Мера Лебега, мера Лебега-Стилтьеса

1 Мера Лебега: применение теоремы о продолжении для построения объема в \(\mathbb {R}^{d}\)

Применим теорему Каратеодори @extension_th о продолжении предмеры в важном частном случае – для строгого построения понятия \(d\)-мерного объема (длины при \(d=1\), площади при \(d=2\)) в \(\mathbb {R}^{d}\).

Определение 1 Пусть \(\mathcal{S} = \{ (a, b]: \; -\infty < a \leq b < +\infty \}\) – полукольцо полуинтервалов на \(\mathbb {R}\). Определим \(\lambda : \mathcal{S} \to [0, +\infty ]\) так: \(\lambda ((a, b]) := b-a\). Мы уже доказали, что эта функция будет предмерой (счетно-аддитивным отображением на полукольце). Тогда \(\lambda^*\) называется внешней мерой Лебега в \(\mathbb {R}\). \(\mathcal{M}(\lambda^*)\) – множества, измеримые по Лебегу.

Мера Лебега – ограничение внешней меры Лебега на \(\mathcal{M}(\lambda^*)\). Строго говоря, оно должно обозначаться \(\lambda^*|_{\mathcal{M}(\lambda^*)}\), но для простоты часто мы будем просто писать \(\lambda\), поскольку \(\lambda^*\) на полукольце полуинтервалов совпадает с изначально введенной мерой \(\lambda\) согласно теореме Каратеодори. Мера Бореля (или мера Лебега-Бореля) – это сужение внешней меры Лебега на \(\sigma (\mathcal{S}) = \mathcal{B}(\mathbb {R})\). Меру Бореля зачастую также называют мерой Лебега и пишут \(\lambda\), когда понятно из контекста, что внешняя мера \(\lambda^*\) рассматривается именно на борелевских множествах. По теореме Каратеодори, \((\mathbb {R}, \mathcal{M}(\lambda^*), \lambda )\) – это полное пространство с мерой.

Мера Лебега на \(\mathbb {R}^{d}, d \geq 2\) вводится аналогично. Обозначается \(\lambda^d\) или просто \(\lambda\). Полуинтервалы в \(\mathbb {R}^{d}: (\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}] = (a_1, b_1] \times \dots \times (a_d, b_d]\), \(\overrightarrow {a},\overrightarrow {b} \in \mathbb {R}^{d}\). Большую часть утверждений и задач на меру Лебега в \(\mathbb {R}\), изложенных ниже, можно обобщить до соотв. утверждений в \(\mathbb {R}^{d}\). Но для простоты мы будем, как правило, их формулировать в \(\mathbb {R}\).

Лемма 1 (Следствие из теор. @extension_th) Всякое борелевское множество измеримо по Лебегу.

Вложение \(\mathcal{B}(\mathbb {R}) \subset \mathcal{M}(\lambda^*)\) строгое, хотя бы потому, что \(\left|\mathcal{B}(\mathbb {R}))\right| = \left|\mathbb {R}\right| < \left|2^{\mathbb {R}}\right| = \left|\mathcal{M}(\lambda^*)\right|\)¹. Неборелевское множество, измеримое по Лебегу, в явном виде мы построим на одном из ближайших семинаров. Вложение \(\mathcal{M}(\lambda^*) \subset 2^{\mathbb {R}}\) тоже строгое, если мы принимаем аксиому выбора. Пример неизмеримого по Лебегу подмножества прямой вам должен быть известен – это множество Витали.

ProblemЗадача 1

Пусть \(A\) – множество тех точек на \([0,1]\), которые не имеют 1 в десятичной записи. Докажите, что \(A \in \mathcal{M}(\lambda^*)\). Найдите \(\lambda (A)\).

2 Свойства меры Лебега

Теорема 1 (Регулярность меры Лебега) Меру Лебега измеримых мн-в можно приблизить сверху мерами открытых множеств и приблизить снизу мерами компактных множеств. Т.е. если \(A \in \mathcal{M}(\lambda_n^*) \subset 2^{\mathbb {R}^{n}}\), то \[ \begin{align} \lambda_n(A) &= \inf\left\{\lambda_n(U): \; U \text{ -- открытое и } A \subset U\right\} \\ \lambda_n(A) &= \sup\left\{\lambda_n(K): \; K \text{ -- компактное и } K \subset A\right\} \end{align} \]

ProblemЗадача 2

Докажите регулярность меры Лебега.

Теорема 2 (Инвариантность к переносам) Если \(a \in \mathbb {R}^{n}, A \subset \mathbb {R}^{n}\), то \(\lambda_n^*(A) = \lambda_n^*(A + a)\) и \(A \in \mathcal{M}(\lambda_n^*) \iff A + a \in \mathcal{M}(\lambda_n^*)\). Также выполнено \(A \in \mathcal{B}(\mathbb {R}^{n}) \iff A + a \in \mathcal{B}(\mathbb {R}^{n})\)

ProblemЗадача 3

Покажите, что для любого числа \(\alpha \in (0,1)\) найдется такое замкнутое нигде не плотное мн-во \(C \subset [0,1]\), что \(\lambda (C) = \alpha\).

Примечание. Эта задача опровергает интуитивно кажущееся верным утверждение, что любое подмн-во \(\mathbb {R}\) положительной меры Лебега содержит в себе интервал положительной длины. Однако см. теор. Теорема 3.

HintПодсказка

Модифицируйте схему построения множества Кантора, на \(n\)-м шаге вырезая \(2^{n-1}\) раз интервалы не фиксированной длины \(\frac{1}{3^n}\), а произвольной \(p^n, 0 < p \leq \frac{1}{3}\)

Следующее утверждение полезно в некоторых задачах.

Теорема 3 Пусть \(A \subset \mathbb {R}^{n}\). Обозначим \(\operatorname {diff}(A) := \left\{ x-y: x \in A, y \in A\right\}\). Тогда если \(A \in \mathcal{M}(\lambda^*)\) и \(\lambda (A) > 0\), то \(\operatorname {diff}(A)\) содержит некоторую окрестность нуля.

Иначе говоря, для любого измеримого множества положительной меры \(A \subset \mathbb {R}^{n}\) найдется такое \(\varepsilon > 0\), что для любого вектора \(z \in U_\varepsilon (0)\) длины \(\left\| z\right\| < \varepsilon\) в \(A\) найдутся элементы \(x,y \in A\), такие что \(x - y = z\).

ProblemЗадача 4

Докажите теорему Теорема 3.

HintПодсказка

Воспользуйтесь регулярностью меры Лебера. Обратите внимание, что наличие \(\varepsilon\)-окрестности ноль-вектора в \(\operatorname {diff}(A)\) эквивалентно тому, что \(A\) и \(A+x\) имеет непустое пересечение для любого \(x\), такого что \(\left\| x\right\| < \varepsilon\).

ProblemЗадача 5

Рассматриваем меру Лебега \(\lambda\) на пространстве

1. \(\mathbb {R}^{n}\), \(n \geq 2\);

2. \(\mathbb {R}\). Верно ли обратное утверждение к теореме о \(\operatorname {diff}\), т.е. верно ли, что если \(A \in \mathcal{M}(\lambda^*)\) и \(\operatorname {diff}(A)\) содержит некоторую окрестность нуля, то \(\lambda (A) > 0\)?

ProblemЗадача 6

Пусть \((X, \mathcal{F}, \mu )\) – пространство с \(\sigma\)-конечной мерой. Докажите, что \(X\) нельзя разбить на несчетное семейство множеств положительной меры. Т.е. не найдется такого семейства \(\left\{ B_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda } \subset \mathcal{F}\), что \(\mu (B_{\lambda }) > 0\) для всех \(\lambda \in \Lambda\), \(B_{\lambda_1} \cap B_{\lambda_2} = \varnothing\) при \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) и \[ X = \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda}B_{\lambda} \]

ProblemЗадача 7

Пусть \(\lambda\) – мера Лебега в \(\mathbb {R}^{n}\). Докажите, что мера Лебега любой гиперплоскости размерности меньше \(n\) равна \(0\).

3 Мера Лебега-Стилтьеса

Определение 2 Рассмотрим определение Определение 1. Пусть вместо изначальной предмеры на полукольце \((a, b] \mapsto b - a\) мы возьмем отображение \((a, b] \mapsto F(b) - F(a)\) для некоторой неубывающей непрерывной справа функции \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\). Обозначим его как \(\mu_F\). Мы уже доказывали, что \(\mu_F\) тоже окажется предмерой на \(\mathcal{S}\) (см. @OutMeas:ssubaddLMProof). Следовательно, к \(\mu_{F}\) на полукольце полуинтервалов можно применить теорему Каратеодори о продолжении.

Ограничение \(\mu_F^*\) на \(\sigma (\mathcal{S}) = \mathcal{B}(\mathbb {R})\) называется мерой Лебега-Стилтьеса. На полуинтервалах \((a, b]\) ее значение совпадает с \(\mu_F\). Поэтому, для простоты, будем обозначать \(\mu_F^*\) как \(\mu_F\). \((\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}), \mu_F)\) явл. измеримым пространством с мерой.

ProblemЗадача 8

Пусть непрерывная справа, неубывающая функция \(F: \mathbb {R} \to \mathbb {R}\) кусочно-постоянна и имеет конечное число точек разрыва. Т.е. существуют точки \(-\infty < x_{1} < x_2 < \ldots < x_{n} < \infty\), такие что \(f\) только в них разрывается и постоянна на интервалах \((-\infty , x_{1})\), \((x_1, x_2)\), \((x_2, x_3)\), \(\ldots\), \((x_{n}, +\infty )\). Найдите класс множеств, измеримых по Каратеодори относительно меры Лебега–Стильтьеса \(\mu_{F}\).

ProblemЗадача 9

Подберите функцию \(F: \mathbb {R} \to [0,1]\) так, чтобы любое борелевское подмножество \((-\infty , 0]\) имело бы нулевую меру Лебега-Стилтьеса, а \((a,b]\) имело бы меру \(e^{-a} - e^{-b}\) при \(0 \leq a < b\). Иначе говоря, \(\mu_{F}(A) = 0\) при \(A \in \mathscr {B}\left((-\infty , 0]\right)\), и \[ \mu_{F}\left((a,b]\right) = e^{-a} - e^{-b}, \qquad \forall a,b: 0 \leq a < b \]

Сноски

1. Доказательство факта \(\left|\mathcal{B}(\mathbb {R}))\right| = \left|\mathbb {R}\right|\), т.е. континуальности борелевской сигма-алгебры на \(\mathbb {R}\), достаточно сложное, требует привлечения теории ординалов и трансфинитной индукции. Подробнее см. статьи о борелевских множествах и о борелевской иерархии.