,3]} x^2 |f_0(x)| \ge 3^2\cdot |f_0(3)|=9. \]

Следовательно, \(\left\| T\right\| =9\). Значит, \(T\) ограничен (и ограниченность выражается равенством \(\left\| Tf\right\| \le 9\left\| f\right\|\)).

Enum-item2.

Пусть \(V = W = c_{00}\), норма индуцирована \(\ell^\infty\)-нормой, и пусть

\[ T(a_1,a_2,a_3,\ldots ):=(1\cdot a_1,\, 2\cdot a_2,\, 3\cdot a_3,\ldots ). \]

Линейность очевидна, так как \(T\) действует покоординатно по формуле \(T(a)_n = n a_n\).

Рассмотрим ограниченность. Если бы \(T\) был ограничен, то существовало бы \(C>0\) такое, что для всех \(a\in c_{00}\)

\[ \left\| T a\right\| _{\infty }=\sup _{n\ge 1} n|a_n| \le C\sup _{n\ge 1}|a_n|=\; C\left\| a\right\| _{\infty }. \]

Возьмём стандартные векторы \(e^{(N)}=(0,\dots ,0,1,0,\dots )\), где единица стоит на \(N\)-й позиции. Тогда \(\left\| e^{(N)}\right\|_{\infty }=1\), но

\[ \left\| T e^{(N)}\right\| _{\infty }=\sup _{n} n|e^{(N)}_n| = N. \]

Если бы выполнялось неравенство с постоянной \(C\), то \(N\le C\) для всех \(N\), что невозможно. Следовательно, никакого конечного \(C\) не существует, и \(T\) не ограничен (операторная норма была бы \(\sup_{n} n = +\infty\)).

Таким образом, в первом пункте \(T\) линейный и ограниченный, \(\left\| T\right\| =9\); во втором пункте \(T\) линейный, но не ограниченный.

AnswerОтвет

Enum-item1.

Да. \(\left\| T\right\| = 9\);

Enum-item2.

Нет.

Утверждение 2 (\(W\) банахово \(\; \Rightarrow \;\) \(\mathcal{B}(V, W)\) банахово) Пусть \(V\) – НП, \(W\) – БП. Тогда \(\mathcal{B}(V, W)\) будет БП с нормой, определенной выше.

Обратите внимание, что \(V\) может и не быть банаховым.

Утверждение 3 Пусть \(V\) и \(W\) — нормированные векторные пространства и \(T:V\to W\) — линейное отображение. Следующие утверждения эквивалентны:

1. \(T\) ограничено.

2. \(T\) непрерывно.

3. \(T\) непрерывно в какой-то одной точке: существует \(f_0\in V\) такое, что \(T\) непрерывно в точке \(f_0\).

4. \(T\) равномерно непрерывно (т.е. для каждого \(\varepsilon >0\) существует \(\delta >0\) такое, что \(\left\| Tf - Tg\right\| < \varepsilon\) при всех \(f,g\in V\) с \(\left\| f-g\right\| <\delta\)).

5. Прообраз какого-то открытого шара вокруг нуль-вектора открыт: существует \(r > 0\), что \(T^{-1}\left(B_{r}(0_W)\right)\) — открытое подмножество \(V\).

Если \(W = V\), то линейное отображение \(T: V\to V\) называют оператором. Обозначение всех операторов: \(\mathcal{L}(V)\). Обозначение всех ограниченных операторов на \(V\): \(\mathcal{B}(V)\).

ProblemЗадача 2

Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы:

1. \(A: C[0,1] \rightarrow C[0,1], \quad (A f)(t) = \int_{0}^{t} f(s) d s\);

2. \(A: C[-1,1] \rightarrow C[-1,1]\), \((A f)(t) = \int_{-1}^{t} f(s) d s-\int_{0}^{1} s f(s) d s\);

[@VKK, Задача  6.6]

ProblemЗадача 3

Будет ли ограниченным оператор \(A: C^1[0,1] \rightarrow C[0,1]\), \((A f)(t) = \frac{d f}{d t}\) с областью определения \(\left(C^1[0,1], \left\| \cdot \right\|_{\infty }\right)\) — непрерывно дифференцируемыми на \([0,1]\) функциями с супремум-нормой из \(C[0,1]\)?

[@VKK, Задача  6.7]

ProblemЗадача 4

1. Доказать, что оператор \(D = \frac{d}{d x}: C^{1}[a, b] \rightarrow C[a, b]\) непрерывен.

2. Доказать тождество \((x D x)^{n} u = x^{n} D^{n}\left(x^{n} u\right), u \in C^{n}[a, b]\).

[@VKK, Задача  6.8]

*1. В \(C^{1}[a,b]\) используется стандартная норма этого пространства, т.е. норма

$$
  \left\| f\right\| _{C^{1}} = \max \left\{ \left\| f\right\| _{\infty }, \left\| f'\right\| _{\infty }\right\}   
$$*

HintПодсказка

Enum-item1.

Определим на \(C[a,b]\) оператор домножения на тождественную функцию: \(M(f) = if\), где \(i(x) = x\). Требуется доказать, что \((MDM)^n = M^nD^nM^n\). Как расписать \(DM\) через \(MD\) и тождественный оператор \(I\)? Как расписать \(DM^{n+1}\)?

ProblemЗадача 5

1. Покажите, что в \(\mathbb {F}^n\) с евклидовой нормой любое подпространство замкнуто.

2. Покажите, что в бесконечномерном НП подпространство может быть незамкнуто. А именно, в пространстве \(\ell^{\infty }\) ограниченных последовательностей с супремум-нормой рассмотрите подпространство \(c_{00}\) последовательностей с конечным количеством ненулевых членов:

   \[ c_{00} = \left\{ a = (a_1, a_2, \ldots , a_{N(a)}, 0,0,0,\ldots )\right\} \]

   Докажите, что \(c_{00}\) – незамкнутое подпространство. Найдите замыкание \(c_{00}\)

3. Докажите, что замыкание \(\overline{U}\) подпространства \(U\) нормированного пространства \(V\) тоже будет подпространством.

Чуть позже мы докажем, что любое конечномерное подпространство нормированного пространства (может быть, бесконечномерного) замкнуто.

ProblemЗадача 6

Пусть \(U\) — подпространство нормированного векторного пространства \(V\) такое, что некоторое открытое шаровое множество \(V\) содержится в \(U\). Докажите, что \(U = V\).

ProblemЗадача 7

Пусть \(U,V,W\) — нормированные векторные пространства и \(T:U\to V\), \(S:V\to W\) — линейные отображения. Докажите, что \(\left\| S\circ T\right\| \le \left\| S\right\| \left\| T\right\|\).

ProblemЗадача 8

Доказать, что последовательность операторов \(\left\{ A_{n}\right\}\), \(A_{n} \in \mathcal{L}(C[0,1])\), \(\left(A_{n} f\right)(x) = f\left(x^{1+\frac{1}{n}}\right)\) поточечно сходится к тождественному оператору \(I\). Верно ли, что \(A_{n}\) сходится к \(I\) по операторной норме?

[@VKK, Задача  6.22]

3 Базисы в НП: базис Гамеля VS базис Шаудера

Пусть \(V\) – это произвольное множество. Семейством \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) из \(V\) называется отображение \(k \mapsto e_k\) из (произвольного по мощности) множества индексов \(\Gamma\) в \(V\). Несмотря на то, что семейство – это отображение, обозначают его как множество (впрочем, образ семейства действительно есть подмножество \(V\)). Обратите внимание, что в отличие от множества, в семействе могут быть повторяющиеся элементы в том смысле, что разным индексам могут соответствовать одинаковые элементы.

Определение 1 Пусть \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) — семейство в векторном пространстве \(V\).

• Семейство \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) называется линейно независимым, если линейно независимо любое конечное подсемейство. Иначе говоря, если не существует непустого конечного подмножества \(\Omega\) множества \(\Gamma\) и семейства \(\left\{ \alpha_j\right\}_{j \in \Omega }\) в \(\mathbb {F} \backslash \{ 0\}\) таких, что \(\sum_{j \in \Omega } \alpha_j e_j=0\).

• Линейная оболочка семейства \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) обозначается как \(\operatorname {span}\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) и определяется как множество всех конечных линейных комбинаций элементов семейства. А именно, множество всех сумм вида

  \[ \sum _{j \in \Omega } \alpha _j e_j, \]

  где \(\Omega\) — конечное подмножество \(\Gamma\), а \(\left\{ \alpha_j\right\}_{j \in \Omega }\) — семейство в \(\mathbb {F}\).

• Векторное пространство \(V\) называется конечномерным, если существует конечное множество \(\Gamma\) и семейство \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) в \(V\) такие, что \(\operatorname {span}\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }=V\).

• Векторное пространство называется бесконечномерным, если оно не является конечномерным.

• Семейство в \(V\) называется базисом Гамеля пространства \(V\), если оно линейно независимо и его линейная оболочка совпадает с \(V\). Базис Гамеля еще называют алгебраическим базисом, поскольку он вводится для произвольного линейного пространства, нормированного или нет. Норму он никак не использует, он использует только линейную структуру самого пространства.

Пример: Семейство \(\{ x^{n}\}_{n\in \{ 0,1,2,\ldots \} }\) является базисом пространства многочленов.

Главная особенность базиса Гамеля – он использует только конечные линейные комбинации. В конечномерном случае это не представляет проблемы. В бесконечномерном же случае пространство, как правило, наделено нормой, а значит есть возможность использовать бесконечные суммы (ряды). В этом случае возникает несколько проблем с базисом Гамеля:

• Базис Гамеля не использует сильнейший инструментарий рядов;

• Бесконечномерное нормированное пространство, как правило, является полным (т. е. банаховым). Оказывается, что даже сепарабельное бесконечномерное банахово пространство требует несчётного базиса Гамеля, а с несчетными системами не очень удобно работать;

• Доказательство существования базисов Гамеля для произвольных бесконечномерных пространств требует аксиомы выбора (более того, можно показать, что утверждение <<Каждое векторное пространство имеет базис Гамеля>> эквивалентно аксиоме выбора). Таким образом, для большинства банаховых пространств не существует конструктивного метода построения базиса Гамеля.

В бесконечномерных нормированных пространствах более полезным, чем базис Гамеля, оказывается базис Шаудера:

• Система векторов \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) в нормированном пространстве \(V\) называется полной, если ее линейная оболочка плотна в \(V\):

  \[ \overline{\operatorname {span}\left\{ e_k\right\} _{k \in \Gamma }} = V \]

  Иначе говоря, любой вектор из \(V\) можно сколь угодно точно приблизить конечными линейными комбинациями векторов из семейства. Обратите внимание, что это не всегда можно сделать единственным образом.

• Если счетная система \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \mathbb {N}}\) полна в \(V\), причем любой вектор из \(V\) можно единственным образом приблизить конечными линейными комбинациями из \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \mathbb {N}}\), то тогда такая система называется базисом Шаудера. Иначе: последовательность \(\left\{ e_n\right\}\) в нормированном пространстве \(V\) называется базисом Шаудера пространства \(V\), если

  \[ \forall v \in V \quad \exists ! \text{ скаляры } \alpha _n = \alpha _n(v) \text{ такие, что } v = \sum _{n=1}^{\infty } \alpha _n(v) e_n. \]

• Базис \(\left\{ e_n\right\}\) называется нормированным базисом Шаудера, если \(\left\| e_n\right\| = 1\) для всех \(n\).

В бесконечномерных НП базисом, как правило, называют именно базис Шаудера, а не Гамеля.

Заметим, что если \(\left\{ e_n\right\}\) является базисом, то тот факт, что каждый \(v \in V\) может быть единственным образом записан в виде \(v = \sum \alpha_n(v) e_n\), влечет \(e_n \neq 0\) для всех \(n\). Как следствие, любой базис Шаудера можно нормировать: \(\left\{ e_n / \left\| e_n\right\| \right\}_{n \in \mathbb {N}}\) является нормированным базисом Шаудера для \(V\).

Если \(V\) обладает базисом Шаудера \(\left\{ e_n\right\}\), то \(V\) должно быть сепарабельным, поскольку множество всех конечных линейных комбинаций \(\sum_{n=1}^N c_n e_n\) с рациональными \(c_n\) (или с рациональными действительными и мнимыми частями, если \(c_n\) комплексные) образует счётное плотное подмножество в \(V\). Вопрос о том, обладает ли каждое сепарабельное банахово пространство базисом, был давней проблемой, известной как Проблема базиса. Шведский математик Пер Энфло показал в 72 году, что действительно существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие никаким базисом, за что получил живого гуся от Станислава Мазура.

ProblemЗадача 9

Верно ли, что система мономов \(\left\{ f_k\right\}_{k = 0}^{\infty }\), \(f_k(x) = x^k\), \(x \in [0,1]\) является

1. полной в \(C[0,1]\);

2. базисом в \(C[0,1]\)?

[@VKK, Задача  4.11]

ProblemЗадача 10

Рассмотрим пространства \(l^{p}\) (\(1 \leqslant p \leqslant \infty\)), \(c_{0}, c\). Рассмотрим семейство векторов \(\left\{ e^{(n)}\right\}_{n \in \mathbb {N}}\), где \[ e^{(n)} = (\stackrel{1}{0},\stackrel{2}{0},\stackrel{3}{0},\ldots , \stackrel{n-1}{0}, \stackrel{n}{1}, \stackrel{n+1}{0}, \stackrel{n+2}{0}, \ldots ), \] т.е. \(e^{(n)}_k = \delta_{k}^{n}\). В каких пространствах семейство \(\left\{ e^{(n)}\right\}_{n \in \mathbb {N}}\) является базисом? Существует ли базис в пространстве \(c\)?

[@VKK, Задача  4.12]

4 Линейные функционалы

4.1 Ограниченные линейные функционалы

Линейные отображения в поле скаляров \(\mathbb {F}\) (\(\mathbb {F}=\mathbb {R}\) или \(\mathbb {F} = \mathbb {C}\)) настолько важны, что получают специальное название. Линейным функционалом на векторном пространстве \(V\) называется линейное отображение из \(V\) в \(\mathbb {F}\).

Когда мы рассматриваем скалярное поле \(\mathbb {F}\) как нормированное векторное пространство, норма \(\| z\|\) числа \(z \in F\) понимается как обычная абсолютная величина \(|z|\). Эта норма делает \(\mathbb {F}\) банаховым пространством.

ExampleПример 5

Пусть \(V = c_{00}\) — пространство последовательностей \((a_1, a_2, \ldots )\) элементов из \(\mathbb {F}\), таких что \(a_k = 0\) для всех, кроме конечного числа \(k \in \mathbb {Z}^+\). Определим \(\varphi : c_{00} \to \mathbb {F}\) формулой \[ \varphi (a_1, a_2, \ldots ) = \sum _{k=1}^{\infty } a_k. \] Тогда \(\varphi\) — это, очевидно, линейный функционал на \(V\). Докажите, что

1. если снабдить \(c_{00}\) нормой \(\| (a_1, a_2, \ldots )\|_1 = \sum_{k=1}^{\infty }|a_k|\), то \(\varphi\) будет ограниченным линейным функционалом.

2. если снабдить \(c_{00}\) нормой \(\| (a_1, a_2, \ldots )\|_{\infty } = \max_{k \in \mathbb {Z}^+}|a_k|\), то \(\varphi\) не будет ограниченным линейным функционалом.

SolutionРешение

Enum-item1.

Имеем

\[ \left\| \varphi (a)\right\| = \left|\sum _{k=1}^{\infty }a_k\right| \leq \sum _{k=1}^{\infty }\left|a_k\right| = \left\| a\right\| _{1} \]

Enum-item2.

Рассмотрим \(a^{(n)} = (1,1,1,\ldots , 1, 0, 0, \ldots )\) (первые \(n\) мест занимают \(1\), остальные \(0\)). \(\left\| a^{(n)}\right\|_{\infty } = 1\), при этом

\[ \left\| \varphi \left(a^{(n)}\right)\right\| = \left|\sum _{k=1}^{\infty } a^{(n)}_k\right| = \left|n\right| \to \infty \]

Пусть \(V\) и \(W\) — векторные пространства и \(T: V \to W\) — линейное отображение. Ядром (нулевым пространством) \(T\) называется множество

\[ \text{null } T = \{ f \in V : Tf = 0 \} . \]

Ядро линейного отображения является подпространством. Если \(T\) — непрерывное линейное отображение между нормированными пространствами, то \(\text{null } T\) замкнуто, так как является прообразом замкнутого множества \(\{ 0\}\).

Обратное неверно для общих линейных отображений: линейное отображение может иметь замкнутое ядро, но не быть непрерывным. Однако для линейных функционалов это эквивалентно.

Теорема 1 (Эквивалентность ограниченности, непрерывности и замкнутости ядра) Пусть \(V\) — нормированное векторное пространство и \(\varphi : V \to \mathbb {F}\) — линейный функционал, не тождественно равный нулю. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. \(\varphi\) — ограниченный линейный функционал.

2. \(\varphi\) — непрерывный линейный функционал.

3. \(\operatorname {null}\varphi\) — замкнутое подпространство в \(V\).

4. \(\overline{\operatorname {null}\varphi } \neq V\).

4.2 Разрывные линейные функционалы

Мы уже видели с вами разрывные линейные функционалы. Основная цель этого параграфа — показать, что каждое бесконечномерное нормированное векторное пространство имеет разрывный линейный функционал.

Пусть \(\mathcal{A}\) — коллекция подмножеств множества \(V\). Множество \(\Gamma \in \mathcal{A}\) называется максимальным элементом \(\mathcal{A}\), если не существует \(\Gamma ' \in \mathcal{A}\) такого, что \(\Gamma \subsetneq \Gamma '\).

Теорема 2 Подмножество векторного пространства \(V\) является базисом Гамеля \(V\) тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом в коллекции всех линейно независимых подмножеств \(V\).

Коллекция \(C\) подмножеств множества \(V\) называется цепью, если \(\Omega , \Gamma \in C\) влечёт \(\Omega \subseteq \Gamma\) или \(\Gamma \subseteq \Omega\).

Лемма 2 (Цорн, упрощенная версия) Пусть \(V\) — множество и \(\mathcal{A}\) — коллекция подмножеств \(V\), обладающая свойством: объединение всех множеств из \(C\) принадлежит \(\mathcal{A}\) для каждой цепи \(C \subseteq \mathcal{A}\). Тогда \(\mathcal{A}\) содержит максимальный элемент.

Теорема 3 Каждое векторное пространство имеет базис Гамеля.

Эта теорема говорит только лишь о существовании базиса. Никому еще не удавалось построить конкретный пример базиса Гамеля в бесконечномерном банаховом пространстве.

Теорема 4 Каждое бесконечномерное нормированное векторное пространство имеет разрывный линейный функционал.

Mn-proofДоказательство

Возьмем базис Гамеля \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \Gamma }\) для \(V\). Он бесконечный, так что можно считать, что \(\mathbb {N} \subset \Gamma\). Определим \(\varphi\) так: \(\varphi (e_k) := k \left\| e_k\right\|\), где \(k \in \mathbb {N}\). Для остальных базисных векторов пусть функционал равен нулю. Иначе говоря, если \(f \in V\) – произвольный, то его можно единственным образом разложить как \(f = \sum_{k \in \Gamma '}\alpha_{k}e_k\), где \(\Gamma '\) – конечное подмножество \(\Gamma\). Тогда

\[ \varphi (f) := \sum _{k \in \Gamma ' \cap \mathbb {N}} k\cdot \left\| e_k\right\| \]

\(\varphi\) линеен и разрывен.

ProblemЗадача 11

Пусть \(E\) — линейное пространство, \(f\) — ненулевой линейный функционал на \(E\). Доказать, что существует \(x \in E\) такой, что \(E = \operatorname {Ker} f \oplus \operatorname {span}(\left\{ x\right\} )\).

[@VKK, Задача  6.17]

ExampleПример 6

Пусть \(n \in \mathbb {N}\), \(V\) — нормированное линейное пространство. Докажите, что любой линейный оператор из \(\mathbb {F}^{n}\) с нормой максимума \(\left\| x\right\|_{\infty } := \max_{i}\left|x_i\right|\) в \(V\) непрерывен.

SolutionРешение

Пусть \(T: \mathbb {F}^n \to V\) — линейное отображение. Покажем, что оно ограничено. Пусть \(\overrightarrow {e}_1, \ldots , \overrightarrow {e}_n\) — стандартный базис в \(\mathbb {F}^n\). Для любого \(\overrightarrow {x} = (x_1, \ldots , x_n) \in \mathbb {F}^n\) имеем: \[ \begin{align} T\overrightarrow {x} & = x_1T\overrightarrow {e}_1 + \ldots + x_nT\overrightarrow {e}_n, \\ \left\| T\overrightarrow {x}\right\| & \leq \left|x_1\right| \cdot \left\| T\overrightarrow {e}_1\right\| + \ldots + \left|x_n\right| \cdot \left\| T\overrightarrow {e}_n\right\| \leq n \cdot \max _i\left\| T\overrightarrow {e}_i\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {x}\right\| _{\infty }. \end{align} \] Следовательно, \[ \left\| T\right\| \leq n \cdot \max _{i \in \left\{ 1, \ldots , n\right\} }\left\| T\overrightarrow {e}_i\right\| < \infty \]

ProblemЗадача 12

Пусть \(n \in \mathbb {N}\), \(V\) — нормированное линейное пространство, и \(T: \mathbb {F}^{n} \rightarrow V\) — биективный линейный оператор (в \(\mathbb {F}^n\) используется норма максимума \(\left\| x\right\|_{\infty } := \max_{i}\left|x_i\right|\)).

1. Докажите, что

\[ \inf \left\{ \left\| T x\right\| : x \in \mathbb {F}^{n}, \left\| x\right\| _{\infty } = 1\right\} > 0. \]

2. Докажите, что \(T^{-1}: V \rightarrow \mathbb {F}^{n}\) — ограниченный линейный оператор.

ProblemЗадача 13

Пусть \(n \in \mathbb {N}\).

1. Докажите, что 2 любые нормы на \(\mathbb {F}^{n}\) порождают одни и те же сходящиеся последовательности, открытые и замкнутые множества.

2. Докажите, что любая норма на \(\mathbb {F}^{n}\) делает \(\mathbb {F}^{n}\) банаховым пространством.

4.3 Теорема Хана-Банаха

В прошлом параграфе мы доказали, что на любом бесконечномерном НП есть разрывный линейный функционал. А что с непрерывными? Существование ненулевых непрерывных линейных функционалов на произвольном НП нетривиально. Теорема Хана-Банаха гарантирует, что ограниченный линейный функционал, определённый на подпространстве нормированного пространства (на конечномерном, например), может быть продолжен на всё пространство без увеличения нормы.

К примеру, факторпространство \(\ell^{\infty } / c_{0}\) – это бесконечномерное БП. При этом пока никому не удалось предъявить конкретный пример непрерывного линейного функционала на нем.

В данном параграфе банаховость нам не нужна.

Лемма 3 (о продолжении (для вещественного случая)) Пусть \(V\) — вещественное нормированное пространство, \(U\) — его подпространство, \(\psi : U \to \mathbb {R}\) — ограниченный линейный функционал, и \(h \in V \setminus U\). Тогда \(\psi\) можно продолжить до ограниченного линейного функционала \(\varphi : U + \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) такого, что \(\| \varphi \| = \| \psi \|\).

Теорема 5 (Хан-Банах) Пусть \(V\) — нормированное векторное пространство, \(U\) — его подпространство, \(\psi : U \to \mathbb {F}\) — ограниченный линейный функционал. Тогда \(\psi\) можно продолжить до ограниченного линейного функционала \(\varphi\) на всём \(V\) такого, что \(\| \varphi \| = \| \psi \|\).

Идея доказательства для вещественного случая: с помощью леммы Цорна расширяем функционал шаг за шагом, сохраняя норму. Для комплексного случая используется переход к вещественной части функционала.

4.3.1 Следствия теоремы Хана-Банаха

Теорема Хана–Банаха указывает на важный принцип в функциональном анализе: чтобы понять пространство, нужно понять его непрерывные функционалы.

Двойственным пространством к нормированному пространству \(V\) называется пространство \(V' = \mathcal{B}(V, \mathbb {F})\) всех ограниченных линейных функционалов на \(V\). Это банахово пространство, поскольку образ \(\mathbb {F}\) банахов (напомним, что для банаховости \(\mathcal{B}(V,W)\) достаточно банаховости \(W\)).

ExampleПример 7

Докажите, что

1. для любого ненулевого фиксированного вектора \(f\) нормированного пространства \(V\) существует функционал \(\varphi = \varphi_{f} \in V'\) такой, что \(\| \varphi_{f}\| = 1\) и \(\varphi_{f}(f) = \| f\|\);

2. норму вектора можно найти через максимум по значениям всех линейных ограниченных функционалов на нем:

   \[ \left\| f\right\| = \max _{\substack {\varphi \in V’ \\ \left\| \varphi \right\| = 1}}\left|\varphi (f)\right| \]

SolutionРешение

Enum-item1.

Заметим, что функционал \(\psi (g) := \left\| g\right\|\) не подходит, поскольку не является линейным: \(\psi (\alpha f) = \left|\alpha \right| \cdot f \neq \alpha \cdot f\).

Рассмотрим одномерное подпространство \(U = \operatorname {span}(f) = \left\{ \alpha f \; : \; \alpha \in \mathbb {F}\right\}\). Зададим на нем функционал \(\psi (\alpha f) := \alpha \cdot \left\| f\right\|\). На нем он линеен, причем

\[ \left\| \psi \right\| = \sup _{\left\| \alpha f\right\| = 1}\left|\psi (\alpha f)\right| = \sup _{\left\| \alpha f\right\| = 1}\left|\alpha \cdot \left\| f\right\| \right| = \sup _{\left\| \alpha f\right\| = 1}\left|\alpha \right| \cdot \left\| f\right\| = \sup _{\left\| \alpha f\right\| = 1}\left\| \alpha f\right\| = 1 \]

Значит, \(\psi\) ограничен на \(U\). По теореме Хана-Банаха, на \(V\) найдется лин. функционал \(\varphi\) с той же нормой, продолжающий \(\psi\), т.е. совпадающий с ним на \(\operatorname {span}(f)\).

Enum-item2.

Используя предыдущий пункт, сразу получаем неравенство в одну сторону:

\[ \left\| f\right\| = \varphi _f(f) = \left|\varphi _f(f)\right| \leq \max _{\substack {\varphi \in V’ \\ \left\| \varphi \right\| = 1}}\left|\varphi (f)\right| \]

Неравенство в другую сторону: если \(\varphi \in V'\), \(\left\| \varphi \right\| = 1\), это значит по определению, что \(\left|\varphi (f)\right| \leq \left\| \varphi \right\| \cdot \left\| f\right\| = \left\| f\right\|\). Следовательно,

\[ \left\| f\right\| \geq \max _{\substack {\varphi \in V’ \\ \left\| \varphi \right\| = 1}}\left|\varphi (f)\right| \]

ExampleПример 8 - Критерий принадлежности замыканию подпространства

Пусть \(U\) – подпространство НП \(V\), \(h \in V\). Тогда \(f\) принадлежит замыканию подпространства \(U\) тогда и только тогда, когда всякий ограниченный линейный функционал, зануляющийся на \(U\), зануляется и на \(f\). Иначе говоря, \[ f \in \overline{U} \quad \iff \quad \varphi (f) = 0 \text{ для любого } \varphi \in V' \text{, такого что } \varphi |_{U} \equiv 0 \]

SolutionРешение

• \(\stackrel{?}{\; \Rightarrow \; }\). Рассмотрим произвольный \(\varphi \in V'\), такой что \(\varphi |_{U} \equiv 0\). Докажем, что \(\varphi (f) = 0\). Известно, что \(f \in \overline{U}\). Значит, в \(U\) есть последовательность векторов \(f_1, f_2, \ldots\), сходящаяся к \(f\). Но \(\varphi (f_n) =0\) для всех \(n\) и \(\varphi\) непрерывен. Значит, \(\varphi (f) = 0\).

• \(\stackrel{?}{\Leftarrow }\). Нужно доказать, что \(f \in \overline{U}\). Предположим, что это не так. Определим \(\psi\) на подпространстве \(\operatorname {span}(U, f) = U + \mathbb {F} f\) так:

  \[ \psi (g+\alpha f) = \alpha \]

  для \(g \in U\) и \(\alpha \in \mathbb {F}\). Тогда \(\psi\) — линейный функционал на \(U+\mathbb {F} h\), который обнуляется на \(U\) и \(\psi (f) = 1\).

  Поскольку \(h \notin \overline{U}\), замыкание ядра \(\psi\) не равно \(U+\mathbb {F} h\). Таким образом, из теор. выше следует, что \(\psi\) — ограниченный линейный функционал на \(U+\mathbb {F} h\).

  По теореме Хана-Банаха \(\psi\) может быть продолжен до ограниченного линейного функционала \(\varphi\) на \(V\). Таким образом, мы нашли \(\varphi \in V^{\prime }\) такой, что \(\left.\varphi \right|_U=0\), но \(\varphi (f) \neq 0\). Противоречие.

Пусть \(1 \leq p \leq +\infty\). Сопряженным к индексу \(p\) называют индекс \(q\), такой что

\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \]

Несложно показать, что \(1 \leq q \leq +\infty\).

Рассмотрим пространство \(\left(\mathbb {R}^{n}, \left\| \cdot \right\|_{p}\right)\), \(1 \leq p \leq +\infty\). Мы уже доказали, что оно обязательно будет банаховым. Как выглядит его сопряженное пространство? Следующее утверждение в более общем виде мы докажем чуть позже.

Лемма 4 Если \(V = \left(\mathbb {R}^{n}, \left\| \cdot \right\|_{p}\right)\), то \(V' \cong \left(\mathbb {R}^{n}, \left\| \cdot \right\|_{q}\right)\) в том смысле, что любой ограниченный функционал \(\varphi\) на \(\left(\mathbb {R}^{n}, \left\| \cdot \right\|_{p}\right)\) имеет вид \[ \varphi (x) = \left\langle x, a \right\rangle = x_1a_1 + \ldots + x_na_n, \quad x \in \mathbb {R}^{n} \] для некоторого \(a = (a_1, \ldots , a_{n}) \in \mathbb {R}^{n}\), причем \(\left\| \varphi \right\| = \left\| a\right\|_{q}\).

ExampleПример 9

Функционал \(\psi\) на подпространстве \(U = \left\{ \left(x_{1}, 0\right) \mid x_{1} \in \mathbb {R}\right\}\) пространства \(\mathbb {R}^{2}\) определяется формулой \(\psi (x) = \alpha x_{1}, x = \left(x_{1}, 0\right) \in U\), где \(\alpha \in \mathbb {R}\) фиксировано.

1. Опишите все линейные продолжения \(\varphi\) функционала \(\psi\) на \(\mathbb {R}^{2}\).

2. Для какого из этих продолжений \(\| \varphi \| = \| \psi \|\), если \(\mathbb {R}^{2}\) снабжено нормой \(\| \cdot \|_{p}, 1 \leq p \leq +\infty\)? В каких случаях продолжение, сохраняющее норму, единственно?

SolutionРешение

Enum-item1.

Каждый линейный функционал на \(\mathbb {R}^{2}\) имеет вид

\[ \varphi (x) = a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}, x = \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb {R}^{2}, \]

где \(a_{1}, a_{2} \in \mathbb {R}\) — фиксированные числа (различные для разных функционалов \(\varphi\)). Если \(\varphi\) — продолжение \(\psi\), то \(\varphi \left(\left(x_{1}, 0\right)\right) = \psi \left(\left(x_{1}, 0\right)\right), \quad \left(x_{1}, 0\right) \in U\), т.е. \(a_{1} x_{1} = \alpha x_{1}, x_{1} \in \mathbb {R}\). Следовательно, любое продолжение \(\varphi\) до \(\mathbb {R}^{2}\) имеет вид \(\varphi (x) = \alpha x_{1}+ a_{2} x_{2}, x = \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb {R}^{2}\), где \(a_{2} \in \mathbb {R}\) — произвольное число.

Enum-item2.

Найдем норму \(\varphi\). По лемме выше получаем

\[ \left\| \varphi \right\| = \left\| (\alpha , a_{2})\right\| _{q} = \begin{cases} \left|\alpha \right| + \left|a_{2}\right|, & q = 1 \text{ (эквивалентно: $p = +\infty $),} \\[6pt] \left( \left|\alpha \right|^{q} + \left|a_{2}\right|^{q} \right)^{1/q}, & 1 < q < +\infty \text{ (эквивалентно: $1 < p < +\infty $),} \\[6pt] \max \left\{ \left|\alpha \right|, \left|a_{2}\right|\right\} , & q = +\infty \text{ (эквивалентно: $p = 1$)} \end{cases} \]

Найдём \(\| \psi \|\). Имеем

\[ \| \psi \| = \sup _{\left(x_{1}, 0\right) \in U \backslash \left\{ 0\right\} } \frac{\left|\psi \left(\left(x_{1}, 0\right)\right)\right|}{\left\| \left(x_{1}, 0\right)\right\| _{p}} = \sup _{x_{1} \neq 0} \frac{\left|\alpha x_{1}\right|}{\left|x_{1}\right|} = |\alpha | . \]

Теперь для каждого \(1 \leq p \leq +\infty\) мы определим, когда \(\| \varphi \| = \| \psi \|\) и когда такое продолжение единственно.

Если \(p = 1\), то \(\| \varphi \| = \| \psi \|\) тогда и только тогда, когда \(\max \left\{ |\alpha |,\left|a_{2}\right|\right\} = |\alpha |\). Следовательно, продолжение \(\varphi\) функционала \(\psi\), сохраняющее норму, имеет вид

\[ \varphi (x) = \alpha x_{1}+a_{2} x_{2}, x = \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb {R}^{2} \]

где \(a_{2} \in [-|\alpha |,|\alpha |]\) — произвольное число. Такое продолжение единственно тогда и только тогда, когда \(\alpha = 0\).

Если \(1 < p \leq +\infty\), то \(1 \leq q < +\infty\) и \(\| \varphi \| = \| \psi \|\) тогда и только тогда, когда \(|\alpha |^{q}+\left|a_{2}\right|^{q} = |\alpha |^{q}\), следовательно, \(a_{2} = 0\). Следовательно, продолжение функционала \(\psi\), сохраняющее норму, единственно и имеет вид \(\varphi (x) = \alpha x_{1}, x = \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb {R}^{2}\).

ProblemЗадача 14

Пусть задано \(\alpha > 0\), \(U = \left\{ \left(x_{1}, x_{1}\right) \mid x_{1} \in \mathbb {R}\right\} \subset \mathbb {R}^{2}\), \(\psi (x) = \alpha x_{1}, x \in U\).

1. Опишите все линейные расширения \(\varphi\) функционала \(\psi\) до \(\mathbb {R}^{2}\).

2. Для какого из этих расширений \(\| \varphi \| = \| \psi \|\), если \(\mathbb {R}^{2}\) снабжено нормой \(\| \cdot \|_{p}, \quad 1 \leq p \leq +\infty\)?

3. В каких случаях расширение, сохраняющее норму, единственно? Исследуйте вопрос для всех норм \(\left\| \cdot \right\|_{p}\), \(1 \leq p \leq +\infty\).

ProblemЗадача 15

Пусть \(V = \ell^{1}\), пусть \[ M = \left\{ x \in \ell ^{1}: \sum _{n = 1}^{\infty } x_{2 n} = 0\right\} , \] функционал \(\psi\) на подпространстве \(M\) задан формулой \(\psi (x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{2 n-1}\). Привести примеры различных продолжений \(\psi\) до функционала \(\varphi \in V'\) с сохранением нормы.

[@VKK, Задача  9.8]

ProblemЗадача 16

Покажите, что существует линейный функционал \(\varphi : \ell^{\infty } \to \mathbb {F}\), такой что \[ \left|\varphi \left(a_1,a_2,\ldots \right)\right| \le \left\| (a_1,a_2,\ldots )\right\| _{\infty } \] для всех \(\left(a_1,a_2,\ldots \right) \in \ell^{\infty }\), и \[ \varphi \left(a_1,a_2,\ldots \right) = \lim _{k \to \infty } a_k \] для всех \(\left(a_1,a_2,\ldots \right) \in \ell^{\infty }\), для которых предел в правой части существует.

ProblemЗадача 17

Докажите, что двойственное пространство любого бесконечномерного нормированного векторного пространства бесконечномерно.

Двойственное к двойственному пространству \(V''\) определяется как двойственное пространство к \(V'\). Если \(V\) — нормированное пространство, то \(V'' = (V')'\). Норма на \(V''\) определяется как норма, получаемая им как двойственным пространством к \(V'\).

ProblemЗадача 18

Определим отображение \(\Phi : V \to V''\) правилом \[ (\Phi f)(\varphi ) = \varphi (f) \] для всех \(f \in V\) и \(\varphi \in V'\). Покажите, что \(\left\| \Phi f\right\| = \left\| f\right\|\) для каждого \(f \in V\).

Отображение \(\Phi\), определённое выше, называется каноническим изометрическим вложением* \(V\) в \(V''\). Напомним, что в линейной алгебре, т.е. в конечномерном случае, \(V''\) просто оказывалось изоморфным \(V\). Т.е. отображение, построенное выше, было биективным. В общем (бесконечномерном) случае это не всегда выполняется. Отображение выше не всегда будет сюръективным.*

5 Теорема Бэра и ее следствия

5.1 Теорема Бэра

Теорема Бэра (иногда называемая теоремой о категориях Бэра) является фундаментальным результатом о полных метрических пространствах. Она имеет важные следствия для банаховых пространств.

Теорема 6 (Бэр) Пусть \((V, d)\) — полное метрическое пространство.

1. \(V\) не может быть представлено как счётное объединение замкнутых множеств с пустой внутренностью (замкнутых нигде не плотных множеств).

2. Пересечение любой счётной последовательности всюду плотных открытых подмножеств \(V\) непусто.

Доказательство (b) использует конструкцию последовательности вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. Их центры образуют фундаментальную последовательность, которая сходится к точке, принадлежащей всем открытым множествам из последовательности. Утверждение (a) следует из (b) переходом к дополнениям.

ExampleПример 10

При помощи теоремы Бэра докажите, что

1. \(\mathbb {R}\) несчетно;

2. иррациональные числа нельзя представить счетным объединением замкнутых в \(\mathbb {R}\) множеств.

SolutionРешение

Enum-item(1)

Предположим, что \(\mathbb {R}\) счетно. Тогда его можно представить в виде

\[ \mathbb {R} = \{ x_1, x_2, x_3, \dots \} \]

Каждое одноточечное множество \(\{ x_n\}\) замкнуто в \(\mathbb {R}\) и нигде не плотно (так как одноточечное множество не содержит интервалов). Тогда \(\mathbb {R}\) представляется как счетное объединение нигде не плотных замкнутых множеств:

\[ \mathbb {R} = \bigcup _{n=1}^\infty \{ x_n\} \]

Но по теореме Бэра полное метрическое пространство (как \(\mathbb {R}\) с обычной метрикой) не может быть представлено в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Противоречие

Полученное противоречие показывает, что \(\mathbb {R}\) несчетно.

Enum-item(2)

Предположим противное: иррациональные числа можно представить в виде счетного объединения замкнутых в \(\mathbb {R}\) множеств:

\[ \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} = \bigcup _{n=1}^\infty F_n, \quad \text{где } F_n \text{ замкнуты в } \mathbb {R} \]

Так как \(\mathbb {Q}\) счетно, то его можно представить как

\[ \mathbb {Q} = \bigcup _{m=1}^\infty \{ q_m\} \]

где каждое \(\{ q_m\}\) замкнуто и нигде не плотно. Тогда всё \(\mathbb {R}\) представляется в виде:

\[ \mathbb {R} = (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}) \cup \mathbb {Q} = \left(\bigcup _{n=1}^\infty F_n\right) \cup \left(\bigcup _{m=1}^\infty \{ q_m\} \right) = \bigcup _{k=1}^\infty A_k \]

где \(\{ A_k\}\) — не более чем счетное семейство замкнутых множеств. Покажем, что каждое \(A_k\) нигде не плотно. Действительно:

• \(\{ q_m\}\) нигде не плотны, так как одноточечные множества не содержат интервалов.

• \(F_n\) также нигде не плотны. Если бы некоторое \(F_n\) содержало интервал \((a,b)\), то этот интервал состоял бы целиком из иррациональных чисел (так как \(F_n \subset \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}\)), что невозможно, поскольку в любом интервале есть рациональные числа.

Таким образом, \(\mathbb {R}\) представляется как счетное объединение нигде не плотных замкнутых множеств, что противоречит теореме Бэра.

Следовательно, иррациональные числа нельзя представить в виде счетного объединения замкнутых множеств, т.е. \(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}\).

ProblemЗадача 19

Пусть \(U\) — подмножество метрического пространства \(V\). Докажите, что \(U\) имеет пустую внутренность тогда и только тогда, когда \(V \setminus U\) плотно в \(V\).

ProblemЗадача 20

Пусть \[ X = \left\{ 0\right\} \cup \bigcup _{k = 1}^{\infty }\left\{ \frac{1}{k}\right\} , \] и \(d(x, y) = \left|x - y\right|\) для \(x, y \in X\).

1. Докажите, что \((X, d)\) — полное метрическое пространство.

2. Каждое множество вида \(\left\{ x\right\}\) для \(x \in X\) является замкнутым подмножеством \(\mathbb {R}\) и имеет пустую внутренность в \(\mathbb {R}\). Очевидно, \(X\) — счётное объединение таких множеств. Объясните, почему это не противоречит теореме Бэра, утверждающей, что полное метрическое пространство не может быть счётным объединением замкнутых множеств с пустой внутренностью.

ProblemЗадача 21

Докажите, что не существует бесконечномерного банахова пространства со счётным базисом Гамеля.

Это упражнение, например, показывает, что не существует нормы, превращающей пространство многочленов над \(\mathbb {F}\) в банахово пространство.

HintПодсказка

Пусть \(V\) – бесконечномерное БП. От противного: пусть \(\left\{ e_k\right\}_{k \in \mathbb {N}}\) – базис Гамеля в \(V\). Каждый вектор из \(V\) может быть представлен как конечная линейная комбинация векторов из системы: \[ V = \operatorname {span}\left\{ e_k\right\} _{k \in \mathbb {N}} = \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n} \] где \(U_{n} = \operatorname {span}\left\{ e_k\right\}_{k=1}^{n}\). Что можно сказать про \(U_n\)? Они замкнуты? Чему равна их внутренность? Обоснуйте.

5.2 Теоремы об открытом отображении (теорема Банаха-Шаудера) и об ограниченном обратном

Отображение между двумя топологическими пространствами называют открытым, если образ любого открытого (из области определения) открыт (в области значений).

Теорема 7 (об открытом отображении, Банаха-Шаудера) Пусть \(V\) и \(W\) — банаховы пространства и \(T: V \to W\) — сюръективное ограниченное линейное отображение. Тогда \(T\) отображает открытые множества в открытые, т.е. для любого открытого \(G \subseteq V\) множество \(T(G)\) открыто в \(W\).

ProblemЗадача 22

Приведите пример банахова пространства \(V\), нормированного пространства \(W\), сюръективного ограниченного линейного отображения \(T\) из \(V\) на \(W\) и открытого множества \(G \subset V\), такого что \(T(G)\) не является открытым множеством в \(W\).

Это упражнение показывает, что в теореме об открытом отображении требование банаховости \(W\) нельзя заменить на условие, что \(W\) лишь нормировано.

HintПодсказка

Пусть \(V = \left(\ell^1, \left\| \cdot \right\|_{1}\right)\), \(W = \left(\ell^1, \left\| \cdot \right\|_{\infty }\right)\), \(T = I\) (тождественное отображение), \(G = B_1(0) = \left\{ \left\| a\right\|_{1} < 1\right\}\).

Теорема 8 (об ограниченном обратном) Пусть \(V\) и \(W\) — банаховы пространства и \(T: V \to W\) — биективное ограниченное линейное отображение. Тогда обратное отображение \(T^{-1}: W \to V\) также линейно и ограниченно.

Линейное отображение \(T: V \to W\) между нормированными пространствами называется ограниченным снизу, если существует \(c > 0\), такое что \(\left\| f\right\| \le c\left\| Tf\right\|\) для всех \(f \in V\).

ProblemЗадача 23

Пусть \(T: V \to W\) — ограниченное линейное отображение между банаховыми пространствами \(V\) и \(W\). Докажите, что \(T\) ограничено снизу тогда и только тогда, когда \(T\) инъективно и его образ является замкнутым подпространством \(W\).

5.3 Теорема о замкнутом графике

Пусть \(V\), \(W\) – линейные пространства над одним полем \(\mathbb {F}\). Декартово произведение \(V \times W\) можно легко наделить линейной структурой: \((v_1, w_1) + (v_2,w_2) := (v_1+v_2, w_1 + w_2)\) и т.д. Легко показать, что \(V \times W\) будет также ЛП над \(\mathbb {F}\)

Теорема 9 Пусть \(V\), \(W\) – банаховы пространства (над одним полем \(\mathbb {F}\)). Тогда функция \[ \left\| (f,g)\right\| := \max \left\{ \left\| f\right\| _{V}, \left\| g\right\| _{W}\right\} \] будет нормой на \(V \times W\) и относительно этой нормы \(V \times W\) будет банаховым. Сходимость в этой норме \((f_1, g_1), (f_2,g_2), \ldots\) к \((f,g)\) эквивалентна покоординатной сходимости: \(\lim_{n\to \infty }f_n = f\) и \(\lim_{n\to \infty }g_n = g\).

Следующий результат даёт великолепный способ показать, что линейное отображение между банаховыми пространствами ограничено. Доказательство удивительно простое, поскольку большая работа была проделана при доказательстве теоремы об открытом отображении (которая была использована для доказательства теоремы об ограниченном обратном отображении).

Теорема 10 (о замкнутом графике) Пусть \(V\) и \(W\) — банаховы пространства и \(T: V \to W\) — линейное отображение. Тогда \(T\) ограничено тогда и только тогда, когда его график \(\operatorname {graph}(T) = \{ (f, Tf) : f \in V \}\) является замкнутым подпространством в \(V \times W\): \[ T \in \mathcal{B}(V,W) \quad \iff \quad \operatorname {graph}(T) \text{ замкнут в } V \times W \]

Объяснение. Пусть \(T: X \rightarrow Y\) — линейный оператор между банаховыми пространствами. Тогда непрерывность \(T\) означает, что \(T x_i \rightarrow T x\) для каждой сходящейся последовательности \(x_i \rightarrow x\). С другой стороны, замкнутость графика \(T\) означает, что для каждой сходящейся последовательности \(x_i \rightarrow x\), такой что \(T x_i \rightarrow y\), имеем \(y=T x\). Следовательно, теорема о замкнутом графике утверждает, что для проверки непрерывности \(T\) можно показать, что \(T x_i \rightarrow T x\) при дополнительном предположении, что \(T x_i\) сходится.

На самом деле, для замкнутости графика \(T\) достаточно, чтобы если \(x_i \rightarrow 0, T x_i \rightarrow y\), то \(y=0\). Действительно, если это условие выполняется, то если \(\left(x_i, T x_i\right) \rightarrow (x, y)\), то \(x_i-x \rightarrow 0\) и \(T\left(x_i-x\right) \rightarrow y-T x\). Таким образом, \(y=T x\), то есть \((x, y)\) принадлежит графику \(T\).

ProblemЗадача 24

Рассмотрим пространства \(C^{1}[0,1]\), \(C[0,1]\) с супремум-нормой \(\left\| f\right\| = \sup_{x \in [0,1]}\left|f(x)\right|\). Пусть \(T: C^{1}[0,1] \rightarrow C[0,1]\) определён как \[ Tf = f' \] Покажите, что график оператора \(T\) замкнут, но \(T\) не является ограниченным. Противоречит ли это теореме о замкнутом графике?

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: : f_n(x) = sqrt((x-1/2)^2 + 1/n^2) для n=2,5,20 и предел |x-1/2|, x=0..1 шаг 0.02; посчитано в python (numpy), детерминировано, seed не нужен. Проверено: max|f_n(x)-|x-1/2|| по сетке в точности 1/n (равномерная сходимость со скоростью 1/n). Интерактив: слайдер n (непрерывный), перерисовывающий сглаженный “уголок” f_n и подсвечивающий max-отклонение от предельной |x-1/2|.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/FA/contents/specials/030/010_C1_incompleteness_fig.tex

5.4 Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха-Штейнгауза)

Теорема 11 (принцип равномерной ограниченности, теорема Банаха-Штейнгауза) Пусть \(V\) — банахово пространство, \(W\) — нормированное пространство, и \(\mathcal{A}\) — семейство ограниченных линейных операторов из \(V\) в \(W\). Если для каждого \(f \in V\) выполнено \[ \sup \{ \| Tf\| : T \in \mathcal{A} \} < \infty \quad \text{(поточечная ограниченность)}, \] то \[ \sup \{ \| T\| : T \in \mathcal{A} \} < \infty \quad \text{(равномерная ограниченность по норме)}. \]

Доказательство использует теорему Бэра. Множества \(V_n = \{ f \in V : \| Tf\| \leq n \ \forall T \in \mathcal{A} \}\) замкнуты. Их объединение даёт всё \(V\). По теореме Бэра, некоторое \(V_n\) имеет непустую внутренность, что позволяет оценить нормы операторов равномерно.

ProblemЗадача 25

Пусть \(V\) — банахово пространство, \(W\) — нормированное пространство, и \(T_1, T_2, \ldots\) — последовательность ограниченных линейных отображений из \(V\) в \(W\), таких что предел \(\lim_{k \to \infty } T_k f\) существует для каждого \(f \in V\). Определим \(T: V \to W\) как поточечный предел \(T_n\): \[ T f := \lim _{k \to \infty } T_k f. \]

1. Докажите, что \(T \in \mathcal{B}(V,W)\), т.е. что \(T\) — ограниченное линейное отображение из \(V\) в \(W\).

2. Верно ли, что \(T_{n} \to T\) в \(\mathcal{B}(V,W)\), т.е. верно ли, что \(T_{n}\) сходятся к \(T\) по операторной норме?

Это утверждение говорит, что поточечный предел последовательности ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве также является ограниченным линейным оператором.

HintПодсказка

К пункту б): см. задачу Задача 8.