Системы множеств. Борелевская сигма-алгебра

Как ввести меру Лебега на $\mathbb {R}^2$ (случай $\mathbb {R}^{n}$ аналогичен)? Ввести сначала на полуинтервалах, т.е. на множествах вида

\[ (x,y] := (x_1, y_1] \times (x_2, y_2], \qquad x, y \in \mathbb{R}^{2} \]

Затем продолжить ее по теореме Каратеодори.

1 Полукольца, кольца, алгебры, сигма-алгебры

Всюду далее $\mathcal{S}$ – некоторое семейство подмножеств множества $\Omega$, т.е. $\mathcal{S} \subset 2^\Omega$.

Определение 1

$\varnothing \in \mathcal{S}$;
Если $A, B \in \mathcal{S}$, то $A \cap B \in \mathcal{S}$ (замкнутость относительно пересечения);
Если $A, B \in \mathcal{S}, B \subset A$, то в $\mathcal{S}$ найдется конечный набор дизъюнктных множеств $C_1, \dots , C_n$ (не пересекающихся также с $B$), что

\[ \begin{align} A = B \sqcup C_1 \sqcup \dots \sqcup C_n \end{align} \]

Рисунок 1: 3-е условие полукольца на примере полукольца (многомерных, в данном случае 2-мерных) полуинтервалов. Обратите внимание на границы множеств $B,C_1,\ldots ,C_4$. Поскольку мы брали полуинтервалы, объединение $A = B \sqcup C_1 \sqcup C_2 \sqcup C_3 \sqcup C_4$ действительно дизъюнктное.

Если полукольцо $\mathcal{S} \subset 2^{\Omega }$ дополнительно замкнуто относительно объединений (т.е. $A,B \in \mathcal{S} \; \Rightarrow \; A \cup B \in \mathcal{S}$), то оно называется кольцом. Кольцо из полукольца можно получить просто взятием всевозможных конечных объединений элементов полукольца. В частности, полукольцом будет система множеств, каждое из которых можно представить конечным объединением полуинтервалов.

Если дополнительно $\Omega \in \mathcal{S}$, то $\mathcal{S}$ кольцо $\mathcal{S}$ называют алгеброй.

Задача 1

Докажите, что кольцо можно определить так: непустой набор подмножеств, замкнутый относительно $\cup , \setminus$.

Задача 2

Докажите, что набор подмножеств, включающий в себя $\varnothing$ и замкнутый относительно $\cap , \setminus$ может не быть кольцом.

Задача 3

Докажите, что алгебру можно определить так: набор подмножеств, включающий в себя $\varnothing$, замкнутый относительно

${}^{\complement }$, $\cup$.
${}^{\complement }$, $\cap$.

Примечание. ${}^{\complement }$ означает взятие дополнения (от англ. complement): $A^{\complement } := \Omega \setminus A$. В русскоязычной литературе дополнение обычно обозначается $\bar{A}$, однако автор считает, что это обозначение путается с замыканием множества. ${A}^{\complement }$ ни с чем не спутать.

Определение 2 $\mathcal{S}$ – сигма-кольцо (сокр. $\sigma$-кольцо), если $\mathcal{S}$ – кольцо и $\mathcal{S}$ замкнуто относительно счетных объединений, т.е. $\forall (A_i)_{i=1}^\infty \subset \mathcal{S}$ выполнено \[ \begin{align} \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathcal{S} \end{align} \] Сигма-алгебра (сокр. $\sigma$-алгебра) определяется аналогично.

Рисунок 2: Связь некоторых систем подмножеств. $$-системы обсудим чуть позже.

Задача 4

Докажите, что в определении сигма-алгебры замкнутость относительно счетных объединений можно заменить на замкнутость относительно счетных пересечений.

Примечание. Из-за этого термин “$\delta$-алгебра” почти не используется. Как правило, используется термин “$\sigma$-алгебра”.

Задача 5

Пусть $\mathcal{S}, \mathcal{T}$ – сигма-алгебры на $\Omega$. Обязательно ли будут $\sigma$-алгебрами системы множеств

$\mathcal{S} \cap \mathcal{T}$
$\mathcal{S} \cup \mathcal{T}$ ?

Задача 6

Пусть $\Omega = \mathbb {R}$. Являются ли следующие системы полукольцом/кольцом/алгеброй/$\sigma$-алгеброй:

Полуинтервалы на прямой:

\[ \mathcal{S} = \{(a, b]: -\infty < a \leq b < + \infty\} \]
Все конечные подмножества натуральных чисел;
Все открытые множества на прямой;
Все ограниченные множества на прямой.

2 Минимальная сигма-алгебра, минимальная система

Определение 3 Пусть $\mathcal{D}$ – произвольное семейство подмножеств $\Omega$: $\mathcal{D} \subset 2^{\Omega }$. Тогда минимальная $\sigma$-алгебра, порожденная $\mathcal{D}$ – такая $\sigma$-алгебра $\mathcal{S}$, что она содержится в любой другой сигма-алгебре, содержащей $\mathcal{D}$. Обозначение: $\sigma (\mathcal{D})$. Говорят, что $\mathcal{D}$генерирует, порождает$\sigma (\mathcal{D})$.

Аналогично определяется минимальная алгебра, минимальное кольцо, минимальная $\lambda$-система (см. определение ниже) (обозн. $\lambda (\mathcal{D})$), минимальный монотонный класс (определение ниже) (обозн.: $M(\mathcal{D})$).

Пример 1

Докажите, что $\forall \Omega , \; \forall \mathcal{D} \subset 2^\Omega$ минимальная $\sigma$-алгебра $\sigma (\mathcal{D})$ существует и единственна.

Решение

Легко показать, что пересечение любого набора сигма-алгебр (даже несчетного) будет сигма-алгеброй. Следовательно, $\sigma (\mathcal{D})$ \[ \label{SystOfSets:MinimalSigmaAlg} \sigma(\mathcal{D}) = \bigcap_{\substack{\mathcal{F} \text{ явл. } \sigma\text{-алг.}\\ \mathcal{F} \supset \mathcal{D}}} \mathcal{F} \] Заметим, что пересечение справа непусто, поскольку $2^\Omega$ – это сигма-алгебра и $2^\Omega \supset \mathcal{D}$ по условию. ЧТД.

Пример 2

Опишите $\sigma$-алгебру подмножеств числовой прямой $\mathbb {R}$, порожденную системой одноточечных множеств: \[ \mathcal{F} = \left\{A \subset \mathbb{R} \mid \text{ либо } A \text{, либо } A^\complement \text{ не более чем сч.}\right\} \]

Решение

На практике через формулу @SystOfSets:MinimalSigmaAlg минимальную сигма-алгебру получать затруднительно: слишком много сигма-алгебр требуется перебрать. Гораздо удобнее идти “снизу вверх”: при помощи операций, относительно которых сигма-алгебра замкнута, строить новые подмножества $\Omega$ из тех, что в есть в $\mathcal{D}$. Затем из старых и только что построенных построить еще, и т.д. На каком-то шаге новые множества перестанут появляться, наступит замкнутость относительно операций, и полученный набор и будет минимальной сигма-алгеброй. При этом количество шагов может быть конечным (простая ситуация) или бесконечным.

Итак, берем конечные и счетные объединения одноточечных подмножеств, получаем не более чем счетные подмножества $\mathbb {R}$. Берем далее дополнения, получаем

\[ \mathcal{S} = \left\{A_{i_1} \sqcup \ldots \sqcup A_{i_k} \mid 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n, \; k \in \left\{1,\ldots, n\right\}\right\} \] Несложно проверить, что новых подмножеств аксиомами сигма-алгебры из $\mathcal{F}$ уже не получить, следовательно $\mathcal{F}$ – это сигма-алгебра, при этом $\mathcal{F} = \sigma (\mathcal{D})$.

Задача 7

Пусть $\Omega = [0,1]$. Опишите сигма-алгебры, порождаемые системами подмножеств:

$\{ [0, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, 1]\}$;
$\{ \{ 0\} , \{ 1\} \}$;
$\{ [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]\}$;
$\{ \{ r\} : r \in [0,1], r \not\in \mathbb {Q}\}$.

Определение 4 Пусть дано топологическое пространство $(X,\tau )$¹. Сигма-алгебру $\sigma (\tau )$ называют борелевской сигма-алгеброй и обозначают $\mathscr {B}\left(X\right)$. Она зависит от $\tau$, но, как правило, из контекста понятно, какая топология $\tau$ рассматривается, и поэтому $\tau$ не указывается в обозначении.

Кратко: борелевская сигма-алгебра – это минимальная сигма-алгебра, порожденная открытыми подмножествами.

Задача 8

Докажите, что борелевская сигма-алгебра $\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)$ на прямой может быть порождена следующими семействами подмножеств:

все промежутки;
$\left\{ (-\infty , a] \; : \; a \in \mathbb {R}\right\}$;
$\left\{ (-\infty , a] \; : \; a \in \mathbb {Q}\right\}$.

Задача 9

Пусть $\mathcal{S}$ – конечное кольцо ($\left|\mathcal{S}\right| \in \mathbb {N}$). Какое количество элементов там может быть? Может ли там быть, например, $3$ элемента? $8$?

Примечание. Для каждого варианта ответа приведите пример кольца с таким количеством элементов. Докажите, что других ответов нет.

Задача 10

Существует ли

конечная,
счетная счетная система подмножеств $\mathbb {R}$, порождающая борелевскую сигма-алгебру $\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)$?

Сноски

Напомним, что набор подмножеств $\tau \subset 2^X$ называют топологией для $X$, если
1. $\varnothing , X \in \tau$;
2. $\tau$ замкнуто относительно конечных пересечений;
3. $\tau$ замкнуто относительно любых, даже несчетных, объединений. Элементы $\tau$ принято называть открытыми подмножествами$X$. Поднабор $\tau ' \subset \tau$ называют базой топологии $\tau$, если любой элемент из $\tau$ можно представить как объединение некоторого числа элементов из $\tau '$. В $\mathbb {R}^n$ (шире: в любом метрическом пространстве) в качестве базы топологии принято брать открытые шары, т.е. множества вида $\left\{ x \in X \mid \rho (x, x_0) < \varepsilon \right\}$, $x_0 \in X$, $\varepsilon > 0$.
↩︎