Паспорт курса

Теория функций комплексного переменного

Основные сведения

• Где и когда. V семестр обоих планов ФПМИ набора 2025: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (профиль «Математика») и 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» (профиль «Прикладная математика, компьютерные науки и инженерия»).
• Объём. 135 часов, 3 з.е.: 60 аудиторных часов (30 лекций и 30 семинаров), 45 часов самостоятельной работы и 30 часов на экзамен.
• Кафедра. Кафедра высшей математики.
• Преподаватели в опубликованных программах 2025/26. Е. С. Половинкин (поток ФПМИ С01-319) и М. В. Лысов (другой поток ФПМИ). Это данные конкретного учебного года, а не обещание распределения на будущий год.
• Итоговый контроль. Экзамен в V семестре.

Содержание опубликованной программы

Ниже — полный перечень разделов программы Е. С. Половинкина на 2025 год. Формулировки сжаты, но все 36 экзаменационных пунктов сохранены.

1. Комплексная производная и дифференцируемость; критерий регулярности.
2. Интеграл по кривой.
3. Первообразная, полный дифференциал и независимость интеграла от пути.
4. Теорема Гурса и теорема Коши в односвязной области.
5. Интегральная формула Коши.
6. Дифференцирование интеграла Коши и бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
7. Степенной ряд и ряд Тейлора в круге.
8. Теорема Вейерштрасса о локально равномерно сходящихся рядах.
9. Ряд Лорана в кольце.
10. Теорема тождественности.
11. Теорема Мореры и устранимая особенность.
12. Классификация изолированных особых точек.
13. Вычеты, теорема о вычетах и их вычисление.
14. Вычисление несобственных интегралов рациональных функций и выражений с \(e^{iax}\); лемма Жордана.
15. Приращение аргумента вдоль кривой.
16. Обратная функция и главные ветви логарифма и корня.
17. Регулярные ветви \(\log f(z)\).
18. Регулярные ветви корня из \(f(z)\).
19. Рост целых функций и теорема Лиувилля.
20. Теорема Сохоцкого о целой функции.
21. Принцип аргумента, теорема Руше и основная теорема алгебры.
22. Мероморфные функции и разложение на простые дроби.
23. Принцип открытости, сохранение областей и локальная однолистность.
24. Конформность в области и критерий конформности в точке.
25. Конформные отображения на сфере Римана, переход между полуплоскостью и кругом, примеры отображений круга в себя.
26. Дробно-линейные преобразования и их свойства.
27. Степенное и экспоненциальное отображения.
28. Преобразование Жуковского.
29. Гармонические функции на \(\mathbb R^2\) и принцип минимума—максимума.
30. Принцип максимума модуля и лемма Шварца.
31. Общий вид отображений круга в себя.
32. Теорема Римана об отображении и единственность нормированного отображения.
33. Инвариантность гармоничности, задача Дирихле на плоскости и единственность ограниченного решения.
34. Интеграл Пуассона в круге и существование решения задачи Дирихле.
35. Аналитическое продолжение по цепочке областей и вдоль кривой; полные аналитические функции, поверхность Римана и логарифм.
36. Особые точки ветвления и формула Коши—Адамара.

Балльно-рейтинговая система (осень 2025)

БРС курса — 100 баллов. За работу в семестре можно получить до 40 баллов: контрольные по сдаче 1-го и 3-го задания — по 0–6, семестровая контрольная — 0–16, три задания с тетрадью и защитой — по 0–2, проверка теории — 0–3, работа на семинарах — 0–3. Устный ответ на экзамене — 0–60.

Шкала: 93–100 — 10, 86–92 — 9, 79–85 — 8, 72–78 — 7, 65–71 — 6, 59–64 — 5, 51–58 — 4, 40–50 — 3, 11–39 — 2, 0–10 — 1.

Источники и актуальность

Программа Половинкина, 2025/26, программа Лысова, БРС 2025, план 01.03.02 и план 09.03.01.