Изолированные особые точки

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

Пусть \(f\) голоморфна в проколотой окрестности \(\dot{U}_{\varepsilon }(z_{0})\) точки \(z_0 \in \mathbb {C} \cup \left\{ \infty \right\}\), но не голоморфна ни в какой непроколотой окрестности \(z_0\). Тогда \(z_0\) – изолированная особая точка (однозначного характера).

a4paper, left=8mm, right=8mm, top=8mm, bottom=8mm

Классификация изолированных особых точек

1 Примечание: ряд Лорана в окрестности бесконечности

Рассмотрим функцию \(f(z)\) в проколотой окрестности бесконечности

\[ \dot{U}_{\varepsilon }(\infty ) = \left\{ z \in \mathbb {C} \; : \; \left|z\right| > 1/\varepsilon \right\} . \]

Ряд Лорана в этой окрестности: \(\zeta := \frac{1}{z}\),

\[ f(z) = \sum _{-\infty }^{+\infty } c_n \zeta ^n = \underbrace{\sum _{n=0}^{+\infty } c_n \zeta ^n}_{\text{правильная часть}} + \underbrace{\sum _{n=1}^{+\infty } c_{-n}\frac{1}{\zeta ^n}}_{\text{главная часть}} = \underbrace{\sum _{n=0}^{+\infty } c_n \frac{1}{z^n}}_{\text{правильная часть}} + \underbrace{\sum _{n=1}^{+\infty } c_{-n}z^n}_{\text{главная часть}} \]

Т.е. разложить функцию в окрестности \(\infty\) в ряд Лорана – это то же самое, что и разложить ее по степеням \(z\), только меняется терминология: часть с положительными степенями теперь будет главной, а с неположительными – правильной.

ExampleПример 1

Разложить \(e^z\) в ряд Лорана

1. в окрестности нуля;

2. в окрестности \(\infty\).

SolutionРешение

Enum-item1.

\[ e^z = \underbrace{1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \ldots }_{\text{правильная часть}} \]

главная часть при этом нулевая

Enum-item2.

\[ e^z = \underbrace{1}_{\substack {\text{правильная}\\ \text{часть}}} + \underbrace{z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \ldots }_{\text{главная часть}} \]

ExampleПример 2

Определить характер особой точки \(z_0\) для функции

1. \(\dfrac {\operatorname {tg}z}{z}\), \(z_0 = 0\);

2. \(\dfrac {1}{z^3 \operatorname {tg}z}\), \(z_0 = 0\);

3. \(\dfrac {1}{z^3 \operatorname {tg}z}\), \(z_0 = \infty\).

SolutionРешение

Известен ряд Лорана (в данном случае просто ряд Тейлора) в некоторой окрестности нуля \(U_{\varepsilon }(0)\) (даже неважно, какой \(\varepsilon\)) для \(\operatorname {tg}z\): \[ \operatorname {tg}(z) = z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{2}{15}z^5 + \frac{17}{315}z^7 + \ldots \]

Enum-item1.

В \(\dot{U}_{\varepsilon }(0)\) имеем \(\frac{\operatorname {tg}z}{z} = 1 + \frac{1}{3}z^2 + \frac{2}{15}z^4 + \frac{17}{315}z^6 + \ldots\). Отрицательных степеней нет, главная часть нулевая, т.е. для данной функции \(0\) – УОТ.

Enum-item2.

Имеем

\[ \operatorname {tg}(z) = z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{2}{15}z^5 + \frac{17}{315}z^7 + \ldots = z \cdot \left(1 + \underbrace{\frac{1}{3}z^2 + \frac{2}{15}z^4 + \frac{17}{315}z^6 + \ldots }_{=: h(z)}\right) \]

Далее,

\[ \frac{1}{\operatorname {tg}(z)} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 + h(z)} \]

Заметим, что \(h(z)\) голоморфна в некоторой окрестности нуля, причем \(h(0) = 0\). Из голоморфности следует непрерывность, а из непрерывности следует ограниченность. Следовательно, найдется некоторая окрестность нуля, в которой \(\left|h(z)\right| < 1\). В этой окрестности по формуле геом. прогрессии имеем

\[ \begin{align} \frac{1}{1 + h(z)} & = \frac{1}{1 - (-h(z))} = 1 - h(z) + h^2(z) - h^3(z) + \ldots = \\ & = 1 - \left(\frac{1}{3}z^2 + \frac{2}{15}z^4 + \frac{17}{315}z^6 + \ldots \right) + \left(\frac{1}{3}z^2 + \frac{2}{15}z^4 + \ldots \right)^2 - \left(\frac{1}{3}z^2 + \ldots \right)^3 + \ldots = \\ & = 1 - \frac{1}{3}z^2 + \left(-\frac{2}{15} + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right)z^4 + \left(-\frac{17}{315} + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{15} - \left(\frac{1}{3}\right)^3\right)z^6 + \ldots = \\ & = 1 - \frac{1}{3}z^2 - \frac{1}{45}z^4 - \frac{2}{945}z^6 + \ldots \end{align} \]

Тогда ряд Лорана для \(\frac{1}{z^3 \operatorname {tg}z}\) в той же окрестности, но теперь проколотой:

\[ \frac{1}{z^3 \operatorname {tg}(z)} = \frac{1}{z^4} \cdot \frac{1}{1 + h(z)} = \underbrace{\frac{1}{z^4}- \frac{1}{3}\frac{1}{z^2}}_{\text{главная часть}} \underbrace{ - \frac{1}{45}- \frac{2}{945}z^2 + \ldots }_{\text{правильная часть}} \]

\(0\) – П\(4\)П для \(\frac{1}{z^{3}\operatorname {tg}z}\).

Enum-item3.

Функция \(\frac{1}{z^3\operatorname {tg}z} = \frac{\operatorname {ctg}z}{z^3}\) имеет полюсы во всех нулях синуса: \(z = \pi k\), \(k \in \mathbb {Z}\). Они накапливаются к \(\infty\), поэтому никакая проколотая окрестность \(\dot{U}(\infty )\) не свободна от особых точек: \(\infty\) – не изолированная особая точка, а предельная точка полюсов. (Разложение из п. б) справедливо лишь при \(0 < \left|z\right| < \frac{\pi }{2}\) – «продолжить» его в окрестность бесконечности нельзя, ряда Лорана в \(\dot{U}(\infty )\) у этой функции просто нет.)

AnswerОтвет

Enum-item1.

УОТ;

Enum-item2.

П\(4\)П;

Enum-item3.

\(\infty\) – не изолированная особая точка (предельная точка полюсов \(\pi k\)).

ProblemЗадача 12.1

Доказать, что точка \(z = a\) является устранимой особой точкой для следующих функций:

1. \(\frac{\sin z}{z} \quad (a = 0)\);

2. \(\frac{1}{e^{z}-1}-\frac{1}{\sin z} \quad (a = 0)\);

ProblemЗадача 12.2

Доказать, что точка \(z = a\) является полюсом следующих функций:

1. \(\frac{z}{\left(e^{z}-1\right)^{2}} \quad (a = 0)\);

ProblemЗадача 12.8

Найти все изолированные особые точки однозначного характера для следующих функций и определить их вид:

1. \(\frac{1}{z^{2}-1} \cos \frac{\pi z}{z+1}\);

2. \(e^{\operatorname {ctg} \frac{\pi }{z}}\);

1. Пусть \(z = z_0\) – Н\(n_1\)П для \(f_1\), Н\(n_2\)П для \(f_2\), т.е.

   \[ f_1(z) = (z-z_0)^{n_1} \cdot h_1(z), \quad f_2(z) = (z-z_0)^{n_2} \cdot h_2(z) \]

   где \(h_1, h_2\) – голоморфные в некоторой окрестности \(z_0\), причем не равные нулю в самой точке \(z_0\). Тогда

   \[ \frac{f_1}{f_2} = (z-z_0)^{n_1-n_2} \cdot \frac{h_1(z)}{h_2(z)}, \]

   где \(\frac{h_1}{h_2}\) – голоморфная в некоторой окрестности \(z_0\), отлична от нуля в \(z_0\). Значит \(z = z_0\) для функции \(f_1/f_2\) – это

   • Н\((n_1-n_2)\)П, \(n_1 > n_2\); также УОТ;

   • УОТ, \(n_1 = n_2\);

   • П\((n_2-n_1)\)П, \(n_1 < n_2\);

2. Пусть \(z = a\) – это УОТ или полюс для \(f\) и для \(g\). Тогда для \(fg\) это тоже УОТ или полюс. И для \(f/g\) (если \(g \not\equiv 0\)).

3. Пусть \(z = a\) – это УОТ или полюс для \(f\) и СОТ для \(g\). Причем \(f \not\equiv 0\). Тогда для \(fg\) это СОТ.

Теорема 1 (Сохоцкий) Пусть \(a\) – СОТ для \(f\). Тогда для любой \(A \in \bar{\mathbb {C}}\) найдется последовательность из проколотой окрестности \(\left\{ z_n\right\} \subset \dot{U}(a)\), такая что \[ z_n \to a, \qquad f(z_n) \to A \]

Теорема 2 (Большая теорема Пикара) Пусть \(a\) – СОТ для \(f\). Тогда для любой \(A \in \mathbb {C}\) (кроме, возможно, одной точки), \(\forall \dot{U}(a)\) уравнение \(f(z) = A\) имеет в \(\dot{U}(a)\) беск. число решений.

Пример: \(e^z\), \(a = \infty\). \(e^z \neq 0\).

ExampleПример 3

Найти особые точки функции \(f(z) = e^{\sin z}\), классифицировать их.

SolutionРешение

Enum-item1.

\(a = \infty\). Это СОТ: 2 последовательности \(z^{(1)}_n = 2\pi n\), \(z^{(2)}_n = \frac{\pi }{2} + 2\pi n\), по которым предел разный: \(e^{\sin z^{(1)}_n} = e^0 = 1\), \(e^{\sin z^{(2)}_n} = e^1 = e\).

AnswerОтвет

\(z = \infty\) – СОТ; других особых точек нет (\(f\) целая).

ExampleПример 4

Найти особые точки функции \(f(z) = \frac{1 - \cos (z)}{z^3}\), классифицировать их.

SolutionРешение

Enum-item1.

\(a = \infty\). Это СОТ: СОТ для \(1 - \cos (z)\), П\(3\)П для \(z^3\).

Enum-item2.

\(a = 0\). \(1 - \cos (z) = 1 - 1 + \frac{z^2}{2} - \ldots\). Для числителя \(a\) – это Н\(2\)П. Для знам. это Н\(3\)П. Значит это П\(1\)П.

AnswerОтвет

\(0\) – П\(1\)П, \(\infty\) – СОТ.

ExampleПример 5

Найти особые точки функции \(f(z) = \frac{1}{z^2 - 1} \cos \frac{\pi z}{z + 1}\) и классифицировать их.

SolutionРешение

Enum-item1.

\(a = \infty\). \(\frac{\pi z}{z+1} = \frac{\pi }{1 + \frac{1}{z}} \to \pi\), т.е. косинус стремится к \(\cos \pi = -1\), а \(\frac{1}{z^2-1} \to 0\).

\(f(z) \to 0\). \(\infty\) – УОТ.

Enum-item2.

\(a = 1\). Для \(\frac{1}{z^2 - 1}\) – это П\(1\)П.

Для \(g(z) = \cos \frac{\pi z}{z+1}\): \(g(1) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\), причем

\[ g'(z) = -\sin \left(\frac{\pi z}{z+1}\right) \cdot \frac{\pi }{(z+1)^2}, \qquad g'(1) = -\sin \left(\frac{\pi }{2}\right) \cdot \frac{\pi }{4} = -\frac{\pi }{4} \neq 0, \]

т.е. \(a = 1\) – это Н\(1\)П для \(g\). Нуль первого порядка компенсирует полюс первого порядка:

УОТ.

Enum-item3.

\(a = -1\). Для \(\frac{1}{z^2 - 1}\) – это П\(1\)П.

Для косинуса: рассмотрим \(z = -1 + \varepsilon\).

\(\cos \frac{\pi (\varepsilon - 1)}{\varepsilon } = \cos (\pi - \frac{\pi }{\varepsilon }) = -\cos (\pi /\varepsilon )\) – главная часть по степеням \(\frac{1}{\varepsilon } = \frac{1}{z+1}\) бесконечна. Т.е. это СОТ.

Умножение на \(\frac{1}{z^2 - 1} \not\equiv 0\) (полюс) сохраняет СОТ (правило 3 выше). Т.е. СОТ для \(f(z)\).

AnswerОтвет

\(z = 1\) и \(z = \infty\) – УОТ, \(z = -1\) – СОТ.

ExampleПример 6

Найти особые точки функции \[ f(z) = \frac{1}{z\sin \frac{1}{z}} \] и классифицировать их.

SolutionРешение

Enum-item1.

\(a = \infty\). В некоторой проколотой окрестности бесконечности имеем

\[ \begin{align} f(z) & = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{\frac{1}{z} - \frac{1}{3!}\frac{1}{z^3} + \frac{1}{5!}\frac{1}{z^5} - \ldots } = \frac{1}{1 - \left(\frac{1}{3!}\frac{1}{z^2} - \frac{1}{5!}\frac{1}{z^4} + \ldots \right)} = \\ & = \sum _{k=0}^{\infty }\left(\frac{1}{3!}\frac{1}{z^2} - \frac{1}{5!}\frac{1}{z^4} + \ldots \right)^k = 1 + \frac{1}{3!}\frac{1}{z^2} + \ldots \end{align} \]

– степени только неположительные, главной части нет. УОТ.

Иначе можно было просто заметить, что при \(z \to \infty\) \(\sin \frac{1}{z} \sim \frac{1}{z}\), т.е.

\[ f(z) = \frac{1}{z\sin \frac{1}{z}} \xrightarrow [z \to \infty ]{} 1 \]

Enum-item2.

Точки, где синус обращается в нуль: \(\frac{1}{z} = \pi k\). Т.е. \(a = a_k = \frac{1}{\pi k}\), \(k \in \mathbb {Z} \setminus \left\{ 0\right\}\). \(a_k\) – это нуль какого-то порядка для \(\sin \frac{1}{z}\). Если продифференцировать, получаем \(-\frac{1}{z^2}\cos \frac{1}{z}\). В точке \(a_k\) это не нуль. Т.е. \(a_k\) – это Н\(1\)П для \(\sin \frac{1}{z}\). Значит это П\(1\)П для \(f\).

Enum-item3.

\(a = 0\). Это неизолированная особая точка (НОТ): предельная точка полюсов \(a_k\).

AnswerОтвет

\(\infty\) – УОТ; \(\frac{1}{\pi k}\), \(k \in \mathbb {Z} \setminus \left\{ 0\right\}\) – П\(1\)П; \(0\) – НОТ (предельная точка полюсов).

ProblemЗадача 12.17

Найти все особые точки функции \(f(z)\) и определить их вид, если:

1. \(f(z) = \frac{8 z^{2}-6 z+1}{1-\cos \frac{\pi }{z}}\);

ProblemЗадача 12.18

Пусть \(z = 0\) — полюс функции \(f(z)\). Доказать, что для функции \(e^{f(z)}\) точка \(z = 0\) является существенно особой.

ProblemЗадача 12.20

Найти все особые точки функции \(f(z)\) и определить их вид, если:

1. \(f(z) = \frac{\operatorname {sh} \pi z-\cos \frac{i \pi }{z}}{\left(i-e^{\pi / z}\right)^{2}}\);

Типичная задача с контрольной:

ExampleПример 7

Найти особые точки функции \[ f(z) = \frac{4z^2 + \pi ^2}{\operatorname {ch}3z}\left(\exp \left(\frac{z}{z-2}\right) - 1\right)\operatorname {ctg}^2z \] и классифицировать их.

SolutionРешение

Обозначим

\[ \begin{align} f_1(z) & = 4z^2 + \pi ^2 & f_3(z) & = \exp \left(\frac{z}{z-2}\right) - 1 = \exp \left(1 + 2 \cdot \frac{1}{z-2}\right) - 1 \\ f_2(z) & = \operatorname {ch}3z& f_4(z) & = \operatorname {ctg}z \end{align} \]

Имеем

\[ f = \frac{f_1}{f_2} \cdot f_3 \cdot f_4^2 \]

Особые точки для \(f\):

• \(a = 2\). Имеем

  \[ f_3(z) = e \cdot \exp \left(2\frac{1}{z-2}\right) - 1= e \cdot \sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^k}{k!}\left(\frac{1}{z-2}\right)^k - 1 \]

  \(a = 2\) – это СОТ для \(f_3\).

  Иначе можно обосновать то, что \(a = 2\) – это СОТ для \(f_3\), так:

  \[ f_3(z) \xrightarrow [z = x \to 2-]{} -1, \qquad f_3(z) \xrightarrow [z = x \to 2+]{} \infty \]

  т.е. \(f_3(z)\) при \(z \to 2\) не имеет предела.

  Остальные функции \(f_1,f_2,f_4\) не имеют в \(a=2\) ни нулей, ни особенностей. В итоге, \(a = 2\) – это СОТ для \(f\)

• Точки, где знаменатель \(f_2(z) = \operatorname {ch}3z\) обращается в нуль.

  \[ 0 = \operatorname {ch}3z = \frac{e^{3z} + e^{-3z}}{2} \]

  Получаем

  \[ e^{6z} + 1 = 0 \iff e^{6z} = -1 \iff 6z = \operatorname {Log}(-1) = i\left(\pi + 2\pi k\right) \]

  \(a = a_k = i\left(\frac{1}{6}\pi + \frac{1}{3}\pi k\right)\). Какой порядок у этих нулей для \(f_2\)? Возьмем производную: \(f_2'(z) = 3\operatorname {sh}3z\), в точках \(a\) не ноль. Соотв., \(a\) – это Н\(1\)П для \(f_2\).

  Чем эти точки будут для остальных функций? Для \(f_3\), \(f_4\) это не нули (см. выше), не особые. Для \(f_1(z) = 4z^2 + \pi^2\) нулями будут \(\pm i \frac{\pi }{2}\), причем 1 порядка. Рассмотрим случаи:

  • \(a = a_k = i\left(\frac{1}{6}\pi + \frac{1}{3}\pi k\right)\), \(k \in \left\{ 1,-2\right\}\), т.е. \(a = \pm i \frac{\pi }{2}\). Это УОТ для \(f\).

  • \(a = a_k = i\left(\frac{1}{6}\pi + \frac{1}{3}\pi k\right)\), \(k \not\in \left\{ 1,-2\right\}\). Это П\(1\)П для \(f\).

• Точки, где \(f_4(z) = \operatorname {ctg}z\) не определен. Это \(a_4 = \pi k\). Для \(\operatorname {ctg}z = \frac{\cos z}{\sin z}\) это П\(1\)П, поскольку числитель \(\cos\) в них отличен от нуля, а для знаменателя, для \(\sin\), это Н\(1\)П.

  Для \(f_1\), \(f_2\) это не нули, и там нет особенностей. Для \(f_3\) есть нюансы:

  • при \(k \neq 0\), т.е. при \(a = \pi k \neq 0\) у \(f_3\) нет нулей и особенностей в \(a\). В итоге в данном случае для \(f\) точки вида \(\pi k\), \(k \neq 0\) явл. П\(2\)П.

  • при \(k = 0\), т.е. при \(a = 0\) у \(f_3\) ноль. Какого порядка? Продифференцируем:

    \[ f_3'(z) = -2\frac{1}{(z-2)^2} \exp \left(1 + 2 \cdot \frac{1}{z-2}\right) \]

    Как видно, \(f'_3(z)|_{z = 0} \neq 0\), т.е. \(a = 0\) – это Н\(1\)П для \(f_3\).

    В итоге для \(f\) точка \(a = 0\) явл. П\(1\)П.

• \(a = \infty\). Неизолированная особая точка, предел полюсов, в частности, полюсов вида \(i\left(\frac{1}{6}\pi + \frac{1}{3}\pi k\right)\)

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: особые точки функции, отмечены цветами.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/210/010_singular_points_colored_fig.tex

AnswerОтвет

• \(\infty\): НОТ, предельная точка полюсов ниже

• \(2\) – СОТ

• \(\pm i \frac{\pi }{2}\) – УОТ

• \(0\) – П\(1\)П;

• \(\frac{i}{3}\left(\frac{\pi }{2} + \pi k\right)\), \(k \not\in \left\{ 1,-2\right\}\) – П\(1\)П.

• \(\pi k\), \(k \neq 0\) – П\(2\)П.

ProblemЗадача Т.1

Найти все особые точки функции \(f\) и исследовать их тип, если \[ f(z) = \frac{\cos ^{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)-\sin ^{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}{\sin (2 z) \cos \frac{2}{z}} \operatorname {th} \frac{1}{z+i} \]

ExampleПример 8

Найти главную часть ряда Лорана функции \[ f(z) = \frac{1}{e^{z} - 1} \] в кольце с центром в начале координат, содержащем точку \(z_0 = 10\).

SolutionРешение

Особые точки: \(\operatorname {Ln}1 = 2\pi k i\), \(k \in \mathbb {Z}\). Раскладывать надо в кольце

\[ D = \left\{ z \in \mathbb {C} \; : \; 2\pi < \left|z\right| < 4 \pi \right\} \]

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: особые точки функции (красным).

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/210/020_singular_points_fig.tex

Как это сделать?

Enum-item1.

Рассмотрим \(f(z)\) в некоторой \(\dot{U}(0)\):

\[ f(z) = \frac{1}{z} \cdot \overbrace{\frac{1}{1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \ldots }}^{=: h(z)} = \frac{1}{z} \cdot h(z) \]

\(h\) – это голоморфная в нуле функция (у нее, в отличие от \(f\), уже нет особенности в нуле), т.е. она раскладывается в некоторой окрестности нуля просто в ряд Тейлора:

\[ h(z) = h(0) + h'(0)z + \ldots = 1 + h'(0)z + \ldots \]

Значит в \(\dot{U}(0)\) имеем

\[ f(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{z}\left(h(z) - 1 \right) = \frac{1}{z} + \underbrace{h'(0) + \frac{h''(0)}{2}z + \ldots }_{=: f_1(z)} \]

где \(f_1(z)\) голоморфна в нуле.

Enum-item2.

В \(\dot{U}(2\pi i)\):

\[ f(z) = \frac{1}{e^{z} - 1} = \frac{1}{e^{z - 2\pi i} - 1} = \frac{1}{e^{w} - 1} = \frac{1}{w} + f_1(w) = \frac{1}{z - 2\pi i} + f_2(z) \]

где \(w = z - 2\pi i\), \(f_1\) из предыдущего пункта, \(f_2(z) = f_1(z - 2\pi i)\), \(f_2(z)\) голоморфна в окрестности \(2 \pi i\).

Enum-item3.

В \(\dot{U}(-2\pi i)\):

\[ f(z) = \frac{1}{z + 2\pi i} + f_3(z), \]

\(f_3\) голоморфна в окрестности \(-2\pi i\).

Итого, функция

\[ g(z) = \frac{1}{e^z - 1} - \frac{1}{z} - \frac{1}{z + 2\pi i} - \frac{1}{z - 2\pi i} \]

– это функция, у которой в открытом круге \(\left\{ \left|z\right| < 4 \pi \right\}\) только устранимые особые точки. Т.е. она регулярна в этой окрестности (если ее по непрерывности доопределить). Можно разложить по Тейлору! Тогда в \(\left\{ \left|z\right| < 4 \pi \right\}\) (в частности, в кольце \(\left\{ 2 \pi <\left|z\right| < 4 \pi \right\}\)) у \(g(z)\) нет главной части (она равна нулю). Следовательно, гл. часть ряда Лорана для \(f(z)\) – это гл. часть ряда Лорана для

\[ \frac{1}{z} + \frac{1}{z + 2\pi i} + \frac{1}{z - 2\pi i} \]

Смысл: в главную часть ряда Лорана делают вклад только особые точки, которые ограничены кольцом.

Доведем задачу до конца:

\[ \begin{align} \frac{1}{z} + \frac{1}{z + 2\pi i} + \frac{1}{z - 2\pi i} & = \frac{1}{z} + \frac{2z}{z^2 + 4\pi ^2} = \frac{1}{z} + \frac{2z}{z^2} \cdot \frac{1}{1 - (- 4\pi ^2/z^2)} = \\ & = \frac{1}{z} + \frac{2}{z} \cdot \sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n \cdot \left(4\pi ^2\right)^{n} \cdot \frac{1}{z^{2n}} = \\ & = \frac{3}{z} + \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^n \cdot 2^{2n+1} \cdot \pi ^{2n} \frac{1}{z^{2n + 1}} \end{align} \]

AnswerОтвет

\(\frac{3}{z} + \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n \cdot 2^{2n+1} \cdot \pi^{2n} \cdot \frac{1}{z^{2n + 1}}\).

ProblemЗадача Т.2

Найти главную часть ряда Лорана функции \[ f(z) = \frac{1}{\sin z} \] в кольце с центром в начале координат, содержащем точку \(z = 4\).

ProblemЗадача Т.3

Пусть функция \(f\) голоморфна в проколотом единичном круге \(0 < \left|z\right| < 1\) и при некоторых \(A > 0\) и \(\alpha \in [0,1]\) выполняется неравенство \(\left|f(z)\right| < \frac{A}{\left|z\right|^{\alpha }}\). Определить тип изолированной особой точки \(z = 0\) при различных значениях \(\alpha\).