Паспорт курса

Функциональный анализ

Основные сведения

• Где и когда. В плане 01.03.02 набора 2025 курс идёт в V–VI семестрах: 270 часов, 6 з.е. (по 135 часов и 3 з.е. в каждом семестре). В плане 09.03.01 он стоит в V семестре: 135 часов, 3 з.е.
• Объём одного семестра. 60 аудиторных часов (30 лекций, 30 семинаров), 45 часов самостоятельной работы и 30 часов на экзамен.
• Кафедра. Кафедра высшей математики.
• Преподаватели в опубликованных программах 2025/26. Р. В. Константинов и С. П. Коновалов для разных потоков ФПМИ.
• Итоговый контроль. Экзаменационные программы опубликованы для V семестра; форму контроля последующего семестра на 01.03.02 необходимо уточнять по своему учебному плану и расписанию.

Вариант Р. В. Константинова

Полное название документа — «Функциональный анализ и его приложения». В его заголовке указаны V семестр, 2025/26 учебный год и поток Р. В. Константинова, ФПМИ.

1. База и предбаза топологии, критерии их задания, примеры; совпадение топологической и последовательной сходимости в \(\mathbb R\).
2. Топологическая и последовательная замкнутость, замыкание; первая аксиома счётности и пример различия двух замкнутостей.
3. Последовательностная топология \(\tau_{seq}\) и её соотношение с исходной топологией.
4. Заданная сходимость, топологические и последовательностные замыкания; пример сходимости, не задаваемой топологией.
5. Последовательностная топология на \(\mathbb R^{[0,1]}\) при поточечной сходимости.
6. Произведения топологических пространств, топология Тихонова и последовательная сходимость в произведении.
7. Сравнение топологии Тихонова, исходной и последовательностной топологий на \(\mathbb R^{[0,1]}\).
8. Топология метрического пространства, последовательная сходимость и база топологии.
9. Когда топология произведения метризуема; счётное произведение и контрпример.
10. Частично упорядоченные множества, принцип максимальности Хаусдорфа и лемма Цорна.
11. Сепарабельные метрические пространства; примеры \(\ell^p\) и \(\ell^\infty\), критерий несепарабельности.
12. Топологическая компактность и теорема Александера.
13. Теорема Тихонова и пример компактного, но не секвенциально компактного пространства.
14. Секвенциальная и счётная компактность; контрпример к совпадению этих понятий.
15. Счётная компактность и предельные точки.
16. Центрированные системы и критерий компактности; полнота компактного подмножества.
17. Полная ограниченность и критерий компактности.
18. Критерий Фреше компактности в метрическом пространстве.
19. Полные метрические пространства, метод вложенных шаров и его применения.
20. Абсолютно сходящиеся ряды как критерий полноты; полнота \(L^p(E)\).
21. Эквивалентные нормы и критерии их топологической и последовательностной эквивалентности.
22. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве и замкнутость конечномерного подпространства.
23. Лемма Рисса о почти ортогональных векторах и не-полная ограниченность единичной сферы.
24. Непрерывные линейные функционалы и условие существования метрической проекции на их ядро.
25. Теорема Рисса о проекции на замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве и её непрерывность.
26. Ортогональное дополнение и ортогональная проекция.
27. Пространство \(C(K)\) и теорема Арцела—Асколи.
28. Полнота пространства \(L(X,Y)\) с операторной нормой.
29. Теорема Хана—Банаха о продолжении функционала.
30. Теорема Бэра и принцип равномерной ограниченности Банаха—Штейнгауза.
31. Полнота пространства операторов при поточечной сходимости.
32. Теоремы об открытом отображении и об обратном операторе.
33. Теорема о замкнутом графике и теорема Хеллингера—Тёплица.

Вариант С. П. Коновалова

Ниже — полный перечень из официальной программы «Функциональный анализ», 3 курс, V семестр, 2025/26 учебный год, поток С. П. Коновалова, ФПМИ.

1. Метрические и топологические пространства; примеры \(\ell^p\), \(C_p[a,b]\), \(C^n[a,b]\); неравенства Гёльдера и Минковского.
2. Теорема о вложенных шарах и теорема Бэра.
3. Принцип сжимающих отображений.
4. Компактность и центрированные системы замкнутых множеств.
5. Критерий компактности метрического пространства.
6. Теорема Арцела—Асколи.
7. Теорема Рисса о некомпактности единичной сферы в бесконечномерном пространстве.
8. Характеристическое свойство евклидовых пространств; банаховы и гильбертовы пространства.
9. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве, линейные топологические пространства и примеры.
10. Теорема Рисса о метрической проекции.
11. Сепарабельные гильбертовы пространства.
12. Связь непрерывности и ограниченности линейного оператора.
13. Топологии и сходимости в \(L(E_1,E_2)\), операторная норма и полнота при банаховом \(E_2\).
14. Продолжение непрерывного отображения и ограниченного линейного оператора на замыкание области определения.
15. Теорема Банаха—Штейнгауза.
16. Полнота \(L(E_1,E_2)\) относительно поточечной сходимости и критерий поточечной сходимости операторов.
17. Функционалы в гильбертовом пространстве и теорема Рисса—Фреше.
18. Теорема Хана—Банаха и её следствия.
19. Пространства \(\mathcal D(\mathbb R)\) и \(\mathcal D'(\mathbb R)\), действия над обобщёнными функциями, \(\delta\)-функция и \(\delta\)-образные последовательности, уравнение \(y'=0\) в \(\mathcal D'(\mathbb R)\).

Литература в варианте Коновалова

• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа.
• В. Хатсон, Дж. Пим, Приложения функционального анализа и теории операторов.

Чем различаются варианты

Аспект	Р. В. Константинов	С. П. Коновалов
Заголовок документа	«Функциональный анализ и его приложения», ФПМИ, V семестр	«Функциональный анализ», ФПМИ, 3 курс, V семестр
Основной акцент	Общая и секвенциальная топология: базы, \(\tau_{seq}\), произведения, топология Тихонова, различные виды компактности	Классический ФА: метрические, банаховы и гильбертовы пространства, операторы, двойственность
Число пунктов экзаменационной программы	33	19
Отличительный раздел	Последовательностная топология и нетопологизируемая сходимость	Обобщённые функции \(\mathcal D'(\mathbb R)\), \(\delta\)-функция и уравнение в пространстве распределений
Общая часть	Метрические и нормированные пространства, компактность, Арцела—Асколи, Рисс, Хан—Банах, Банах—Штейнгауз, пространство операторов	Те же базовые блоки, но без развёрнутой программы по общей топологии

О потоках и образовательных программах. Оба документа сами указывают только «ФПМИ», поэтому не фиксируют код образовательной программы. В расписании 2024/25 вариант Константинова был у групп, обозначенных «ФУПМ» (B05-201–206), а вариант Коновалова — у групп, обозначенных «ФИВТ». Но ФУПМ и ФИВТ — подразделения ФПМИ, а не названия образовательных программ; по ним нельзя надёжно приписать вариант ни 01.03.02, ни 09.03.01. Варианты следует считать программами лекторских потоков, пока не найдено расписание конкретного года, где номер группы одновременно связан с образовательной программой.

Оценивание

Для ФПМИ, V семестр, опубликована БРС на 100 баллов: первое задание — 0–15, второе задание — 0–15, устный экзамен — 0–70. Устная часть при предварительной оценке \(N>3\) оценивается как \(7N\); при \(N=1,2\) итоговая оценка совпадает с \(N\).

Шкала: 93–100 — 10, 86–92 — 9, 79–85 — 8, 72–78 — 7, 65–71 — 6, 58–64 — 5, 51–57 — 4, 40–50 — 3, 31–39 — 2, 0–30 — 1.

Источники и актуальность

Программа Константинова, 2025/26, программа Коновалова, 2025/26, расписание ФПМИ, 2024/25, БРС ФПМИ, 2025, план 01.03.02, план 09.03.01.