Функции множеств на полукольцах и сигма-алгебрах. Мера

Пусть $\mathcal{S} \subset 2^X$ – некоторая совокупность подмножеств $X$. Неотрицательной функцией множеств (на $\mathcal{S}$) будем считать любую функцию вида $m: \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$. Обратите внимание, что она может принимать бесконечные значения.

Определение 1 Говорят, что неотрицательная функция множеств $m: \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$

монотонная, если $\forall A, B \in \mathcal{S}, A \subset B$ будем иметь $m(A) \leq m(B)$
конечно-аддитивная (или просто аддитивная), если для любого конечного дизъюнктного набора $A_1, A_2, \dots , A_n \in \mathcal{S}$, такого что $A := \bigsqcup_{k=1}^n A_k \in \mathcal{S}$, выполнено $m(A) = \sum_{k=1}^n m(A_k)$:

\[ \left.\begin{array}{r} A \in \mathcal{S} \\ A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{S} \\ A_i \cap A_j = \varnothing, \; \forall i \neq j \\ A = \bigsqcup_{i=1}^n A_i \end{array}\right\} \quad \; \Rightarrow \; \quad m(A) = \sum_{k=1}^n m(A_k) \] Иначе говоря, если элемент $A$ из $\mathcal{S}$ распадается в дизъюнктное объединением других элементов $A_1, A_2, \ldots$ из $\mathcal{S}$, то значение $m$ на $A$ равно сумме значений на $A_1, A_2, \ldots$.

Счетная аддитивность определяется аналогично. Счетно-аддитивную функцию множеств еще называют $\sigma$-аддитивной.
конечно-субаддитивная (или просто субаддитивная, полуаддитивная), если

\[ \left.\begin{array}{r} A \in \mathcal{S} \\ A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{S} \\ A \subset \bigcup_{i=1}^n A_i \end{array}\right\} \quad \; \Rightarrow \; \quad m(A) \leq \sum_{k=1}^n m(A_k) \] Иначе говоря, если элемент $A$ из $\mathcal{S}$ покрывается объединением других элементов $A_1, A_2, \ldots$ из $\mathcal{S}$, то значение $m$ на $A$ не превосходит суммы значений на $A_1, A_2, \ldots$. Картинку рисовать лень, представьте сами.

Обратите внимание, что в данном случае $A_1, \ldots , A_n$ не обязательно дизъюнктны.

Счетная субаддитивность определяется аналогично. Счетно-субаддитивную функцию множеств еще называют $\sigma$-субаддитивной.
Конечно-супераддитивна, если для любого $A \in \mathcal{S}$ и для любого набора дизъюнктных подмножеств $A_1, A_2, \ldots , A_n \in \mathcal{S}$, такого, что $\bigsqcup_{i=1}^n A_i \subset A$ будем иметь $\sum_{i=1}^n m(A_i) \leq m(A)$:

\[ \left.\begin{array}{r} A \in \mathcal{S} \\ A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{S} \\ A_i \cap A_j = \varnothing, \; \forall i \neq j \\ A \supset \bigsqcup_{i=1}^n A_i \end{array}\right\} \quad \; \Rightarrow \; \quad m(A) \geq \sum_{k=1}^n m(A_k) \] Иначе говоря, если элемент $A$ из $\mathcal{S}$ содержит в себе непересекающиеся элементы $A_1, A_2, \ldots$ из $\mathcal{S}$, то значение $m$ на $A$ не меньше суммы значений на $A_1, A_2, \ldots$.

Счетная супераддитивность определяется аналогично.
конечная, если $\forall A \in \mathcal{S}: \; m(A) < +\infty$
$\sigma$-конечная, если $X$ может быть исчерпана счетным набором множеств конечной меры, т.е. $\exists A_1, A_2, \dots \in \mathcal{S}: X = \bigcup_{k=1}^\infty A_k, \; m(A_k) < \infty \; \forall k \in \mathbb {N}$.
непрерывная снизу, если $m(A_n) \xrightarrow [n\to \infty ]{} m(A)$ для любого $A \in \mathcal{S}$, и любой возрастающей последовательности $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{S}$, такой, что $A_n \uparrow A$.
непрерывная сверху, если $m(A_n) \xrightarrow [n\to \infty ]{} m(A)$ для любого $A \in \mathcal{S}$, и любой убывающей последовательности $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{S}$, такой, что $A_n \downarrow A$ и $m(A_{n_0}) < +\infty$ для некоторого $n_0 \in \mathbb {N}$.

Последнее условие добавлено, поскольку иначе бы считающая мера $\mu$ на $(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}})$ не оказалась бы непрерывной сверху, т.к. $\{ n, n+1, n+2, \dots \} =: A_n \downarrow \varnothing$, но $+\infty = m(A_n) \not\to 0 = \mu (\varnothing )$.
непрерывна в нуле, если она непрерывна сверху для $A = \varnothing$.

Определение 2 Пусть $\mathcal{S}$ – полукольцо множеств $X$. Функция $m: \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$, обладающая свойством $m(\varnothing ) = 0$, называется

ёмкостью (англ. content), если $m$ аддитивна;
предмерой (англ. pre-measure), если $m$ счетно-аддитивна;
мерой (англ. measure), если $m$ счетно-аддитивна и $\mathcal{S}$ – это сигма-алгебра;
вероятностной мерой (англ. probability measure), если $m$ – это мера на сигма-алгебре $\mathcal{S}$ и $m(X) = 1$.

Свойство $m(\varnothing ) = 0$ добавлено для того, чтобы тождественное отображение $m \equiv +\infty$ не считалось бы емкостью или мерой.

Зачем эти термины? Стандартная схема построения меры:

Вводим функцию множеств $m$, исходя из наших потребностей на каких-то простых множествах. Обычно они образуют полукольцо $\mathcal{S}$, и почти всегда очевидно, что $m$ аддитивна на $\mathcal{S}$. Значит, $m$ – ёмкость.
Доказываем, что $m$ счетно-аддитивна на $\mathcal{S}$. Т.е. $m$ – предмера.
Дальше теорема Каратеодори о продолжении (см. следующую неделю) продолжает предмеру $m$ с полукольца $\mathcal{S}$ до меры на $\sigma$-алгебре $\sigma (\mathcal{S})$.

Применение этой схемы на примере меры Лебега см. ниже.

Поэтому счетно-аддитивная неотрицательная функция не на сигма-алгебре и называется предмерой в современной литературе: она нужна почти всегда только для того, чтобы стать счетно-аддитивной функций на порожденной сигма-алгебре, т.е. чтобы стать настоящей, полноценной мерой.

1 Свойства функции множеств

Лемма 1 (Свойства неотрицательной функции множеств на полукольце) Пусть $\mathcal{S}$ – полукольцо на $X$, $m: \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$ (она неотрицательна), $m(\varnothing ) = 0$ (она невырождена, не тождественная $+\infty$). Тогда

В частности, для неотрицательной невырожденной аддитивной функции на кольце (в частности, на сигма-алгебре) имеем:

2 Мера Лебега: план построения

Цель: получить неотрицательную функцию на борелевской сигма-алгебре на $\mathbb {R}$ (шире: на $\mathbb {R}^{k}$), которая бы являлась мерой, т.е. была бы счетно-аддитивной, и которая совпадала бы с обычной длиной (разностью между концом и началом) для промежутков, т.е. множеств вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$. Для простоты строить мы будем на $\mathbb {R}$, хотя на $\mathbb {R}^{k}$ можно построить меру по аналогичному алгоритму. План:

На полукольце $\mathcal{S} = \left\{ (a,b] \; : \; -\infty < a \leq b < +\infty \right\}$ подмножеств $\mathbb {R}$ ввести неотрицательную функцию $\lambda \left((a, b]\right) := b-a$. Она, очевидно, является конечно-аддитивной, следовательно $\lambda$ – это ёмкость.
Доказать, что $\lambda$ на $\mathcal{S}$ является счетно-субаддитивной. В таком случае, по лемме выше, получим, что $\lambda$ – это предмера на полукольце $\mathcal{S}$.
Теперь необходимо предмеру с полукольца $\mathcal{S}$ полуинтервалов трансформировать каким-то образом в меру на $\sigma (\mathcal{S}) = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)$. Делается это при помощи теор. Каратеодори, которая строит меру так: для произвольного подмножества $A \subset \mathbb {R}$ через предмеру $\lambda$ ввести т.н. внешнюю меру через взятие инфимума суммарных значений $\lambda$ по счетным покрытиям:

\[ \lambda^*(A) := \inf\left\{\sum_{B \in \mathcal{S}'}\lambda(B) \; : \; \mathcal{S}' \text{ -- это не более чем сч. покрытие } A \text{ элементами из } \mathcal{S}\right\} \] Доказать, что для элементов из самого полукольца $\mathcal{S}$ значения $\lambda$ и $\lambda^*$ совпадают.

$\lambda^*$ введена на всем $2^{\mathbb {R}}$, однако мерой она там не будет (если мы принимаем аксиому выбора). Необходимо несколько ограничить область определения, ввести понятие $\lambda^*$-измеримости. Окажется, что $\lambda^*$-измеримые подмножества прямой, которые мы будем обозначать $\mathcal{M}(\mathcal{\lambda^*})$, будут образовывать сигма-алгебру. Кроме того, все множества из $\mathcal{S}$ будут $\mu^*$-измеримыми. Таким образом и порожденная полукольцом сигма-алгебра будет измеримой: $\sigma (\mathcal{S}) \subset \mathcal{M}$.

Остается заметить, что для полукольца полуинтервалов $\sigma (\mathcal{S}) = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)$.

При помощи теор. Каратеодори мы получим меру не только на борелевских, но даже на некторых неборелевских множествах. Необходимо сузить ее область определения до борелевских множеств, и мы получим ту меру, которая требовалась. Забегая вперед, то, что мы построим, называется мерой Лебега-Бореля.

Завершим шаг II.

Пример 1

Пусть $\mathcal{S} = \left\{ (a, b] \; : \; -\infty < a \leq b < +\infty \right\}$ – это полукольцо полуинтервалов.

Пусть $\lambda \left((a, b]\right) := b-a$. Докажите сч. аддитивность $\lambda$ на $\mathcal{S}$.
Более общий случай: пусть $F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ – неубывающая, непрерывная справа функция. Пусть $\lambda_F\left((a, b]\right) := F(b) - F(a)$. Докажите, что $\lambda_F$ сч. аддитивна на $\mathcal{S}$.

Подсказка

Воспользуйтесь топологическими свойствами $\mathbb {R}$. А именно, что из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное покрытие.

Решение

Докажем для более общего случая, для $\lambda_F$. Для случая $\lambda$ можно взять $F(x) = x$.

Очевидно, что $\lambda_F(\varnothing ) =0$ и $\lambda_F$ конечно-аддитивна, следовательно ёмкость, следовательно счетно-супераддитивна. Необоходмо доказать только счетную субаддитивность: если $(a_1, b_1], (a_2, b_2], \ldots$ такие, что $(a, b] \subset \cup_{n=1}^{\infty }(a_n, b_n]$, то

\[ F(b)-F(a) = \lambda_F \left((a, b]\right) \stackrel{?}{\leq} \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_F\left((a_n, b_n]\right) = \sum_{n=1}^{\infty} (F(b_n) - F(a_n)) \] Пусть $\varepsilon > 0$ – произвольное. Воспользуемся некоторыми топологическими свойствами $\mathbb {R}$. Пусть $a_\varepsilon \in (a,b)$ – такое число, что $F(a_\varepsilon ) - F(a) < \varepsilon /2$ (такое $a_\varepsilon$ найти возможно, поскольку $F$ непрерывна справа). Далее, для произвольного $n \in \mathbb {N}$ пусть $b_{n,\varepsilon } > b_n$ такое, что $F(b_{n,\varepsilon }) - F(b_n) \leq \varepsilon /2^{n}$. Имеем компакт $[a_\varepsilon , b]$, который покрывается бесконечным числом интервалов:

\[ [a_\varepsilon, b] \subset (a, b] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(a_n, b_n] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_n, b_{n, \varepsilon}) \] Выберем из этих интервалов конечное покрытие:

\[ [a_\varepsilon, b] \subset \bigcup_{m=1}^{M} (a_{i_m}, b_{\varepsilon, i_m}) \] $\lambda_F$ конечно-аддитивна, следовательно монотонна и конечно субаддитивна. Поэтому

\[ \begin{align} (F(b) - F(a)) - \frac{\varepsilon}{2} &< F(b) - F(a_{\varepsilon}) = \lambda_F\left([a_\varepsilon, b]\right) \leq \lambda_F\left(\bigcup_{m=1}^{M} (a_{i_m}, b_{\varepsilon, i_m}]\right) \leq \\ &\leq \sum_{m=1}^{M} \lambda_F\left((a_{i_m}, b_{\varepsilon, i_m}]\right) = \sum_{m=1}^{M} \left(F(b_{\varepsilon, i_m}) - F(a_{i_m})\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left(F(b_{\varepsilon, n}) - F(a_n)\right) \leq \\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\varepsilon}{2^{n}} + (F(b_n) - F(a_n))\right) = \frac{\varepsilon}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(F(b_n) - F(a_n)) \end{align} \] Итого

\[ F(b) - F(a) \leq \varepsilon + \sum_{n=1}^{\infty}(F(b_n) - F(a_n)) \] Поскольку мы брали $\varepsilon$ произвольным, получаем

\[ F(b) - F(a) \leq \sum_{n=1}^{\infty}(F(b_n) - F(a_n)) \] ЧТД.

Шагом III мы займемся в следующей главе.

3 Доказательства свойств функции множеств

3.1 Конечные свойства

Лемма 2 (Вспомогательная, усиленное условие для полукольца) Пусть $\mathcal{S}$ – полукольцо, $A, A_1, A_2, A_3, \ldots , A_n \in \mathcal{S}$. Тогда найдутся $B_{1}, \dots , B_{n'} \in \mathcal{S}$ – дизъюнктный набор из $\mathcal{S}$, такой что: \[ \begin{align} A \setminus \bigcup_{i=1}^{n} A_i = \bigsqcup_{j=1}^{n'} B_k \end{align} \]

Задача 1

Докажите лемму Лемма 2.

Задача 2

Докажите, что из аддитивности действительно следует монотонность для $m: \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$, $m(\varnothing ) = 0$, где $\mathcal{S}$ – это полукольцо.

Задача 3

Докажите, что условие аддитивности действительно эквивалентно субаддитивности и супераддитивности для $m: \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$, $m(\varnothing ) = 0$, где $\mathcal{S}$ – это полукольцо.

3.2 Счетные свойства

Пример 2

Докажите, что в лемме Лемма 1 из аддитивности действительно следует $\sigma$-супераддитивность.

Решение

Пусть $A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{S}$ и $\bigsqcup_{n=1}^{\infty } A_n \subset A$. Необходимо доказать, что $m(A) \geq \sum_{n=1}^{\infty }m(A_n)$.

Пусть $N \in \mathbb {N}$ – произвольное фиксированное. Докажем, что $m(A) \geq \sum_{n=1}^{N}m(A_n)$. Если далее устремить $N \to \infty$, то как раз и получим $m(A) \geq \sum_{n=1}^{\infty }m(A_n)$.

Если бы $\mathcal{S}$ было кольцом, то можно было бы сразу сказать $\bigsqcup_{n=1}^{N}A_n \in \mathcal{S}$, и по свойствам монотонности и аддитивности $m(A) \geq m(\bigsqcup_{n=1}^{N}A_n) = \sum_{n=1}^N m(A_n)$.

У нас ситуация сложнее, $\mathcal{S}$ – это полукольцо, т.е. оно не замкнуто относительно объединений. Однако по вспомогательной лемме Лемма 2 имеем

\[ A \setminus \bigsqcup_{n=1}^N A_n = \bigsqcup_{j=1}^{m}B_n, \quad B_j \in \mathcal{S}, \; \forall j \] Таким образом,

\[ A = \left(\bigsqcup_{n=1}^N A_n\right) \sqcup \left(\bigsqcup_{j=1}^{m}B_j\right) \] и, пользуясь конечной аддитивностью и неотрицательностью ёмкости, получаем

\[ m(A) = \left(\sum_{n=1}^N m(A_n)\right) + \left(\sum_{j=1}^{m}m(B_n)\right) \geq \sum_{n=1}^N m(A_n) \]

Пример 3

Докажите, что из счетной аддитивности $m$ на полукольце $\mathcal{S}$ следует счетная субаддитивность.

Решение

Пусть $A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{S}$ и $A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty } A_n$. Необходимо доказать, что $m(A) \leq \sum_{n=1}^{\infty }m(A_n)$.

Полукольцо замкнуто относительно пересечений, т.е. $A_n \cap A \in \mathcal{S}$, $\forall n$. Следовательно, не ограничивая общности, мы можем считать, что $A_n \subset A$, $\forall n$.

Пусть $B_1 := A_1$, $B_n := A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i$. Имеем $A = \bigsqcup_{n=1}^{\infty } B_n$. Сами $B_n$ при этом могут не быть из полукольца $\mathcal{S}$, поскольку полукольцо не замкнуто относительно взятия разности. Однако по вспомогательной лемме ?@lem-partition_лемма$B_n$ может быть разложено в конечное дизъюнктное объединение подмножеств из полукольца: $\forall n$ имеем

\[ B_n = C_{n,1} \sqcup C_{n,2} \sqcup \ldots \sqcup C_{n,M_n}, \quad C_{n, i} \in \mathcal{S}, \; \forall i \] Таким образом, имеем $A = \bigsqcup_{n=1}^{\infty }\bigsqcup_{i=1}^{M_n} C_{n,i}$, причем $C_{n,i} \in \mathcal{S}$, следовательно можем воспользоваться счетной аддитивностью:

\[ m(A) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{M_n}m(C_{n,i}) \] Осталось заметить, что для любого $n$ будем иметь $\bigsqcup_{i=1}^{M_n}C_{n,i} \subset A_n$, и по свойству конечной супер-аддитивности получаем $\sum_{i=1}^{M_n}m(C_{n,i}) \leq m(A_n)$. ЧТД.

Задача 4

Пусть $X = (0,1]$, $\mathcal{S} = \left\{ (a,b] \cap \mathbb {Q} \; : \; 0 \leq a \leq b \leq 1\right\}$, $m\left((a,b] \cap \mathbb {Q}\right) := b-a$. Докажите, что

$m$ – это конечно-аддитивная функция функция на полукольце $\mathcal{S}$;
$m$ непрерывна сверху и снизу;
$m$ не явл. счетно-аддитивной.