Конформные отображения элементарными функциями

Дата публикации

18 октября 2026

ПредупреждениеЧерновик

Этот конспект ещё находится в процессе редактуры: в тексте могут встречаться опечатки, неточности и локально не проработанные места. Если что-то нашли — сообщите, пожалуйста, автору (контакты на странице курса).

1 Степенная функция

Пусть \(t \in \mathbb {R}\). Рассмотрим на области \(G=\mathbb {C} \backslash [0,+\infty )\) функцию

\[ w=|z|^{t} e^{i t \arg z}, \quad \text{ где } \quad \arg z \in (0,2 \pi ) \text{. } \tag {1} \]

Эта функция регулярна на \(G\). Причем при \(t \neq 0\) функция (1) однолистна на области \(D \subset G\), если \(D\) не содержит двух различных точек \(z_{1}, z_{2}\), таких, что \(z_{2}=z_{1} \cdot e^{2 \pi i k / t}, k \in \mathbb {Z}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.001 задачника, код: SHPK images_recreated/28/001.tex): угловая область в угловую при w = z^t. Интерактив: слайдеры t, phi_0, phi_1 с живой деформацией углов.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/010_power_sector_map_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.002-28.004 задачника, код: SHPK images_recreated/28/): три табличных отображения w = z^2. Интерактив: перетаскивание уровня a у полуплоскости Im z > a, анимация разворота полуплоскости в плоскость с разрезом.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/020_square_map_fig.tex

2 Экспонента

Функция \(w=e^{z}\) осуществляет конформное отображение в области \(D \subset \mathbb {C}\) тогда и только тогда, когда \(D\) не содержит двух различных точек \(z_{1}, z_{2}\), таких, что \(z_{2}=z_{1}+2 \pi k i\), где \(k \in \mathbb {Z}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.005-28.007 задачника, код: SHPK images_recreated/28/): три табличных отображения w = e^z. Интерактив: слайдеры ширины и положения полосы/полуполосы, живой образ.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/030_exp_map_fig.tex

3 Логарифм

Многозначная функция \(w=\operatorname {Ln} z\) распадается на регулярные ветви во всякой односвязной области \(G \subset \overline{\mathbb {C}}\), не содержащей точек \(0\) и \(\infty\). Каждая регулярная ветвь \(f(z) \in \operatorname {Ln} z\) в такой области \(G\) является однолистной функцией (так как обратная к ней функция \(e^{z}\) является однозначной), поэтому эта ветвь \(f(z)\) осуществляет конформное отображение области \(G\) на область \(f(G)\), которое является обратным к отображению области \(f(G)\) на область \(G\) функцией \(w=e^{z}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.008-28.009 задачника, код: SHPK images_recreated/28/; в 009 исправлены перепутанные в источнике подписи осей u/x): отображения регулярной ветви Ln z. Интерактив: выбор ветви (значение f(-1) или f(2+i0)), подсветка соответствия границ.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/040_log_branch_map_fig.tex

4 Функция Жуковского

Функция:

\[ \operatorname {Ж}(z) := \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right) \]

4.1 Конформность

В каких областях конформность? Инъективность: при \(z_1 \neq z_2\) имеем \(\operatorname {Ж}(z_1) = \operatorname {Ж}(z_2)\) \(\iff\) \(z_1z_2 = 1\). Область конформности не может содержать \(\pm 1\), т.к. в окрестности всегда найдутся точки, ломающие инъективность. Также одновременно \(0\) и \(\infty\) быть не может.

Регулярность? \(\operatorname {Ж}'(z)\neq 0\), значит \(z \neq \pm 1\).

Достаточно, чтобы функция была однолистной и регулярной в каждой точке. Во всей сфере у функции Жуковского только 2 полюса первого порядка.

Итог: \(\operatorname {Ж}\) конформна в \(D \subset \overline{\mathbb {C}}\) \(\iff\) \(\forall z \in D\) \(\frac{1}{z}\not\in D\).

4.2 Преобразования основных фигур

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: окружность радиуса R переходит в эллипс.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/050_circle_to_ellipse_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: полуокружности из верхней полуплоскости.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/060_upper_semicircles_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: полуокружности из нижней полуплоскости.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/070_lower_semicircles_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: лучи переходят в гиперболы.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/080_rays_to_hyperbolas_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.010 задачника, код: SHPK images_recreated/28/010.tex): верхняя полуплоскость в плоскость с двумя разрезами при w = Zh(z). Интерактив: перетаскивание точек a, b по границе с живыми образами a’, b’ на берегах разрезов.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/090_halfplane_to_slit_plane_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.011 задачника, код: SHPK images_recreated/28/011.tex): единичный круг в плоскость с разрезом [-1,1] при w = Zh(z). Интерактив: перетаскивание a, b по окружности, подсветка соответствия верхней/нижней полуокружности берегам разреза.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/100_disk_to_slit_plane_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.012 задачника, код: SHPK images_recreated/28/012.tex): внешность единичного круга в плоскость с разрезом [-1,1] при w = Zh(z). Интерактив: перетаскивание a, b; сравнение ориентаций обхода с предыдущей фигурой.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/110_disk_exterior_to_slit_plane_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.013 задачника, код: SHPK images_recreated/28/013.tex): область {Im z > 0, |z| > 1} в верхнюю полуплоскость при w = Zh(z). Интерактив: бегущая точка по границе с синхронным образом.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/120_upper_exterior_to_halfplane_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.014 задачника, код: SHPK images_recreated/28/014.tex): нижний полукруг в верхнюю полуплоскость при w = Zh(z). Интерактив: бегущая точка по границе с синхронным образом.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/130_lower_halfdisk_to_halfplane_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.015 задачника, код: SHPK images_recreated/28/015.tex): |z| > rho (и круг |z| < 1/rho) во внешность эллипса при w = Zh(z). Интерактив: слайдер rho с вырождением эллипса в отрезок при rho -> 1.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/140_circles_to_ellipse_exterior_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.016 задачника, код: SHPK images_recreated/28/016.tex): угол alpha < arg z < pi - alpha во внешность гиперболы при w = Zh(z). Интерактив: слайдер alpha, деформация гиперболы и асимптот.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/150_sector_to_hyperbola_exterior_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.017 задачника, код: SHPK images_recreated/28/017.tex): угол 0 < arg z < alpha во внутренность правой ветви гиперболы с разрезом при w = Zh(z). Интерактив: слайдер alpha; подсветка образа луча arg z = alpha (ветвь) и луча [1, +inf) (двулистный разрез).

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/160_sector_to_hyperbola_branch_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.018 задачника, код: SHPK images_recreated/28/018.tex): область {0 < arg z < alpha, |z| > 1} при w = Zh(z): верхняя полуплоскость правее верхней половины правой ветви гиперболы. Интерактив: слайдер alpha. ВНИМАНИЕ: подпись исправлена (в источнике стояло pi - alpha, что противоречит рисунку и выкладке).

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/170_sector_exterior_to_branch_halfplane_fig.tex

5 Обратная функция Жуковского

Многозначная функция \(w=z+\sqrt{z^{2}-1}\), являющаяся обратной к функции Жуковского, в любой односвязной области \(G \subset \overline{\mathbb {C}}\), не содержащей хотя бы одной кривой, соединяющей точки \(z= \pm 1\), распадается на две регулярные ветви. Всякая регулярная в области \(G\) ветвь функции \(w=z+\sqrt{z^{2}-1}\) является однолистной (так как обратная к ней функция Жуковского является однозначной).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.019 задачника, код: SHPK images_recreated/28/019.tex): ветви обратной функции Жуковского: плоскость с разрезом [-1,1] во внешность (f_1) или внутренность (f_2) единичного круга. Интерактив: переключатель ветви, перетаскивание a, b по берегам разреза.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/180_inverse_zhukovsky_to_disk_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.020 задачника, код: SHPK images_recreated/28/020.tex): ветви обратной функции Жуковского: плоскость с разрезами (-inf,-1], [1,+inf) в верхнюю (f_1) или нижнюю (f_2) полуплоскость. Интерактив: переключатель ветви, перетаскивание a, b.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/190_inverse_zhukovsky_to_halfplanes_fig.tex

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ (перерисовка рис. 28.021 задачника, код: SHPK images_recreated/28/021.tex): ветви обратной функции Жуковского на верхней полуплоскости: {Im w > 0, |w| > 1} (f_1) или нижний полукруг (f_2). Интерактив: переключатель ветви, бегущая точка по границе.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/200_inverse_zhukovsky_halfplane_fig.tex

6 Задачи

ExampleПример 1

Найти какую-либо функцию \(w(z)\), осуществляющую конформное отображение изображенной области на полуплоскость \(\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: Условие примера: верхняя полуплоскость с вырезанным кругом |z - i| <= 1; выколоты точки 0, ±1, i (штриховка — недоступная сторона границы). Интерактив: показать образы области на каждом шаге решения.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/210_halfplane_minus_disk_fig.tex

SolutionРешение
Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: конформное отображение области.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/220_conformal_region_fig.tex

ExampleПример (Задача 28.10)

Найти какие-либо функции \(w(z)\), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.46-28.61, на полуплоскость \(\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: Условие задачи 28.10(57): внутренность эллипса с полуосями 2:1 (векторный исходник задачника — contents/img/28/057.tex). Интерактив: подсветить эллипс и его образы на каждом шаге композиции из решения.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/230_region_28_57_fig.tex

SolutionРешение
Enum-item1.

Что делать с эллипсом? Можно вспомнить, что функция Жуковского переводит окружность радиуса \(R\) в эллипс с полуосями \(\frac{1}{2}\left(R + \frac{1}{R}\right)\), \(\frac{1}{2}\left|R - \frac{1}{R}\right|\). Нам дан эллипс, у которого полуоси отличаются в \(2\) раза. Подберем \(R\) так, чтобы функция Жуковского окружность радиуса \(R\) переводила в эллипс с такими полуосями. Уравнение:

\[ \frac{1}{2}\left(R + \frac{1}{R}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2}\left|R - \frac{1}{R}\right| \]

Откуда \(R = \sqrt{3}\) или \(R = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Для данного \(R\) полуоси эллипса: \(\frac{1}{2}\left(R + \frac{1}{R}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{2}\left|R - \frac{1}{R}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Итого, нужно привести данный эллипс конформными отображениями к эллипсу с полуосями \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) (по действительной оси) и \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (по мнимой), а затем применить обратную функцию Жуковского. Причем так, чтобы мы получили внутренность круга, так удобнее.

Остальное – дело техники. Итого

  • Первые 2 преобразования – это поворот и масштабирование, чтобы прийти к удобному эллипсу;

  • Затем применяем \(\operatorname {Ж}^{-1}(z)\), причем берем ту ветвь, которая \(\infty\) отправляет в ноль.

  • Масштабируем круг так, чтобы он в единичный превратился.

  • Используем ДЛО \(f(z) = \frac{1 + z}{1 - z}\). Оно превращает единичную окружность в мнимую ось.

  • Возводим в квадрат, чтобы осталась вся плоскость \(\mathbb {C}\) без 2-х лучей.

  • Центрируем, нормируем лучи.

  • Обратным Жуковским переводим в верхнюю полуплоскость.

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: TikZ: конформное отображение области, большой рисунок.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/240_conformal_region2_fig.tex

AnswerОтвет
Enum-item1.

Композиция отображений, см. картинку.

ProblemЗадача 28.5

Найти какие-либо функции \(w(z)\), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.31-28.45, на полуплоскость \(\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: Условие задачи 28.5: области (31), (35), (38), (44) из задачника (векторные исходники contents/img/28). Интерактив: по клику на область показывать цепочку отображений из ответа шаг за шагом.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/250_regions_28_5_fig.tex

ProblemЗадача 28.10

Найти какие-либо функции \(w(z)\), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.46-28.61, на полуплоскость \(\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: Условие задачи 28.10: области (51), (53), (61) из задачника (векторные исходники contents/img/28). Интерактив: по клику на область показывать цепочку отображений из ответа шаг за шагом.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/260_regions_28_10_fig.tex

ProblemЗадача 28.11

Найти какие-либо функции \(w(z)\), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.62-28.69, на круг \(\left\{ w:|w| < 1\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: Условие задачи 28.11(64): область из задачника (векторный исходник contents/img/28/064.tex). Интерактив: показать образы области на каждом шаге композиции из решения (ДЛО, степень 2/3, Жуковский, аффинное, Ж^{-1}, ДЛО).

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/300_region_28_64_fig.tex

ProblemЗадача 28.13

Найти функцию \(w(z)\), конформно отображающую область \(\left\{ z = x+i y: x^{2}-y^{2} < 1\right\}\) на круг \(\left\{ w:|w| < 1\right\}\) и удовлетворяющую условиям \(w(0) = 0, w(1) = 1\).

ProblemЗадача 28.19

Найти какие-либо функции \(w(z)\), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.70-28.85, на полуплоскость \(\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: Условие задачи 28.19: области (71), (75), (81), (84), (85) из задачника (векторные исходники contents/img/28). Задача без решения в конспекте (ДЗ); интерактив: проверка своей цепочки отображений по шагам.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/310_regions_28_19_fig.tex

ProblemЗадача 28.20

Найти какие-либо функции \(w(z)\), конформно отображающие области, изображенные на рис. 28.86-28.91, на полосу \(\left\{ w: 0 < \operatorname {Im} w < 1\right\}\).

Уведомление

Рисунок в разработке. Будет пересоздан как интерактивная фигура (Plotly/Three.js).

План: Условие задачи 28.20(89): область из задачника (векторный исходник contents/img/28/089.tex); отобразить нужно на полосу 0 < Im w < 1. Задача без решения в конспекте (ДЗ); интерактив: проверка своей цепочки отображений.

Источник: courses/nedosh_courses/courses/01-analysis/CA/contents/specials/340/320_region_28_89_fig.tex

ProblemЗадача Т.6

Описать все автоморфизмы верхней полуплоскости.

ProblemЗадача Т.7

Найти все автоморфизмы проколотого единичного круга \(\mathbb {D} \setminus \left\{ 0\right\}\).