Вычеты

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Интеграл по границе области с особенностями

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: контур/иллюстрация к вычетам.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/220/010_residue_contour_fig.tex

Пусть \(D \subset \mathbb {C}\) – односвязная область, граница \(\partial D =: \Gamma\) – это кусочно-гладкая кривая. Пусть \(f\) голоморфна в

\[ D \setminus \left\{ z_1, z_2, \ldots , z_n\right\} \]

Нужно найти

\[ \oint _{\Gamma }f(z) dz \]

Если бы \(z_{1}, z_{2}, \ldots\) не было, то интеграл был бы ноль по теореме Коши. Раздуем в каждой точке \(z_{i}\) открытый шар так, чтобы он лежал полностью в \(D\) и не пересекался с другими шарами, обозначим его \(U(z_i)\). Обозначим границы \(\gamma_{i}\) (ориентируем их против часовой стрелки, т.е. так, чтобы вычет при обходе оставался слева). Функция \(f\) голоморфна в области \(D \setminus \bigsqcup_{i=1}^n U(z_i) =: \tilde{D}\). Она связная, но не односвязная, т.е. граница состоит не из одной кривой:

\[ \partial \tilde{D} = \Gamma + (-\gamma _1) + \ldots + (-\gamma _n) \]

Минус обозначает ориентацию по часовой стрелке (чтобы область слева оставалась при обходе). Интегральная теорема Коши для этой области:

\[ 0 = \oint _{\partial \tilde{D}} f(z) dz = \oint _{\Gamma }f(z) dz - \sum _{i=1}^n \oint _{\gamma _i}f(z) dz \]

Значит,

\[ \oint _{\Gamma }f(z) dz = \sum _{i=1}^n \oint _{\gamma _i}f(z) dz \]

2 Вычет в конечной точке

Пусть \(z_0\) – изолированная особая точка для \(f\), т.е. \(f\) голоморфна в \(\dot{U}_{\varepsilon }(z_0)\). Вычетом функции \(f\) в точке \(z_0\) называется

\[ \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_0}f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint _{\gamma _{\rho }}f(z) dz \]

где \(\gamma_{\rho } = \left\{ z \; : \; \left|z-z_0\right| = \rho \right\}\), \(0 < \rho < \varepsilon\), ориентация против часовой стрелки. Интеграл:

\[ \oint _{\Gamma }f(z) dz = 2\pi i \sum _{i=1}^{n}\mathop{\mathrm{res}}_{z_i}f \]

2.1 Быстрое вычисление вычета

Если \(f\) голоморфна в \(\dot{U}_{\varepsilon }(z_0)\), то она там раскладывается в ряд Лорана:

\[ f(z) = \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_n(z - z_0)^{n} \]

Этот ряд сходится на любом компакте внутри проколотой окрестности, значит при взятии интеграла по контуру \(\gamma_{\rho }\), \(\rho < \varepsilon\) можно менять местами интегрирование и суммирование:

\[ \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_0}f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint _{\gamma _{\rho }}f(z) dz = \frac{1}{2\pi i} \oint _{\gamma _{\rho }} \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_n(z - z_0)^{n} dz = \frac{1}{2\pi i} \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_n\oint _{\gamma _{\rho }}(z - z_0)^{n} dz \]

Далее, вспомним, что \(\oint_{\gamma_{\rho }}(z - z_0)^{n} dz = 2\pi i\), если \(n = -1\). В иных случаях этот интеграл равен нулю. Итого,

\[ \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_0}f(z) = \frac{1}{2\pi i} \cdot c_{-1} \cdot 2\pi i = c_{-1}, \]

т.е. вычет просто равен коэффициенту ряда Лорана при степени \(-1\).

Вычисление вычетов

ExampleПример 1

Найти вычет в точке \(z_0\) для функции \(f\):

1. \(f(z) = \dfrac {e^{3z}}{(z-1)^2}\), \(z_0 = 1\);

2. \(f(z) = z^3\cos \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^2}\right)\), \(z_0 = 0\).

3. \(f(z) = \dfrac {\operatorname {tg}z - z}{(1 - \cos z)^2}\), \(z_0 = 0\);

4. \(f(z) = z \cos \dfrac {z}{z-2}\), \(z_0 = 2\)

5. \(f(z) = \sin z \sin \frac{1}{z}\), \(z_0 = 0\);

SolutionРешение

Enum-item(1)

Это П\(2\)П для \(f\). Имеем

\[ \bigg((z-1)^2f(z)\bigg)' = 3e^{3z} \]

Предел при \(z \to 1\): \(3e^{3}\).

Enum-item(2)

Разложим \(f\) в ряд Лорана в проколотой окрестности нуля. Помните, что нас интересует только коэффициент при \(\frac{1}{z}\). Имеем

\[ \begin{align} \cos \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^2}\right) & = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^2}\right)^2 + \frac{1}{4!}\left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^2}\right)^4 - \ldots = \\ & = 1 - \frac{1}{2}\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^3} - \underbrace{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{24}\right)}_{=11/24}\frac{1}{z^4} + \ldots \\ f(z) & = z^3 - \frac{1}{2}z + 1 - \frac{11}{24}\frac{1}{z} + \ldots \end{align} \]

Enum-item(3)

Для числителя \(z_0 = 0\) – это Н\(3\)П, для знаменателя – Н\(4\)П. Т.е. \(z_0 = 0\) – это П\(1\)П для \(f(z)\). Тогда

\[ \mathop{\mathrm{res}}_0 f(z) = \lim _{z \to 0}z \cdot f(z) = \frac{4}{3} \]

Enum-item(4)

Это СОТ. Имеем \(z-2 = w\),

\[ \begin{align} f(z) & = f(z(w)) = (2 + w)\cos \left(1 + 2\frac{1}{w}\right) = (2+w) \cdot \left(\cos (1)\cos \frac{2}{w} - \sin (1)\sin \frac{2}{w}\right) = \\ & = (2 +w) \left(\cos (1) \cdot \left(1 - \frac{2}{w^2} + \ldots \right) - \sin (1) \cdot \left(\frac{2}{w} - \frac{8}{6w^3} + \ldots \right)\right) = \\ & = \left(-4\sin (1) - 2\cos (1)\right)\frac{1}{w} + \ldots \end{align} \]

Enum-item(5)

\[ \sin z \sin \frac{1}{z} = \left(\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n + 1}\right) \cdot \left(\sum _{m=0}^{\infty } \frac{(-1)^m}{(2m+1)!}\frac{1}{z^{2m + 1}}\right) = \ldots + 0 \cdot \frac{1}{z} + \ldots \]

(при перемножении получаются только четные степени \(z^{2(n-m)}\), так что коэффициент при \(\frac{1}{z}\) нулевой).

AnswerОтвет

Enum-item(1)

\(\mathop{\mathrm{res}}_1 \frac{e^{3z}}{(z-1)^2} = 3e^{3}\);

Enum-item(2)

\(\mathop{\mathrm{res}}_0 z^3\cos \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^2}\right) = -\frac{11}{24}\).

Enum-item(3)

\(\frac{4}{3}\)

Enum-item(4)

\(-4\sin (1) - 2\cos (1)\)

Enum-item(5)

\(0\)

ExampleПример 2

\(f(z) = \dfrac {1}{\sin \pi z}\). Найти вычеты во всех изолированных ОТ.

SolutionРешение

Особые точки: \(z_k = k\), \(k \in \mathbb {Z}\), а также \(\infty\), но она не изолированная. В точках \(z_k\) числитель голоморфен, отличен от нуля, а знаменатель имеет Н\(1\)П. Пользуемся формулой:

\[ \mathop{\mathrm{res}}_{z_k}f = \frac{1}{\sin '(\pi z)}\bigg|_{z = z_k} = \frac{1}{\pi \cos (\pi z_{k})} = \frac{1}{\pi \cos (\pi k)} = \frac{1}{\pi \cdot (-1)^k} \]

AnswerОтвет

\(\mathop{\mathrm{res}}_{k}\frac{1}{\sin \pi z} = \frac{(-1)^k}{\pi }\), \(k \in \mathbb {Z}\).

ProblemЗадача 13.2

Найти вычеты следующих функций во всех их конечных особых точках:

1. \(\frac{\sin \pi z}{(z-1)^{3}}\);

ProblemЗадача 13.3

Найти \(\underset {z = a}{\mathop{\mathrm{res}}} f(z)\), если:

1. \(f(z) = z^{2} \sin \frac{z}{z-1}, \quad a = 1\);

3 Вычет в бесконечности

Пусть \(f\) голоморфна в какой-то проколотой \(\varepsilon\)-окрестности бесконечности \(\dot{U}_{\varepsilon }(\infty ) = \left\{ z \; : \; \left|z\right| > \frac{1}{\varepsilon }\right\}\). Обозначим \(\gamma_{1/\rho }\) окружность с радиусом \(\frac{1}{\rho }\), \(\frac{1}{\rho } > \frac{1}{\varepsilon }\). Вычетом в бесконечности будет интеграл по этой кривой (с коэффициентом \(\frac{1}{2\pi i}\)), при этом обход осуществляется по часовой стрелке:

\[ \mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint ^{\curvearrowright }_{\gamma _{1/\rho }}f(z) dz \]

Ориентация именно такая, поскольку при обходе по границе вычет должен оставаться слева. Если обходить окружность \(\gamma_{1/\varepsilon }\) против часовой стрелки, то слева будет оставаться ноль.

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: ориентация контура для вычета в бесконечности — окружность обходится ПО часовой стрелке, закрашенная внешность (сторона бесконечности) остается слева. Интерактив: переключатель ориентации с анимацией бегущей точки по контуру и подсветкой того, какая область остается слева; слайдер радиуса окружности.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/220/020_residue_at_infinity_fig.tex

3.1 Быстрое вычисление вычета

3.1.1 Сведение к вычету в нуле

Используем замену \(w = \frac{1}{z} = \frac{1}{\left|z\right|}e^{-i\operatorname {arg}z}\). Заметим, что при такой замене окружность радиуса \(\frac{1}{\rho }\) вокруг нуля переходит в окружность радиуса \(\rho\) вокруг нуля. Далее, заметим, что при такой замене ориентация обхода кривой меняется на противоположную (был угол \(\operatorname {arg}z\), стал \(-\operatorname {arg}z\)). Также заметим, что если \(f(z)\) была голоморфна в \(\dot{U}_{\varepsilon }(\infty )\), то \(g(w) = f\left(\frac{1}{w}\right)\) будет голоморфна в \(\dot{U}_{\varepsilon }(0) = \left\{ z \; : \; 0 < \left|z\right| < \varepsilon \right\}\), причем \(\rho < \varepsilon\). Тогда

\[ \oint ^{\curvearrowright }_{\gamma _{1/\rho }}f(z) dz = \oint _{\gamma _{\rho }}f\left(\frac{1}{w}\right) d\frac{1}{w} = -\oint _{\gamma _{\rho }}\frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right) dw \]

Следовательно,

\[ \mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f(z) = -\mathop{\mathrm{res}}_0\left(\frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)\right) \]

3.1.2 Через ряд Лорана

Если \(f\) голоморфна в \(\dot{U}_{\varepsilon }(\infty )\), то она там раскладывается в ряд Лорана:

\[ f(z) = \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_n\left(z^{-1}\right)^{n} \]

Можно менять местами интегрирование и суммирование (обоснование см. выше для конечной точки):

\[ \begin{align} \mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f(z) & = \frac{1}{2\pi i} \oint ^{\curvearrowright }_{\gamma _{1/\rho }}f(z) dz = \frac{1}{2\pi i} \oint ^{\curvearrowright }_{\gamma _{1/\rho }} \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_nz^{-n} dz = \\ & = \frac{1}{2\pi i} \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_n \cdot \oint ^{\curvearrowright }_{\gamma _{1/\rho }}z^{-n} dz = \frac{1}{2\pi i} \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_n\cdot \left(-\oint _{\gamma _{1/\rho }}z^{-n} dz\right) = \\ & =-c_{1} \end{align} \]

т.е. вычет просто равен коэффициенту ряда Лорана при \(\frac{1}{z} = \left(z^{-1}\right)^1\), взятому со знаком минус. Минус появляется, т.к. окружность обходится по часовой стрелке в определении.

3.1.3 Общая таблица

: Вычисление вычетов в бесконечности

Будьте аккуратны при использовании замены \(w = \frac{1}{z}\): \[ \boxed {\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } f(z) \neq \mathop{\mathrm{res}}_{w = 0}f\left(\frac{1}{w}\right)} \] На самом деле: \[ \boxed {\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } f(z) = -\mathop{\mathrm{res}}_{w = 0}\frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)} \]

ExampleПример 13.4

Найти вычеты следующих функций в бесконечности:

1. \(\dfrac {z^{4}+1}{z^{6}-1}\);

2. \(\dfrac {\cos^{2} \frac{\pi }{z}}{z+1}\);

3. \(z \cos^{2} \frac{\pi }{z}\).

SolutionРешение

Все эквивалентности и пределы выписаны при \(z \to \infty\).

Enum-item1.

\[ f(z) = \frac{1 + \frac{1}{z^4}}{z^2 - \frac{1}{z^4}} \sim \frac{1}{z^2}. \]

Следовательно,

\[ \mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f(z) = 0 \]

Enum-item2.

Имеем \(\frac{\pi }{z} \to 0\), значит \(\cos^2\frac{\pi }{z} \to 1\) и

\[ \frac{\cos ^{2} \frac{\pi }{z}}{z+1} \sim \frac{1}{z} \]

при \(z \to \infty\). Значит, вычет равен \(-1\).

Enum-item3.

Разложим в ряд Лорана (в проколотой окрестности бесконечности). Помните, что нас интересует только коэффициент при \(\frac{1}{z}\):

\[ z\cos ^2\frac{\pi }{z} = \frac{z}{2}\left(1 + \cos \frac{2\pi }{z}\right) = \frac{z}{2} \left(1 + 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{2\pi }{z}\right)^2 + \ldots \right) = -\pi ^2\cdot \frac{1}{z} + \ldots \]

Следовательно, \(\mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f(z) = \pi^2\).

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(0\);

Enum-item2.

\(-1\);

Enum-item3.

\(\pi^{2}\).

ProblemЗадача 13.4

Найти вычеты следующих функций в бесконечности:

1. \(\dfrac {\sin \frac{1}{z}}{z-1}\);

2. \(\dfrac {\left(z^{10}+1\right) \cos \frac{1}{z}}{\left(z^{5}+2\right)\left(z^{6}-1\right)}\);

4 Сумма вычетов

Пусть \(f\) голоморфна в \(\mathbb {C} \setminus \left\{ a_1, \ldots , a_n\right\}\), т.е. во всей комплексной плоскости за исключением конечного числа точек. Тогда, по теореме Коши, сумма вычетов во всех точках (включая \(\infty\)) равна нулю:

\[ \sum _{k=1}^n \mathop{\mathrm{res}}_{a_k} f + \mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f = 0 \]

ExampleПример 4

\(f(z) = \dfrac {\sin \frac{1}{z}}{z-1}\). Найти вычеты во всех изолированных ОТ.

SolutionРешение

Обозначим \(g(z) = \sin \frac{1}{z}\), \(h(z) = z-1\)

Особые точки: \(1\), \(0\), \(\infty\), они изолированные.

• \(0\):

  \[ \begin{align} \sin \frac{1}{z} & = \frac{1}{z} - \frac{1}{3!}\frac{1}{z^3} + \frac{1}{5!}\frac{1}{z^5} - \ldots \\ \frac{1}{z-1} & = - \left(1 + z + z^2 + \ldots \right) \end{align} \]

  \(\mathop{\mathrm{res}}_0f(z) = -1 + \frac{1}{3!} - \frac{1}{5!} + \ldots = -\sin (1)\).

• \(1\): эта точка не является ни нулем, ни особой для числителя \(g\), для знаменателя \(h\) это Н\(1\)П. По формуле:

  \[ \mathop{\mathrm{res}}_{1}f = \frac{g(z)}{h'(z)}\bigg|_{z = 1} = \frac{\sin (1)}{1} = \sin (1) \]

• \(\infty\): \(\sin \frac{1}{z} \sim \frac{1}{z}\) при \(z \to \infty\), следовательно

  \[ f(z) =\sin \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{z - 1} \sim \frac{1}{z^2} \]

  при \(z \to \infty\). Следовательно, \(\mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f(z) = 0\).

Проверка. \(f\) голоморфна в \(\mathbb {C} \setminus \left\{ 1,0\right\}\). Значит, сумма вычетов во всех конечных точках и в бесконечности должна быть нулевая. Это выполнено.

Заметим, что, гипотетически, можно было, исходя из этого соображения, сразу найти вычет в \(\infty\) как сумму вычетов в конечных точках, умноженную на \(-1\).

ExampleПример (Задача 13.5)

Найти вычеты следующих функций во всех их особых точках и в бесконечности:

1. \(\dfrac {\sin z}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}\).

SolutionРешение

Enum-item1.

Имеем

\[ f(z) = \frac{\sin z}{\left(z^{2}+1\right)^{2}} = \frac{\sin z}{\left(z + i\right)^{2}\cdot \left(z - i\right)^2} \]

Изолированные ОТ: \(i\), \(-i\), \(\infty\).

• \(i\): это П\(2\)П для \(f\). Тогда

  \[ \begin{align} \mathop{\mathrm{res}}_{i}f & = \lim _{z \to i}\left((z-i)^2f(z)\right)' = \lim _{z \to i}\left(\frac{\cos z}{(z+i)^2} - 2\frac{\sin z}{(z+i)^3}\right) = \frac{\cos (i)}{-4} - 2\frac{\sin (i)}{-8i} = \\ & = -\frac{e^{i^2} + e^{-i^2}}{8} + \frac{e^{i^2}- e^{-i^2}}{8i^2} = - \frac{e^{-1}}{4} = -\frac{1}{4e} \end{align} \]

• \(-i\): аналогично способу выше, получаем \(\mathop{\mathrm{res}}_{-i}f = -\frac{1}{4e}\).

• \(\infty\): сумма вычетов в конечных точках равна \(-\frac{1}{2e}\), значит \(\mathop{\mathrm{res}}_{\infty }f = \frac{1}{2e}\).

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(-\frac{1}{4 e}\) при \(z = i ;-\frac{1}{4 e}\) при \(z = -i ; \frac{1}{2 e}\) при \(z = \infty\);

ProblemЗадача 13.5

Найти вычеты следующих функций во всех их особых точках и в бесконечности:

1. \(\dfrac {1+z^{8}}{z^{6}(z+2)}\);