Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
Дифференцируемость функции в точке \(z_0\) означает, что локально у \(z_0\) приращение \(\Delta f_{z_0}\) примерно равно произведению \(\Delta z\) на константу:
\[
\Delta f_{z_0} = \Delta f_{z_0}(\Delta z) = f(z_0 + \Delta z) - f(z_0) \approx A \cdot \Delta z
\]
причем \(A = f'(z_0)\). Заметим, что умножение комплексного аргумента \(\Delta z\) на комплексную константу \(A\) геометрически означает поворот на \(\operatorname {arg}A\) и растяжение на \(\left|A\right|\). Т.е. если через точку \(z_0\) проходит гладкая кривая \(\gamma\), причем в точке \(z_0\) у нее наклон \(\varphi\) (угол между касательным вектором к \(\gamma\) в \(z_0\) и осью \(\operatorname {Re}z\) равен \(\varphi\)), то угол у образа кривой \(f(\gamma )\) в точке \(f(z_0)\) будет равен \(\varphi + \operatorname {arg}A\). Свойство сохранения углов: если \(f\) дифференцируема в \(z_0\) и гладкие кривые \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) пересекаются в \(z_0\) под некоторым углом, то \(f(\gamma_1)\) и \(f(\gamma_2)\) будут пересекаться в \(f(z_0)\) под тем же углом.
Каков геом. смысл \(\left|A\right| = \left|f'(z_0)\right|\)? Если провести окружность малого радиуса \(\rho\) вокруг \(z_0\), то образ будет примерно соответствовать окружности с радиусом \(\left|A\right| \cdot \rho\) вокруг \(f(z_0)\). Чем меньше \(\rho\), тем больше фигура будет напоминать окружность. \(\left|f'(z_0)\right|\) еще называют коэффициентом линейного растяжения в точке \(z_0\).
Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).
План: TikZ, две панели: слева горизонтальная и вертикальная прямые через z0 = 0.8 + 0.5i, справа их образы при w = z^2 (параболы (t^2-1/4, t) и (16/25 - t^2, 8t/5)), пересекающиеся в w0 = z0^2 = 0.39 + 0.8i под тем же прямым углом. Интерактив: перетаскивание точки z0, выбор функции (z^2, e^z, 1/z), слайдер угла между исходными кривыми; показывать касательные и подписывать arg f’(z0) и |f’(z0)|.
Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/320/010_conformal_angles_fig.tex
Найти множества всех точек \(z_{0}\), в которых коэффициент линейного растяжения при следующих отображениях равен единице:
- \(w = \frac{1+i z}{1-i z}\).
Найти множества всех тех точек \(z_{0}\), в которых угол поворота при следующих отображениях равен нулю:
\(w = z^{2}-2 z\);
\(w = \frac{i}{z}\);
Длины кривых
Если регулярная \(f\) взаимно-однозначно переводит кривую \(\gamma = \gamma (t)\) в кривую \(f \circ \gamma\) (инъективно переводит), то их длины можно вычислить по формулам
\[
\left|\gamma \right| = \int _{\gamma }\left|dz\right|, \quad \left|f \circ \gamma \right| = \int _{f \circ \gamma }\left|dw\right| = \int _{\gamma } \left|f'(z)\right| \; \left|dz\right|
\]
Найти длины образов следующих кривых Г при указанных отображениях:
\(\Gamma = \left\{ z: z = i t+1,0 \leqslant t \leqslant 1\right\} , w = z^{2}\);
\(\Gamma = \left\{ z: z = (1+i) t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi \right\} , w = e^{z}\);
\(f(z) = z^2\) – это целая функция. Проверим инъективность: пусть \(f(it_1 + 1) = f(it_2 + 1)\). Т.е.
\[
1 - t_1^2 + 2it_1 = 1 - t_2^2 + 2it_2
\]
В частности, мнимые части равны: \(2t_1 = 2t_2\). Следовательно, \(t_1 = t_2\). Доказали инъективность.
Имеем
\[
\begin{align} \left|f \circ \Gamma \right| & = \int _{\Gamma }\left|f'(z)\right| \; \left|dz\right| = \int _{\Gamma } \left|2z\right| \; \left|dz\right| = \int _0^1 \left|2(it + 1)\right| \cdot \left|i\right| \; dt = \\ & = 2 \int _0^1 \sqrt{1 + t^2}\, dt = 2 \cdot \left[\frac{t\sqrt{1+t^2}}{2} + \frac{1}{2}\ln \left(t + \sqrt{1+t^2}\right)\right]_{0}^{1} = \sqrt{2} + \ln \left(1 + \sqrt{2}\right) \end{align}
\]
Имеем
\[
\begin{align} \left|f \circ \Gamma \right| & = \int _{\Gamma }\left|f'(z)\right| \; \left|dz\right| = \int _{\Gamma } \left|e^{z}\right| \; \left|dz\right| = \int _0^{2\pi } \left|e^{(1+i)t}\right| \cdot \left|1 + i\right| \; dt = \\ & = \sqrt{2}\int _0^{2\pi }e^{t} dt = \sqrt{2}(e^{2\pi } - 1) \end{align}
\]
\(\sqrt{2}+\ln (1+\sqrt{2})\);
\(\sqrt{2}\left(e^{2 \pi }-1\right)\);
Найти длины образов следующих кривых Г при указанных отображениях:
\(\Gamma = \left\{ z: z = i t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi \right\} , w = e^{z}\);
\(\Gamma = \left\{ z: z = (1+i) t, 0 \leqslant t \leqslant 1\right\} , w = z^{m}(m = 1,2, \ldots )\).
Растяжение областей
\(f\) называют однолистной, если она инъективна на своей области определения. Т.е. она не склеивает точки. Пусть \(f: D \to f(D) =: G\) – голоморфная, однолистная. Как посчитать площадь \(G\)? Имеем
\[
S(G) = \iint _G dudv \enclose {circle}{=}
\]
Заметим, что \(f: (x,y) \mapsto (u,v)\),
\[
\mathbf{J}_f = \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}, \qquad \operatorname {det}\mathbf{J}_f = A^2 + B^2 = \left|f'\right|^2
\]
где \(u_x = v_y = A\), \(v_x = -u_y = B\). Тогда
\[
\enclose {circle}{=} \iint _{D} \left|\operatorname {det}\mathbf{J}_f\right| \; dxdy = \iint _{D} \left|f'(z)\right|^2 \; dx dy
\]
Пусть \(f(z) = z^2\), \[
D = \left\{ z \in \mathbb {C} \; : \; 2 < \left|z\right| < 3, \; \left|\arg z\right| < \frac{\pi }{4}\right\}
\] \(G := f(D)\). Найдите \(S(G)\).
Нужно сначала проверить, однолистна ли \(f\) в \(D\). Предположим, что \(z_1^2 = z_2^2\). Тогда \(z_1 = z_2\) либо \(z_1 = -z_2\). Противоположных точек в области нет. Т.е. \(z_1 = z_2\), функция однолистна.
Имеем
\[
\begin{align} S(G) & = \iint _{D} \left|f'(z)\right|^2 \; dxdy = \iint _{D} 4\left|z\right|^2 \; dxdy = 4 \cdot \int _{2}^3 \left(\int _{-\pi /4}^{\pi /4} r^2 \; d\varphi \right) \cdot r \cdot dr =\\ & = 4 \cdot \frac{\pi }{2} \cdot \int _2^3 r^3 \; dr = 2\pi \cdot \frac{3^4 - 2^4}{4} = \frac{65}{2}\pi \end{align}
\]
\(S(G) = 2\pi \cdot \frac{3^4 - 2^4}{4} = \frac{65}{2}\pi\).
Найти площади образов областей \(D\) при указанных отображениях:
\(D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < 1,\; |\operatorname {Im} z| < \pi \right\} , w = e^{z}\);
\(D = \left\{ z: -1 < \operatorname {Re} z < 0,\; 1 < \operatorname {Im} z < 2\right\}\), \(w = \frac{z-1}{z+1}\).
Функция \(e^{z}\) инъективна в открытой полосе \(\left|\operatorname {Im}z\right| < \pi\) (ширина ровно \(2\pi\), граница не включена). Имеем \(\left|\left(e^{z}\right)'\right|^{2} = \left|e^{z}\right|^{2} = e^{2x}\), поэтому
\[
S = \iint _{D} e^{2x} \, dxdy = 2\pi \int _{0}^{1}e^{2x}\, dx = 2\pi \cdot \frac{e^{2}-1}{2} = \pi \left(e^{2} - 1\right)
\]
Дробно-линейное отображение инъективно (глобально на \(\bar{\mathbb {C}}\)), проверять нечего. Имеем \(w' = \frac{2}{(z+1)^{2}}\), т.е., обозначая \(u := x + 1 \in (0, 1)\):
\[
S = \iint _{D}\frac{4}{\left|z+1\right|^{4}}\, dxdy = \int _{1}^{2}\left(\int _{0}^{1} \frac{4\, du}{\left(u^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right) dy = \int _{1}^{2}\left[\frac{2}{y^{2}\left(1+y^{2}\right)} + \frac{2}{y^{3}}\operatorname {arctg}\frac{1}{y}\right]dy
\]
Первое слагаемое интегрируется разложением \(\frac{1}{y^2(1+y^2)} = \frac{1}{y^2} - \frac{1}{1+y^2}\):
\[
2\int _{1}^{2}\left(\frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{1+y^{2}}\right)dy = 2\left[-\frac{1}{y} - \operatorname {arctg}y\right]_{1}^{2} = 1 + \frac{\pi }{2} - 2\operatorname {arctg}2
\]
Второе – по частям, с учетом \(\left(\operatorname {arctg}\frac{1}{y}\right)' = -\frac{1}{1+y^{2}}\):
\[
2\int _{1}^{2}\frac{\operatorname {arctg}\frac{1}{y}}{y^{3}}\, dy = \left[-\frac{\operatorname {arctg}\frac{1}{y}}{y^{2}} + \frac{1}{y} + \operatorname {arctg}y\right]_{1}^{2} = \operatorname {arctg}2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\operatorname {arctg}\frac{1}{2}
\]
Складывая и пользуясь \(\operatorname {arctg}2 + \operatorname {arctg}\frac{1}{2} = \frac{\pi }{2}\), получаем
\[
S = \frac{1}{2} + \frac{\pi }{2} - \operatorname {arctg}2 - \frac{1}{4}\operatorname {arctg}\frac{1}{2} = \frac{1}{2}+\frac{3}{4} \operatorname {arctg} \frac{1}{2}
\]
\(\pi \left(e^{2}-1\right)\);
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4} \operatorname {arctg} \frac{1}{2}\).
Найти площади образов областей \(D\) при указанных отображениях:
- \(D = \left\{ z: 2 < |z| < 3,|\arg z| < \frac{\pi }{4}\right\} , w = z^{2} ;\)