Интеграл Лебега: построение
1 Построение интеграла Лебега
1.1 Недостатки интеграла Римана
Интеграл Лебега родился из попытки обобщить интеграл Римана так, чтобы можно было гораздо более свободно переставлять взятие пределов и интегрирование. Напомним, что если у нас есть посл. функций \((f_n)\), заданных на ограниченном отрезке \([a,b]\), сходящихся равномерно к \(f = \lim_{n\to \infty } f_n\), то \[ \label{lim_int_interchange} \lim_{n\to\infty } \int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b \lim_{n\to\infty } f_n dx \] _n_a^b f_n(x) dx = _a^b _n f_n dx \[ h(x) := \begin{cases} f(x)+g(x), & f(x)+g(x) \text{ определено} \\ 0, & \text{в прот. случ.} \end{cases} \] Если же \((f_n)\) сходится к \(f\) поточечно, то так просто переставлять предел и интеграл нельзя, даже если последовательность \((f_n)\) монотонна. К примеру, если \(\mathbb {Q} \cap [0,1] = \left\{ r_n\right\}_{n=1}^\infty , f_n = I_{\left\{ r_i\right\}_{i=1}^n}\), то \((f_n)\) поточечно, но не равномерно, сходится к \(f = I_{\mathbb {Q} \cap [0,1]}\). При этом \(\lim_{n\to \infty } \int_0^1 f_n(x) dx = \lim_{n\to \infty } 0 = 0\), а \(\int_0^1 f dx\) не существует. Если мы хотим, чтобы в таких случаях предельный переход под знаком интеграла был возможен, мы должны требовать, чтобы \(f\) была интегрируема, и чтобы интеграл от нее был равен \(0\).
На проблему интеграла Римана можно посмотреть под несколько другим углом. Из школьной геометрии известно, что площадь прямого цилиндра высоты \(h\), т.е. фигуры \(A \times [0,h], A \subset \mathbb {R}\), – это произведение длины основания \(A\) на \(h\). Интеграл Римана вводился в попытке численно выразить площадь под графиком функции. Соответственно, наиболее естественное требование к такому функционалу – его значение от индикаторной функции \(I_{A}\) должно быть равно длине \(A\). Если множество \(A\) – интервал, отрезок или конечное дизъюнктое объединение интервалов и отрезков, то интеграл Римана удовлетворяет этому требованию. Однако в общем случае, как видно из примера выше, это не так. Более того, это не так хотя бы потому, что при введении интеграла Римана в принципе не обсуждается вопрос о том, у каких подмножеств прямой есть длина, какие подмножества прямой можно измерить. Этот вопрос, как видно из нашего курса, совсем не тривиален. У нас же на данный момент как раз есть строгий аппарат, отвечающий на этот вопрос. Мы строго ввели понятие измеримых множеств и меры (длины), в частности, меры Лебега в \(\mathbb {R}^{n}\).
1.2 Естественные требования к новому интегралу
Итак, на данный момент у нас есть аппарат для введения и измерения длины (или площади, объема, меры) подмножеств произвольного множества \(X\) – тройка \((X, \mathcal{F}, \mu )\), состоящая из самого множества, сигма-алгебры его подмножеств (подмножеств, которые можно измерить) и меры \(\mu\). Пусть \(f,g,f_1, f_2, \dots : X \to \overline{\mathbb {R}}\) – функции из \(X\) в расширенную числовую прямую. Выпишем естественные требования к новому интегралу \(\int \cdot \quad\):
Для любой индикаторной функции \(f = I_{A}, A \in \mathcal{F}\) любого измеримого множества \(A\) интеграл должен существовать 1 и его значение должно быть равно мере этого множества, т.е. \(\int f = \mu \left(A\right)\);
Интеграл должен быть линеен:
Однородность интеграла: если \(c \in \mathbb {R}\) и \(\int f\) существует, то \(\int cf\) должен существовать и должно выполняться \(\int cf = c \int f\)2.
Аддитивность интеграла: если \(\int f, \int g\) существуют и они не равны бесконечностям разных знаков, то \(\int h\) должнен существовать и должно выполняться \(\int h = \int f + \int g\), где
\[ \mathfrak{I}^{1}\left(f\right) := \sum_{i=1}^n c_i \cdot \mu\left(A_i\right) \]
Должнен выполняться предельный переход при поточечной монотонной сходимости, ограниченной снизу. Т.е. если \(0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \dots\) и \(\int f_i\) существует \(\forall i\), то \(\int f\) должен существовать и должно выполняться \(\int f = \lim_n \int f_n\), где \(f := \lim_n f_n = \sup_n f_n\).
Это утверждение называется теоремой Лебега о монотонной сходимости. Заметим, что далее окажется, что у любой неотрицательной измеримой функции интеграл не может не существовать. Соответственно, требование существования \(\int f_i \; \forall i\) окажется излишним.
Исходя из этих требований и вводится функционал, называемый интегралом Лебега.
Несмотря на то, что интеграл Лебега родился из интеграла Римана, в общем случае он строится для измеримых функций, заданных на произвольном пространстве с мерой \((X, \mathcal{F}, \mu )\).
2 Построение
2.1 Шаг 1. Неотрицательные простые функции
Определение 1 Простая функция (или ступенчатая функция) на \((X, \mathcal{F})\) – это конечная линейная комбинация индикаторных функций от измеримых множеств. Т.е. \(f: (X, \mathcal{F}) \to (\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) – простая, если она может быть представлена в виде \(f(x) = \sum_{i=1}^n c_i I_{x \in A_i}, \; c_i \in \mathbb {R}, A_i \in \mathcal{F}, \forall i, \; X = \bigsqcup_{i=1}^n A_i\). Эквивалентно, это \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримая функция, принимающая конечное число конечных значений.
Учитывая требования @inf_func, @linearity, для любой неотрицательной простой функций \(f = \sum_{i=1}^n c_i I_{A_i}, 0 \leq c_i\) интеграл должен существовать и должен быть равен
\[ \begin{align} f_n := &\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{2^n-1}\left( i + \frac{j}{2^n} \right) \cdot I_{f \in \left[i + \frac{j}{2^n}, i + \frac{j+1}{2^n}\right)} + \\ &+ n \cdot I_{f \in [n, +\infty]} \end{align} \]
(неопределенности вида \(0 \cdot +\infty\) считаем равными \(0\)).
Мы берем пока только неотрицательные простые функции, чтобы при определении избежать неопределенностей вида \((+\infty ) - (+\infty )\).
Введенный функционал, очевидно, удовлетворяет требованию @inf_func. Легко доказать, что он удовлетворяет и требованию линейности @linearity (если коэфф. \(c\) неотрицателен). Удовлетворяет, в частности, потому, что [конечная] линейная комбинация простых функций – всегда простая функция.
Из рассмотрения требования @mon_conv о монотонном предельном переходе вытекает следующий шаг.
2.2 Шаг 2. Неотрицательные измеримые функции
Рассмотрим теперь требование @mon_conv к интегралу. На данный момент интеграл введен для простых неотрицательных функций. Функцию \(f\) какого вида можно получить как поточечный предел возрастающей последовательности неотрицательных простых функций \((f_n)\)? Очевидно, такая функция \(f\) должна быть измеримой, поскольку поточечный возрастающий предел измеримых функций равен их поточечному супремуму, следовательно измерим. Также она должна быть неотрицательна.
Оказывается, этих двух требований, неотрицательности и измеримости, достаточно, чтобы функцию \(f\) можно было получить как поточечный возрастающий предел простых. Действительно, пусть \(f\) неотрицательна и измерима. Тогда если положить
\[ \mathfrak{I}^{2}\left(f\right) := \lim_n \mathfrak{I}^{1}\left(f_n\right), \]
то \(f_n\) будет сходится в \(f\) монотонно снизу в любой точке области определения. Если \(f: (X, \mathcal{F}, \mu ) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримая неотриц. функция (может принимать \(+\infty\)), то мы обязаны положить
\[ \mathfrak{I}^{2}\left(f\right) = \sup\{\mathfrak{I}^{1}\left(s\right): \; 0 \leq s \leq f, \; s \text{ -- простая}\} \]
где функции \((f_n)\) определены выше.
Можно доказать более сильное утверждение:
\[ \mathfrak{I}^{2}\left(f\right) = \int_0^{+\infty} f^*(t) \; dt. \]
Если \(f\) – неотрицательная простая, то \(\mathfrak {I}^{2}\left(f\right) = \mathfrak {I}^{1}\left(f\right)\), т.е. \(\mathfrak {I}^{2}\left(\cdot \right)\) – расширение \(\mathfrak {I}^{1}\left(\cdot \right)\) на более широкий класс функций.
2.3 Шаг 3. Произвольные измеримы функции
На данный момент мы ввели интеграл для неотрицательных измеримых функций. Вернемся к рассмотрению требования линейности @linearity. Заметим, что если \(f\) – измерима, то \(f = f^+ - f^-\), где
\[ \mathfrak{I}^{3}\left(f\right) := \mathfrak{I}^{2}\left(f^+\right) - \mathfrak{I}^{2}\left(f^-\right). \]
\(f^+, f^-\) – неотрицательные измеримые функции, следовательно, если хотя бы одно из чисел \(\mathfrak {I}^{2}_{E}\left(f^+\right), \mathfrak {I}^{2}_{E}\left(f^-\right)\) меньше \(+\infty\), мы обязаны положить
\[ \int_X f(x) d\mu(x), \quad \int f(x) \; \mu(dx), \quad \int_X f(x) \; \mu(dx). \]
Если \(f\) – неотрицательная измеримая, то \(\mathfrak {I}^{3}\left(f\right) = \mathfrak {I}^{2}\left(f\right)\). Таким образом, \(\mathfrak {I}^{3}\left(\cdot \right)\) – расширение функционала \(\mathfrak {I}^{2}\left(\cdot \right)\) на более широкий класс функций, а именно на класс измеримых функций, у которых \(\min (\mathfrak {I}^{2}\left(f^+\right), \mathfrak {I}^{2}\left(f^-\right)) < +\infty\).
Расширять определение указанного функционала можно и дальше, к примеру, ввести его для функций, определенных \(\mu\)-п.в. на \(X\), однако для нашего курса того, что уже построено, достаточно. С этого момента \(\mathfrak {I}^{3}\left(f\right)\) мы будем обозначать \(\int f d\mu\) и называть интегралом Лебега. Возможные альтернативные обозначения:
\[ \int e^{-\left|x\right|} \; d\mu(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\left|n\right|} = - e^{-0} + 2\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n} = -1 + 2\frac{1}{1 - e^{-1}} \]
Повторим еще раз, интеграл Лебега \(\int f d\mu\) для измеримой функции \(f\) существует, если \(\min \left( \int f^+ d\mu , \int f^- d\mu \right) < +\infty\). Функция называется интегрируемой по Лебегу, если ее интеграл Лебега существует и конечен.
Пусть \(f, f_1, f_2, \ldots\) – измеримые функции, заданные на одном пространстве с мерой. Говорят, что \((f_n)\) сходятся к \(f\) в пространстве \(L^p\), \(p \in (0, +\infty )\), если
\[ \[ \int _{X}\left|f_n - f\right|^p \; d\mu \xrightarrow [n \to \infty ]{} 0 \] \]