Принцип аргумента и теорема Руше

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

Принцип аргумента является следствием теоремы о вычетах. Он связывает число оборотов кривой с числом нулей и полюсов внутри неё.

1 Обороты кривой вокруг точки

Пусть \(\gamma\) — замкнутая кривая, \(z_0 \not\in \gamma\). Тогда индекс точки \(z_0\) вокруг кривой \(\gamma\) (также порядок точки) – это

\[ \operatorname {Ind}\left(\gamma , z_{0}\right) := \frac{1}{2 \pi i} \int _{\gamma } \frac{1}{z-z_{0}} d z \]

Неформально: это число оборотов кривой вокруг точки против часовой стрелки. Соотв., обороты по часовой стрелке считаются со знаком минус.

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: индекс точки относительно кривой.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/240/010_winding_index_fig.tex

1.1 Отображение кривых: \(f \circ \gamma\)

Одно из ключевых понятий в этой теме — отображение одной кривой в другую. То есть, если \(z=\gamma (t)\) — кривая, а \(w=f(z)\) — функция, то \(w=f \circ \gamma (t)=f(\gamma (t))\) — другая кривая. Мы говорим, что \(f\) отображает \(\gamma\) в \(f \circ \gamma\).

ExampleПример 1

Пусть \(\gamma (t)=\mathrm{e}^{i t}\), где \(0 \leq t \leq 2 \pi\) (единичная окружность). Пусть \(f(z)=z^{2}\). Опишите кривую \(f \circ \gamma\).

SolutionРешение

\(f \circ \gamma (t)=\mathrm{e}^{2 i t}\) описывает единичную окружность дважды, когда \(t\) изменяется от 0 до \(2 \pi\).

ExampleПример 2

Пусть \(\gamma (t)=\) it, где \(-\infty <t<\infty\) (ось \(y\)). Пусть \(f(z)=1 /(z+1)\). Опишите кривую \(f \circ \gamma (t)\).

SolutionРешение

\(f(z)\) — дробно-линейное преобразование, которое отображает прямую, заданную \(\gamma\), в окружность, проходящую через начало координат с центром в точке \(1 / 2\). Проверяя в нескольких точках: \[ f(-i)=\frac{1}{-i+1}=\frac{1+i}{2}, \quad f(0)=1, \quad f(i)=\frac{1}{i+1}=\frac{1-i}{2}, \quad f(\infty )=0. \] Мы видим, что окружность обходится по часовой стрелке, когда \(t\) изменяется от \(-\infty\) до \(\infty\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: обход окружности и изменение аргумента.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/240/020_circle_winding_fig.tex

2 Принцип аргумента

Пусть \(D\) – односвязная ограниченная область, т.е. \(\gamma = \partial D\) — простая замкнутая кривая. Пусть она ориентированна против часовой стрелки. Пусть функция \(f\) голоморфна в \(\overline{D}\) (т.е. в некоторой области, содержащей \(\overline{D}\)), за исключением, возможно, некоторого количества точек, являющихся полюсами. Пусть на самой границе \(\gamma\) у \(f\) нет ни нулей, ни полюсов. Пусть

\[ p_{1}, \ldots , p_{m} \]

– полюса функции \(f\) в \(D\). Пусть

\[ z_{1}, \ldots , z_{n} \]

— нули функции \(f\) в \(D\). Пусть \(\operatorname {mult}\left(z_{k}\right)\) — кратность нуля в точке \(z_{k}\). Аналогично, \(\operatorname {mult}\left(p_{k}\right)\) — порядок полюса в точке \(p_{k}\).

Обозначим через \(Z_{f, \gamma }\) сумму кратностей нулей функции \(f\) внутри \(\gamma\). Аналогично для \(P_{f, \gamma }\):

\[ Z_{f, \gamma } = \sum _{i=1}^{n}\operatorname {mult}(z_i), \qquad P_{f, \gamma } = \sum _{i=1}^{m}\operatorname {mult}(p_i) \]

Теорема 1 (Принцип аргумента) При вышеприведённых условиях \[ \frac{1}{2\pi i}\int _{\gamma } \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)} d z= Z_{f, \gamma }-P_{f, \gamma } = \operatorname {Ind}(f \circ \gamma , 0) \]

ExampleПример 3

Пусть \(f(z)=z^{2}+z\). Найдите число витков кривой \(f \circ \gamma\) вокруг точки \(0\) для кривых \(\gamma_{0.5}\), \(\gamma_{1}\), \(\gamma_{2}\), где \(\gamma_{R}\) – это окружность радиуса \(R\) вокруг начала отсчета (ориентированная против часовой стрелки).

SolutionРешение

\(f(z)\) имеет нули в точках \(0,-1\). Полюсов у неё нет.

Итак, \(f\) не имеет полюсов и имеет два нуля внутри \(\gamma_{2}\). Принцип аргумента гласит:

\[ \operatorname {Ind}\left(f \circ \gamma _{2}, 0\right)=Z_{f, \gamma _{2}}- P_{f, \gamma _{2}}=2 \]

Аналогично, \(f\) не имеет полюсов и один ноль внутри \(\gamma_{0.5}\), поэтому \(\operatorname {Ind}\left(f \circ \gamma_{0.5}, 0\right)=1-0=1\)

Для \(\gamma_{1}\) ноль \(f\) находится на кривой, то есть \(f(-1)=0\), поэтому принцип аргумента неприменим. Изображение \(f \circ \gamma_{1}\) показано на рисунке ниже — оно проходит через \(0\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: образы 3 окружностей при f(z)=z^2.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/240/030_circles_under_z2_fig.tex

3 Теорема Руше

Теорема 2 (Руше) Пусть

• \(\gamma\) — простая замкнутая кривая

• \(f, h\) — аналитические функции на \(\gamma\) и внутри неё, за исключением конечного числа полюсов.

• Полюсов \(f\) и \(h\) на \(\gamma\) нет.

• \(|h|<|f|\) всюду на \(\gamma\).

Тогда \[ \operatorname {Ind}(f \circ \gamma , 0)=\operatorname {Ind}((f+h) \circ \gamma , 0) \] То есть, \[ Z_{f, \gamma }-P_{f, \gamma }=Z_{f+h, \gamma }-P_{f+h, \gamma } \tag {4} \]

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: иллюстрация к теореме Руше (в исходнике был опечаточный

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/240/040_rouche_illustration_fig.tex

Следствие 1 При тех же предположениях, если \(h\) и \(f\) аналитические (без полюсов), то \[ Z_{f, \gamma }=Z_{f+h, \gamma } \]

Mn-proofДоказательство

Поскольку функции аналитические, \(P_{f, \gamma }\) и \(P_{f+h, \gamma }\) обе равны 0. Таким образом, уравнение 4 показывает, что \(Z_{f}=Z_{f+h}\).

Mn-remarkЗамечание

Если \(\left|h\right| < \left|f\right|\) на \(\gamma\), то ни \(f\), ни \(f + h\) не обращаются в нуль на самой кривой \(\gamma\) (в нуле \(f + h\) было бы \(\left|f\right| = \left|h\right|\)). Поэтому все подсчитанные нули лежат строго внутри контура.

Мы рассматриваем \(h\) как малое возмущение \(f\).

ExampleПример 4

Покажите, что все 5 нулей \(z^{5}+3 z+1\) находятся внутри кривой \(\gamma_{2}:|z|=2\).

SolutionРешение

Пусть \(f(z)=z^{5}\) и \(h(z)=3 z+1\). Очевидно, что все \(5\) корней уравнения \(f\) (на самом деле один корень кратности \(5\)) находятся внутри \(\gamma_{2}\). Также имеем \(\left|h\right| < 7 < 32 = \left|f\right|\) на \(\gamma_{2}\). По теореме Руше, все \(5\) корней уравнения \(f+h=z^{5}+3 z+1\) также должны находиться внутри кривой.

ExampleПример 5

Сколько корней имеет уравнение \(z+3+2 \mathrm{e}^{z}\) в левой полуплоскости (\(\operatorname {Re}z < 0\))?

SolutionРешение

Пусть \(f(z)=z+3, h(z)=2 \mathrm{e}^{z}\). Рассмотрим контур от \(-i R\) до \(i R\) вдоль оси \(y\), а затем левую полуокружность радиуса \(R\) обратно до \(-i R\). То есть контур \([-iR, iR]+C_{R}\), показанный ниже.

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: пример к теореме Руше, f(z)=z+3, h(z)=2e^z.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/240/050_rouche_example_fig.tex

Чтобы применить следствие к теореме Руше, нам нужно проверить, что (при больших \(R\)) \(|h|<|f|\) на \([-iR, iR]+C_{R}\). На \([-iR,iR]\) имеем \(z=i y\), поэтому

\[ \left|f\right| = \left|3 + iy\right| \geq 3, \quad \left|h\right| = 2\left|e^{iy}\right| = 2 \]

Итак, \(\left|h\right| < \left|f\right|\) на \([-iR,iR]\).

На \(C_{R}\) имеем \(z=x+i y\), где \(x<0\), и \(|z|=R\). Итак, \(\left|f\right| > R-3\) для больших \(R\),

\[ \left|h\right| = 2\left|e^{x + iy}\right| = 2e^{x} < 2 \]

поскольку \(x < 0\). Итак, \(\left|h\right| < \left|f\right|\) на \(C_{R}\).

Единственный нуль функции \(f\) находится в точке \(z=-3\), которая лежит внутри контура. Следовательно, по теореме Руше, \(f+h\) имеет внутри контура то же количество корней, что и \(f\), то есть \(1\).

Устремим \(R\) к бесконечности, и мы увидим, что \(f+h\) имеет только один корень во всей полуплоскости.

AnswerОтвет

\(1\)

ExampleПример 6

Докажите при помощи теоремы Руше Основную теорему алгебры: у многочлена \[ P(z)=z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots +a_{0} \] над полем комплексных чисел ровно \(n\) корней (с учетом кратности).

SolutionРешение

Пусть \(f(z)=z^{n}\) и \(h=P-f\). Выберем \(R\) таким образом, чтобы

\[ R > \max \left\{ 1, n\left|a_{n-1}\right|, \ldots , n\left|a_{0}\right|\right\} \]

Тогда на кривой \(\gamma_{R} = \left\{ \left|z\right| = R\right\}\) имеем

\[ \left|h\right| \leq \left|a_{n-1}\right|R^{n-1} + \left|a_{n-2}\right|R^{n-2} + \ldots + \left|a_{1}\right|R + \left|a_0\right| \leq \frac{R}{n}R^{n-1} + \frac{R}{n}R^{n-2} + \ldots + \frac{R}{n}R + \frac{R}{n} < R^{n} \]

На \(|z|=R\) имеем \(|f(z)|=R^{n}\), поэтому мы показали, что \(\left|h\right| < \left|f\right|\) на кривой \(\gamma_{R}\). Таким образом, по теореме Руше, \(f+h\) и \(f\) имеют одинаковое количество нулей внутри \(|z|=R\). Поскольку мы знаем, что \(f\) имеет ровно \(n\) нулей внутри кривой, то же самое верно и для многочлена \(f+h\). Теперь устремим \(R\) к бесконечности. Мы показали, что \(f+h\) имеет ровно \(n\) нулей во всей плоскости.

Примечание. Доказательство даёт простую оценку величины корней: все они имеют модуль, не превосходящий \(\max \left(1, n\left|a_{n-1}\right|, \ldots , n\left|a_{0}\right|\right)\).

ExampleПример 7

Найти число корней уравнения \[ F(z) = z^{4}+4 z^{3}-8 z-2=0 \]

1. в области \(\{ z: 1<|z|<3\}\),

2. в области \(\{ z:|z|>3\}\).

(2017 / 2018 уч. год, семестровая контрольная по ТФКП)

SolutionРешение

Enum-item1.

• Рассмотрим сначала область \(\left|z\right| < 1\). Пусть \(f(z) = -8z\), \(h(z) = z^{4}+4 z^{3}-2\). Сравним их значения на границе области \(\gamma_{1}\). При \(|z|=1\) имеем \(\left|f(z)\right| = 8\),

  \[ \left|h(z)\right| = \left|z^{4}+4 z^{3}-2\right| \leq \left|z\right|^4 + 4\left|z\right|^3 + 2 = 7 < 8 \]

  Поскольку на \(\gamma_{1}\) имеем \(\left|f\right| > \left|h\right|\), то по теореме Руше функция \(F = f + h\) имеет в области \(\left|z\right| < 1\) то же число нулей с учетом их кратностей, что и функция \(f(z)\), а именно, \(1\) нуль. Кроме того, используя замечание к теореме Руше, видим, что функция \(F\) не обращается в нуль на \(\gamma_1\), поэтому \(F(z)\) имеет \(1\) нуль в круге \(|z| \leq 1\).

• Теперь рассмотрим область \(|z|<3\) и выясним, сколько нулей имеет в этой области функция \(F\). С этой целью определим функции \(f\) и \(h\) по-другому:

  \[ \begin{aligned} & f(z)=z^{4}+4 z^{3} \\ & h(z)=-8 z-2 \end{aligned} \]

  На \(\gamma_{3}\) (при \(\left|z\right| = 3\)) получаем

  \[ \begin{align} \left|f(z)\right| & = \left|z^{4}+4 z^{3}\right|=|z|^{3}|z+4|=27|z+4| \geq 27| | z|-4|=27(4-3)=27\\ \left|h(z)\right| & = |-8 z-2| \leq |8 z|+2=24+2=26 \end{align} \]

  Поскольку на \(\gamma_{3}\) выполнено неравенство \(\left|f\right| > \left|h\right|\), то по теореме Руше функция \(F\) имеет в области \(|z|<3\) такое же число нулей с учетом их кратностей, как и функция \(f\). У функции \(f(z)\) есть нуль \(z=0\) кратности \(3\), лежащий в области \(\left|z\right| < 3\), и нуль \(z=-4\), который находится вне этой области. Поэтому у функции \(F\) внутри области \(\left|z\right| < 3\) имеется три нуля. Поскольку один из этих нулей лежит в круге \(|z| \leq 1\), то в области \(1<|z|<3\) функция \(F(z)\) имеет два нуля.

Enum-item2.

Поскольку \(F\) – многочлен 4-ой степени, то по основной теореме алгебры во всей комплексной плоскости у него имеется \(4\) нуля. Как мы только что доказали, используя теорему Руше, в области \(|z|<3\) многочлен \(F(z)\) имеет 3 нуля. По замечанию к теореме Руше на границе области при \(|z|=3\) нулей многочлена \(F(z)\) нет. Значит, в области \(|z|>3\) у многочлена \(F(z)\) есть ровно 1 нуль. Таким образом, \(F\) имеет в области \(|z|>3\) один корень.

AnswerОтвет

Enum-item1.

\(2\) корня,

Enum-item2.

\(1\) корень.

ProblemЗадача 15.1

Найти число корней уравнений в областях, указанных в скобках:

1. \(z^{7}-5 z^{4}+z^{2}-2 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} )\);

2. \(z^{3}-12 z+2 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 2\right\} )\);

3. \(z^{6}-6 z+10 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| > 1\right\} )\);

4. \(z^{4}+z^{3}-4 z+1 = 0 \quad (\left\{ z: 1 < \left|z\right| < 2\right\} )\).

ProblemЗадача 15.4

Доказать, что при \(\lambda > 1\) уравнение \[ z = \lambda -e^{-z} \] имеет в полуплоскости \(\left\{ z: \operatorname {Re} z \geqslant 0\right\}\) ровно один корень (и к тому же действительный).

ProblemЗадача Т.7

Найти число корней многочлена \(4 z^{6}+4 z^{3}+9 z-4\) в круге \(\left|z\right| < 1\).

ProblemЗадача Т.8

Найти число корней многочлена \(z^{2 n}-\alpha z^{2 n-1}+1\) в левой полуплоскости для \(\alpha > 0, n \in \mathbb {N}\).

ProblemЗадача Т.9

Доказать, что найдется такое \(\delta > 0\), что для всех значений \(\alpha , \beta \in B_{\delta }(0)\) уравнение \(e^{z}-1 = \alpha z+\beta\) имеет ровно один корень в круге \(B_{\pi }(0)\).

ProblemЗадача Т.11

Доказать, что полином \[ P(z) = z^{8}+a z^{3}+b z+c, \quad a \geq 0, \quad b \geq 0, \quad c > 0, \] имеет в первом квадранте ровно два корня.

4 Расчет интегралов

ExampleПример 8

Применяя теорию вычетов и теорему Руше, вычислить интеграл по положительно ориентированному контуру \[ I = \oint _{|z|=1} z^{-2} \exp \left(\frac{81}{4 z^{5}+4 z^{3}-4 z+9}\right) d z \]

(2019/2020 уч. год, семестровая контрольная по ТФКП)

SolutionРешение

Выясним, где расположены особые точки функции

\[ g(z)=\frac{1}{z^{2}} \exp \left(\frac{81}{4 z^{5}+4 z^{3}-4 z+9}\right) \]

Для этого найдем число корней уравнения

\[ F(z) = 4 z^{5}+4 z^{3}-4 z+9=0 \tag {2} \]

в области \(|z|<1\). В данном случае попытка задать функции \(f(z)\) и \(h(z)\) для применения теоремы Руше, сгруппировав слагаемые в левой части уравнения, а затем сравнить их модули при \(|z|=1\), используя только неравенства для модуля суммы и модуля разности чисел, не приводит к желаемому результату.

Решение этой и подобных задач основано на специальном виде многочлена из левой части уравнения (2). Этот многочлен содержит три слагаемых, у которых степени \(z\) образуют убывающую арифметическую прогрессию (в нашем случае это слагаемые \(4 z^{5}, 4 z^{3}\) и \(-4 z\)), причем коэффициенты при старшей и младшей степенях действительны и равны по модулю.

Воспользовавшись специальным видом многочлена, определим функции так: \(f(z) = 9\),

\[ h(z) = 4 z^{5}+4 z^{3}-4 z \]

и сравним их значения при \(|z|=1\). Тогда \(\left|f(z)\right| = 9\),

\[ \left|h(z)\right| = \left|4 z^{5}+4 z^{3}-4 z\right| = 4\left|z^3\right|\left|z^2 + 1 - z^{-2}\right| = 4\left|z^2 + 1 - z^{-2}\right| \]

Параметризуем окружность: \(z=e^{i \varphi }, \quad 0 \leq \varphi <2 \pi\). Получим

\[ \left|h(z)\right| = 4\left|e^{2 i \varphi }+1-e^{-2 i \varphi }\right| = 4\left|2 i \sin 2 \varphi +1\right| = 4\sqrt{4 \sin ^{2} 2 \varphi +1} \leq 4 \sqrt{5}=\sqrt{80}<9 \]

Поскольку при \(|z|=1\) \(\left|f\right| > \left|h\right|\), то по теореме Руше функция \(F = f + h\) имеет в области \(\left|z\right| < 1\) то же число нулей с учетом их кратностей, что и функция \(f\), а именно, ни одного нуля.

Таким образом, у функции

\[ g(z)=\frac{1}{z^{2}} \exp \left(\frac{81}{4 z^{5}+4 z^{3}-4 z+9}\right) \]

внутри круга \(|z|<1\) имеется только одна особая точка \(z=0\), которая является полюсом второго порядка.

Воспользовавшись теоремой Коши о вычетах, получаем

\[ \begin{align} I & = 2 \pi i \cdot \mathop{\mathrm{res}}_{0}g= 2\pi i \cdot \left.\left(z^2g(z)\right)'\right|_{z = 0} = 2 \pi i \cdot \left.\left[\exp \left(\frac{81}{4 z^{5}+4 z^{3}-4 z+9}\right)\right]^{\prime }\right|_{z=0}= \\ & =\left.2 \pi i\left[\exp \left(\frac{81}{4 z^{5}+4 z^{3}-4 z+9}\right) \cdot \frac{(-81)}{\left(4 z^{5}+4 z^{3}-4 z+9\right)^{2}} \cdot \left(20 z^{4}+12 z^{2}-4\right)\right]\right|_{z=0}= \\ & =2 \pi i e^{9}(-1)(-4)=8 \pi i e^{9} \end{align} \]

AnswerОтвет

\(8 \pi i e^{9}\).

ProblemЗадача Т.10

Применяя теорему Руше и теорию вычетов, вычислить интеграл \[ I = \oint _{\left|z\right| = 1} \frac{z^{6} d z}{3 z^{4}+z+1} \]