Меры со знаком, плотности

1 Меры со знаком

1.1 Введение

Мы хотим понять, какие бывают меры со знаком и как их раскладывать на простые части. Сначала разложим на положительную/отрицательную (Жордан), затем относительно эталонной меры — на сингулярную/абсолютно непрерывную (Лебег), затем для абсолютно непрерывной найдём плотность (Радон-Никодим). В конце применим всё к мерам в \(\mathbb {R}\).

Пусть \((X, \mathcal{F})\) – это измеримое пространство.

Определение 1 Действительной мерой, мерой со знаком или зарядом будем называть функцию \(\nu : \mathcal{F} \to [-\infty , +\infty ]\), такую что

  1. \(\nu (\varnothing ) = 0\);

  2. \(+\infty \not\in \operatorname {Im}\nu\) или \(-\infty \not\in \operatorname {Im}\nu\). Иначе: \(\nu\) не может принимать одновременно значения \(+\infty\) и \(-\infty\). Т.е. если \(\nu\) на каком-то множестве принимает \(+\infty\), то она не принимает значение \(-\infty\) ни на каком другом множестве. И наоборот.

  3. \(\nu\) счетно-аддитивна: если \(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F}\) – последовательность непересекающихся множеств из сигма-алгебры, то

    \[ \nu\left(\bigsqcup_{n=1}^{+\infty}E_n\right) = \sum_{n=1}^{+\infty}\nu\left(E_n\right) \]

Условие 2 нужно, чтобы в аддитивности не возникало неопределенностей вида \(+\infty + (-\infty )\).

Значение слова «мера» разнится в математической литературе. Как правило, «мера» – это счетно-аддитивная функция на сигма-алгебре \(\mu : \mathcal{F} \to [0,+\infty ]\), такая что \(\mu (\varnothing ) = 0\) (это то, как мы <<меру>> определили в самом начале). Однако некоторые авторы используют слово «мера» для обозначения того, что мы только что ввели под названием «действительная мера»; в таком случае они используют выражение «положительная мера» или «неотрицательная мера» для обозначения того, что мы определили как <<меру>>. Чтобы устранить эту неоднозначность, в этой главе мы будем <<меру>> называть «(неотрицательная) мера». (Неотрицательная) мера – это частный случай действительной меры (в наших формулировках).

Как правило, (неотрицательную) меру мы будем обозначать буквой \(\mu\), а действительную меру буквой \(\nu\).

Некоторые авторы используют термин «мера со знаком» вместо «действительной меры»; некоторые авторы не допускают, чтобы действительная мера принимала значение \(+\infty , -\infty\).

Рассмотрим подробнее счетную аддитивность действительной меры.

ExampleПример 1

Пусть \(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F}\) – произвольный попарно непересекающийся набор множеств. Исследуйте сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)\).

Примечание. Обратите внимание, что теперь слагаемые в ряду \(\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)\) могут быть отрицательные.

  • Может ли этот ряд расходиться? (Расходиться в том смысле, что у него есть несколько предельных точек, включая бесконечности.) Нет! Действительно, этот ряд обязан быть равным \(\nu (E) \in [-\infty , +\infty ]\), где \(E =\bigsqcup_{n=1}^{+\infty }E_n\). Т.е. ряд \(\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)\) либо сходится к конечному числу, либо к какой-то из бесконечностей.

  • Допустим \(\sum_{n=1}^{+\infty }\nu (E_n)\) сходится к конечному числу. Может ли он сходиться условно? Тоже нет! Действительно, если \(p: \mathbb {N} \to \mathbb {N}\) – какая-то перестановка натуральных чисел, то \(\bigsqcup_{n=1}^{+\infty }E_n = \bigsqcup_{n=1}^{+\infty }E_{p_n}\). Т.е. нам не важно, в каком порядке объединять множества. По определению счетной аддитивности получаем

    \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \nu\left(E_{n}\right)=\nu\left(\bigsqcup_{n=1}^{+\infty}E_n \right) = \nu\left( \bigsqcup_{n=1}^{+\infty}E_{p_n}\right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \nu\left(E_{p_n}\right) \] Получается, что сумма ряда \(\sum_{n=1}^{+\infty } a_n\) (где \(a_n = \nu \left(E_{p_n}\right)\)) не зависит от перестановки слагаемых в ряду. По теореме Римана ряд из действительных чисел сходится (к конечному числу) и его сумма не зависит от перестановки слагаемых (такая сходимость называется безусловной) тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно, т.е. сходится ряд из его модулей.

Сформулируем итоговую лемму

Лемма 1 Пусть \(\nu\) – действительная мера на \((X,\mathcal{F})\), пусть \(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F}\) – попарно непересекающийся набор множеств. Тогда ряд \(\sum_{n=1}^{+\infty } \nu (E_n)\) сходится безусловно (к конечному числу или к какой-то из бесконечностей).

Далее, если он сходится к конечному числу, то он сходится абсолютно.

Как можно получить действительные меры? Через интеграл Лебега по какой-то (неотрицательной) мере.

Лемма 2 Пусть \(\mu\) – это (неотрицательная) мера на \((X,\mathcal{F})\). Пусть \(h: X \to \overline{\mathbb {R}}\) – это измеримая функция. Обозначим \[ \nu_h(E) := \int_{E} h \; d\mu \] (если интеграл существует).

  • Если \(h\) неотрицательная (т.е. \(\operatorname {Im}h \subset [0, +\infty ]\)), то \(\nu_h\) – это (неотрицательная) мера;

  • Если хоть одна из функций \(h^+\), \(h^-\) интегрируема, то \(\nu_h\) – это действительная мера.

Для \(\nu_h\) еще используется такое обозначение: \(\nu_h = h \; d\mu\), чтобы подчеркнуть роль \(\mu\).

В каком случае \(\nu = \nu_h\) для какой-то функции \(h\)? См. теорему Радона-Никодима ниже.

1.2 Теорема Хана и теорема Жордана: раскладываем действительную меру на положительную и отрицательную части

Теорема 1 (разложение Хана, б/д) Пусть \(\nu\) – действительная мера на \((X, \mathcal{F})\). Тогда существует разбиение \(X\) на \(X^+, X^- \in \mathcal{F}\) (т.е. \(X = X^+ \sqcup X^-\)), что

  • \(\nu (E) \geq 0\) для всех \(E \in \mathcal{F}\), \(E \subset X^{+}\)

  • \(\nu (E) \leq 0\) для всех \(E \in \mathcal{F}\), \(E \subset X^{-}\)

Действительные или (неотрицательные) меры \(\nu_1\), \(\nu_2\) называют сингулярными, если они “живут” на непересекающихся множествах, т.е. существует разбиение \(X\) на \(X_1, X_2 \in \mathcal{F}\) (\(X = X_1 \sqcup X_2\)), что

\[ \nu_1 (E) = \nu_1\left(E \cap X_1\right), \quad \nu_2(E) = \nu_{2}\left(E \cap X_2\right) \qquad \text{для всех } E\in \mathcal{F} \]

ExampleПример 2

Покажите, что \(\lambda\) и \(\#_{\mathbb {Z}}\) (считающая мера на \(\mathbb {Z}\)) являются сингулярными (неотрицательными) мерами на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\).

Пусть \(X_1 = \mathbb {R} \setminus \left\{ \mathbb {Z}\right\}\), \(X_2 = \mathbb {Z}\).

Заметим, что если в теореме Хана определить

\[ \nu^+(E) := \nu(E \cap X^+), \qquad \nu^{-}(E) := -\nu(E \cap X^-), \]

то \(\nu^+\) и \(\nu^-\) как раз будут сингулярными (неотрицательными). Причем \(\nu = \nu^+ - \nu^-\). По-сути доказали

Теорема 2 (разложение Жордана) Любая действительная мера есть разность двух (неотрицательных) сингулярных мер, хотя бы одна из которых конечна. А именно, если \(\nu\) – действ. мера на \((X, \mathcal{F})\), то существуют (неотрицательные) сингулярные меры \(\nu^+\) и \(\nu^-\), что \(\nu = \nu^+ - \nu^-\).

\(\nu\) может принимать \(+\infty\) или \(-\infty\), но не одновременно. Значит, среди (неотрицательных) мер \(\nu^+\), \(\nu^-\) хотя бы одна будет конечной. Причем они обе конечны (не принимают значение \(+\infty\)) тогда и только тогда, когда \(\nu\) конечно (\(+\infty , -\infty \not\in \operatorname {Im}\nu\)).

(Неотрицательная) мера \(\left|\nu \right| := \nu^+ + \nu^{-}\) называется мерой полной вариации для \(\nu\).

Если \(d\nu = h \; d\mu\) для некоторой измеримой \(h\), то несложно показать, что

\[ d\nu^+ = h^+ \; d\mu, \qquad d\nu^- = h^- \; d\mu, \qquad d\left|\nu\right| = \left|h\right| \; d\mu \]

Т.е.

\[ \nu^+(E) = \int_{E} h^{+} \; d\mu, \qquad \nu^-(E) = \int_{E} h^{-} \; d\mu, \qquad \left|\nu\right|(E) = \int_{E} \left|h\right| \; d\mu \]

для всех \(E \in \mathcal{F}\).

ProblemЗадача 1

На измеримом пространстве \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) пусть

  • \(d\nu_1 = f \; d\lambda\), где \(f_1(x) = x^2 - 4\)

  • \(\nu_2 = \sum_{k=-3}^{3}(-1)^k\cdot k \cdot \delta_{k}\) Пусть \(\nu = \nu_1 + \nu_2\).

  1. Найдите разложение Жордана \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) для действительной меры \(\nu\).

  2. Найдите интеграл \(\int_{[-2,0]} f \; d\left|\nu \right|\), где \(f(x) = x^2\).

ProblemЗадача 2

На измеримом пространстве \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) пусть

  • \(d\nu_1 = h_1\; d\lambda\), где \(h_1(x) = x^2 - 4\)

  • \(d\nu_2 = h_2 \; d\lambda\), где \(h_2(x) = (x-2)^2 - 5\) Пусть \(\nu = \nu_1 + \nu_2\).

  1. Найдите разложение Жордана \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) для действительной меры \(\nu\).

  2. Найдите интеграл \(\int_{[-2,0]} f \; d\left|\nu \right|\), где \(f(x) = x^2\).

2 Меры, получаемые через интеграл от другой (неотрицательной) меры

2.1 Теорема Радона-Никодима: характеризация мер, получаемых через интеграл от другой меры

\(\mu\) будет всюду (неотрицательной) мерой, а \(\nu\) сначала будет (неотрицательной), затем действительной мерой. Обе они будут \(\sigma\)-конечными. Без условия сигма-конечности возникают различные патологические контрпримеры к теореме ниже.

2.1.1 Случай (неотрицательной) меры \(\nu\)

Напомним, что если \((X,\mathcal{F}, \mu )\) – пространство с (неотрицательной) мерой и \(h: X \to [0,+\infty ]\) – это неотрицательная функция, то

\[ \nu_h(E) := \int_E h \; d\mu \]

также будет (неотрицательной) мерой. Причем если \(\mu (E) = 0\), то \(\nu_h(E) = 0\). Это свойство называются абсолютной непрерывностью. А именно, если \(\mu\), \(\nu\) – две (неотрицательные) меры, то говорят, что \(\nu\)абсолютно непрерывна относительно \(\mu\) или \(\nu\) доминируется \(\mu\) и пишут \(\nu \ll \mu\), если \(\nu (E) = 0\) для всех множеств \(\mu\)-меры ноль.

Увяжем это определение с более привычной конструкцией через \(\varepsilon\)-\(\delta\).

Лемма 3 (Эквивалентное условие абсолютной непрерывности для конечной (неотрицательной) меры) Пусть \(\nu\) – конечная (неотрицательная) мера, \(\mu\) – произвольная (неотрицательная) мера. Следующие условия эквивалентны:

  1. \(\nu \ll \mu\)

  2. Для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta > 0\), такое что \(\nu (E) < \varepsilon\) для всех измеримых \(E\), таких что \(\mu (E) < \delta\).

Оказывается, что в случае сигма-конечности абсолютная непрерывность эквивалентна представлению меры через интеграл!

Теорема 3 (Радон–Никодим, б/д) Пусть \(\mu\), \(\nu\) — (неотрицательные) \(\sigma\)-конечные меры на \((X,\mathcal F)\). Следующие условия эквивалентны:

  1. \(\nu \ll \mu\);

  2. \(d\nu = h \; d\mu\) для некоторой неотрицательной измеримой \(h: X \to [0,+\infty ]\)

Более того, \(h\) единственна с точностью до совпадения \(\mu\)-п.в. Т.е. если \(g\) – другая функция, такая что \(\nu (E) = \int_E g \; d\mu\), то \(h = g\)\(\mu\)-п.в.

Обозначение: \(h = \frac{d\nu }{d\mu }\). \(h\) называют производной Радона-Никодима.

Лемма 4 (Свойства производной Радона-Никодима) Пусть \(\mu\) – (неотрицательная) \(\sigma\)-конечная мера, пусть \(\nu_1\), \(\nu_2\) – это также (неотрицательные) \(\sigma\)-конечные меры. Тогда

  • если \(\nu_1 \ll \mu\) и \(\nu_2 \ll \mu\), то

    \[ \displaystyle \frac{d(\nu_1 + \nu_2)}{d\mu} = \frac{d\nu_1}{d\mu} + \frac{d\nu_2}{d\mu} \qquad \mu\text{-п.в.} \]

  • если \(\nu_1 \ll \nu_2 \ll \mu\), то

    \[ \displaystyle \frac{d\nu_1}{d\mu} = \frac{d\nu_1}{d\nu_2} \cdot \frac{d\nu_2}{d\mu} \qquad \mu\text{-п.в.} \]

  • если \(\nu_1 \ll \nu_2\) и \(\nu_2 \ll \nu_1\), то

    \[ \frac{d\nu_2}{d\nu_1} = \left(\frac{d\nu_1}{d\nu_2}\right)^{-1} \qquad \nu_1\text{-п.в.} \]

ProblemЗадача 3

Рассмотрим на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) различные (неотрицательные) меры:

  1. \(\lambda\) (мера Лебега на \(\mathbb {R}\));

  2. \(\frac{1}{3} \cdot \lambda_{[-1,1]}\) (мера Лебега на \([-1,1]\) с коэффициентом);

  3. \(f \; d\lambda\), где \(f(x) = x^{2}I_{[0,1]}(x)\);

  4. \(f \; d\lambda + 3\delta_{7}\), где \(f(x) = x^{2}I_{[0,1]}(x)\);

  5. \(f \; d\lambda\), где \(f(x) = e^{-3\left|x\right|}I_{[-1,1]}(x)\);

  6. \(f \; d\lambda\), где \(f(x) = \frac{1}{x} \cdot I_{(0,1]}(x)\);

  7. \(\#_{\mathbb {N}}\);

  8. \(\#_{\mathbb {Z}}\);

  9. \(\#_{\mathbb {Q}}\);

  10. \(\delta_0\);

  11. \(7\cdot \delta_{-3} + \frac{1}{3}\delta_{2}\); Проверьте, что они являются сигма-конечными. Далее, переберите все возможные пары \(\nu , \mu\) из них и проверьте, будет ли выполнено \(\nu \perp \mu\) или \(\nu \ll \mu\). Если будет выполнено последнее, найдите \(\frac{d\nu }{d\mu }\).

2.1.2 Случай действительной меры \(\nu\)

Напомним, что если \((X,\mathcal{F}, \mu )\) – пространство с (неотрицательной) мерой и \(h: X \to \mathbb {R}\) – это такая функция что хотя бы кто-то из \(h^+\) и \(h^-\) интегрируем, то

\[ \nu_h(E) := \int_E h \; d\mu \]

будет действительной мерой. Причем если \(\mu (E) = 0\), то \(\left|\nu_h\right|(E) = \int_E \left|h\right| \; d\mu = 0\).

Если \(\mu\) – неотрицательная мера, \(\nu\) – действительная мера, то говорят, что \(\nu\)абсолютно непрерывна относительно \(\mu\) или \(\nu\) доминируется \(\mu\) и пишут \(\nu \ll \mu\), если \(\left|\nu \right| \ll \mu\) в смысле определения выше, т.е. если \(\left|\nu \right|(E) = 0\) для всех множеств \(\mu\)-меры ноль. Несложно показать, что это эквивалентно \(\nu^+ \ll \mu\) и \(\nu^- \ll \mu\).

Итого, кратко

\[ \nu \ll \mu \quad \stackrel{\text{def}}{\iff} \quad \left|\nu\right| \ll \mu \quad \iff \quad \begin{cases} \nu^+ \ll \mu \\ \nu^- \ll \mu \end{cases} \]

Оказывается, в случае сигма-конечности абсолютная непрерывность опять эквивалентна представлению меры через интеграл! Действительно, если \(\nu \ll \mu\), то \(\nu^+ \ll \mu\) и \(\nu^- \ll \mu\), а значит по теореме Радона-Никодима для предыдущего случая есть плотности \(h^+\), \(h^-\).

Теорема 4 (Радон-Никодим) Пусть \(\mu\) – \(\sigma\)-конечная (неотрицательная) мера, \(\nu\) – действительная \(\sigma\)-конечная мера, \(\nu \ll \mu\). Тогда найдется измеримая функция \(h: X \to \overline{\mathbb {R}}\), такая что \[ \nu(E) = \int_E h \; d\mu, \qquad \forall E \in \mathcal{F} \]

2.2 Теорема Лебега: раскладываем меру на абсолютно непрерывную и сингулярную части

\(\mu\) будет всюду (неотрицательной) мерой, а \(\nu\) сначала будет (неотрицательной), затем действительной мерой. Обе они будут \(\sigma\)-конечными.

2.2.1 Случай (неотрицательной) меры \(\nu\)

Теорема 5 (Лебег) Пусть \(\mu\) – (неотрицательная) \(\sigma\)-конечная мера на \((X, \mathcal{F})\). Тогда для любой (неотрицательной) \(\sigma\)-конечной меры \(\nu\) на \((X, \mathcal{F})\) существуют единственные (неотрицательные) меры \(\nu_{a}\), \(\nu_{s}\), такие что \(\nu = \nu_{a} + \nu_{s}\) и \[ \nu_a \ll \mu, \qquad \nu_s \perp \mu \]

2.2.2 Случай действительной меры \(\nu\)

Пусть теперь \(\nu\) – действительная \(\sigma\)-конечная мера. Пусть \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) – это ее разложение Жордана, причем состоящее из \(\sigma\)-конечных (неотр.) мер. Каждую из \(\nu^+\) и \(\nu^-\) по теореме Лебега выше можно разложить на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие по \(\mu\):

\[ \nu^+ = \nu^+_a + \nu^+_{s}, \qquad \nu^- = \nu^-_a + \nu^-_{s} \]

Пусть

\[ \nu_a := \nu^+_a - \nu^-_a, \qquad \nu_{s} := \nu^+_{s} - \nu^-_{s} \]

Что можно сказать про действительные меры \(\nu_a\), \(\nu_{s}\)?

  • \(\left|\nu_a\right| = \nu^+_a + \nu^-_a \ll \mu\). Т.е. действительная мера \(\nu_a\) абс. непрерывна относительно (неотрицательной) меры \(\mu\).

  • \(\nu^+_{s}\), \(\nu^-_{s}\) – это (неотрицательные) меры, сингулярные относительно \(\mu\). Т.е. Существуют \(A_1, B_1, A_2, B_2\in \mathcal{F}\): \(X = A_1 \sqcup B_1 = A_2 \sqcup B_2\), \(\nu^+_{s}\) “живет” на \(A_1\) (в том смысле, что \(\nu^+_{s}(E) = \nu^+_{s}(E \cap A_1)\) для любого \(E \in \mathcal{F}\)), \(\nu^-_{s}\) “живет” на \(A_2\), \(\mu\) “живет” на \(B_1\) и \(B_2\). Значит \(\mu\) “живет” на \(B_1 \cap B_2\), \(\nu_{s} = \nu^+_{s} - \nu^-_{s}\) “живет” на \(A_1 \cup A_2\). При этом

    \[ X = \left(A_1 \cup A_2\right) \sqcup \left(B_1 \cap B_2\right) \] Итого, \(\nu_{s}\) и \(\mu\) сингулярны.

Теорема 6 (Лебег) Пусть \(\mu\) – (неотрицательная) \(\sigma\)-конечная мера на \((X, \mathcal{F})\). Тогда для любой действительной \(\sigma\)-конечной меры \(\nu\) на \((X, \mathcal{F})\) существуют единственные действительные меры \(\nu_{a}\), \(\nu_{s}\), такие что \(\nu = \nu_{a} + \nu_{s}\) и \[ \nu_a \ll \mu, \qquad \nu_s \perp \mu \]

3 Плотность по мере Лебега в \(\mathbb {R}\)

До этого момента мы рассматривали абстрактное измеримое пространство \((X, \mathcal{F})\) и (неотрицательную) меру \(\mu\) на нем. Рассмотрим теперь частный случай: \((X, \mathcal{F}) = (\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\), \(\mu = \lambda\) – мера Лебега. Мера Лебега для нас будет “базовой” мерой в данном разделе. Слова “абсолютно-непрерывная мера \(\mu\)” следует понимать как “абсолютно-непрерывная мера \(\mu\) относительно меры Лебега \(\lambda\)”, если не оговорено иного.

В качестве второй (неотрицательной) меры будем рассматривать произвольную меру Лебега-Стилтьеса \(\mu_F\).

3.1 Мера Лебега-Стилтьеса – это локально конечная мера

Напомним, что мера Лебега-Стилтьеса определяется для произвольной неубывающей непрерывной справа функции \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) через \(\mu_{F}((a,b]) = F(b) - F(a)\), \(-\infty < a < b < +\infty\). Заметим, что мера Лебега-Стилтьеса сигма-конечна:

\[ \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n], \quad \text{ причем } \quad \mu_{F}((-n,n]) = F(n) - F(-n) < +\infty \]

Более того, мера Лебега-Стилтьеса конечна на любом ограниченном интервале \((a,b)\). Это свойство на самом деле сильнее сигма-конечности в \(\mathbb {R}\) и эквивалентно тому, что любая точка \(x \in \mathbb {R}\) имеет окрестность конечной меры (это т.н. локальная конечность).

ProblemЗадача 4

Пусть \(\mu\) – (неотрицательная) мера на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\).

  1. Докажите что \(\mu\) конечна на любом ограниченном интервале \(\iff\)\(\mu\) локально конечна;

  2. Докажите, что из локальной конечности следует \(\sigma\)-конечность \(\mu\);

  3. Покажите, что в обратную сторону предыдущий пункт не верен: приведите пример (неотрицательной) \(\sigma\)-конечной меры \(\mu\), не являющейся локально конечной.

Итак, любая мера Лебега-Стилтьеса конечна на ограниченных интервалах. Верно ли это в обратную сторону? Да! Несложно показать, что если \(\mu\) (неотрицательная) мера, конечная на ограниченных интервалах, то положив

\[ F(x) := \begin{cases} \mu((0, x]), & 0 < x \\ -\mu((x, 0]), & x \leq 0 \end{cases} \]

мы получим неубывающую непрерывную справа конечную функцию, причем \(\mu = \mu_F\). Сформулируем результат.

Лемма 5 Пусть \(\mu\) – (неотрицательная) мера на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\). Следующие условия эквивалентны:

  1. \(\mu\) – это мера Лебега-Стилтьеса (для какой-то неубывающей непрерывной справа \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\))

  2. \(\mu\) конечна на ограниченных интервалах.

  3. \(\mu\) локально конечна.

Заметим, что в случае если \(\mu\) – конечная мера (например, вероятностная мера), то вместо \(F\), определенной выше, можно взять

\[ F(x) = \mu((-\infty, x]) \]

т.е. функцию распределения.

3.2 Абсолютно непрерывная мера Лебега-Стилтьеса

Рассмотрим теперь не просто меру Лебега-Стилтьса \(\mu = \mu_F\), а абс. непрерывную (отн. меры Лебега) меру Лебега-Стилтьса:

\[ \mu \ll \lambda \]

По теореме Радона-Никодима мы знаем, что абсолютная непрерывность эквивалентна наличию плотности \(f\) отн. \(\lambda\) (во всяком случае когда вторая мера \(\sigma\)-конечна, а \(\lambda\)\(\sigma\)-конечна):

\[ \exists f : X \to [0,+\infty] \text{ измеримая, т.ч. } \quad \mu(E) = \int_{E}f \; d\lambda \qquad \forall E \in \mathcal{F} \]

Краткая запись: \(d\mu = f\; d\lambda\).

Мера \(\mu =\mu_F\) конечна на любом (ограниченном) интервале (см. предыдущий параграф), значит и на любом отрезке:

\[ \mu([a,b]) \quad = \quad \int_{[a,b]} f \; d\mu \quad < \quad \infty, \qquad \forall a,b: \; a< b \]

Иначе говоря, \(f\) интегрируема на любом отрезке: \(\int_{[a,b]} \left|f\right| \; d\lambda = \int_{[a,b]} f \; d\lambda < \infty\) для любого отрезка \([a,b]\). Это условие называется локальной интегрируемостью функции \(f\).

В частности, под описанные условия попадают все абсолютно непрерывные (относительно меры Лебега) вероятностные меры (распределения): нормальное распределение (из ЦПТ), экспоненциальное распределение, распределение Парето, и т.д. Так что информация из этого параграфа имеет большое прикладное значение.

Мы знаем, что мера Лебега-Стилтьеса \(\mu =\mu_F\) полностью характеризуется \(F\). В частности, вероятностные меры (распределения) полностью характеризуются функцией распределения \(F\). Значит, условие абсолютной непрерывности \(\mu_F\) как-то должно переноситься на \(F\). \(F\) будет непрерывной? Да! На самом деле верно более сильное утверждение: \(F\) будет локально равномерно непрерывной, т.е. равномерно непрерывной на любом отрезке \([a,b]\).

ExampleПример 3

Покажите, что \(F\) локально равномерно непрерывна.

Действительно, на \([a,b]\) мера \(\mu_F\) будет конечной, а значит, по лемме Лемма 3, если \(\varepsilon > 0\) – произвольное фиксированное, то найдется такое \(\delta > 0\), что для всех \(a \leq x < y \leq b\), таких что \(\left|y - x\right| = \lambda ([x, y]) < \delta\) выполнено \[ \left|F(y) - F(x)\right| = F(y) - F(x) = \mu_F([x,y]) < \varepsilon \]

Получили довольно сильное ограничение на \(F\), локальную равномерную непрерывность. Это хорошо. Однако будет ли этого достаточно? Т.е. достаточно ли того, что \(F\) локально равномерно непрерывна, чтобы у \(\mu_F\) была плотность? На самом деле нет!

ExampleПример 4

Приведите пример \(F: \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) – неубывающей, непрерывной справа локально равномерно непрерывной функции, такой что \(\mu_F\) не абсолютно непрерывна, т.е. не обладает плотностью относительно меры Лебега.

Пусть \(F\) – это лестница Кантора. За пределами отрезка \([0,1]\) она константна. Значит она равномерно непрерывна на любом отрезке за пределами \([0,1]\).

Что на \([0,1]\) (или на любом подотрезке из \([0,1]\))? Она там непрерывна, значит она равномерно непрерывна, поскольку \([0,1]\) – компакт.

Итого лестница Кантора \(F\) локально равномерно непрерывна.

Но будет ли \(\mu_F\) абсолютно непрерывной? Нет! Действительно, рассмотрим множество Кантора \(C\). \(\lambda (C) = 0\), \(\mu_F(C) = 1\). Это нарушает абсолютную непрерывность.

Нам нужна более сильная непрерывность на отрезке, чем равномерная непрерывность.

3.3 Абсолютно непрерывная функция

Заметим, что в равномерной непрерывности на \([a,b]\) выше можно было брать не \(2\) точки \(x,y\), а сколь угодно много последовательных пар таких точек. А именно, для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такое \(\delta > 0\), что для любого \(N \in \mathbb {N}\) и для любых

\[ a \leq x_1 < y_1 \leq x_2 < y_2 \leq \ldots \leq x_{N} < y_{N} \leq b, \qquad \text{ таких что } \qquad \sum_{k=1}^{N}(y_k - x_k) < \delta \]

будет выполнено

\[ \sum_{k=1}^N \left|F(y_k) - F(x_k)\right| < \varepsilon \]

Функция, удовлетворяющая таким условиям, называется абсолютно непрерывной на отрезке \([a,b]\). Иначе говоря, абсолютно непрерывная функция не колеблется на множестве меры нуль.

Абсолютная непрерывность сильнее равномерной непрерывности на отрезке \([a,b]\). Причем строго сильнее.

ProblemЗадача 5

Покажите, что лестница Кантора является равномерно непрерывной, но не является абсолютно непрерывной функцией на \([0,1]\).

У нас теперь 2 понятия абсолютной непрерывности: для мер и для функций. Оказывается, это нужное нам условие! Т.е. оно эквивалентно абсолютной непрерывности локально конечной меры \(\mu_F\) (строгое утверждение см. ниже).

3.4 Свойства абсолютно непрерывных функций

Как легко определить, является ли функция абсолютно непрерывной на отрезке?

Лемма 6 Пусть \(F\) – функция.

  • Если \(F\) непрерывно дифференцируема на \([a,b]\) (в концах отрезка надо брать односторонние производные), то она абсолютно непрерывна.

  • Если \(F\) абсолютно непрерывна на \([a,b]\) и \([b,c]\), где \(a < b < c\), то она абсолютно непрерывна и на \([a,c]\).

Таким образом, если \(F\) непрерывна (в обычном смысле) и кусочно непрерывно дифференцируема (т.е. непрерывно дифференцируема везде, кроме конечного числа точек) на \(\mathbb {R}\), то она локально абсолютно непрерывна.

Следующая теорема в некоторых источниках называется основной теоремой интегрирования по Лебегу.

Теорема 7 Пусть \(F: [a,b] \to \mathbb {R}\) – произвольная функция (не обязательно возрастающая). Следующие условия эквивалентны:

  1. \(F\) абсолютно непрерывна на \([a,b]\).

  2. \(F\) дифференцируема \(\lambda\)-п.в., причем для любого \(c \in [a,b]\) выполнено

    \[ F(x) = F(c) + \int_{[c,x]} F' \; d\lambda \]

  3. существует такая функция \(f: [a,b] \to \mathbb {R}\) и \(c \in [a,b]\), что

    \[ F(x) = F(c) + \int_{[c,x]} f \; d\lambda \]

Если \(c > x\), то интеграл \(\int_{[c,x]}\) следует понимать как интеграл \(-\int_{[x,c]}\).

Соответственно, если хотя бы одно из условий выполнено, то оставшиеся условия тоже выполнены, и в этом случае \(F' = f\) п.в. по мере Лебега.

3.5 Абсолютная непрерывность мер VS абсолютная непрерывность функций

Сформулируем кратко то, что мы уже обсудили выше.

Теорема 8 Пусть \(\lambda\) – мера Лебега на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\), \(\mu\) – другая мера. Следующие условия эквивалентны:

  1. \(\mu \ll \lambda\), причем \(\mu\) локально конечна;

  2. \(\exists f: \mathbb {R} \to [0,+\infty ]\) – локально интегрируемая функция, такая что \(d\mu = f \; d\lambda\);

  3. \(\mu\) – это мера Лебега-Стилтьеса для некоторой (непрерывной справа, неубывающей) функции \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\), причем \(F\) локально (т.е. на любом отрезке) абсолютно непрерывна.

Соответственно, если хотя бы одно из 3-х условий выполнено, то выполнены и остальные. Причем \(f\) – это п.в. производная Радона-Никодима (плотность) \(\frac{d\mu }{d\lambda }\). По \(F\) можно восстановить \(f\): \(F' = f\)\(\lambda\)-п.в. В обратную сторону, по \(f\) можно восстановить \(F\): \(F(x) = \int_{[0,x]} f \; d\lambda + C\), где \(C \in \mathbb {R}\) – произвольная константа.

3.6 Практика

Итак, к чему мы пришли? Какой в этой теории практический смысл? У нас теперь, например, есть возможность определять по функции распределения будет ли случайная величина абсолютно непрерывной. Более того, мы можем находить плотность: оказывается, достаточно просто продифференцировать функцию распределения.

ExampleПример 5

Пусть случайная величина \(X\) имеет следующую функцию распределения: \[ F_a(x)= \begin{cases} \frac{2}{10}e^{x+2}, & -\infty < x< -2 \\ 0.2, & -2 \leq x < -1 \\ \frac{1}{10}x^3 + \frac{3}{10}, & -1 \leq x < \sqrt[3]{2} \\ 0.5, & \sqrt[3]{2} \leq x < 5 \\ 0.6 - \frac{1}{2x}, & 5 \leq x < +\infty \end{cases} \]

Рисунок 1: Функция распределения

Обозначим \(\mu_F = \mathbf{P}_X\) распределение этой случайной величины.

  1. Разложите \(\mu_F\) на абсолютно непрерывную \(\mu_a\) и сингулярную \(\mu_s\) части по мере Лебега;

  2. Для абс. непрерывной части \(\mu_a\) найдите плотность (производную Радона-Никодима) \(\frac{d\mu_a}{d\lambda }\);

  3. Будет ли сингулярная (отн. меры Лебега) часть \(\mu_s\) абсолютно непрерывной относительно считающей меры \(\#_{\mathbb {N}}\) на натуральных числах? А относительно \(\#_{\mathbb {Z}}\) на целых числах? Если будет – найдите производную Радона-Никодима.

  4. Найдите матожидание \(\mathbb {E}\left[\sqrt{\left|X+2\right|}\right]\).

Нам нужно выделить локально абсолютно непрерывную составляющую из функции \(F\). Убираем все сингулярные фрагменты из \(F\). Заметим, что функция \(F_a\), определенная ниже, будет непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируемой на \(\mathbb {R}\), значит локально абсолютно непрерывной.

\[ F_{s}(x)= \displaystyle\begin{cases} 0, & -\infty < x< -2 \\ \frac{1}{10}c(x+2) + \frac{1}{10}, & -2 \leq x < -1 \\ 0.3, & -1 \leq x < \sqrt[3]{2} \\ 0.35, & \sqrt[3]{2} \leq x < 5 \\ 0.4, & 5 \leq x < +\infty \end{cases} \]

При этом \(F_{s} := F - F_{a}\) будет выглядеть так:

\[ \frac{d\mu_a}{d\lambda}(x) = F'_a(x)= \displaystyle\begin{cases} \frac{2}{10}e^{x+2}, & -\infty < x< -2 \\ 0, & -2 < x < -1 \\ \frac{3}{10}x^2, & -1 < x < \sqrt[3]{2} \\ 0, & \sqrt[3]{2} < x < 5 \\ \frac{1}{2x^2}, & 5 < x < +\infty \\ \text{не опр.}, & x \in \left\{-2, -1, \sqrt[3]{2}, 5\right\} \end{cases} \]

Заметим, что \(F_s\) будет порождать меру Лебега-Стилтьеса, у которой носитель – это множество \(\left\{ -2, 1, \sqrt[3]{2}, 5\right\} \cup (C-2)\), где \(C-2\) – это множество Кантора, сдвинутое вправо на \(2\). Этот носитель имеет меру Лебега \(0\). Значит, эта мера сингулярна относительно меры Лебега.

Итого, абсолютно непрерывная составляющая – это мера Лебега-Стилтьеса, порождаемая \(F_{a}\) (\(\mu_{a} := \mu_{F_{a}}\)), а сингулярная составляющая – это \(\mu_{s} := \mu_{F_{s}}\).

\(F_{a}\) абсолютно непрерывна, значит, по основной теореме, она п.в. дифференцируема и ее производная – это и есть плотность (отн. меры Лебега). Имеем

\[ \mathbb{E}\left[\sqrt{\left|X+2\right|}\right] = \int_{\Omega} \sqrt{\left|X(\omega) + 2\right|} \; d\mathbb{P}(\omega) \]

В точках \(\left\{ -2, -1, \sqrt[3]{2}, 5\right\}\) доопределить \(f_a(x) = \frac{d\mu_a}{d\lambda }(x)\) можно как угодно. Например, нулями.

Рассмотрим множество \(A = \left(C-2\right) \; \cap \; (-2, -1)\), т.е. множество Кантора, смещенное на \(2\) влево, без точек \(-2, -1\). Заметим, что \(\mu_{s}(A) = 0.1\), при этом \(\#_{\mathbb {N}}(A) = 0\) и \(\#_{\mathbb {Z}}(A) = 0\). Значит, \(\mu_{s}\) не является абсолютно непрерывной относительно считающей меры на \(\mathbb {Z}\) или на \(\mathbb {N}\).

По определению

\[ \mathbb{E}\left[\sqrt{\left|X+2\right|}\right] = \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\left|x+2\right|} \; d\mathbf{P}_{X}(x) \] Используем замену переменных в интеграле Лебега: \(X(\omega ) = x\). Тогда \(\omega = X^{-1}(x)\), \(\mathbb {P}(\omega ) = \mathbb {P}(X^{-1}(x)) = \mathbf{P}_{X}(x)\). Значит,

\[ \begin{align} \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\left|x + 2\right|} \; d\mu_{a} &= \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\left|x + 2\right|} \cdot f_a(x) \; d\lambda =\\ &= \int_{-\infty}^{-2}\sqrt{\left|x+2\right|} \cdot \frac{2}{10}e^{x+2} \; dx + \int_{-1}^{\sqrt[3]{2}}\sqrt{x+2} \cdot \frac{3}{10}x^2 \; dx + \int_{5}^{+\infty} \sqrt{x+2} \cdot \frac{1}{2x^2} \; dx = \\ &= \frac{2}{10}\Gamma(3/2) +\left[ \frac{3}{35}u^{7/2} -\frac{12}{25}u^{5/2} +\frac{4}{5}u^{3/2} \right]_{u=1}^{\,u=2+2^{1/3}} +\frac{\sqrt{7}}{10} -\frac{1}{4\sqrt{2}} \ln\!\left(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\right). \approx \\ & \approx 1.107 \end{align} \] Мы разложили \(\mathbf{P}_{X}\) в сумму \(\mu_{a} + \mu_{s}\). Найдем по-отдельности интегралы по каждой из мер.

  • \(\mu_{a}\) имеет плотность \(f_a\) по мере Лебега. Значит,

    \[ \mu_{s} = 0.1 \cdot \delta_{-2} + 0.1\cdot\mu_{C-2} + 0.1 \cdot \delta_{-1} + 0.05 \cdot \delta_{\sqrt[3]{2}} + 0.05 \cdot \delta_{5} \] Мы опускаем подробный расчет интегралов Римана, поскольку не в этом цель примера; главное – понять общий принцип.

  • Как найти интеграл по \(\mu_{s}\)? Заметим, что

    \[ \begin{align} \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\left|x + 2\right|} \; d\mu_{s} &= 0.1 \cdot \sqrt{\left|-2 + 2\right|} + 0.1 \cdot \sqrt{\left|-1 + 2\right|} + 0.05 \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{2} + 2\right|} +\\ & \qquad+ 0.05 \cdot \sqrt{\left|5 + 2\right|} + 0.1 \cdot \underbrace{\int \sqrt{\left|x+2\right|} \; d\mu_{C-2}}_{=\int_{[0,1]}\sqrt{x} \; d\mu_{c} \approx 0.64} \approx \\ &\approx 0.322 + 0.064 = 0.386 \end{align} \] где \(\mu_{C-2}\) – это смещенная на \(2\) влево мера Кантора. Тогда (вспомним, что интеграл по мере Дирака – это просто значение функции в точке)

    \[ F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}x-1, & x<0,\\[4pt] x^2, & 0 \le x < 1,\\[4pt] 3, & 1 \le x < 2,\\[4pt] 6 - \dfrac{4}{x}, & x \ge 2. \end{cases} \] Мы опускаем подробный расчет интегралов по мере Кантора, поскольку не в этом цель примера; главное – понять общий принцип.

Итого, \(\mathbb {E}\left[\sqrt{\left|X + 2\right|}\right] \approx 1.107 + 0.386 = 1.493\)

ProblemЗадача 6

Рассмотрим функцию \[ \int_{[-2, +\infty]} \sqrt{\left|x\right|} \;\; d\mu_F \]

Рисунок 2: Функция распределения

Она непрерывна справа. Следовательно, по ней можно построить меру Лебега-Стилтьеса \(\mu_F\).

  1. Разложите \(\mu_F\) на абсолютно непрерывную \(\mu_a\) и сингулярную \(\mu_s\) части по мере Лебега;

  2. Для абс. непрерывной части \(\mu_a\) найдите плотность (производную Радона-Никодима) \(\frac{d\mu_a}{d\lambda }\);

  3. Будет ли сингулярная (отн. меры Лебега) часть \(\mu_s\) абсолютно непрерывной относительно считающей меры \(\#_{\mathbb {N}}\) на натуральных числах? А относительно \(\#_{\mathbb {Z}}\) на целых числах? Если будет – найдите производную Радона-Никодима \(\frac{d\mu_s}{d\# }\).

  4. Найдите интеграл

    \[ \[ \int _{[-2, +\infty ]} \sqrt{\left|x\right|} \; \; d\mu _F \] \]