Конформные отображения

Дата публикации

18 октября 2026

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Введение

Пусть \(D \subset \overline{\mathbb {C}}\).

Опр. 1.Отображение \(f\) области \(D\) наз. конформным, если

  • \(f\) – это биекция между \(D\) и \(f(D)\);

  • \(f\), \(f^{-1}\) регулярны (в подходящем локальном параметре).

Что значит “в подходящем локальном параметре”? Регулярность в определении выше означает регулярность в окрестности каждой точки из области определения \(D \subset \overline{\mathbb {C}}\). Пусть \(z_0 \in D\), \(f(z_0) = w_0\). 4 случая:

  • \(z_0 \neq \infty\), \(w_0 \neq \infty\). Тогда пусть \(\zeta = z\), \(\omega = w\);

  • \(z_0 = \infty\), \(w_0 \neq \infty\). Тогда пусть \(\zeta = \frac{1}{z}\), \(\omega = w\);

  • \(z_0 \neq \infty\), \(w_0 = \infty\). Тогда пусть \(\zeta = z\), \(\omega = \frac{1}{w}\);

  • \(z_0 = \infty\), \(w_0 = \infty\). Тогда пусть \(\zeta = \frac{1}{z}\), \(\omega = \frac{1}{w}\);

Регулярность \(f\) в окрестности \(z_0\) означает регулярность \(\omega = \omega (\zeta )\) в окрестности \(\zeta_0\) как обычной комплексной функции (\(\zeta\) и \(\omega\) мы подобрали так, что \(\zeta_0\) и \(\omega_0\) – это всегда конечные точки).

Т.е. это отображение, которое в локальном параметре явл. обычным регулярным отображением, и производная в каждой точке (в лок. координатах) существует и не равна нулю.

Опр. 2.Отображение \(f\) области \(D\) наз. конформным, если

  • \(f\) однолистно (т.е. это биекция между \(D\) и \(f(D)\))

  • \(f\) регул. во всех точках \(z \in D\), кроме, возможно, одного полюса \(1\) порядка. При этом если \(z_0\) – точка регулярности, то \(f'(z_0) \neq 0\).

Опр. 3.Отображение \(f\) области \(D\) наз. конформным, если

  • \(f\) однолистно (т.е. это биекция между \(D\) и \(f(D)\))

  • \(f\) регул. в проколотой окрестности каждой точки из \(D\);

ExampleПример 1

В каких областях \(\exp\) явл. конформным отображением?

SolutionРешение

  • Проверяем однолистность: \(z_1 \neq z_2\), \(e^{z_{1}} \stackrel{?}{=}e^{z_2}\) \(\iff\) \(z_1 - z_2 = 2\pi i k\), \(k\in \mathbb {Z}\). Значит, область \(D\) не должна содержать точек, отличающихся на \(2\pi i k\), \(k \neq 0\).

  • \(e^{z}\) – целая функция, полюсов и УОТ нет. \(\infty \not\in D\);

  • \(0 \neq \left(e^{z}\right)' = e^z\), \(z \in \mathbb {C}\).

Подойдет любая горизонтальная полоса ширины меньше \(2\pi\).

Конформность – это отношение эквивалентности на множестве всех областей сферы Римана \(\overline{\mathbb {C}}\). На какие классы эквивалентности разбивает это отношение односвязные области?

Теорема 1 (Риман) Односвязные области разбиваются на \(3\) класса эквивалентности:

  • \(\left\{ \overline{\mathbb {C}}\right\}\) (т.е. сфера Римана конформна только сама себе);

  • \(\left\{ \overline{\mathbb {C}} \setminus \left\{ z_0\right\} \; : \; z_0 \in \overline{\mathbb {C}}\right\}\);

  • Все оставшиеся односвязные области, т.е. односвязные области, у которых граница состоит хотя бы из 2-х точек.

2 Дробно-линейные отображения (ДЛО)

2.1 Определение

Пусть \(a, b \in \mathbb {C}\), \(a \neq 0\). Рассмотрим отображение

\[ z \mapsto w(z) = \begin{cases} az + b, & z \neq \infty \\ \infty , & z = \infty \end{cases} \]

Это отображение \(\overline{\mathbb {C}} \to \overline{\mathbb {C}}\) называется линейным. Для простоты это отображение мы будем записывать в виде \(w(z) = az + b\), предполагая, что в качестве \(z\) может быть и \(\infty\) (в этом случае \(w(\infty )= \infty\)).

Обобщением линейных отображений являются дробно-линейные. Пусть \(a,b,c,d \in \mathbb {C}\), причем \(ad - bc \neq 0\). Дробно-линейным называется отображение \(\overline{\mathbb {C}} \to \overline{\mathbb {C}}\), которое в случае \(c = 0\) является \(\frac{a}{d}z +\frac{b}{d}\) и задается указанным выше способом, а в случае \(c \neq 0\) задается как

\[ z \mapsto w(z) = \begin{cases} \frac{a z+b}{c z+d}, & z \neq \infty , z \neq -\frac{d}{c} \\ \infty , & z = -\frac{d}{c} \\ \frac{a}{c}, & z = \infty \end{cases} \]

Условие \(a d-b c \neq 0\) означает, что \(w \not\equiv \operatorname {const}\). Опять-таки, для краткости принято писать \(w(z) = \frac{a z+b}{c z+d}\), при этом в качестве \(z\) можно подставлять любую точку из \(\overline{\mathbb {C}}\).

2.2 Свойства

2.2.1 Конформность

Лемма 1 (ДЛО конформно) Отображение \(w(z)=\frac{a z+b}{c z+d}\) как отображение \(\overline{\mathbb {C}} \to \overline{\mathbb {C}}\) является конформным (во всей \(\overline{\mathbb {C}}\)).

В частности, ДЛО сохраняет углы между кривыми.

2.2.2 ДЛО образуют группу

Несложно проверить, что композиция 2-х ДЛО будет ДЛО.

Лемма 2 Совокупность всех дробно-линейных отображений образует группу относительно композиции (суперпозиции).

Пусть \(ad - bc \neq 0\). Значит, матрица \(\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)\) будет невырожденной. Каждой такой матрице соответствует ДЛО:

\[ \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right) \mathrel {\leadsto } w = w(z) \]

где \(w(z) = \frac{a z+b}{c z+d}\). Оказывается (легко проверить), что матричному произведению соответствует операция композиции 2-х ДЛО: если \(\left(\begin{smallmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_{1} \end{smallmatrix}\right)\), \(\left(\begin{smallmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_{2} \end{smallmatrix}\right)\) – две невырожденные матрицы, то

\[ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \mathrel {\leadsto } w_1 \circ w_2 \]

где \(w_{1,2}(z) = \frac{a_{1,2}z + b_{1,2}}{c_{1,2}z + d_{1,2}}\)

Лемма 3 (Гомоморфизм \(\operatorname {GL}_2(\mathbb {C})\) на группу ДЛО) Указанное выше отображение – это гомоморфизм группы невырожденных матриц \(2\times 2\) над комплексными числами (обычно обозначаемой \(\operatorname {GL}_2(\mathbb {C})\)) на группу ДЛО с операцией композиции.

Чем это может быть полезно? Если мы хотим найти обратное отображение к ДЛО \(w(z) = \frac{a z+b}{c z+d}\), то нужно просто посмотреть, кому соответствует матрица \(\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)^{-1}\). А именно,

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \quad \mathrel {\leadsto } \quad w^{-1}(z) = \frac{\frac{1}{ad - bc}dz - \frac{1}{ad - bc} b }{-\frac{1}{ad - bc} cz + \frac{1}{ad - bc} a} = \frac{dz - b}{-cz + a} \]

Это отображение не явл. изоморфизмом для \(\operatorname {GL}_2(\mathbb {C})\), поскольку ядро нетривиально. Например, единичная матрица \(\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)\) переходит в тождественное отображение \(w(z) = \frac{1z + 0}{0z + 1} = z\). Но туда же переходит и, например, \(\left(\begin{smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)\): в данном случае \(w(z) = \frac{2z + 0}{0z+ 2} =z\); ядро – это все скалярные матрицы \(\lambda E\), \(\lambda \neq 0\). Если ограничиться матрицами с единичным определителем, ядро уменьшится, но останется нетривиальным: \(\operatorname {det}(-E) = 1\), а соответствующее ДЛО тождественное. Т.е. ядро сузится до \(\left\{ \pm E\right\}\).

Лемма 4 (Группа ДЛО изоморфна \(\operatorname {PSL}_2(\mathbb {C})\)) Указанное выше отображение индуцирует изоморфизм между факторгруппой \(\operatorname {PSL}_2(\mathbb {C}) = \operatorname {SL}_2(\mathbb {C})/\left\{ \pm E\right\}\) (матрицы с единичным определителем, взятые с точностью до знака) и группой ДЛО с операцией композиции.

2.2.3 Круговое свойство

Лемма 5 При дробно-линейном отображении образом любой окружности со сферы Римана \(\overline{\mathbb {C}}\) является окружность со сферы Римана.

Напомним, что окружность со сферы Римана (при стереографической проекции) соответствует окружности с плоскости \(\mathbb {C}\), если на сфере окружность не проходила через верхнюю точку, т.е. через \(\infty\). Если она проходит через \(\infty\), то на плоскости она соответствует прямой.

2.2.4 ДЛО сохраняет симметрию точек

Пусть \(z_1, z_2 \in \overline{\mathbb {C}}\), \(\gamma\) – прямая или окружность. Нам нужно определить симметрию точек относительно \(\gamma\).

  • Пусть \(\gamma\) – это прямая. Конечные точки \(z_1, z_2 \in \mathbb {C}\) называются симметричными относительно \(\gamma\), если они симметричны в обычном геометрическом смысле. Т.е. отрезок \([z_1, z_2]\) пересекает прямую \(\gamma\) и перпендикулярен ей, при этом расстояние от \(\gamma\) до \(z_1\) и \(z_2\) одинаковое.

    Далее, \(\infty\) симметрична только \(\infty\). Так удобно считать, поскольку любая точка с прямой симметрична сама себе (отн. этой прямой), а \(\infty\) лежит на прямой (если мы перейдем на сферу Римана).

  • Пусть \(\gamma\) – это окружность. Точки \(z_1\), \(z_2\) симметричны относительно \(\gamma\), если они связаны инверсией). А именно, они лежат на одном луче из центра \(z_0\) окружности \(\gamma\), причем \(\left|z_1 - z_0\right| \cdot \left|z_2 - z_0\right| = R^2\), где \(R\) – это радиус \(\gamma\).

    В частности, сам центр \(z_0\) симметричен \(\infty\) относительно \(\gamma\).

Лемма 6 (Свойство сохранения симметрии) При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности или прямой, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности или прямой.

ExampleПример 2

Дана дробно-линейная функция \[ w = f(z) = \frac{1 + iz}{1 - iz}. \] Найти, куда переходит верхняя полуплоскость \(D = \left\{ z \; : \; \operatorname {Im}z > 0\right\}\).

SolutionРешение

Пусть \(\gamma = \partial D = \left\{ z \; : \; \operatorname {Im} z = 0\right\}\). \(\gamma\) – это вещественная ось. По свойствам конформных отображений граница \(f(D)\) – это множество \(f(\gamma )\). Элементарные наблюдения:

\[ 0 \mapsto f(0) = 1, \qquad 1 \mapsto \frac{1 + i}{1-i} = \frac{2i}{2} = i, \qquad \infty \mapsto \lim _{z \to \infty }f(z) = \lim _{z \to \infty }\frac{\frac{1}{z} + i}{\frac{1}{z} - i} = \frac{i}{-i} = -1 \]

Далее, в \(\infty\) переходит точка, обнуляющая знаменатель, т.е. точка \(-i\). Итого, \(-i \mapsto \infty\).

Найдем \(f(\gamma )\), т.е. куда переходит прямая \(\operatorname {Im} z = 0\). Образ любой прямой при ДЛО – это прямая (в случае, если на прямой лежит точка, переходящая в бесконечность) или окружность (в прот. случае). В нашем случае \(-i \mapsto \infty\), причем \(-i \not\in \gamma\) не лежит на рассматриваемой прямой. Значит, \(\infty \not\in f(\gamma )\), значит \(f(\gamma )\) – это действительно окружность. Как найти эту окружность?

  • 1-й способ, по 3 точкам. \(0,1,\infty\) лежали на \(\gamma\) (в \(\overline{\mathbb {C}}\)), значит \(f(\gamma )\) будет проходить через \(1, i, -1\). Единственная прямая или окружность, проходящая через эти точки, – это окружность \(\left\{ \left|z\right| = 1\right\}\). Значит, это и есть \(f(\gamma )\).

  • 2-й способ, через углы пересечения и 2 точки. Нам нужно понять, куда переходит вещественная ось. Можно заметить, что при подстановке в \(f(z) = \frac{1 + iz}{1 - iz}\) точек с прямой \(\operatorname {Re}z = 0\), т.е. точек вида \(z = iy\), будут получаться действительные числа. Значит, мнимая ось переходит в вещественную. Мнимая и вещественная оси пересекаются под прямым углом, значит и их образы должны пересекаться под прямым углом. При этом мы знаем, что \(-1, 1 \in f(\gamma )\). Значит \(f(\gamma )\) – это прямая или окружность, проходящая через \(-1,1\), пересекающаяся с вещественной осью под прямыми углами. Единственный вариант – это окружность \(\left|z\right| = 1\).

  • 3-й способ, по центру и точке на окружности. Мы выяснили, что \(f(\gamma )\) – это окружность. Как найти точку \(w_0\), центр этой окружности? \(w_0\) симметрична \(\infty\) отн. \(f(\gamma )\), значит \(z_0 := f^{-1}(w_0)\) симм. \(f^{-1}(\infty ) = -i\) относительно \(\gamma\). Т.е. \(z_0 = i\), \(w_0 = f(z_0) = 0\). Далее, мы знаем, что \(1 \in f(\gamma )\). \(f(\gamma )\) – это окружность с центром в \(0\) и проходящая через \(1\). Единственный вариант: \(f(\gamma ) = \left\{ \left|z\right| = 1\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: конформное отображение D -> f(D).

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/330/010_conformal_map_D_fig.tex

Нашли границу образа. Осталось понять, с какой стороны от этой границы будет лежать образ. Мы уже говорили, что \(-i \mapsto \infty\). При этом \(-i \not\in D\), значит \(\infty \not\in f(D)\), значит \(f(D) = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}\).

AnswerОтвет

\(f(D) = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}\).

ExampleПример 3

Дано ДЛО \[ w = f(z) = \frac{2iz}{z + 3} \] Найти, куда переходит \(D = \left\{ \left|z - 1\right| < 2\right\}\).

SolutionРешение
Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: D -> f(D), образ — единичный круг.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/330/020_conformal_map_unit_disk_fig.tex

\(-3 \mapsto \infty\). \(-3 \not\in \gamma = \partial D = \left\{ \left|z-1\right| = 2\right\}\). Значит, образ границы \(f(\gamma )\) – это окружность.

\(-1 \mapsto \frac{-2i}{2} = -i\), \(3 \mapsto \frac{6i}{6} = i\). Далее, точки \(-3\) и \(0\) симметричны относительно \(\gamma\) (лежат на одном луче из центра \(1\), и \(\left|-3-1\right|\cdot \left|0-1\right| = 4 = R^2\)), значит их образы \(\infty\) и \(f(0) = 0\) симметричны относительно \(f(\gamma )\), т.е. \(0\) – это центр окружности \(f(\gamma )\). Она проходит через \(\pm i\), т.е. \(f(\gamma ) = \left\{ \left|w\right| = 1\right\}\).

Наконец, \(-3 \not\in D\), значит \(\infty = f(-3) \not\in f(D)\): образ – внутренность круга, \(f(D) = \left\{ \left|w\right| < 1\right\}\).

AnswerОтвет

\(f(D) = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}\).

ProblemЗадача 27.4

Найти образ полуплоскости \(\left\{ z: \operatorname {Re} z < 1\right\}\) при следующих отображениях:

  1. \(w = \frac{z-3+i}{z+1+i}\).

2.2.5 ДЛО сохраняет двойное отношение 4-х точек

Пусть \(z_1, z_2, z_3, z_4 \in \overline{\mathbb {C}}\). Двойное отношение четверки этих чисел определяется как

\[ (z_1, z_2, z_3, z_4 ) \quad := \quad \frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2} \; \colon \; \frac{z_4 - z_1}{z_4 - z_2} = \frac{(z_3 - z_1) (z_4 - z_2)}{(z_3 - z_2) (z_4 - z_1)} \]

В частности, если \(z_1 = \infty\), то

\[ (\infty , z_2, z_3, z_4 ) = \frac{(z_3 - \infty ) (z_4 - z_2)}{(z_3 - z_2) (z_4 - \infty )} = \lim _{z_1 \to \infty } \frac{(z_3 - z_1) (z_4 - z_2)}{(z_3 - z_2) (z_4 - z_1)} = \frac{z_4 - z_2}{z_3 - z_2} \]

Лемма 7 Пусть \(w = w(z)\) – это ДЛО, \(w_i := w(z_i)\). Тогда \[ (z_1, z_2, z_3, z_4 ) = (w_1, w_2, w_3, w_4 ) \]

2.3 Примеры дробно-линейных отображений

2.3.1 3 точки в 3 точки

Существует единственное дробно-линейное отображение, при котором три различные точки \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) из \(\overline{\mathbb {C}}\) переходят соответственно в три различные точки \(w_{1}, w_{2}, w_{3}\) из \(\overline{\mathbb {C}}\). Это отображение можно найти через равенство двойных отношений: \((z_1, z_2, z_3, z) = (w_1, w_2, w_3, w)\). А именно,

\[ \frac{w_3-w_{1}}{w_3-w_{2}} \colon \frac{w-w_{1}}{w-w_{2}}=\frac{z_3-z_{1}}{z_3-z_{2}} \colon \frac{z-z_{1}}{z-z_{2}} . \]

2.3.2 Верхняя полуплоскость в единичный круг

Любое конформное отображение верхней полуплоскости \(\{ z: \operatorname {Im} z>0\}\) на круг \(\{ w:|w|<1\}\) имеет вид

\[ w(z)=\frac{z-z_{0}}{z-\bar{z}_{0}} \cdot e^{i \alpha } \]

где \(\operatorname {Im} z_{0}>0, \quad \alpha \in \mathbb {R}\).

2.3.3 Единичный круг в верхнюю полуплоскость

Ищем обратное к предыдущему:

\[ we^{-i\alpha } (z - \overline{z_0}) = z - z_0 \iff z = \frac{we^{-i\alpha }\overline{z_0} - z_0}{we^{-i\alpha } - 1} = \frac{we^{-2i\operatorname {arg}z_0} - e^{i\alpha }}{w - e^{i\alpha }}z_0 = \frac{we^{-2i\beta } - e^{i\alpha }}{w - e^{i\alpha }}r \cdot e^{i\beta } \]

Итак, любое конформное отображение единичного круга \(\{ w:|w|<1\}\) в верхнюю полуплоскость \(\{ z: \operatorname {Im} z>0\}\) имеет вид

\[ w(z)=\frac{z e^{-2i\beta } - e^{i\alpha }}{z - e^{i\alpha }}r \cdot e^{i\beta } \]

где \(r > 0, \beta \in (0,\pi ), \quad \alpha \in \mathbb {R}\).

Простейший пример: \(\alpha = 0\), \(\beta = \pi /2\), \(r= 1\),

\[ w(z) = \frac{-z - 1}{z-1}i = \frac{1 + z}{1 - z}i \]

2.3.4 Единичный круг в единичный круг

Любое конформное отображение круга \(\{ z:|z|<1\}\) на круг \(\{ w:|w|<1\}\) имеет вид

\[ w(z)=\frac{z-z_{0}}{1-\bar{z}_{0}z} \cdot e^{i \alpha } \]

где \(\left|z_{0}\right|<1, \quad \alpha \in \mathbb {R}\).

2.3.5 Верхняя полуплоскость в верхнюю полуплоскость

Любое конформное отображение верхней полуплоскости \(\{ z: \operatorname {Im} z>0\}\) на верхнюю полуплоскость \(\{ w: \operatorname {Im} w>0\}\) имеет вид

\[ w(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \]

где \(a, b, c, d \in \mathbb {R}\) и \(a d-b c>0\).

ExampleПример 27.7

Отыскать дробно-линейные функции \(w(z)\), удовлетворяющие условиям:

  1. \(w(i) = 0, w(\infty ) = 1, w(-i) = \infty\); Найти образ полуплоскости \(\left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\}\) при отображениях, задаваемых этими функциями.
SolutionРешение
Enum-item1.

Равенство двойных отношений: \((i, \infty , -i, z) = (0,1,\infty , w)\). Упростим:

\[ \begin{align} (i, \infty , -i, z) & = \frac{-i - i}{-i -\infty } \colon \frac{z - i}{ z - \infty } = \frac{-2i}{-i -\infty } \cdot \frac{z - \infty }{z - i} = \frac{-2i}{z - i} \\ (0,1,\infty , w) & = \frac{\infty - 0}{\infty - 1} \colon \frac{w - 0}{w - 1} = \frac{w-1}{w} = 1 - \frac{1}{w} \end{align} \]

Получаем \(1 - \frac{1}{w} = \frac{-2i}{z - i}\) и

\[ w = \left(1 - \frac{-2i}{z - i}\right)^{-1} = \left(\frac{z - i - (-2i)}{z - i}\right)^{-1} = \frac{z-i}{z + i} \]

Далее, пусть \(D = \left\{ \operatorname {Re}z > 0\right\}\), тогда \(\gamma = \partial D = \left\{ \operatorname {Re}z = 0\right\} = \left\{ z = iy, \; y \in \mathbb {R}\right\}\). Подставим:

\[ w(iy) = \frac{iy-i}{iy + i} = \frac{y-1}{y+1} \]

Это всегда действительное число. Значит мнимая прямая \(\gamma = \left\{ \operatorname {Re}z = 0\right\}\) переходит в действительную прямую \(\left\{ \operatorname {Im}z = 0\right\}\).

Далее, \(1 \mapsto \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)^2}{2} = -i\). Значит, \(-i \in f(D)\). Значит, \(f(D) = \left\{ \operatorname {Im}z < 0\right\}\).

AnswerОтвет
Enum-item1.

\(w = \frac{z-i}{z+i}, \operatorname {Im} w < 0\);

ProblemЗадача 27.7

Отыскать дробно-линейные функции \(w(z)\), удовлетворяющие условиям:

  1. \(w(i) = 2, w(\infty ) = 1+i, w(-i) = 0\); Найти образ полуплоскости \(\left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\}\) при отображениях, задаваемых этими функциями.
ExampleПример 27.8

Найти функцию \(w(z)\), конформно отображающую область \(D\) на область \(D_{1}\) и удовлетворяющую указанным условиям:

  1. \(D = \left\{ z: \operatorname {Re} z > -1\right\} , D_{1} = \left\{ w:|w| < 1\right\} , w(0) = 0, \arg w^{\prime }(0) = \pi\).
SolutionРешение
Enum-item1.

Мы знаем, как отображать верхнюю полуплоскость в единичный круг. Так что первым делом сделаем из области \(\left\{ \operatorname {Re}z > -1\right\}\) верхнюю полуплоскость.

\[ \left\{ \operatorname {Re}z > -1\right\} \quad \xmapsto {\, w_1(z)=z + 1\, } \quad \left\{ \operatorname {Re}w_1 > 0\right\} \quad \xmapsto {\, w_2(w_1)= w_1 \cdot e^{i \pi /2} = iw_1\, } \quad \left\{ \operatorname {Im}w_2 > 0\right\} \]

Далее, общий вид конформного отображения из \(\left\{ \operatorname {Im}w_2 > 0\right\}\) в \(\left\{ \left|w\right| < 1\right\}\):

\[ w(w_2) = \frac{w_2 - z_0}{w_2 - \overline{z_0}}e^{i\alpha } \]

где \(\operatorname {Im}z_0 > 0\).

Итоговое отображение:

\[ w(z) = \left(w \circ w_2 \circ w_1 \right)(z) =\frac{i(z+1) - z_0}{i(z+1) - \overline{z_0}}e^{i\alpha } \]

Подставляем условия:

\[ 0 = w(0) = \frac{i - z_0}{i - \overline{z_0}}e^{i\alpha } \]

Значит \(z_0 = i\) и \(w(z) = \frac{iz}{iz + 2i}e^{i\alpha } = \frac{z}{z + 2}e^{i\alpha }\). Далее,

\[ \pi = \operatorname {arg}w'(0) = \operatorname {arg}\left(\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{z + 2}e^{i\alpha }\right)\right)\bigg\rvert _{z = 0} = \operatorname {arg}\left(\frac{2}{(0 + 2)^2}e^{i\alpha }\right) = \alpha \]

Итого \(\alpha = \pi\) и

\[ w(z) = \frac{z}{z+2}e^{i\pi } = -\frac{z}{z+2} \]

AnswerОтвет
Enum-item1.

\(w = -\frac{z}{z+2}\).

ProblemЗадача 27.8

Найти функцию \(w(z)\), конформно отображающую область \(D\) на область \(D_{1}\) и удовлетворяющую указанным условиям:

  1. \(D = \left\{ z:|z| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:|w| < 1\right\} , w\left(z_{0}\right) = w_{0}\), \(\arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha\), \(\left(\left|z_{0}\right| < 1,\left|w_{0}\right| < 1\right)\);

  2. \(D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:|w| < 1\right\} , w(0) = i, w(-1) = 1\), \(w(\infty ) = -1\);

ExampleПример 6

Найти ДЛО \(0 \mapsto 4\), \(1 + i \mapsto 2 + 2i\), \(2i \mapsto 0\).

SolutionРешение

Можно решать «в лоб» через равенство двойных отношений.

Или так: из \(2i \mapsto 0\) ищем \(f\) в виде \(f(z) = \frac{a(z-2i)}{cz + d}\). Условие \(0 \mapsto 4\): \(\frac{-2ia}{d} = 4\), т.е. \(d = -\frac{ia}{2}\). Условие \(1+i \mapsto 2+2i\):

\[ \frac{a(1+i-2i)}{c(1+i) + d} = 2 + 2i \iff a(1-i) = \underbrace{(2+2i)(1+i)}_{=4i}c + \underbrace{(2+2i)\left(-\tfrac {ia}{2}\right)}_{= a(1-i)} \iff 4ic = 0 \]

Т.е. \(c = 0\): отображение линейное, \(f(z) = \frac{a}{d}(z - 2i)\), где \(\frac{a}{d} = \frac{a}{-ia/2} = 2i\). Итого

\[ f(z) = 2i(z - 2i) = 2iz + 4 \]

Проверка: \(f(1+i) = 2i + 2i^2 + 4 = 2 + 2i\) \(\checkmark\).

AnswerОтвет

\(f(z) = 2iz + 4\).