Топологические пространства

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

В предыдущих главах рассматривались метрические пространства. В них метрика использовалась для определения открытого шара, а открытое множество определялось как объединение открытых шаров. Ряд понятий, таких как непрерывность отображений, выражались исключительно через открытые множества, связанные с метрикой. Здесь мы рассматриваем пространства, в которых понятие открытого множества является фундаментальным. Такие пространства называются топологическими пространствами. Они более общие, чем метрические пространства. На нормированном линейном пространстве \(X\) есть важные понятия, например, слабая сходимость, которые, как мы докажем, не могут быть сформулированы в рамках метрики, но могут рассматриваться относительно слабой топологии. Также, поточечная сходимость функций может рассматриваться относительно произведения топологий, но не является метрическим понятием. Кроме большей общности, новые понятия — такие как компактность произвольного произведения компактных метрических пространств — раскрывают свойства нормированных линейных пространств, которые неочевидны в метрической постановке.

1 Открытые множества, замкнутые множества, базы, предбазы

Определение: Пусть \(X\) — непустое множество. Топология \(T\) на \(X\) — это семейство подмножеств \(X\), называемых открытыми множествами, обладающее следующими свойствами:

1. Все множество \(X\) и пустое множество \(\emptyset\) открыты.

2. Пересечение любого конечного набора открытых множеств открыто.

3. Объединение любого набора открытых множеств открыто.

Непустое множество \(X\) вместе с топологией на \(X\) называется топологическим пространством. Для точки \(x\) в \(X\) открытое множество, содержащее \(x\), называется окрестностью точки \(x\).

Метрическая топология: Рассмотрим метрическое пространство \((X, \rho )\). Определим подмножество \(\mathcal{O}\) из \(X\) как открытое, если для каждой точки \(x \in \mathcal{O}\) существует открытый шар с центром в \(x\), содержащийся в \(\mathcal{O}\). Эта коллекция открытых множеств является топологией для \(X\), называемой метрической топологией, индуцированной метрикой \(\rho\). Частным случаем является евклидова топология на \(\mathbb {R}^n\), индуцированная евклидовой метрикой.

Дискретная топология: Пусть \(X\) — любое непустое множество. Определим \(\mathcal{T}\) как совокупность всех подмножеств \(X\). Тогда \(\mathcal{T}\) является топологией для \(X\), называемой дискретной топологией. Для дискретной топологии каждое множество, содержащее точку, является её окрестностью. Дискретная топология индуцируется дискретной метрикой.

Тривиальная топология: Пусть \(X\) — любое непустое множество. Определим \(\mathcal{T}\) как совокупность подмножеств \(X\), состоящую из \(\emptyset\) и \(X\). Тогда \(\mathcal{T}\) является топологией для \(X\), называемой тривиальной топологией. Для тривиальной топологии единственной окрестностью точки является всё множество \(X\).

Топологические подпространства: Данные топологическое пространство \((X, \mathcal{T})\) и непустое подмножество \(E\) из \(X\), мы определяем наследованную топологию \(\mathcal{S}\) для \(E\) как совокупность всех множеств вида \(E \cap \mathcal{O}\), где \(\mathcal{O}\) принадлежит \(\mathcal{T}\). Топологическое пространство \((E, \mathcal{S})\) называется подпространством \((X, \mathcal{T})\).

База топологии: Коллекция открытых множеств \(\mathcal{B}\) называется базой для топологии \(\mathcal{T}\), если каждое непустое открытое множество является объединением некоторой подколлекции из \(\mathcal{B}\). Коллекция подмножеств \(\mathcal{S}\) пространства \(X\), покрывающая \(X\), называется предбазой для топологии \(\mathcal{T}\), если совокупность всех конечных пересечений множеств из \(\mathcal{S}\) образует базу для \(\mathcal{T}\).

Замыкание: Для подмножества \(E\) топологического пространства \(X\), точка \(x \in X\) называется точкой прикосновения множества \(E\), если каждая окрестность \(x\) содержит точку из \(E\). Совокупность точек прикосновения множества \(E\) называется замыканием \(E\) и обозначается \(\overline{E}\). Множество \(E\) называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения, т.е. \(E = \overline{E}\).

ExampleПример 1

Покажите, что дискретная топология для непустого множества \(X\) является метрической топологией.

SolutionРешение

Дискретная топология порождается дискретной метрикой: \[ d(x, y) = \begin{cases} 0, & \text{если } x = y, \\ 1, & \text{если } x \neq y. \end{cases} \] При такой метрике каждое одноточечное множество \(\{ x\}\) является открытым шаром радиуса \(1/2\), так что все подмножества открыты.

ExampleПример 2

Покажите, что тривиальная топология на множестве имеет единственную базу.

SolutionРешение

Тривиальная топология на множестве \(X\) состоит только из \(\emptyset\) и \(X\). Единственно возможная база — это \(\{ X\}\), поскольку любая база должна содержать множество, объединение которого равно \(X\), а \(\emptyset\) не может входить в базу (поскольку базы обычно состоят из непустых открытых множеств).

ExampleПример 3

Пусть \(E\) — подмножество топологического пространства \(X\).

1. Точка \(x \in X\) называется внутренней точкой множества \(E\), если существует окрестность точки \(x\), содержащаяся в \(E\): совокупность внутренних точек множества \(E\) называется внутренностью \(E\) и обозначается \(\operatorname {int} E\). Покажите, что \(\operatorname {int} E\) всегда открыто, и \(E\) открыто тогда и только тогда, когда \(E = \operatorname {int} E\).

2. Точка \(x \in X\) называется внешней точкой множества \(E\), если существует окрестность точки \(x\), содержащаяся в \(X \setminus E\): совокупность внешних точек множества \(E\) называется внешностью \(E\) и обозначается \(\operatorname {ext} E\). Покажите, что \(\operatorname {ext} E\) всегда открыто, и \(E\) замкнуто тогда и только тогда, когда \(\bar{E} \setminus E \subseteq \operatorname {ext} E\).

3. Точка \(x \in X\) называется граничной точкой множества \(E\), если каждая окрестность точки \(x\) содержит точки из \(E\) и точки из \(X \setminus E\): совокупность граничных точек множества \(E\) называется границей \(E\) и обозначается \(\operatorname {bd} E\). Покажите, что (i) \(\operatorname {bd} E\) всегда замкнута, (ii) \(E\) открыто тогда и только тогда, когда \(E \cap \operatorname {bd} E = \emptyset\), и (iii) \(E\) замкнуто тогда и только тогда, когда \(\operatorname {bd} E \subseteq E\).

SolutionРешение

Enum-item1.

Для каждого \(x \in \text{int } E\) существует открытое множество \(U_x\) такое, что \(x \in U_x \subseteq E\). Тогда \(\text{int } E = \bigcup_{x \in \text{int } E} U_x\) открыто. Если \(E\) открыто, то для каждого \(x \in E\), \(E\) является окрестностью точки \(x\), содержащейся в \(E\), так что \(x \in \text{int } E\). Таким образом, \(E = \text{int } E\). Обратно, если \(E = \text{int } E\), то \(E\) открыто.

Enum-item2.

\(\operatorname {ext} E = \operatorname {int} (X \setminus E)\), так что оно открыто. \(E\) замкнуто \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus E\) открыто \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus E = \operatorname {int} (X \setminus E) = \operatorname {ext} E\) \(\Leftrightarrow\) \(\bar{E} \setminus E \subseteq \operatorname {ext} E\) (поскольку \(\bar{E} \setminus E\) — это множество предельных точек \(E\), не принадлежащих \(E\)).

Enum-item3.

1. \(\operatorname {bd} E = X \setminus (\operatorname {int} E \cup \operatorname {ext} E)\), и поскольку \(\operatorname {int} E\) и \(\operatorname {ext} E\) открыты, их объединение открыто, так что \(\operatorname {bd} E\) замкнуто.

2. \(E\) открыто \(\Leftrightarrow\) \(E = \operatorname {int} E\) \(\Leftrightarrow\) \(E \cap \operatorname {bd} E = \emptyset\).

3. \(E\) замкнуто \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus E\) открыто \(\Leftrightarrow\) \(X \setminus E = \operatorname {int} (X \setminus E) = \operatorname {ext} E\) \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname {bd} E = \bar{E} \setminus \operatorname {int} E \subseteq E\).

ProblemЗадача 1 - Прямая Зоргенфрея

Покажите, что совокупность интервалов вида \([a, b)\), где \(a < b\), является базой для топологии на множестве вещественных чисел \(\mathbf{R}\). Множество вещественных чисел \(\mathbf{R}\) с этой топологией называется прямой Зоргенфрея.

ProblemЗадача 2 - Плоскость Мура

Рассмотрим верхнюю полуплоскость, \(\mathbf{R}^{2,+} = \left\{ (x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid y \geq 0\right\}\). Для точек \((x, y)\) с \(y > 0\) возьмём в качестве базовой открытой окрестности обычный евклидов открытый шар с центром в \((x, y)\), содержащийся в верхней полуплоскости. В качестве базовой открытой окрестности точки \((x, 0)\) возьмём множество, состоящее из самой точки и всех точек открытого евклидова шара в верхней полуплоскости, который касается вещественной прямой в точке \((x, 0)\). Покажите, что эта совокупность множеств является базой. Множество \(\mathbf{R}^{2,+}\) с этой топологией называется плоскостью Мура.

2 Аксиомы отделимости

Иерархия аксиом отделимости

Стрелка \(A \to B\) означает: всякое пространство класса \(A\) лежит в классе \(B\). Все включения строгие: рядом с каждой стрелкой указано, почему обратная импликация не выполняется. Всякое метрическое пространство лежит в верхнем классе схемы, т.е. удовлетворяет всем аксиомам сразу.

T₄

нормальное хаусдорфово

\(X\in T_1\) (эквивалентно, \(X\in T_2\)) и \(X\) нормально: любые два непересекающихся замкнутых множества \(A,B\subset X\) отделимы непересекающимися окрестностями.

Лемма Урысона: нормальность равносильна функциональной отделимости замкнутых множеств: существует непрерывная \(f:X\to[0,1]\) с \(f|_A\equiv0\), \(f|_B\equiv1\). Нормальное пространство само по себе может не быть хаусдорфовым (например, антидискретная топология).

Обратное неверно: плоскость Мура и плоскость Зоргенфрея (произведение двух прямых Зоргенфрея) тихоновские, но не нормальные.

T_3½

тихоновское

\(X\in T_1\) (эквивалентно, \(X\in T_2\)) и \(X\) вполне регулярно: любое замкнутое \(C\subset X\) и точка \(p\notin C\) отделимы функционально: существует непрерывная \(f:X\to[0,1]\) с \(f(p)=0\), \(f|_C\equiv1\).

Тихоновские пространства — это в точности подпространства компактных хаусдорфовых (тихоновских кубов \([0,1]^{\mathcal A}\)).

\(T_{3\frac12}\Rightarrow T_3\). Прообразы \([0,\tfrac12)\) и \((\tfrac12,1]\) — искомые окрестности. Обратное неверно, но контрпримеры громоздки (штопор Тихонова).

\(T_{3\frac12}\Rightarrow\) вполне \(T_2\). Точка \(y\) — замкнутое множество, отделяем от неё \(x\) функционально. Обратное неверно: \(\mathbb R_K\) (см. ниже) вполне \(T_2\), но не регулярно.

T₃

регулярное хаусдорфово

\(X\in T_1\) (эквивалентно, \(X\in T_2\)) и \(X\) регулярно: любое замкнутое \(C\subset X\) и точка \(p\notin C\) отделимы непересекающимися окрестностями.

Регулярное пространство само по себе может не быть хаусдорфовым.

⇍ ⇏

классы не сравнимы

вполне T₂

функционально хаусдорфово

Любые две точки \(x\ne y\) отделимы функционально: существует непрерывная \(f:X\to[0,1]\) с \(f(x)=0\), \(f(y)=1\).

Иначе говоря, непрерывные функции \(X\to\mathbb R\) разделяют точки \(X\).

\(T_3\Rightarrow T_2\). Обратное неверно: \(\mathbb R_K\) — прямая с базой из интервалов \((a,b)\) и множеств \((a,b)\setminus K\), \(K=\{1/n\}\). Она хаусдорфова, но точку \(0\) и замкнутое \(K\) нельзя отделить окрестностями.

Вполне \(T_2\Rightarrow T_2\). Прообразы \([0,\tfrac12)\) и \((\tfrac12,1]\) — непересекающиеся окрестности \(x\) и \(y\). Обратное неверно.

T₂

хаусдорфово

Эквивалентные формулировки:

1. любые две точки \(x\ne y\) отделимы непересекающимися окрестностями;
2. предел любой направленности (в частности, последовательности) единственен;
3. диагональ \(\Delta=\{(x,x)\}\) замкнута в \(X\times X\).

Обратное неверно: топология Зарисского (кофинитная топология) на бесконечном множестве — \(T_1\), но любые два непустых открытых множества пересекаются (см. задачу о топологии Зарисского ниже).

T₁

аксиома Фреше

Эквивалентные формулировки:

1. для любых \(x\ne y\) найдётся окрестность \(x\), не содержащая \(y\) (и наоборот);
2. все одноточечные множества замкнуты;
3. любое подмножество \(X\) — пересечение всех содержащих его открытых множеств.

Обратное неверно: связное двоеточие (пространство Серпинского) \(\{a,b\}\) с открытыми множествами \(\varnothing,\{a\},\{a,b\}\) — \(T_0\), но точка \(a\) не замкнута.

T₀

пространство Колмогорова

Любые две различные точки топологически различимы: для \(x_1\ne x_2\) найдётся открытое \(A\), содержащее ровно одну из них.

\(T_3\) и вполне \(T_2\) не сравнимы: \(\mathbb R_K\) вполне \(T_2\) (она тоньше обычной топологии, так что все обычные непрерывные функции остаются непрерывными), но не регулярна; с другой стороны, существуют регулярные хаусдорфовы пространства, на которых всякая непрерывная функция \(X\to\mathbb R\) постоянна (Хьюитт), — они не вполне \(T_2\).

Метрические пространства: \(A\) и \(B\) замкнуты и не пересекаются \(\Rightarrow\) функция \(f(x)=\dfrac{\rho(x,A)}{\rho(x,A)+\rho(x,B)}\) непрерывна и отделяет их, так что \(X\in T_4\).

ProblemЗадача 3

Рассмотрим множество вещественных чисел с топологией, имеющей в качестве предбазы множества вида \((-\infty , c), c \in \mathbf{R}\). Покажите, что это пространство не является тихоновским.

ProblemЗадача 4 - Топология Зарисского

В \(\mathbf{R}^{n}\) пусть \(\mathcal{B}\) — семейство множеств \(\left\{ x \in \mathbf{R}^{n} \mid p(x) \neq 0\right\}\), где \(p\) — многочлен от \(n\) переменных. Пусть \(\mathcal{T}\) — топология на \(X\), имеющая \(\mathcal{B}\) в качестве предбазы. Покажите, что \(\mathcal{T}\) является топологией на \(\mathbf{R}^{n}\), которая \(T_1\), но не хаусдорфова.

ProblemЗадача 5

Покажите, что прямая Зоргенфрея и плоскость Мура являются хаусдорфовыми (см. предыдущие задачи).

3 Счетность и сепарабельность

Сходимость последовательности: Последовательность \(\{ x_n\}\) в топологическом пространстве \(X\) сходится к точке \(x \in X\), если для каждой окрестности \(\mathcal{U}\) точки \(x\) существует индекс \(N\) такой, что если \(n \geq N\), то \(x_n\) принадлежит \(\mathcal{U}\). В хаусдорфовом пространстве предел последовательности единственен.

Определения:

• Пространство \(X\) удовлетворяет первой аксиоме счетности, если у каждой точки существует счётная база окрестностей.

• Пространство \(X\) удовлетворяет второй аксиоме счетности, если у всей топологии существует счетная база.

• Подмножество \(E\) пространства \(X\) называется всюду плотным, если каждое открытое множество в \(X\) содержит точку из \(E\). Пространство \(X\) называется сепарабельным, если оно имеет счётное всюду плотное подмножество.

Пример: Каждое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, так как открытые шары с рациональными радиусами образуют счётную базу в точке.

Метризуемость: Топологическое пространство называется метризуемым, если его топология порождена некоторой метрикой. Не всякая топология метризуема (например, тривиальная топология на множестве из более чем одной точки).

Теорема Урысона: Топологическое пространство со счётной базой метризуемо тогда и только тогда, когда оно \(T_1\) и нормально (что для пространств со счётной базой равносильно \(T_3\), т.е. регулярности \(+\) \(T_1\): без условия \(T_1\) утверждение неверно, например, антидискретная топология на множестве из \(\geq 2\) точек нормальна и имеет конечную базу, но не метризуема, так как не хаусдорфова).

4 Непрерывные отображения, слабые топологии, метризуемость

Определение: Отображение \(f: X \to Y\) между топологическими пространствами называется непрерывным в точке \(x_0 \in X\), если для любой окрестности \(\mathcal{O}\) точки \(f(x_0)\) в \(Y\) существует окрестность \(\mathcal{U}\) точки \(x_0\) в \(X\) такая, что \(f(\mathcal{U}) \subseteq \mathcal{O}\). Отображение непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке.

Критерий: Отображение \(f: X \to Y\) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества в \(Y\) открыт в \(X\).

Гомеоморфизм: Взаимно однозначное непрерывное отображение \(f: X \to Y\) пространства \(X\) на пространство \(Y\), обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом. Пространства \(X\) и \(Y\) называются гомеоморфными, если существует гомеоморфизм между ними.

Пример: Любой открытый ограниченный интервал вещественной прямой гомеоморфен \(\mathbb {R}\).

ProblemЗадача 6

Доказать, что отрезок и окружность не гомеоморфны.

[@VKK, Задача  1.10]

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: : чисто схематическая диаграмма (не численный расчёт) к доказательству “отрезок не гомеоморфен окружности”: выброс точки рвёт отрезок на 2 куска, но не рвёт окружность. Интерактив: слайдер положения выбрасываемой точки c на отрезке (среди внутренних точек – всегда 2 компоненты) и на окружности (всегда остаётся 1 компонента), с анимацией “разрыва”/подсветкой компонент связности.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/FA/contents/specials/020/010_segment_circle_fig.tex

5 Компактность

Связь различных понятий компактности

Сплошные стрелки — безусловные импликации. Пунктирные стрелки — обратные импликации, верные при указанном рядом условии на \(X\). Если \(X\) метризуемо, все пять понятий эквивалентны.

Компактность

Из любого открытого покрытия \(X\) можно выделить конечное подпокрытие.

Секвенциальная компактность

Из любой последовательности в \(X\) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к элементу \(X\).

всегда

если \(X\) линделёфово (например, \(X\) имеет счётную базу) или \(X\) метризуемо

всегда

если \(X\) секвенциально; в частности, если \(X\) удовлетворяет первой аксиоме счётности (например, метризуемо)

Счётная компактность

Из любого счётного открытого покрытия \(X\) можно выделить конечное подпокрытие. Эквивалентно: всякое бесконечное \(A\subset X\) имеет точку полного накопления \(p\) (каждая окрестность \(p\) содержит бесконечно много точек \(A\)).

всегда

если \(X\) нормально (\(X\in T_4\))

всегда

если \(X\in T_1\)

Псевдокомпактность

Любая непрерывная функция \(f:X\to\mathbb R\) ограничена.

Предельно-точечная компактность

Любое бесконечное подмножество \(X\) имеет в \(X\) предельную точку.

Компактность \(\Rightarrow\) счётная компактность \(\Rightarrow\) псевдокомпактность и предельно-точечная компактность; секвенциальная компактность \(\Rightarrow\) счётная компактность. Все прочие импликации между этими понятиями либо следуют из указанных по транзитивности, либо без дополнительных условий неверны.

Метризуемое \(X\): оно нормально, \(T_1\) и удовлетворяет первой аксиоме счётности, поэтому все пунктирные стрелки становятся сплошными и пять понятий совпадают.

Свойства:

• Непрерывный образ компактного пространства компактен.

• Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

• В хаусдорфовом пространстве всякое компактное подмножество замкнуто.

• Компактное хаусдорфово пространство нормально.

• Непрерывная вещественная функция на компактном пространстве достигает своего максимума и минимума.

Теорема: Непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.