Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
\(\mathcal{L}^p(\mu )\)
Наша следующая главная цель — определить важный класс векторных пространств, обобщающих пространства \(\ell^p\), определённые ранее.
Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой, \(0 < p < \infty\), и \(f: X \to \mathbb {F}\) является \(\mathcal{S}\)-измеримой. Тогда \(p\)-норма функции \(f\) обозначается \(\left\| f\right\|_{p}\) и определяется как
\[
\left\| f\right\| _{p} = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p}.
\]
где в скобках используется интеграл Лебега. Также \(\left\| f\right\|_{\infty }\), называемая существенным супремумом \(f\), определяется как
\[
\left\| f\right\| _{\infty } = \inf \{ t > 0 : \mu (\{ x \in X : |f(x)| > t\} ) = 0 \} .
\]
Для \(0 < p < \infty\) \(p\)-норма \(\left\| f\right\|_{p}\) не меняется, если \(f\) изменяется на множестве \(\mu\)-меры ноль. Используя существенный супремум вместо обычного супремума в определении \(\left\| f\right\|_{\infty }\), мы добиваемся, чтобы \(\infty\)-норма обладала тем же свойством. Думайте о \(\left\| f\right\|_{\infty }\) как о наименьшем значении, которое можно получить для супремума \(\left|f\right|\) после изменений на множествах меры ноль.
Определение 1 Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой и \(0 < p \leq \infty\). Пространство Лебега \(\mathcal{L}^p(\mu )\), иногда обозначаемое \(\mathcal{L}^p(X, \mathcal{S}, \mu )\), определяется как множество \(\mathcal{S}\)-измеримых функций \(f: X \to \mathbb {F}\) таких, что \(\left\| f\right\|_{p} < \infty\).
Покажите, что введенные ранее пространства последовательностей \(\ell^{p}\) и \(\ell^{\infty }\) — это частные случаи пространств Лебега.
Покажите, что введенные ранее пространства \(\mathbb {F}^{n}\) с нормой \(\left\| \cdot \right\|_{p}\) – это тоже частные случаи пространств Лебега.
\(\ell^{p}\) и \(\ell^{\infty }\) – это пространства последовательностей, т.е. пространства функций из \(\mathbb {N}\) в поле \(\mathbb {F}\). Значит, в данном случае \(X = \mathbb {N}\), \(\mathcal{S} = 2^{\mathbb {N}}\).
Далее, нужно определить меру. В каком случае интеграл Лебега просто превращается в сумму по всем значениям? В случае, если \(\mu\) – это считающая мера \(\#\):
\[
\# (A) = \begin{cases} \left|A\right|, & A \text{ конечно} \\ +\infty , & \text{в пр. сл.} \end{cases}, \qquad A \subset \mathbb {N}
\]
Итого,
\[
\ell ^{p} = \mathcal{L}^{p}(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}, \# )
\]
\(0 < p \leq +\infty\).
Векторное пространство \(\mathbb {F}^{n}\) кортежей длины \(n\) из скаляров поля \(\mathbb {F}\) можно отождествить с \(\mathbb {F}^{\left\{ 1,\ldots ,n\right\} }\), т.е. пространством функций из \(\left\{ 1,\ldots ,n\right\}\) в \(\mathbb {F}\). Например, при \(n=4\) кортеж \((-2, \pi , 5.4, 0)\) соответствует функции
\[
f(k) = \begin{cases} -2, & k = 1 \\ \pi , & k = 2\\ 5.4, & k = 3 \\ 0, & k = 4 \end{cases}
\]
Векторные пространства \(\mathbb {F}^{n}\) и \(\mathbb {F}^{\left\{ 1,\ldots ,n\right\} }\) изоморфны, поэтому мы часто будем их употреблять взаимозаменяемо. Норма
\[
\left\| x\right\| _{p} = \begin{cases} \left(\sum _{k=1}^{n}\left|x_k\right|^p\right)^{1/p}, & p < +\infty \\ \max _{k \in \left\{ 1,\ldots , n\right\} }\left|x_k\right|, & p = +\infty \end{cases}
\]
при этом изоморфизме переходит с \(\mathbb {F}^{n}\) на \(\mathbb {F}^{\left\{ 1,\ldots ,n\right\} }\), причем с точностью до изометрического (т.е. с сохранением нормы) изоморфизма нормированных пространств можно записать
\[
\left(\mathbb {F}^{n}, \left\| \cdot \right\| _{p}\right) = \left(\mathbb {F}^{\left\{ 1,\ldots ,n\right\} }, \left\| \cdot \right\| _{p}\right) = \mathcal{L}^p\left(\left\{ 1,\ldots ,n\right\} , 2^{\left\{ 1,\ldots ,n\right\} }, \# \right)
\]
Опять считающая мера.
В общем случае \(\ell^p(X)\) – это обозначение пространства функций на \(X\) со считающей мерой:
\[
\ell ^p(X) := \mathcal{L}^p\left(X, 2^{X}, \# \right)
\]
В частности,
\[
\ell ^{p} = \ell ^{p}(\mathbb {N}), \qquad \left(\mathbb {F}^n, \left\| \cdot \right\| _{p}\right) = \ell ^p(\left\{ 1,\ldots ,n\right\} )
\]
(с точностью до изоморфизма НП).
Теорема 1 (\(\mathcal{L}^p(\mu )\) — векторное пространство) Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой и \(0 < p < \infty\). Тогда
\(\| f + g\|_p^p \leq 2^p (\left\| f\right\|_{p}^p + \| g\|_p^p)\)
\(\| af\|_p = |a| \left\| f\right\|_{p}\) для всех \(f, g \in \mathcal{L}^p(\mu )\) и всех \(a \in \mathbb {F}\). Более того, с обычными операциями сложения и умножения на скаляр функций, \(\mathcal{L}^p(\mu )\) является векторным пространством.
Для \(1 \leq p \leq +\infty\) двойственный показатель \(p\) обозначается \(p'\) или \(q\) и является элементом \([1, +\infty ]\) таким, что
\[
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.
\]
Найдите двойственные показатели для \(1, \infty , 2, 4, \frac{5}{3}\).
\[
1' = \infty , \quad \infty ' = 1, \quad 2' = 2, \quad 4' = \frac{4}{3}, \quad \left(\frac{5}{3}\right)' = \frac{5}{2} = 2.5
\]
Лемма 1 (Неравенство Юнга) Пусть \(1 < p < \infty\). Тогда \[
ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^{q}}{q}
\] для всех \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\).
Теорема 2 (Неравенство Гёльдера) Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой, \(1 \leq p \leq \infty\), и \(f, h: X \to \mathbb {F}\) являются \(\mathcal{S}\)-измеримыми. Тогда \[
\| fh\| _1 \leq \left\| f\right\| _{p} \left\| h\right\| _{q}.
\]
Следствие 1 (Неравенство Ляпунова: вложение пространств \(\mathcal{L}^p\) для конечной меры) Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой и \(\mu (X) < \infty\). Предположим, что \(0 < p < q \leq \infty\). Тогда \(\mathcal{L}^q(\mu ) \subset \mathcal{L}^p(\mu )\). Более того, если \(0 < p < q < \infty\), то
\[
\left\| f\right\| _{p} \leq \mu (X)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \| f\| _q
\]
для всех \(f \in \mathcal{L}^q(\mu )\).
В частности, если \(\mu\) – это вероятностная мера (т.е. \(\mu (X) = 1\)), то все случайные величины из \(\mathcal{L}^p\) будут лежать и в \(\mathcal{L}^q\) при \(0 < p < q \leq +\infty\), причем
\[
\left(\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^p\right]\right)^{1/p} = \left\| \xi \right\| _{p} \leq \left\| \xi \right\| _{q} = \left(\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^q\right]\right)^{1/q}
\]
для произвольной случайной величины \(\xi\) из \(\mathcal{L}^q\).
Докажите следствие Следствие 1.
Нужно доказать \[
\int _{X} \left|f\right|^p \; d\mu = \left\| f\right\| _{p}^p \leq \mu (X)^{1 - \frac{p}{q}} \cdot \left\| f\right\| _{q}^{p}
\] Воспользуйтесь неравенством Гельдера для \(\tilde{f} = \left|f\right|^p\), \(\tilde{h} = 1\), \(\tilde{p} = \ldots\).
Опишите лебеговы пространства на борелевских подмножествах \(\mathbb {R}\) с мерой Лебега.
Мы принимаем общепринятое соглашение: если \(E\) — борелевское подмножество \(\mathbb {R}\) и \(0 < p \leq \infty\), то \(\mathcal{L}^p(E)\) означает \(\mathcal{L}^p(E, \mathscr {B}\left(E\right), \lambda_E)\), где \(\lambda_E\) — мера Лебега \(\lambda\), суженная на борелевские подмножества \(\mathbb {R}\), содержащиеся в \(E\).
Например, \(\mathcal{L}^p[0,1]\) – это пространство измеримых по Борелю функций из \([0,1]\) в \(\mathbb {F}\) с конечной интегральной \(p\)-нормой. Из доказанного выше следует, что если \(0 < p < q < \infty\), то \(\mathcal{L}^q([0,1]) \subset \mathcal{L}^p([0,1])\) и \(\left\| f\right\|_{p} \leq \| f\|_q\) для \(f \in \mathcal{L}^q([0,1])\).
Пусть \(0 < p < q \leq \infty\).
Докажите, что \(\ell^{p} \subseteq \ell^{q}\).
Докажите, что \(\ell^{p} \subsetneq \bigcap_{r > p} \ell^{r}\).
Докажите, что \(\left\| a\right\|_{p} \geq \left\| a\right\|_{q}\) для всякой последовательности \(a = (a_{1}, a_{2}, \ldots )\) элементов \(\mathbb {F}\).
Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).
План: : границы единичных шаров {|x|p+|y|p=1} в R^2 для p=1,2,4,infty; точки посчитаны в python (numpy) через x=t^1.5 (t=0..1, сгущение к углу), y=(1-xp)(1/p), детерминировано, seed не нужен. Интерактив: слайдер p (непрерывный, 1..infty с “infty” как отдельным пределом-квадратом), перерисовывающий контур в реальном времени – показывает непрерывную деформацию ромб -> круг -> квадрат при p: 1 -> 2 -> infty.
Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/FA/contents/specials/040/010_lp_unit_balls_fig.tex
Покажите, что формула выше может не работать, если \(p = +\infty\) и \(\mu\) не является сигма-конечной.
Пусть \(X = \left\{ b\right\}\) — множество, состоящее ровно из одного элемента \(b\), \(\mathcal{S} = 2^{X}\), \(\mu\) – такая мера, что \(\mu (\varnothing ) = 0\) и \(\mu (\{ b\} ) = +\infty\).
Теорема 4 (Неравенство Минковского) Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой, \(1 \leq p \leq \infty\), и \(f, g \in \mathcal{L}^p(\mu )\). Тогда \[
\| f + g\| _p \leq \left\| f\right\| _{p} + \| g\| _p.
\]
\(L^p(\mu )\)
Предположим, что \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой и \(1 \leq p \leq \infty\). Если существует непустое множество \(E \in \mathcal{S}\) такое, что \(\mu (E)=0\), то \(p\)-норма харфункции \(I_{E}\) нулевая, при этом сама харфункция отлична от нуля. Следовательно, в этом случае форма \(\left\| \cdot \right\|_{p}\) не является положительно определенной (не выполняется \(\left\| f\right\|_{p} = 0 \iff f = 0_{V}\)), т.е. она не является нормой на \(V = \mathcal{L}^p(\mu )\). Стандартный способ решения этой проблемы — определить функции, которые отличаются только на множестве с \(\mu\)-мерой \(0\).
Определение 2 Предположим \((X, \mathcal{S}, \mu )\) — пространство с мерой и \(0<p \leq \infty\).
\(\mathcal{Z}(\mu )\) обозначает множество \(\mathcal{S}\)-измеримых функций из \(X\) в \(\mathbb {F}\), равных 0 почти всюду.
Для \(f \in \mathcal{L}^p(\mu )\) пусть \([f]\) — подмножество \(\mathcal{L}^p(\mu )\), определяемое формулой
\[
[f] = \left\{ f + z \; : \; z \in \mathcal{Z}(\mu )\right\}
\]
Множество \(\mathcal{Z}(\mu )\) замкнуто относительно умножения на скаляры. Кроме того, \(\mathcal{Z}(\mu )\) замкнуто относительно сложения, поскольку объединение двух множеств с \(\mu\)-мерой \(0\) является множеством с мерой \(\mu\) \(0\). Таким образом, \(\mathcal{Z}(\mu )\) является подпространством в \(\mathcal{L}^p(\mu )\).
Обратите внимание, что если \(f, g \in \mathcal{L}^p(\mu )\), то \([f] = [g]\) тогда и только тогда, когда \(f(x)=g(x)\) для почти всех \(x \in X\).
Предположим, что \(\mu\) — мера, и \(0<p \leq \infty\).
Пусть \(L^p(\mu )\) обозначает совокупность подмножеств \(\mathcal{L}^p(\mu )\), определяемую соотношением
\[
L^p(\mu )=\left\{ [f] \; : \; f \in \mathcal{L}^p(\mu )\right\} .
\]
Для \([f], [g] \in L^p(\mu )\) и \(\alpha \in \mathbb {F}\) определим \([f]+[g]\) и \(\alpha [f]\) следующим образом:
\[
[f]+[g]=[f + g] \quad \text{ и } \quad \alpha [f]= [\alpha f].
\]
Элементы \(L^p(\mu )\) можно рассматривать как классы эквивалентности функций в \(\mathcal{L}^p(\mu )\), где две функции эквивалентны, если они совпадают почти всюду.
В функциональном анализе часто элементы \(L^p(\mu )\) называют функциями, где две функции считаются равными, если они различаются только на множестве с мерой \(\mu\) \(0\). Это злоупотребление обозначениями безвредно при условии, что операции, выполняемые с такими «функциями», дают одинаковые результаты при изменении функций на множестве с мерой \(0\).
Обратите внимание на типографское различие между \(\mathcal{L}^p(\mu )\) и \(L^p(\mu )\). Элемент каллиграфического \(\mathcal{L}^p(\mu )\) — это функция; элемент \(L^p(\mu )\) — это множество функций, любые две из которых совпадают почти всюду.
Предположим, что \(\mu\) — мера, и \(0<p \leq \infty\). Определим \(\| \cdot \|_p\) на \(L^p(\mu )\) следующим образом:
\[
\| [f]\| _p=\| f\| _p
\]
где \(f \in \mathcal{L}^p(\mu )\) – произвольный представитель из \([f]\). Обратите внимание, что если \(f, g \in \mathcal{L}^p(\mu )\) и \([f] = [g]\), то \(\left\| f\right\|_{p} = \left\| g\right\|_{p}\). Таким образом, приведённое выше определение корректно: оно не зависит от конкретного представителя.
Лемма 2 (\(L^p(\mu )\) — НП) Предположим, что \(\mu\) — мера, а \(1 \leq p \leq \infty\). Тогда \(L^p(\mu )\) — векторное пространство, а \(\| \cdot \|_p\) — норма в \(L^p(\mu )\).
Для читателей, знакомых с факторпространствами: вы можете заметить, что \(L^p(\mu )\) — это факторпространство
\[
\mathcal{L}^p(\mu ) / \mathcal{Z}(\mu ).
\]
Если \(\mu = \#\) — это считающая мера на \(\mathbb {N}\), то
\[
\mathcal{L}^p(\# )=L^p(\# )=\ell ^p
\]
поскольку считающая мера не имеет множеств меры \(0\), кроме пустого множества.
Докажите, что если \(\mu\) — мера, \(1 < p < \infty\), и \(f, g \in L^{p}(\mu )\) таковы, что
\[
\left\| f\right\| _{p} = \left\| g\right\| _{p} = \left\| \frac{f+g}{2}\right\| _{p}
\]
то \(f = g\).
Приведите пример, показывающий, что результат части (a) может не выполняться при \(p = 1\).
Приведите пример, показывающий, что результат части (a) может не выполняться при \(p = \infty\).
Сопряженные пространства: \(\left(L^p\right)' \cong L^{q}\) почти всегда
Напомним, что сопряженное пространство к нормированному векторному пространству \(V\) обозначается \(V^{\prime }\) и определяется как банахово пространство ограниченных линейных функционалов на \(V\).
Пусть \((X, \mathcal{S}, \mu )\) – пространство с мерой, пусть \(1 \leq p \leq +\infty\). Как выглядит сопряженное пространство к пространству \(V = L^{p}(\mu )\)? Вспомним неравенство Гёльдера: если \(f \in L^p\), \(h \in L^{q}\), то
\[
\int \left|fh\right| \; d\mu = \left\| fh\right\| _{1} \leq \left\| f\right\| _{p} \cdot \left\| h\right\| _{q}
\]
Значит, если взять произвольную функцию \(h \in L^q\), и задать на \(L^p\) функционал
\[
\varphi _{h}(f) = \int fh \; d\mu ,
\]
равный интегралу от произведения на \(h\), то он будет линейным (поскольку интеграл Лебега линеен). Но будет ли он ограничен? Имеем
\[
\left|\varphi _{h}(f)\right| = \left|\int fh \; d\mu \right| \leq \int \left|fh\right| \; d\mu \leq C_{h}\left\| f\right\| _{p}
\]
где \(C_{h} = \left\| h\right\|_{q} \in [0,+\infty )\). Иначе говоря, норма лин. функционала \(\varphi_{h}: L^{p} \to \mathbb {F}\) ограниченна:
\[
\left\| \varphi _{h}\right\| \leq \left\| h\right\| _{q}
\]
Таким образом, \(\varphi_h\) – линейный ограниченный функционал (\(\varphi_{h} \in \left(L^p(\mu )\right)'\)), а значит \(h \mapsto \varphi_{h}\) – это отображение из \(L^q\) в \(\left(L^p(\mu )\right)'\).
Более того, само это отображение линейно из-за линейности интеграла Лебега:
\[
\varphi _{h_1 +h_2}(f) = \int f \cdot \left(h_{1} + h_{2}\right) \; d\mu = \int f \cdot h_{1} \; d\mu + \int f \cdot h_{2} \; d\mu = \varphi _{h_1}(f) + \varphi _{h_2}(f)
\]
(то же самое с умножением на скаляр: \(\varphi_{\alpha h} = \alpha \varphi_{h}\)). Значит, \(h \mapsto \varphi_{h}\) – это гомоморфизм векторных пространств \(L^{q}\) и \(\left(L^p\right)'\). В каком случае он будет изоморфизмом? В каком случае он будет сохранять нормы: \(\left\| \varphi_{h}\right\| = \left\| h\right\|_{q}\)? Как следует из следующей теоремы, это будет почти всегда выполняться, почти всегда \(L^q\) будет изометрически (т.е. с сохранением норм) изоморфно \(\left(L^p\right)'\).
Теорема 5 (о двойственном пространстве к \(L^{p}\)) Рассмотрим определенное выше отображение \(h \to \varphi_{h}\) из \(L^{q}(\mu )\) в \(\left(L^p(\mu )\right)'\). Оно всегда является гомоморфизмом (см. выше обоснование). Далее, предположим, что
Тогда
\(h \mapsto \varphi_h\) сохраняет нормы: \(\left\| \varphi_h\right\| =\left\| h\right\|_{q}\) для всех \(h \in L^{q}(\mu )\);
\(h \mapsto \varphi_h\) инъективно;
если \(p \neq +\infty\), то \(h \mapsto \varphi_h\) сюръективно.
На практике меры, не являющиеся \(\sigma\)-конечными, встречаются редко. Как правило, мера \(\mu\) на \((X,\mathcal{S})\) будет если не конечной (как в теорвере), то по крайней мере сигма-конечной (как мера Лебега на \(\mathbb {R}^{n}\), например). Поэтому (в случае сигма-конечной меры)
\[
L^q = \left(L^p\right)' \qquad \text{ при } \quad 1 \leq p < +\infty
\] (с точностью до изометрического изоморфизма). Далее, (с точностью до изометрического изоморфизма) \[
L^{1} \subset \left(L^{\infty }\right)'\text{, но, как правило, } L^{1} \neq \left(L^{\infty }\right)'
\]
Самое сложное в теореме выше – доказать сюръективность, т.е. доказать, что произвольный функционал из \(\left(L^p\right)'\) можно представить как \(\varphi_{h}\). Остальные пункты доказать достаточно легко.
Рассмотрим теорему Теорема 5 об отображении \(h \mapsto \varphi_{h}\). Докажите сохранение нормы (пункт ) в случае если
\(1 < p \leq +\infty\)
\(p = 1\) и \(\mu\) явл. сигма-конечной.
От противного: предположим, что \(\left\| \varphi_{h}\right\| < \left\| h\right\|_{\infty }\). Значит, найдется такое \(\varepsilon > 0\), что множество
\[
E_{\varepsilon } = \left\{ x \in E \; : \; \left|h(x)\right| > \left\| \varphi _{h}\right\| + \varepsilon \right\}
\]
имеет ненулевую меру.
Рассмотрим теорему Теорема 5 об отображении \(h \mapsto \varphi_{h}\). Докажите инъективность отображения \(h \mapsto \varphi_{h}\) (пункт ).
В следующей задаче, среди прочего, требуется все-таки доказать сюръективность в теореме выше для частного случая – для считающей меры на \(\mathbb {N}\).
Докажите, что \(\left(\ell^{p}\right)' \cong \ell^{q}\) при \(1 \leq p < +\infty\);
Докажите, что \(\left(c_{0}\right)' \cong \ell^{1}, c' \cong \ell^{1}\);
Верно ли, что \(\left(\ell^{\infty }\right)' \cong \ell^{1}\)?
[@VKK, Задача 9.1]
В данном случае \(V \cong W\) означает, что есть изометрический изоморфизм между \(V\) и \(W\), т.е. изоморфизм, сохраняющий нормы. Пространства \(c\), \(c_0\) – подпространства \(\ell^{\infty }\) последовательностей, сходящихся (куда-то) и сходящихся к нулю соотв. Нормы на \(c\), \(c_0\) наследуются от \(\ell^{\infty }\).
Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы:
\(A: L^{1}[0,1] \rightarrow L^{1}[0,1], \quad (A f)(t) = f(\sqrt{t})\);
\(L^{2}[0,1] \rightarrow L^{2}[0,1], \quad (A f)(t) = t \int_{0}^{1} f(s) d s\).
[@VKK, Задача 6.6]
\(L^{p}[0,1] = L^{p}\left([0,1], \mathscr {B}\left([0,1]\right), \lambda \right)\), где \(\lambda\) – мера Лебега.