Свойства интеграла Лебега
Везде в этой главе \((X,\mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой, \(f,g, f_1, f_2, \dots : (X, \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции.
1 Линейность, предельные свойства
Теорема 1 (Значение инт. Лебега не меняется при изменении ф-ии п.в.) Если \(f=g\)\(\mu\)-п.в., то \(\int f d\mu\) существует тогда и только тогда, когда \(\int g d\mu\) существует, и в этом случае \(\int f d\mu = \int g d\mu\).
Теорема 2 (Линейность) .
Если \(c \in \mathbb {R}\) и \(\int f d\mu\) существует, то \(\int cf d\mu\) существует и \(\int cf d\mu = c \int f d\mu\) (если \(c = 0\), то неопределенности вида \(0 \cdot \pm \infty\) надо считать равными \(0\)).
Если \(\int f d\mu , \int g d\mu\) существуют и они не равны бесконечностям разных знаков, то \(\int h d\mu\) должнен существовать и должно выполняться \(\int h d\mu = \int f d\mu + \int g d\mu\), где
\[ h(x) := \begin{cases} f(x)+g(x), & f(x)+g(x) \text{ определено} \\ 0, & \text{в прот. случ.} \end{cases} \]
Теорема 3 (Лебега о монотонной сходимости) Пусть \(0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \dots\) и \(f(x) = \lim_n f_n(x), \; \forall x \in X\). Тогда \[ \int f d\mu = \lim _n \int f_n d\mu . \]
Теорема 4 (лемма Фату) Пусть \(f_1, f_2, \dots\) – неотрицательные. Тогда \[ \int \varliminf _n f_n d\mu \leq \varliminf _n \int f_n d\mu . \]
Теорема 5 (Лебега о мажорируемой сходимости) Пусть \((f_n)\) поточечно сходятся к \(f\) и пусть \(\left|f_n\right| \leq g, \forall n\), где \(g\) интегрируема по Лебегу. Тогда \[ \int f d\mu = \lim _n \int f_n d\mu . \]
Теорема 6 (Неравенство Маркова) Пусть \(f\) интегрируема: \(\left\| f\right\|_{1} := \int \left|f\right| \; d\mu < \infty\). Тогда \[ \mu \left(\left|f\right| \geq t\right) \leq \frac{\left\| f\right\| _{1}}{t} \] где \(\mu \left(\left|f\right| \geq t\right) = \mu \left(\left\{ x \in X \; : \; \left|f(x)\right| \geq t\right\} \right)\).
В частности, если \(\mu = \mathbb {P}\) – это вероятностная мера, а \(\xi\) – это неотрицательная случайная величина, то
\[ \mathbb {P}\left(\xi \geq t\right) \leq \frac{\mathbb {E}\left[\xi \right]}{t} \]
Неравенство Маркова позволяет ограничить “хвост” распределения \(\xi\).
Чуть иначе на неравенство Маркова можно так посмотреть:
\[ F_{\xi }(t) = \mathbb {P}\left(\xi \leq t\right) \geq \mathbb {P}\left(\xi < t\right) = 1 - \mathbb {P}\left(\xi \geq t\right) \geq 1 - \frac{\mathbb {E}\left[\xi \right]}{t} \]
Итого,
\[ 1 \geq F_{\xi }(t) \geq 1 - \frac{\mathbb {E}\left[\xi \right]}{t} \]
Получили границу снизу для функции распределения \(\xi\).
2 Мера, порождаемая плотностью
Определение 1 Пусть \(E \in \mathcal{F}\) – произвольное измеримое подмножество \(X\). Тогда положим \[ \int _{E} f d\mu := \int _{X} f \cdot \; \mathbb {1}_{E} d\mu . \]
Теорема 7 (Интеграл по фиксированной функции порождает новую меру) Пусть \(f: X \to [0,+\infty ]\) – фиксированная неотрицательная измеримая функция. Тогда отображение \[ \nu _f(E) := \int _E f d\mu , \quad E \in \mathcal{F} \] является мерой на \((X, \mathcal{F})\).
Функция \(f\) называется плотностью меры \(\nu_f\) относительно меры \(\mu\). Также используется обозначение \(f = \frac{d \nu_f}{d \mu }\).
Следствие 1 Пусть \(A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}\) – дизъюнктный набор измеримых подмножеств \(X\), пусть \(A := \bigsqcup_{n=1}^\infty A_n\) и пусть \(f \geq 0\) – произвольная неотрицательная измеримая. Тогда \[ \int _A f d\mu = \sum _{n=1}^\infty \int _{A_n} f d\mu \]
3 Интеграл Лебера в \(\mathbb {R}^{k}\)
До этого момента мы рассматривали интеграл Лебега для измеримой функции, заданной на произвольном измеримом пространстве \((X, \mathcal{F})\) с мерой \(\mu\). В этом параграфе речь пойдет об интеграле Лебега для функций в \(\mathbb {R}^{k}\).
3.1 Связь интеграла Римана и интеграла Лебега по мере Лебега в \(\mathbb {R}^{k}\)
Пусть \(I = [\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}] = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_k, b_k] \subset \mathbb {R}^{k}\) – многомерный прямоугольник
Теорема 8 (Собственный интеграл Римана ограниченной функции на отрезке совпадает с интегралом Лебега) Пусть \(f: I \to \mathbb {R}\) – ограниченная функция: существует \(M > 0\), что \(\left|f(x)\right| \leq M\) для всех \(x \in I\). Тогда
\(f\) на \(I\) интегрируема по Риману \(\iff\)\(f\) п.в. непрерывна (по мере Лебега в \(\mathbb {R}^{k}\)) на \(I\);
\(f\) на \(I\) интегрируема по Риману \(\; \Rightarrow \;\) она измерима по Лебегу;
\(f\) на \(I\) интегрируема по Риману \(\; \Rightarrow \;\)\(f\) интегрируема по Лебегу, ее интеграл Римана совпадает с интегралом Лебега по мере Лебега в \(\mathbb {R}^{k}\):
\[ \int _I f(x) dx = \int _I f d\lambda _k \]
Обратите внимание, что в теореме говорится об ограниченной функции на отрезке (на прямоугольнике в общем случае). Т.е. речь идет о собственном интеграле Римана.