Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
Вычислить:
\((1+2 i)(2-i)+(1-2 i)(2+i)\);
\(\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{3}\).
\((1+2 i)(2-i)+(1-2 i)(2+i) = 2 + 4i -i + 2 + 2 -4i + i + 2 = 8\);
Имеем
\[
\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1-i)^2}{(1+i) (1-i)} = \frac{-2i}{2} = -i
\]
Т.е. \(\left(\frac{1 - i}{1 + i}\right)^{3} = (-i)^3 = -i^3 = i\).
Вычислить: \(\frac{5}{1+2 i}+\frac{5}{2-i}\).
Найти все корни уравнения:
- \(z+|z+1|+i = 0\);
Пусть \(z = x + iy\). \(-i - z = \left|z + 1\right| \in [0, +\infty )\), т.е. \(\operatorname {Im}(-i-z) = - 1 - y = 0\), \(y = -1\).
Далее, \(\left|z + 1\right| = \left|x + 1 - i\right| = \sqrt{(x+1)^2 + 1}\); \(-i-z = -x\). Получаем
\[
-x = \sqrt{(x+1)^2 + 1} \iff \begin{cases} x \leq 0 \\ x^2 = (x+1)^2 + 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq 0 \\ 0 = 2x + 2 \end{cases} \iff x = -1
\]
Найти все корни уравнения: \(|z|^{2}-2 i z+2 i = 0\).
Решить систему уравнений:
- \(\left\{ \begin{array}{l}|z-2 i| = \left|z\right|, \\ |z-i| = |z-1| ;\end{array}\right.\)
Точка \(z = x + iy\) находится на одинаковом расстоянии от \(0\) и от \(2i\), т.е. она лежит на прямой \(\operatorname {Im}z = y = 1\). Далее, точка \(z\) находится на одинаковом расстоянии от \(i\) и от \(1\), т.е. она лежит на сер. перпендикуляре к их отрезку, на прямой \(x = y\).
Решить систему уравнений: \(\left\{ \begin{array}{l}\left|z^{2}-2 i\right| = 4, \\ |z+1+i| = |z-1-i| .\end{array}\right.\)
Решить уравнение: \(z^{7} = -2 + i\);
Имеем \(-2 + i = r e^{i \varphi }\), где \(r = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}\), \(\varphi = \arctan \left(-\frac{1}{2}\right) + \pi\). Тогда \[
z^7 = \sqrt{5}\, e^{i\varphi } \iff z = \left(\sqrt{5}\right)^{1/7} \cdot \exp \left(i\frac{\varphi + 2\pi k}{7}\right), \qquad k \in \left\{ 0, 1, \ldots , 6\right\}
\] – все \(7\) значений корня.
7 корней: \(z = \left(\sqrt{5}\right)^{1/7} \cdot \exp \left(i\frac{1}{7}\left(\varphi + 2\pi k\right)\right)\), где \(\varphi = \arctan \left(-\frac{1}{2}\right) + \pi\), \(k \in \left\{ 0,1\ldots ,6\right\}\).
Решить уравнение: \(z^{8} = 1+i\).
Выяснить, какая линия на плоскости задается уравнением:
\(\operatorname {Re} \frac{1}{z} = \frac{1}{a}(a > 0)\);
\(\operatorname {Im} \frac{z-1}{z+1} = 0\).
Напомним, что \(z\cdot \overline{z} = \left|z\right|^2\), т.е. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{\left|z\right|^2}\overline{z}\),
\[
\operatorname {Re}\frac{1}{z} = \frac{1}{\left|z\right|^2} \operatorname {Re}\overline{z} = \frac{1}{\left|z\right|^2}\operatorname {Re}z = \frac{x}{x^2 + y^2}
\]
Имеем
\[
\frac{1}{a} = \frac{x}{x^2 + y^2} \iff x^2 - ax + y^2 = 0 \iff \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
Окружность с центром в \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\), радиусом \(\frac{a}{2}\) (без точки \(z = 0\), в которой \(\frac{1}{z}\) не определена).
Имеем
\[
\frac{z-1}{z+1} = (z-1) \cdot \frac{1}{\left|z+1\right|^2}\overline{(z + 1)} = \frac{(z-1)(\overline{z} + 1)}{\left|z+1\right|^2} = \frac{\left|z\right|^2 + z - \overline{z} - 1}{\left|z+1\right|^2}
\]
Т.е.
\[
\operatorname {Im}\frac{z-1}{z+1} = \frac{1}{\left|z+1\right|^2} \operatorname {Im}\left(\left|z\right|^2 + z - \overline{z} - 1\right) = \frac{1}{\left|z+1\right|^2} \operatorname {Im}\left(z - \overline{z}\right) = \frac{1}{\left|z+1\right|^2} 2\operatorname {Im}z
\]
Таким образом, \(\operatorname {Im} \frac{z-1}{z+1} = 0\) \(\iff\) \(\operatorname {Im}z = 0\) (и \(z \neq -1\), где выражение не определено).
Окружность, построенная на отрезке \([0, a]\) как на диаметре (без точки \(z = 0\))
Действительная ось (без точки \(z = -1\)).
Выяснить, какая линия на плоскости задается уравнением: \(\operatorname {Re} \frac{z-1}{z+1} = 0\).
Выяснить, какая линия на плоскости задается уравнением: \(\operatorname {Re} \frac{z-a}{z+a} = 0 \quad (a > 0)\).
Выяснить, какое множество точек \(z\) комплексной плоскости удовлетворяет неравенству:
\(0 < \arg \frac{i-z}{z+i} < \frac{\pi }{2}\);
\(|z| > 1-\operatorname {Re} z\);
Преобразуем:
\[
\frac{i-z}{z+i} = \frac{(i-z)\overline{(z+i)}}{\left|z+i\right|^2} = \frac{(i-z)(\overline{z}-i)}{\left|z+i\right|^2} = \frac{i\overline{z} + 1 - z\overline{z} + iz}{\left|z+i\right|^2} = \frac{1 - \left|z\right|^2 + 2ix}{\left|z+i\right|^2}
\]
Условие \(0 < \arg w < \frac{\pi }{2}\) означает, что \(w\) лежит в открытом первом квадранте, т.е. \(\operatorname {Re}w > 0\) и \(\operatorname {Im}w > 0\):
\[
\begin{cases} 1 - \left|z\right|^2 > 0 \\ 2x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \left|z\right| < 1 \\ \operatorname {Re}z > 0 \end{cases}
\]
– правая половина единичного круга, границы не включаются.
Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).
План: TikZ: правая половина единичного круга (множество 0 < arg((i-z)/(z+i)) < pi/2), границы пунктиром. Интерактив: два слайдера границ сектора аргумента (сейчас 0 и pi/2) с пересчетом закрашенной области; при наведении на точку z показывать w = (i-z)/(z+i) на второй панели и его аргумент.
Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/110/010_arg_halfdisk_fig.tex
Если \(\operatorname {Re}z = x > 1\), то правая часть \(1 - x\) отрицательна и неравенство выполнено. При \(x \leq 1\) обе части неотрицательны, возведем в квадрат:
\[
\left|z\right| > 1 - x \iff x^2 + y^2 > 1 - 2x + x^2 \iff y^2 > 1 - 2x
\]
(при \(x > 1\) неравенство \(y^2 > 1 - 2x\) тоже верно, т.к. правая часть отрицательна). Итого: множество \(\left\{ y^2 > 1 - 2x\right\}\) – часть плоскости по ту же сторону от параболы \(y^2 = 1 - 2x\), что и точка \(z = 1\); сама парабола не включается.
Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).
План: TikZ: область |z| > 1 - Re z (правее параболы y^2 = 1-2x), парабола пунктиром, точка z = 1. Интерактив: слайдер параметра c в неравенстве |z| > c - Re z (семейство парабол y^2 = c^2 - 2cx), проверка принадлежности перетаскиваемой точки.
Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/110/020_parabola_region_fig.tex
Правая половина круга радиуса 1 с центром в точке \(z = 0\).
Часть плоскости, лежащая с той же стороны параболы \(y^{2} = 1-2 x\), что и точка \(z = 1\) (и ограниченная этой параболой).
Во всех случаях точки граничных линий не включаются.
Выяснить, какое множество точек \(z\) комплексной плоскости удовлетворяет неравенству: \(\operatorname {Re} z^{4} > \operatorname {Im} z^{4}\).
Пусть \(A\) и \(C\) действительные, а \(B\) — комплексная постоянные и пусть \(A C < |B|^{2}\). Доказать, что уравнение \[
A|z|^{2}+\overline{B} z+B \overline{z}+C = 0 \quad (A > 0)
\] является уравнением окружности, а также найти центр этой окружности и ее радиус.
Доказать, что три попарно различные точки \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда величина \(\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\) действительна.
Доказать сходимость последовательности и найти ее предел:
\(\left\{ \frac{a^{n}}{1+a^{2 n}}\right\} ,|a| < 1\);
\(\left\{ \frac{a^{n}}{1+a^{2 n}}\right\} ,|a| > 1\);
\(\left\{ \frac{1}{n}\left(1+e^{i \varphi }+\ldots +e^{i n \varphi }\right)\right\} , 0 < \varphi < 2 \pi\);
Доказать сходимость последовательности и найти ее предел: \[
\left\{ \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-e^{i \varphi }+e^{2 i \varphi }-\ldots +(-1)^{n} e^{i n \varphi }\right)\right\} ,-\pi < \varphi < \pi
\] .
Пусть \(\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = A \neq \infty\). Доказать, что \[
\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}}{n} = A .
\]
Найти вещественную и мнимую части комплексных чисел:
\(\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{2025}\);
\((1+i)^{n}-(1-i)^{n}, n \in \mathbb {N}\).
Решить уравнения:
\(z^{2}-3 z+(3+i) = 0\);
\(z^{6}-4 z^{3}+8 = 0\).
На единичной окружности \(|z| = 1\) взяты две точки \(z_1\) и \(z_2\), \(z_1+z_2 \neq 0\), и через них проведены касательные к окружности. Найти точку, в которой пересекаются эти касательные.
Рассматривая числа \(z_1, z_2 \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}\) как векторы в комплексной плоскости, покажите, что \(\operatorname {Re}\left(\overline{z_1} z_2\right)\) — их скалярное произведение, а \(\left|\operatorname {Im}\left(\overline{z_1} z_2\right)\right|\) – это площадь параллелограмма со сторонами \(z_1\) и \(z_2\).
Пусть \(\omega_{0}, \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots , \omega_{n-1}\) — корни \(n\)-ой степени из \(1, n \geq 2\). Докажите, что выполняются следующие соотношения \[
\sum _{k = 0}^{n-1} \omega _{k} = 0, \quad \prod _{k = 0}^{n-1} \omega _{k} = (-1)^{n-1}
\]
Доказать, что точки \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) являются вершинами равностороннего треугольника в том и только том случае, если выполняется условие \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2} = z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\).
Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
Функция \(f: U(z_0) \to \mathbb {C}\) называется дифференцируемой в точке \(z_0 \in \mathbb {C}\), если найдется такое число \(A \in \mathbb {C}\) и такая функция \(\alpha (\Delta z) \xrightarrow [\Delta z \to 0]{} 0\) (\(\Delta z := z - z_0\)), такие что
\[
\Delta f = f(z) - f(z_0) = A \cdot \Delta z + \alpha (\Delta z) \cdot \Delta z, \qquad z \in U(z_0)
\]
\(A = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta z} =: f'(z_0)\).
\(f(z) = u(z) + iv(z) = u(x,y) + iv(x,y)\), где \(u,v: \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}\).
Теорема 1 (Условия Коши-Римана) Пусть \(f: U(z_0) \to \mathbb {C}\), \(z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb {C}\). \(f\) дифф. в \(z_0\) тогда и только тогда, когда
\(u\), \(v\) дифф. в \((x_0, y_0)\) (в вещ. смысле);
\(u_x = v_y\), \(u_y = -v_x\).
Найти все точки \(z = x+i y\), в которых дифференцируемы функции:
\(x^{2}-i y^{2}\);
\(z \operatorname {Re} z\).
\(u(x,y) = x^2\), \(v(x,y) = -y^2\). \(u_x = 2x\), \(v_y = -2y\). \(u_y = 0\), \(v_x = 0\).
\(f(z) = (x + iy) \cdot x = x^2 + ixy\), \(u(x,y) = \operatorname {Re}f(z) = x^2\), \(v(x,y) = \operatorname {Im}f(z) = xy\). Они дифференцируемы везде. Условия Коши-Римана:
\[
\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = 2x = x = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 = -y = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}
\]
Т.е. дифференцируема только когда \(x = y=0\).
на прямой \(\operatorname {Re} z = -\operatorname {Im} z\);
Геом. смысл Условий К-Р:
\[
\begin{align} u_x + iv_x & = \lim _{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x + iy_0) - f(x_0 + iy_0)}{\Delta x} = \lim _{i\Delta y \to 0} \frac{f(x_0 + i(y_0 + \Delta y)) - f(x_0 + iy_0)}{i\Delta y} = \\ & = \lim _{\Delta y \to 0} \frac{\Delta u + i\Delta v}{i\Delta y} = \lim _{\Delta y \to 0} \frac{\Delta v - i\Delta u}{\Delta y} = v_y - iu_y \end{align}
\]
Частные производные равны только по 2-м направлениям. И этого достаточно для дифференцируемости.
Еще одна интерпретация условий К-Р: введем новые “координаты”: \((x,y) \mapsto (z, \overline{z})\),
\[
\begin{cases} z = x + iy \\ \overline{z} = x - iy \end{cases}, \qquad \begin{cases} x = \frac{z + \overline{z}}{2} \\ y = \frac{z - \overline{z}}{2i} \end{cases}
\]
Имеем
\[
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = \frac{\partial f}{\partial z} dz + \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} d\overline{z}
\]
Что такое \(\frac{\partial f}{\partial z}\), \(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\)? Имеем
\[
\begin{align} \frac{\partial f}{\partial z} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial {z}} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial {z}} = \left(u_x + iv_x\right)\frac{1}{2} + (u_y + iv_y)\cdot \left(\frac{1}{2i}\right) = \\ & = \frac{(u_x + v_y) + i(v_x - u_y)}{2} \\ \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \overline{z}} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \overline{z}} = \left(u_x + iv_x\right) \frac{1}{2} + \left(u_y + iv_y\right)\cdot \left(-\frac{1}{2i}\right) = \\ & = \frac{1}{2} \left[\left(u_x - v_y\right) + i \left(v_x + u_y\right)\right] \end{align}
\]
Таким образом, условия К-Р в краткой форме: \(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0\). В этом случае \(df = \frac{\partial f}{\partial z} dz\), причем
\[
\frac{\partial f}{\partial z} = f'(z) = u_x - iu_y = v_y + iv_x
\]
Например, \(f(z) = z^2 = (x + iy)^2\). Она дифференцируема везде (можно проверить по определению), причем \(f(z) = x^2 - y^2 + 2ixy\), \(u = x^2 - y^2\), \(v = 2xy\). \(u_x = 2x\), \(u_y = -2y\), \(v_x = 2y\), \(v_y = 2x\).
\[
\frac{\partial f}{\partial z} = 2x + 2iy = 2z
\]
Записать условия К-Р в полярных координатах.
Пусть \(z = re^{i\varphi }\), т.е. \(x = r\cos \varphi\), \(y = r\sin \varphi\). По формуле производной сложной функции \[
\begin{align} u_r & = u_x \cos \varphi + u_y \sin \varphi , & u_\varphi & = -u_x r\sin \varphi + u_y r \cos \varphi , \\ v_r & = v_x \cos \varphi + v_y \sin \varphi , & v_\varphi & = -v_x r\sin \varphi + v_y r \cos \varphi . \end{align}
\] Подставим условия К-Р \(u_x = v_y\), \(u_y = -v_x\): \[
\begin{align} v_\varphi & = -v_x r \sin \varphi + v_y r\cos \varphi = u_y r \sin \varphi + u_x r \cos \varphi = r \cdot u_r, \\ u_\varphi & = -u_x r\sin \varphi + u_y r\cos \varphi = -v_y r \sin \varphi - v_x r \cos \varphi = -r \cdot v_r. \end{align}
\] Итого, условия К-Р в полярных координатах: \[
u_r = \frac{1}{r} v_{\varphi }, \qquad v_r = -\frac{1}{r} u_{\varphi }
\]
\(u_r = \frac{1}{r} v_{\varphi }\), \(v_r = -\frac{1}{r} u_{\varphi }\).
Пусть \(D\) – область (т.е. открытое связное множество). Функция \(f: D \to \mathbb {C}\) называется голоморфной (также регулярной, аналитической), если \(f\) дифференцируема во всех точках \(D\).
Пусть \(D \subset \mathbb {C}\) – область. Найти все такие голоморфные в \(D\) функции \(f\), что
\(v \equiv \operatorname {const}\) в \(D\);
\(\operatorname {arg}f(z) \equiv \operatorname {const}\) в \(D\).
\(v \equiv \operatorname {const}\), т.е. \(v_x = v_y = 0\) в \(D\). По условиям К-Р \(u_x = v_y = 0\) и \(u_y = -v_x = 0\), т.е. \(u \equiv \operatorname {const}\) (область \(D\) связна). Итого \(f \equiv \operatorname {const}\).
\(\frac{v}{u} = \operatorname {tg}\operatorname {arg}f(z) = \alpha\) в \(D\), т.е. \(v = \alpha u\) (случай \(\operatorname {arg}f \equiv \pm \frac{\pi }{2}\), т.е. \(u \equiv 0\), разбирается как в п. 1). Условия К-Р:
\[
\begin{cases} u_x = \alpha u_y \\ u_y = -\alpha u_x \end{cases}
\]
Если найдется хотя бы одна точка в \(D\), где \(u_y \neq 0\), то \(-\alpha^2 = 1\), т.е. \(\alpha \in \left\{ i,-i\right\}\). Противоречие (\(\alpha \in \mathbb {R}\)). Т.е. \(u_x = u_y = v_x = v_y \equiv 0\), и снова \(f \equiv \operatorname {const}\).
В обоих случаях только \(f \equiv \operatorname {const}\).
Пусть \(v = x^{2}-y^{2}+2 x y\). Восстановить голоморфную \(f(z)\).
Проверим, что \(v\) гармоническая (если это не так, то задачу решить нельзя).
\[
\Delta v = v_{xx} + v_{yy} = 2 - 2 =0
\]
Действительно гармоническая.
Далее,
\[
\begin{align} u_y & = -v_x = -2x - 2y \; \Rightarrow \; u = -2xy - y^2 + \varphi (x) \\ -2y + \varphi '(x) = u_x & = v_y = -2y + 2x \; \Rightarrow \; \varphi (x) = x^2 + C \end{align}
\]
Получим выражение для \(f\) через \(z\). Заметим, что \(z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\). Имеем
\[
f(z) = u + iv = -2xy - y^2 + x^2 + C + i\left(x^{2}-y^{2}+2 x y\right) = z^2 + iz^2 + C, \qquad C \in \mathbb {R}
\]
Найти все точки \(z = x+i y\), в которых дифференцируемы функции:
\(|\overline{z}|^{2}\);
\(x^{2}-y^{2}-2 i x y\);
\(z \operatorname {Re} z\).
Найти области, в которых функция \(f\) голоморфна, если \[
f(z) = \left|x^{2}-y^{2}\right|+2 i|x y|, \quad z = x+i y
\]
Пусть \(f(z) = u(x, y)+i v(x, y)\), где \(z = x+i y\), а вещественнозначные функции \(u\) и \(v\) дифференцируемы в точке \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\). Пусть \(z_{0} = x_{0}+i y_{0}\).
Найти множество предельных точек отношения \(\frac{f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z}\) при \(\Delta z \rightarrow 0\).
Доказать, что если существует предел
\[
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \operatorname {Re} \frac{f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z},
\]
то функция \(f\) дифференцируема в комплексном смысле в точке \(z_{0}\).
Доказать, что если \(f(z)\) и \(\overline{f(z)}\) голоморфны в области \(D\), то \(f(z) \equiv \operatorname {const}\) в \(D\).
Доказать, что если функция \(f\) определена в области \(D\), \(n\) раз дифференцируема в комплексном смысле и \(f^{(n)}(z) \equiv 0\), то \(f\) – многочлен степени меньше \(n\).