Сходимости по мере и почти всюду

1 «Почти всюду»

Определение 1 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой. Говорят, что некоторое свойство выполнено для почти всех исходов \(\omega\) (еще говорят \(\mu\)-почти всюду, сокращенно \(\mu\)-п.в. или просто п.в.), если мера тех исходов, где свойство не выполнено, нулевая. Например, можно сказать, что почти все числа из \(\mathbb {R}\) (на \(\mathbb {R}\) берем меру Лебега, если не говорится иного) иррациональны, поскольку мера рациональных чисел нулевая.

ProblemЗадача 1

Определим функцию \(f(x)\) на отрезке \([0, 1]\) (с мерой Лебега) следующим образом. Если \(x=\)\(\overline{0, n_{1} n_{2} n_{3} \cdots }\)- десятичная запись числа \(x\), то \(f(x)=\max_{i} n_{i}\). Доказать, что \(f(x)\) измерима и почти всюду постоянна.

ProblemЗадача 2

Пусть \(f : \mathbb {R} \to \overline{\mathbb {R}}\). На области определения берем меру Лебега. Рассмотрим 2 условия:

  1. \(f\) непрерывна почти всюду;

  2. существует такая непрерывная функция \(g: \mathbb {R} \to \overline{\mathbb {R}}\), что \(f=g\) почти всюду. Приведите примеры, показывающие, что ни одно из них не есть следствие другого.

2 2 новые сходимости функций: почти всюду и по мере

В этом разделе вместо расширенной числовой прямой \(\overline{\mathbb {R}}\) функции будут действовать в \(\mathbb {R}\), чтобы избежать неопределенностей вида \(+\infty - (+\infty )\).

Определение 2 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой. Пусть \(f, f_1, f_2, \dots : (\Omega , \mathcal{F}) \to (\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) – набор \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримых функций. Говорят, что \(f_n\) сходится к \(f\)почти всюду по мере \(\mu\) или \(\mu\)-п.в. (или просто п.в., если понятно, о какой мере идет речь), если \[ \mu\left(\left\{\lim f_n \neq f\right\}\right) = \mu\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n \to \infty} f_n(\omega) \neq f(\omega)\right\}\right) = 0 \] Запись “\(\lim_{n \to \infty } f_n(\omega ) \neq f(\omega )\)” означает, что либо предела не существует, либо он существует, но он не равен \(f(\omega )\).

Для корректности определения требуется измеримость \(\left\{ \lim f_n \neq f\right\}\), т.е. чтобы \(\left\{ \omega \in \Omega : \lim_{n \to \infty } f_n(\omega ) \neq f(\omega )\right\} \in \mathcal{F}\). Заметим, что

\[ \begin{align} \left\{\omega \in \Omega: \lim_{n \to \infty} f_n(\omega) = f(\omega)\right\} &= \left\{\omega \in \Omega: \; \forall m \in \mathbb{N} \, \exists N \in \mathbb{N} \, \forall n \geq N \, \hookrightarrow \, \left|f(\omega) - f_{n}(\omega)\right| \leq \frac{1}{m}\right\} = \\ &= \bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty \underbrace{\left\{\omega: \left|f(\omega) - f_n(\omega)\right| \leq \frac{1}{m}\right\}}_{\in \mathcal{F}} \in \mathcal{F} \end{align} \]

Следовательно,

\[ \left\{\lim f_n \neq f\right\} = \left\{\lim f_n = f\right\}^{\complement} \in \mathcal{F} \]

Определение 3 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с мерой. Пусть \(f, f_1, f_2, \dots : (\Omega , \mathcal{F}) \to (\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\) – набор \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримых функций. Говорят, что \(f_n\) сходится к \(f\)по мере \(\mu\), если \[ \mu\left(\omega: \left|f_n(\omega) - f(\omega)\right| > \varepsilon\right) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0, \quad \forall \varepsilon > 0 \]

В теории вероятностей, как вы помните, сходимость по мере называли сходимостью по вероятности. Сходимость по вероятности – это частный случай сходимости по мере, когда мера является вероятностной.

ProblemЗадача 3

Пусть \[ f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2x^2}, \qquad g_n(x) = \frac{n^2x}{n^4 + x^2} \] Сходятся ли указанные ниже функциональные последовательности по мере Лебега или почти везде на промежутке \(I\)?

  1. \(f_n, \quad I = (0,1)\)

  2. \(f_n, \quad I = (1,+\infty )\)

  3. \(g_n, \quad I = (0,1)\)

  4. \(g_n, \quad I = (1,+\infty )\)

ProblemЗадача 4

  1. Пусть \(f_n \to f\) почти всюду, \(f_n \to g\) почти всюду. Докажите, что тогда \(f=g\) почти всюду.

  2. Пусть \(f_n \to f\) по мере, \(f_n \to g\) по мере. Докажите, что тогда \(f=g\) почти всюду.

ProblemЗадача 5

Постройте такую последовательность \((f_n)\) функций на \([0,1]\), что \(f_n \to 0\) по мере (Лебега), но \(\varlimsup_{n \to \infty } f_n = +\infty\) почти всюду и \(\varliminf_{n \to \infty } f_n = -\infty\) почти всюду.

ProblemЗадача 6

Пусть последовательность неотрицательных функций \(\left\{ f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty }\) сходится по мере к \(f(x)\) на \(A\). Доказать, что \(f(x) \geqslant 0\) п.в. на \(A\).

Теорема 1 (Ф. Рис) Если \((f_n)\) сходится к \(f\) по мере, то найдется такая подпоследовательность \((f_{n_k})_{k=1}^\infty\), которая сходится к \(f\) почти всюду.

Теорема 2 (А. Лебег) Если \(\mu \left(\Omega \right) < +\infty\), то из сходимости п.в. следует сходимость по мере.

ProblemЗадача 7

Показать, что вообще говоря из сходимости п.в. не следует сходимость по мере в случае, когда мера \(\sigma\)-конечна.

3 Теорема Егорова

Поточечно сходящаяся последовательность функций не обязательно сходится равномерно. Однако следующий результат утверждает, что поточечно сходящаяся последовательность функций на мерном пространстве с конечной суммарной мерой сходится почти равномерно, в том смысле, что она сходится равномерно, за исключением множества, которое может иметь сколь угодно малую меру.

Теорема 3 (Д. Егоров) Пусть \(\mu \left(\Omega \right) < +\infty\) и пусть \(f_n\) сходится к \(f\) почти всюду. Тогда \(\forall \varepsilon > 0\) найдется такое \(B_\varepsilon \in \mathcal{F}\), что \(f_n \to f\) равномерно на \(B_\varepsilon\) и \(\mu \left(B_\varepsilon^\complement \right) < \varepsilon\).

ProblemЗадача 8

Покажите, что в теореме Егорова нельзя выбросить условие \(\mu \left(\Omega \right) < +\infty\). Покажите, например, что утверждение теоремы Егорова не выполняется для меры Лебега на \(\mathbb {R}\).

4 Измеримые по Лебегу функции

Переход от функций, измеримых по Борелю, к функциям, измеримым по Лебегу, — дело рук дьявола. Даже не думайте об этом!Барри Саймон (лауреат премии Стила Американского математического общества) в своем пятитомнике «Всеобъемлющий курс анализа»

Хотя существуют измеримые по Лебегу множества, не являющиеся борелевскими, вы вряд ли с ними столкнётесь. Аналогично, измеримая по Лебегу функция, не являющаяся измеримой по Борелю, вряд ли возникнет в вашей работе. Отличный способ избежать потенциальной путаницы — рассматривать только функции, измеримые по Борелю.

Следующий результат утверждает, что если мы придерживаемся философии, согласно которой то, что происходит на множестве с внешней мерой \(0\), не имеет большого значения, то мы можем ограничить своё внимание функциями, измеримыми по Борелю.

Теорема 4 (каждая измеримая по Лебегу функция почти измерима по Борелю.) Предположим, что \(f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\) — измеримая по Лебегу функция. Тогда существует измеримая по Борелю функция \(g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\) такая, что \[ \begin{align} f_n(x) = (-1)^k k \;\mathbb{1}_{x \in \left[\frac{n-2^k}{2^{k}}, \frac{n-2^k+1}{2^{k}}\right]} \end{align} \]