Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).
\(\sum_{n=0}^{\infty }c_n(z-z_0)^n\) – степенной ряд. Свойства:
Существует единственный \(R \in [0, +\infty ]\), такой что ряд сходится при \(\left|z - z_0\right| < R\) и расходится при \(\left|z - z_0\right| > R\) (\(R\) – радиус сходимости, круг \(\left|z - z_0\right| < R\) – круг сходимости);
Ряд сходится равномерно на любом компакте из круга сходимости;
Степенной ряд можно почленно дифференцировать, радиус сходимости не изменится.
Следствие: сумма ряда голоморфна в круге сходимости.
Формула:
\[
R = \left(\varlimsup _{n \to \infty }\left|c_n\right|^{1/n}\right)^{-1}
\]
Найти радиус сходимости \[
\sum _{m=0}^{\infty } \left(\frac{27 - 26i^m}{27 + 26i^m}\right)^{m^2} z^{m^2}
\]
Имеем степенной ряд \(\sum_{n=0}^{\infty }c_n z^n\), где \[
c_n = \begin{cases} \left(\frac{27 - 26i^m}{27 + 26i^m}\right)^{m^2}, & n = m^2 \text{ для некоторого }m \in \mathbb {Z}_+ \\ 0, & n \text{ не явл. полным квадратом} \end{cases}
\] Заметим, что при \(n = m^2\) \[
\left|c_n\right|^{1/n} = \left|\left(\frac{27 - 26i^m}{27 + 26i^m}\right)^{m^2}\right|^{1/n} = \left|\frac{27 - 26i^m}{27 + 26i^m}\right| = \begin{cases} \frac{1}{53}, & m \equiv _4 0 \\ 1, & m \equiv _4 1 \\ 53, & m \equiv _4 2 \\ 1 , & m \equiv _4 3 \end{cases}
\] Следовательно, \[
\varlimsup _{n \to \infty }\left|c_n\right|^{1/n} = 53, \qquad \text{т.е. } R = \frac{1}{53}
\]
Функция называется аналитической в области \(D \subset \mathbb {C}\), если для любой точки \(z_0 \in D\) найдется окрестность \(U(z_0)\), в которой функция представима в виде степенного ряда (по степеням \((z - z_0)\)).
Теорема 1 Функция \(f\) голоморфна в \(D\) \(\iff\) \(f\) аналитична в \(D\).
Найти радиусы сходимости степенных рядов:
\(\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{1-i n}{1+i n}\right)^{n^{2}} z^{n}\);
\(\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1+i^{n}\right)^{n} z^{n}\);
\(\sum_{n = 1}^{\infty } 2^{n} z^{n!}\);
\(\sum_{n = 1}^{\infty }\left((1+i)^{n}+(1-i)^{n}\right) z^{n}\).
Комплексная экспонента, тригонометрические функции
\(e^{z} = \exp (z) = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}\).
\[
\begin{align} \sin (z) & := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos (z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\ \operatorname {sh}(z) & := \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}, \quad \operatorname {ch}(z) := \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \end{align}
\]
Найти все решения следующих уравнений:
- \(\operatorname {ctg} z = -\frac{3 i}{5}\);
По сути требуется найти \(\operatorname {Arcctg}\left(-\frac{3}{5}i\right)\).
\[
\begin{align} -\frac{3}{5}i & = \operatorname {ctg}z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{2i}{2} \frac{\operatorname {exp}\left(iz\right) + \operatorname {exp}\left(-iz\right)}{\operatorname {exp}\left(iz\right) - \operatorname {exp}\left(-iz\right)} \\ 3\operatorname {exp}\left(-iz\right) - 3\operatorname {exp}\left(iz\right) & = 5\operatorname {exp}\left(iz\right) + 5\operatorname {exp}\left(-iz\right) \\ 8\operatorname {exp}\left(2iz\right) & = -2 \\ \operatorname {exp}\left(-2y + 2ix\right) & = -\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot \operatorname {exp}\left(i\pi \right) \end{align}
\]
Т.е. \(y = -\frac{1}{2}\ln \frac{1}{4} = \ln (2)\), \(2x = \pi + 2\pi k\),
\[
z = \frac{\pi }{2} + \pi k + i\ln (2), \quad k \in \mathbb {Z}
\]
\(z = i \ln 2+\pi \left(k+\frac{1}{2}\right), k \in \mathbb {Z}\);
Формулы:
\[
\begin{align} \cos (z_1 + z_2) & = \cos (z_1)\cos (z_2) - \sin (z_1)\sin (z_2) \\ \sin (z_1 + z_2) & = \sin (z_1)\cos (z_2) + \cos (z_1)\sin (z_2) \\ \operatorname {ch}(z_1 + z_2) & = \operatorname {ch}z_1 \operatorname {ch}z_2 + \operatorname {sh}z_1\operatorname {sh} z_2 \\ \operatorname {sh}(z_1 + z_2) & = \operatorname {sh}z_1 \operatorname {ch}z_2 + \operatorname {ch}z_1\operatorname {sh} z_2 \end{align}
\]
Легко доказать, если знать мультипликативность экспоненты.
Еще:
\[
\begin{align} \operatorname {sh} z & = -i \sin (iz) & \operatorname {ch}z & = \cos (iz) \\ \operatorname {th} z & = -i \operatorname {tg}(iz), & \operatorname {cth}z & = i\operatorname {ctg}(iz) \end{align}
\]
Пусть \(x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z\). Найдите \(\operatorname {Re} \cos z\) и \(\operatorname {Im} \cos z\).
Имеем \[
\cos z = \cos (x + iy) = \cos (x)\cos (iy) -\sin (x) \sin (iy) = \cos x \operatorname {ch}y - i \sin x \operatorname {sh}y
\]
\(\operatorname {Re} \cos z = \cos x \cdot \operatorname {ch} y, \quad \operatorname {Im} \cos z = -\sin x \cdot \operatorname {sh} y\).
Пусть \(x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z\). Найдите \(\left|\cos z\right|\).
\[
\begin{align} \left|\cos z\right|^2 & = \cos ^2(x) \operatorname {ch}^2(y) + \sin ^2(x) \operatorname {sh}^2(y) = \operatorname {ch}^2(y) - \sin ^2(x)\operatorname {ch}^2(y) + \sin ^2(x) \operatorname {sh}^2(y) = \\ & =\operatorname {ch}^2(y) - \sin ^2(x) \left(\operatorname {ch}^2(y) - \operatorname {sh}^2(y)\right) = \operatorname {ch}^2(y) - \sin ^2(x) \end{align}
\]
\(\left|\cos z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^2 y - \sin^2 x}\).
Доказать формулы:
\(\operatorname {ch}^{2} z-\operatorname {sh}^{2} z = 1\);
\(\operatorname {ch}\left(z_{1}+z_{2}\right) = \operatorname {ch} z_{1} \operatorname {ch} z_{2}+\operatorname {sh} z_{1} \operatorname {sh} z_{2}\);
Доказать формулы:
\(\operatorname {sh} z = -i \sin (i z)\);
\(\cos (i z) = \operatorname {ch} z\);
Пусть \(x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z\). Доказать, что:
\(\operatorname {Re} \cos z = \cos x \cdot \operatorname {ch} y, \quad \operatorname {Im} \cos z = -\sin x \cdot \operatorname {sh} y\);
\(\operatorname {Re} \operatorname {sh} z = \operatorname {sh} x \cdot \cos y, \quad \operatorname {Im} \operatorname {sh} z = \operatorname {ch} x \cdot \sin y\);
Имеем
\[
\cos z = \cos (x + iy) = \cos (x)\cos (iy) -\sin (x) \sin (iy) = \cos x \operatorname {ch}y - i \sin x \operatorname {sh}y
\]
Имеем
\[
2\operatorname {sh}z = e^{z} - e^{-z} = \underbrace{\left(e^{x} - e^{-x}\right)}_{=2\operatorname {sh}x}\cos (y) + i\underbrace{\left(e^{x} + e^{-x}\right)}_{=2\operatorname {ch}x}\sin (y)
\]
Пусть \(x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z\). Доказать, что:
- \(\operatorname {Re} \sin z = \sin x \cdot \operatorname {ch} y, \quad \operatorname {Im} \sin z = \cos x \cdot \operatorname {sh} y ;\)
Найти все решения следующих уравнений:
- \(\cos z = \frac{3 i}{4}\);
\(\frac{3}{2}i = e^{iz} + e^{-iz} = e^{-y + ix} + e^{y - ix} = e^{-y}\cdot \left(\cos (x) + i\sin (x)\right) + e^{y} \cdot \left(\cos (x) - i\sin (x)\right)\), т.е.
\[
\begin{aligned}
\begin{cases}
(e^{-y} + e^{y}) \cos(x) = 0 \\
(e^{-y} - e^{y}) \sin(x) = \frac{3}{2}
\end{cases} &\iff
\begin{cases}
\cos(x) = 0 \\
(e^{-y} - e^{y}) \sin(x) = \frac{3}{2}
\end{cases}
\left[ \begin{array}{c}
\begin{cases}
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\
e^{-y} - e^{y} = \frac{3}{2}
\end{cases}
\\
\begin{cases}
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\
e^{-y} - e^{y} = -\frac{3}{2}
\end{cases}
\end{array}\right. \iff \\
&\iff \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases}
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\
y = -\ln(2)
\end{cases}
\\
\begin{cases}
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\
y = \ln(2)
\end{cases}
\end{array} \right.
\end{aligned}
\] (в первой системе использовано \(e^{-y} - e^{y} = -2\operatorname {sh}(y) = \frac{3}{2}\) \(\iff\) \(\operatorname {sh}(y) = -\frac{3}{4}\) \(\iff\) \(y = \ln \left(-\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16}+1}\right) = -\ln 2\); вторая решается симметрично). Итого
\[
z = \pm \left(\frac{\pi }{2} - i \ln 2\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb {Z}
\]
Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).
План: TikZ: множество решений cos z = 3i/4 — две серии точек на прямых Im z = ∓ln2 с шагом 2pi. Интерактив: ввод/слайдер правой части w (комплексное), перегенерация серий решений cos z = w; подсветка симметрии z -> -z и периодичности z -> z + 2pi.
Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/120/010_cos_equation_solutions_fig.tex
\(z = \pm \left(-i \ln 2+\frac{\pi }{2}\right)+2 k \pi , k \in \mathbb {Z}\);
Найти все решения следующих уравнений:
\(\sin z = \frac{4 i}{3}\);
\(\cos z = \frac{3+i}{4}\);
\(\operatorname {ctg} z = -\frac{3 i}{5}\);
Пусть функция \(f(z) = u(x, y)+i v(x, y)\) дифференцируема в области \(G \subset \mathbb {C}\) и пусть одна из функций
- \(r(x, y) = |f(z)|\); сохраняет в области \(G\) постоянное значение. Доказать, что \(f(z) \equiv \operatorname {const}\).
Имеем \(u^2 + v^2 \equiv \operatorname {const}\) в области \(G\). Если эта константа равна \(0\), то \(f \equiv 0\), и все доказано. Иначе дифференцируем тождество по \(x\) и по \(y\), а также применяем условия К-Р:
\[
\begin{cases} 0 = 2uu_x + 2vv_x = 2uv_y + 2vv_x \\ 0 = 2uu_y + 2vv_y = -2uv_x + 2vv_y \end{cases}
\]
Это линейная система на пару \((v_x, v_y)\) с определителем
\[
\begin{vmatrix} v & u \\ -u & v \end{vmatrix} = u^2 + v^2 \neq 0,
\]
т.е. \(v_x = v_y = 0\) во всей области \(G\). Учитывая дифференцируемость \(v\), получаем, что \(v \equiv \operatorname {const}\) на \(G\). По условиям К-Р также \(u_x = v_y = 0\) и \(u_y = -v_x = 0\), т.е. и \(u \equiv \operatorname {const}\).
Пусть функция \(f(z) = u(x, y)+i v(x, y)\) дифференцируема в области \(G \subset \mathbb {C}\) и пусть одна из функций
\(u(x, y)\);
\(\varphi (x, y) = \arg f(z)\) сохраняет в области \(G\) постоянное значение. Доказать, что \(f(z) \equiv \operatorname {const}\).
Восстановить регулярную функцию \(f(z)\) по условию
- \(\operatorname {Im} f(z) = x \sin y \operatorname {ch} x+y \operatorname {sh} x \cos y, f(0) = 0\);
\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\), причем
\[
\begin{align} v(x,y) & = x \sin y \operatorname {ch} x+y \operatorname {sh} x \cos y = \\ & =x \cdot \operatorname {Im}\operatorname {sh}z + y \cdot \operatorname {Re}\operatorname {sh}z \end{align}
\]
Первое условие Коши-Римана:
\[
\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} & = x \operatorname {ch}x \cos y + \operatorname {sh}x \cos y - y \operatorname {sh}x \sin y = \\ & = \cos y \cdot x\operatorname {ch}x + \left(\cos y - y \sin y\right)\operatorname {sh}x \end{align}
\]
Следовательно,
\[
\begin{align} u(x,y) & = \cos y \cdot \left(x \operatorname {sh}x - \operatorname {ch}x\right) + \left(\cos y - y \sin y\right)\operatorname {ch}x + \varphi (y) = \\ & = x \cos y \operatorname {sh}x - y \operatorname {sin} y \operatorname {ch}x + \varphi (y) = \\ & = x \operatorname {Re}\operatorname {sh}z - y \operatorname {Im}\operatorname {sh}z + \varphi (y) \end{align}
\]
Второе условие Коши-Римана:
\[
\begin{align} -\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} & = \sin y \operatorname {ch}x + x \sin y \operatorname {sh}x + y \cos y \operatorname {ch}x \end{align}
\]
При этом
\[
\begin{align} -\frac{\partial u}{\partial y} & =\sin y \cdot x \operatorname {sh}x + \sin y \operatorname {ch}x + y \cos y \operatorname {ch}x - \varphi '(y) \end{align}
\]
Т.е. \(\varphi '(y) = 0\), \(\varphi (y) = C\),
\[
u(x,y) = \cos y \cdot \left(x \operatorname {sh}x - \operatorname {ch}x\right) + \left(\cos y - y \sin y\right)\operatorname {ch}x + C
\]
Далее, \(f(0) = 0\), т.е. \(0 = u(0,0) = -1 + 1 + C\), \(C = 0\). Итого,
\[
\begin{align} f(z) & = u + iv = x \operatorname {Re}\operatorname {sh}z - y \operatorname {Im}\operatorname {sh}z + i \cdot \left(x \cdot \operatorname {Im}\operatorname {sh}z + y \cdot \operatorname {Re}\operatorname {sh}z\right) =\\ & =x \cdot \left(\operatorname {Re}\operatorname {sh}z + i \operatorname {Im}\operatorname {sh}z\right) + iy \cdot \left(\operatorname {Re}\operatorname {sh}z + i \operatorname {Im}\operatorname {sh}z\right) = x \cdot \operatorname {sh}z + iy \cdot \operatorname {sh}z = \\ & = z \cdot \operatorname {sh}z \end{align}
\]
\(z \operatorname {sh} z\);
Восстановить регулярную функцию \(f(z)\) по условию
\(\operatorname {Im} f(z) = y \operatorname {ch} x \cos y+x \sin y \operatorname {sh} x, f(0) = 1\);
\(\operatorname {Re} f(z) = x e^{x} \cos y-(y+1) e^{x} \sin y, \quad f(0) = i\);
Найти значения \(\sin i, \operatorname {tg}(1+i), \operatorname {ctg}(\pi / 4-i \ln 2)\).
Комплексный логарифм, степень
\(\operatorname {Ln}(z)\) – это всевозможные решения уравнения \(e^{w} = z\). Имеем
\[
e^{w} = z \iff e^{\operatorname {Re}(w)} \cdot e^{i\operatorname {Im}(w)} = \left|z\right| \cdot e^{i\operatorname {arg}(z)}
\]
Т.е.
\[
\begin{cases} \operatorname {Re}(w) = \ln (\left|z\right|) \\ \operatorname {Im}(w) = \operatorname {arg}(z) + 2 \pi k, \; k \in \mathbb {Z} \end{cases}
\]
Таким образом,
\[
\operatorname {Ln}(z) = \ln (\left|z\right|) + i \cdot \operatorname {Arg}z
\]
где
\[
\operatorname {Arg}z := \underbrace{\operatorname {arg}(z)}_{\in (-\pi , \pi ]} + 2 \pi k
\]
– обобщенный аргумент. И \(\operatorname {Arg}z\), и \(\operatorname {Ln}z\) – это многозначные функции.
Степень: \(a^b := \operatorname {exp}\left(b \cdot \operatorname {Ln}a\right)\), \(a,b \in \mathbb {C}\), \(a \neq 0\). Многозначная функция.
Вычислить:
\(1^i\);
\(i^1\);
\(i^i\).
\(1^i = \operatorname {exp}\left(i\operatorname {Ln}1\right) = \operatorname {exp}\left(i \cdot 2\pi k i\right) = \operatorname {exp}\left(-2\pi k\right)\), \(k \in \mathbb {Z}\);
\(i^1 = \operatorname {exp}\left(\operatorname {Ln} i\right) = \operatorname {exp}\left(i\left(\frac{\pi }{2} + 2\pi k\right)\right) = i\);
\(i^i = \operatorname {exp}\left(i \operatorname {Ln} i\right) = \operatorname {exp}\left(-\frac{\pi }{2} - 2\pi k\right)\), \(k \in \mathbb {Z}\).
\(e^z\) можно понимать двояко: либо как однозначную функцию \(\operatorname {exp}z = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{z^n}{n!}\), либо как возведение в степень, то есть многозначную функцию
\[
e^z = \operatorname {exp}\left(\operatorname {Ln}e \cdot z\right) = \operatorname {exp}\left(\left(1 + 2\pi k i\right) \cdot z\right) = \operatorname {exp}(z) \cdot \operatorname {exp}(2\pi k i z)
\]
Например, \(e^{i\pi } = - \operatorname {exp}\left(-2\pi^2 k\right)\), \(k \in \mathbb {Z}\), но \(\operatorname {exp}(i \pi ) = -1\).
Как правило, \(e^z\) понимают как \(\operatorname {exp}(z)\), т.е. однозначную функцию, а \(a^{z}\), \(a \neq e\) понимают как многозначную функцию, возведение в степень.
Обратные тригонометрические функции
\(\operatorname {Arctg}(z)\) – это все возможные решения уравнения \(z = \operatorname {tg} w\). Решим его. Имеем
\[
z = \operatorname {tg}w = \frac{\sin w}{\cos w} = \frac{e^{i w} - e^{-iw}}{i(e^{iw} + e^{-iw})} = \frac{e^{2iw} - 1}{i(e^{2iw} + 1)}
\]
Тогда \(e^{2iw} (zi - 1) = -(1 + zi)\), т.е.
\[
w = \frac{1}{2i} \operatorname {Ln} \left(\frac{1 + zi}{1 - zi}\right) =: \operatorname {Arctg}(z)
\]
Найти все значения \(2^{i}, i^{i},(-1)^{2 i}, \operatorname {Arctg}(5 i / 3)\).
Найти сумму тригонометрического ряда \[
\sum _{n = 0}^{\infty } \frac{\cos n \varphi }{n!}, \quad \varphi \in \mathbb {R}
\]