Произведение мер

1 Произведение измеримых пространств

1.1 Произведение \(\sigma\)-алгебр

Пусть \((X,\mathcal{F}_{X})\), \((Y,\mathcal{F}_{Y})\) – это измеримые пространства. Тогда произведение измеримых пространств – это множество \(X \times Y\) с сигма-алгеброй

\[ \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y} := \sigma \left(\left\{ A \times B \; : \; A \in \mathcal{F}_{X}, B \in \mathcal{F}_{Y}\right\} \right) \]

Т.е. это декартово произведение \(X\) и \(Y\) вместе с минимальной сигма-алгеброй на прямоугольниках\(A \times B\).

Пусть \(E \subset X \times Y\). Пусть \(a \in X\). Срез (сечение) множества \(E\) по вертикали в точке \(a\) – это множество

\[ [E]_{a} := \left\{ y \in Y \; : \; (a, y) \in E\right\} \]

Аналогично определяется \([E]^b\), \(b \in Y\).

Рисунок 1: Vertical and horizontal cuts is measurable

Лемма 1 (Срезы измеримых множеств измеримы) Если \(E \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\), то \([E]_{a} \in \mathcal{F}_{Y}\) для любого \(a \in X\), \([E]^{b} \in \mathcal{F}_{X}\) для любого \(b \in X\)

Срезы функции определяются аналогично. Если \(f: X \times Y \to \mathbb {R}\) – функция и \(a \in X\), то \([f]_{a}: Y \to \mathbb {R}\) определяется как

\[ [f]_{a}(y) := f(a, y), \quad y \in Y \]

Аналогично с \([f]^b\).

Лемма 2 (Срезы измеримых функций измеримы) Пусть \(f: X \times Y \to \mathbb {R}\) – это \(\mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\)-измеримая функция. Тогда для любой точки \(a \in X\) срез \([f]_a\) явл. \(\mathcal{F}_Y\)-измеримой функцией.

Аналогично с \([f]^b\).

ProblemЗадача 1

Предположим, \((X, \mathcal{F}_{X})\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y})\) — измеримые пространства. Докажите, что все возможные прямоугольники из \(\mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\) могут быть получены только как декартово произведение элементов из \(\mathcal{F}_{X}\) и \(\mathcal{F}_{Y}\). Т.е. если \(A\) — непустое подмножество \(X\) и \(B\) — непустое подмножество \(Y\) такие, что \(A \times B \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\), то обязательно \(A \in \mathcal{F}_{X}\) и \(B \in \mathcal{F}_{Y}\).

ProblemЗадача 2

Предположим, \((X, \mathcal{F}_{X})\) — измеримое пространство. Докажите, что если \(E \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{X}\), то \[ \left\{ x \in X:(x, x) \in E\right\} \in \mathcal{F}_{X} . \]

1.2 Произведение мер

Следующий результат позволит нам ввести произведение \(\sigma\)-конечных мер.

Лемма 3 (Мера среза – это измеримая функция) Пусть \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\), \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) – 2 пространства с \(\sigma\)-конечными мерами. Пусть \(E \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\). Тогда функция \[ x \mapsto \nu \left([E]_{x}\right) \] является \(\mathcal{F}_{X}\)-измеримой. Аналогично с \(y \mapsto \mu \left([E]^{y}\right)\).

Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) — пространства с мерой, а \(f: X \times Y \rightarrow \mathbb {R}\) — функция. Тогда

\[ \int _{X} \int _{Y} \; f(x, y) d \nu (y) d \mu (x) \quad \text{ означает } \quad \int _{X}\left(\int _{Y} f(x, y) d \nu (y)\right) d \mu (x) . \]

Другими словами, чтобы вычислить \(\int_{X} \int_{Y} f(x, y) d \nu (y) d \mu (x)\), сначала (временно) зафиксируйте \(x \in X\) и вычислите интеграл \(\int_{Y} [f]_x(y) \; d \nu (y)\) от срезки \([f]_x\) (если этот интеграл имеет смысл). Затем вычислите интеграл по \(\mu\) от функции

\[ x \mapsto \int _{Y} [f]_x(y) d \nu (y) \]

(если этот интеграл имеет смысл).

ExampleПример 1

Вычислите \[ \int _{[0,4]}\int _{[0,4]}f(x,y)\; d\lambda (x) \; d\lambda (y), \qquad \int _{[0,4]}\int _{[0,4]}f(x,y)\; d\lambda (y) \; d\lambda (x) \] где \(f(x,y) = x^2 + y\).

SolutionРешение

\([f]_x(y)\) – непрерывная на отрезке \([0,4]\) функция (по \(y\)) для любого \(x\). Значит она интегрируема по Риману в собственном смысле, и интеграл Римана равен интегралу Лебега, можем свободно переходить к интегралу Римана. Аналогично с \([f]^y\). В таком случае имеем \[ \begin{align} \int _{[0,4]} \int _{[0,4]}\left(x^2+y\right) d \lambda (y) d \lambda (x) & =\int _{[0,4]}\left(4 x^2+8\right) d \lambda (x) =\frac{352}{3} \\ \int _{[0,4]} \int _{[0,4]}\left(x^2+y\right) d \lambda (x) d \lambda (y) & =\int _{[0,4]}\left(\frac{64}{3}+4 y\right) d \lambda (y) =\frac{352}{3} \end{align} \] Два повторных интеграла в этом примере оказались равными \(\frac{352}{3}\), хотя на промежуточном этапе вычисления они выглядят по-разному. Как мы увидим в следующем разделе, это равенство интегралов при изменении порядка интегрирования не является совпадением.

AnswerОтвет

В обоих случаях \(\frac{352}{3}.\)

Определение 1 (Произведения двух мер: \(\mu \times \nu\)) Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) — пространства с \(\sigma\)-конечными мерами. Для \(E \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\) определим значение меры \((\mu \times \nu )(E)\) как повторный интеграл от индикатора: \[ (\mu \times \nu )(E) := \int _{X} \int _{Y} I_E \; d \nu \, d \mu \]

Как мы докажем далее (см. теорему Тонелли), нам не важно, в каком порядке интегрировать в определении выше.

Приведённое определение \((\mu \times \nu )(E)\) имеет смысл, поскольку внутренний интеграл равен \(\nu \left([E]_x\right)\), а выше мы приводили утверждение, что срезки измеримых множеств измеримы (т.е. мы можем “вставить” \([E]_x\) в \(\nu\)). Далее, внешний интеграл имеет смысл, поскольку выше мы показали, что \(x \mapsto \nu ([E]_x)\) – это измеримая функция.

Лемма 4 (Произведение двух сигма-конечных мер является мерой) Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) — пространства с \(\sigma\)-конечными мерами. Тогда \(\mu \times \nu\) — мера на \((X \times Y, \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y})\).

Мы ограничиваемся в приведённом выше определении \(\sigma\)-конечными мерами, поскольку основные результаты, которые мы получим, неверны без \(\sigma\)-конечности (см. пример @PrMeasures:NotSigFinExample в следующем разделе).

ExampleПример 2

Докажите, что условиях выше мера прямоугольника – это произведение мер сторон.

SolutionРешение

Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) — пространства с \(\sigma\)-конечной мерой. Если \(A \in \mathcal{F}_{X}\) и \(B \in \mathcal{F}_{Y}\), то \[ \begin{aligned} (\mu \times \nu )(A \times B) & =\int _{X} \underbrace{\left(\int _{Y} I_{A \times B}(x, y) d \nu (y)\right)}_{=\nu ([A \times B]_x) = \nu (B) \cdot I_{A}(x)} d \mu (x) \\ & =\int _{X} \nu (B) I_A(x) d \mu (x) = \nu (B) \cdot \int _{X} I_A(x) d \mu (x) =\\ & =\nu (B) \cdot \mu (A) \end{aligned} \]

ProblemЗадача 3

Предположим, \(\mu\) и \(\nu\) — \(\sigma\)-конечные меры. Докажите, что \(\mu \times \nu\) является \(\sigma\)-конечной.

2 Кратные интегралы

2.1 Равенство кратных и повторных интегралов: теоремы Тонелли и Фубини

Вывод у теоремы Тонелли и у теоремы Фубини (почти) один и тот же, но немного отличаются предпосылки: в теореме Тонелли \(f\) – неотрицательная, а в теореме Фубини \(f\) – произвольного знака, но интегрируемая.

УведомлениеТеорема Тонелли и теорема Фубини

Пусть

• \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu)\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu)\) — пространства с \(\sigma\)-конечными мерами,
• \(f: X\times Y \to \bar{\mathbb{R}}\) — это \(\mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\)-измеримая функция.

Теорема Тонелли	Теорема Фубини
Пусть \(f\) неотрицательная: \(f: X \times Y \to [0,+\infty]\)	\(f\) интегрируема: \(\int_{X \times Y} \|f\| \, d(\mu \times \nu) < \infty\)

Тогда:

• Функция \(x \mapsto \int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\) явл. \(\mathcal{F}_{X}\)-измеримой. Аналогично с \(y \mapsto \int_X f(x,y)\,d\mu(x)\).
• Кратный интеграл равен повторным:

\[ \int_{X \times Y} f\,d(\mu \times \nu) = \int_Y \left(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y) = \int_X \left(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) \]

---

P.S. В теореме Фубини еще дополнительно утверждается, что для \(\mu\)-почти всех \(x \in X\) срезка \([f]_x\) является \(\nu\)-интегрируемой. Аналогично с \([f]^y\).

ExampleПример 3

Покажите, что теорема Тонелли может быть неверна без гипотезы о \(\sigma\)-конечности

SolutionРешение

• Пусть 1-е пространство – это пространство \(([0,1], \mathscr {B}\left([0,1]\right), \lambda )\), где \(\lambda\) – это мера Лебега на \([0,1]\).

• Пусть 2-е пространство – это пространство \(([0,1], \mathscr {B}\left([0,1]\right), \# )\), где \(\#\) – это считающая мера. Это пространство не является сигма-конечным.

• Мы ранее показывали в задаче, что \(\mathscr {B}\left([0,1]\right) \otimes \mathscr {B}\left([0,1]\right)\) – это борелевская сигма-алгебра на квадрате \([0,1]^2\). Значит, диагональ \(D = \left\{ (x,x) \; : \; x \in [0,1]\right\}\) лежит в произведении этих сигма-алгебр: диагональ – это замкнутое множество, а значит борелевское.

• Рассмотрим индикаторную функцию диагонали \(f = I_{D}: [0,1]^2 \to \overline{\mathbb {R}}\). Она измерима как индикатор от измеримого множества. Она неотрицательна. Значит, выполнены предпосылки теоремы Тонелли.

  Заметим, что

  \[ I_{D}(x,y) = \begin{cases} 1, & x = y \\ 0, & x \neq y \end{cases} \]

• Вычислим первый повторный интеграл: при фиксированном \(y\) функция \([f]^y(x)\) равна \(1\) только в одной точке: при \(y = x\). Значит, она п.в. по мере Лебега равна нулю и \(\int_{[0,1]} [f]^y(x) \; d\lambda (x) = 0\) при всех \(y \in [0,1]\). Значит,

  \[ \int _{Y} \left(\int _{X} f(x,y) \; d\lambda (x)\right) \; d\# (y) = \int _{Y} 0 \; d\# (y) = 0 \]

• Вычислим второй повторный интеграл: при фиксированном \(x\) функция \([f]_x(y)\) равна \(0\) всюду, кроме точки \(y = x\), в которой она \(1\). Интеграл по считающей мере – это просто сумма значений функции во всех ненулевых точках. Значит, \(\int_{[0,1]} [f]_x(y) \; d\# (y) = 1\) при всех \(x \in [0,1]\) и

  \[ \int _{X} \left(\int _{Y} f(x,y) \; d\# (y)\right) \; d\lambda (x) = \int _{X} 1 \; d\lambda (x) = 1 \] Повторные интегралы получились разными.

ProblemЗадача 4

1. Пусть \(\lambda\) обозначает меру Лебега на \([0,1]\). Покажите, что

   \[ \int _{[0,1]} \int _{[0,1]} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d \lambda (y) d \lambda (x) = \frac{\pi }{4} \] и

   \[ \int _{[0,1]} \int _{[0,1]} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d \lambda (x) d \lambda (y) = -\frac{\pi }{4} \]

2. Объясните, почему предыдущий пункт не нарушает ни теорему Тонелли, ни теорему Фубини.

HintПодсказка

Enum-item1.

Пусть \(x \in [0,1]\) фиксирован. Полярная замена: \(\theta = \arctan \frac{y}{x}\), \(y = x\tan \theta\), \(dy = \frac{x}{\cos^2 \theta } d\theta\), \(x^2+y^2 = \frac{x^2}{\cos^2 \theta }\). Тогда

\[ \begin{align} \int _0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy & = \int _{0}^{\arctan (1/x)}\frac{x^2 - x^2\tan ^2\theta }{\left(\frac{x^2}{\cos ^2\theta }\right)^2} \cdot \frac{x}{\cos ^2 \theta } \; d\theta = \frac{1}{x} \cdot \int _0^{\arctan (1/x)} \cos ^2\theta - \sin ^2\theta \; d\theta = \\ & = \int _0^{\arctan (1/x)} \cos 2\theta \; d\theta = \frac{1}{2x} \sin (2\arctan (1/x)) \end{align} \] При этом \(\sin (2\arctan 1/x) = \frac{2x}{1+x^2}\).

Enum-item2.

В какой части квадрата \([0,1]^2\) подынтегральная функция неотрицательна? В какой отрицательна?

2.2 Площадь под графиком

Предположим, что \(X\) — множество (вообще говоря, произвольной природы), а \(f: X \to [0, +\infty ]\) — функция. Тогда область под графиком функции \(f\), обозначаемая \(U_f\), определяется следующим образом:

\[ U_f=\{ (x, t) \in X \times (0, +\infty ): 0<t<f(x)\} . \]

Мы называем \(U_f\) областью под графиком функции \(f\) даже в случаях, когда \(X\) не является подмножеством \(\mathbb {R}\). В следующем термин «площадь» в следующем абзаце должен напомнить вам площадь е, хотя на самом деле мы имеем дело с мерой \(U_f\) в пространстве произведений.

Первое равенство в приведённом ниже результате можно рассматривать как напоминание концепции Римана об интеграле как площади под графиком (хотя теперь в гораздо более общем контексте с произвольными \(\sigma\)-конечными мерами). Второе равенство в приведённом ниже результате можно рассматривать как усиление концепции Лебега о вычислении площади под графиком путём интегрирования в направлении, перпендикулярном направлению Римана.

Лемма 5 (Площадь под графиком функции равна интегралу) Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) — пространство с \(\sigma\)-конечной мерой, а \(f: X \to [0, +\infty ]\) — функция, измеримая по \(\mathcal{F}_{X}\). Тогда область под графиком измерима (\(U_f \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathscr {B}\left([0,+\infty )\right)\)) и \[ (\mu \times \lambda )\left(U_f\right)=\int _{X} f d \mu = \int _{0}^{+\infty } \mu (f > t) \; d t \]

Из неравенства Маркова следует, что если \(f\) и \(\mu\) такие же, как в приведённом выше результате, то

\[ \mu (\{ x \in X: f(x)>t\} ) \leq \frac{\int _{X} f d \mu }{t} \]

для всех \(t>0\). Таким образом, если \(\int_{X} f d \mu <\infty\), то приведённый выше результат следует считать несколько более сильным, чем неравенство Маркова (поскольку \(\int_{(0, \infty )} \frac{1}{t} d \lambda (t)=\infty\)).

3 Интегрирование по Лебегу в \(\mathbb {R}^{n}\)

3.1 Мера Лебега и борелевская сигма-алгебра в \(\mathbb {R}^{n}\)

Напомним, что открытым в \(\mathbb {R}^{n}\) называется множество, каждая точка которого входит в него вместе с каким-то открытым шаром. Борелевская сигма-алгебра в \(\mathbb {R}^{n}\) – это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые множества.

Лемма 6 Пусть \(m,n\in \mathbb {N}\).

• Если \(G_1\), \(G_2\) – открытые подмножества \(\mathbb {R}^{m}\), \(\mathbb {R}^{n}\), то \(G_1 \times G_2\) – открытое подмножество \(\mathbb {R}^{m + n}\);

• \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m}\right) \otimes \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right) = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m +n}\right)\);

• \(\mathcal{M}(\lambda_m) \otimes \mathcal{M}(\lambda_n) \subsetneq \mathcal{M}(\lambda_{m+n})\);

• Если \(\lambda_{m}\), \(\lambda_n\) – меры Лебега на \((\mathbb {R}^{m}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m}\right))\) и \((\mathbb {R}^{n}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right))\), то

  \[ \lambda _{m+n} = \lambda _m \times \lambda _n \] где \(\lambda_{m + n}\) – это мера Лебега на \((\mathbb {R}^{m+n}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m+n}\right))\).

ProblemЗадача 5

Пусть \(X = Y = \mathbb {R}\). Докажите, что

1. \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right) \otimes \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right) = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)\);

2. \(\mathcal{M}(\lambda ) \otimes \mathcal{M}(\lambda ) \subsetneq \mathcal{M}(\lambda_2)\), где \(\lambda_2\) – мера Лебега в \(\mathbb {R}^{2}\), \(\mathcal{M}(\lambda_2)\) – сигма-алгебра измеримых по Лебегу в \(\mathbb {R}^{2}\)?

ProblemЗадача 6

Покажите, что существует множество \(E \subseteq \mathbb {R}^{2}\) такое, что сечения \([E]_{a}\) и \([E]^{a}\) являются открытыми подмножествами \(\mathbb {R}\) для каждого \(a \in \mathbb {R}\), но \(E \notin \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)\).

ProblemЗадача 7

Предположим, \(G_{1}\) — непустое подмножество \(\mathbb {R}^{m}\) и \(G_{2}\) — непустое подмножество \(\mathbb {R}^{n}\). Докажите, что \(G_{1} \times G_{2}\) является открытым подмножеством \(\mathbb {R}^{m} \times \mathbb {R}^{n}\) тогда и только тогда, когда \(G_{1}\) является открытым подмножеством \(\mathbb {R}^{m}\) и \(G_{2}\) является открытым подмножеством \(\mathbb {R}^{n}\).

ProblemЗадача 8

Предположим, \(E\) — подмножество \(\mathbb {R}^{m} \times \mathbb {R}^{n}\) и \[ A = \left\{ x \in \mathbb {R}^{m}:(x, y) \in E \text{ для некоторого } y \in \mathbb {R}^{n}\right\} \]

1. Докажите, что если \(E\) является открытым подмножеством \(\mathbb {R}^{m} \times \mathbb {R}^{n}\), то \(A\) является открытым подмножеством \(\mathbb {R}^{m}\).

2. Докажите или приведите контрпример: Если \(E\) является замкнутым подмножеством \(\mathbb {R}^{m} \times \mathbb {R}^{n}\), то \(A\) является замкнутым подмножеством \(\mathbb {R}^{m}\).

3.2 Объём единичного шара в \(\mathbb {R}^n\)

Лемма 7 (Мера растяжения) Предположим, \(t>0\). Если \(E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\), то \(t E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\) и \(\lambda_n(t E)=t^n \lambda_n(E)\).

Обозначим открытый единичный шар в \(\mathbb {R}^n\) так:

\[ \mathbf{B}_n := \left\{ \left(x, \ldots , x_n\right) \in \mathbb {R}^n: x^2+\cdots +x_n^2<1\right\} . \]

Открытый единичный шар \(\mathbf{B}_n\) открыт в \(\mathbb {R}^n\) (в чём вы должны убедиться) и, следовательно, принадлежит семейству борелевских множеств \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\).

Теорема 1 (объём единичного шара в \(\mathbb {R}^n\)) Объем \(n\)-мерного единичного шара равен \[ \lambda _n\left(\mathbf{B}_n\right) = \frac{\pi ^{n / 2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}= \begin{cases} \dfrac {\pi ^{n / 2}}{(n / 2)!} & \text{ если } n \text{ чётное, } \\ \dfrac {2^{(n+1) / 2} \pi ^{(n-1) / 2}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot n} & \text{ если } n \text{ нечётное. } \end{cases} \]

ProblemЗадача 9

Докажите формулу для объема единичного шара.

HintПодсказка

Докажите, что \(\lambda_n\left(\mathbf{B}_n\right) = \frac{2\pi }{n}\lambda_{n-2}\left(\mathbf{B}_{n-2}\right)\) при \(n \geq 3\). Используйте переход в интеграле к полярным координатам.

ProblemЗадача 10

1. Докажите, что \(\lambda_{n}\left(\mathbf{B}_{n}\right) \to 0\) при \(n \to +\infty\).

2. Найдите значение \(n\), которое максимизирует \(\lambda_{n}\left(\mathbf{B}_{n}\right)\).

3.3 Проклятие высоких размерностей

ExampleПример 4

er

SolutionРешение

Пусть \(X_1, \ldots , X_n\), \(Y_1, \ldots , Y_n\), \(\xi_{i} = X_{i} - Y_{i}\). Центральные моменты \(\xi_i\)

\[ \begin{align} \mu _1 = 0, \quad \mu _2 = 2\int _0^1x^2(1-x)dx = 2 \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{6} \\ \mu _3 = 0, \quad \mu _4 = 2\int _{0}^1x^4(1-x)dx = 2 \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{15} \end{align} \] Тогда

\[ \mathbb {E}\left[\xi _i^2\right] = \frac{1}{6}, \quad \operatorname {Var}\left[\xi _i^2\right] = \mathbb {E}\left[\xi _i^4\right] - \left(\mathbb {E}\left[\xi _i^2\right]\right)^2 = \frac{1}{15} - \frac{1}{36} = \frac{12 - 5}{180} = \frac{7}{180} \] Тогда

\[ D^2 = \xi _1^2 + \ldots + \xi _n^2 \approx N\left(na, n\sigma ^2\right) \] \(a = \frac{1}{6}\), \(\sigma^2 = \frac{7}{180}\).

Имеем

\[ \mathbb {P}\left(D \leq t\right) = \mathbb {P}\left(D^2 \leq t^2\right) = \mathbb {P}\left(\frac{D^2 - an}{\sqrt{n}\sigma } \leq \frac{t^2 - an}{\sqrt{n}\sigma }\right) = \Phi \left(\frac{t^2 - an}{\sqrt{n}\sigma }\right) \] Плотность:

\[ f\left(\frac{t^2 - an}{\sqrt{n}\sigma }\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{n}\sigma }t \] Имеем

\[ \begin{align} \mathbb {E}\left[D\right] \approx \sqrt{na} \\ \operatorname {Var}\left[D\right] = \mathbb {E}\left[D^2\right] - \mathbb {E}\left[D\right]^2 = na - \end{align} \]

3.4 Равенство смешанных частных производных

Определение 2 Предположим, что \(G\) — открытое подмножество \(\mathbb {R}^2\), а \(f: G \rightarrow \mathbb {R}\) — функция. Для \((x, y) \in G\) частные производные \(\left(D_1 f\right)(x, y)\) и \(\left(D_2 f\right)(x, y)\) определяются следующим образом: \[ \left(D_1 f\right)(x, y)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t, y)-f(x, y)}{t} \] и \[ \left(D_2 f\right)(x, y)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x, y+t)-f(x, y)}{t} \] если эти пределы существуют.

Используя обозначение поперечного сечения функции (см. 5.7), мы можем записать определения \(D_1\) и \(D_2\) в следующем виде:

\[ \left(D_1 f\right)(x, y)=\left([f]^y\right)^{\prime }(x) \quad \text{ и } \quad \left(D_2 f\right)(x, y)=\left([f]_x\right)^{\prime }(y) . \]

ExampleПример 5

Примеры частных производных \(x^y\)

SolutionРешение

Пусть \(G=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^2: x>0\right\}\) и определим \(f: G \rightarrow \mathbb {R}\) как \(f(x, y)=x^y\). Тогда \[ \left(D_1 f\right)(x, y)=y x^{y-1} \quad \text{ и } \quad \left(D_2 f\right)(x, y)=x^y \ln x, \] (проверьте сами). Взяв частные производные от этих частных производных, имеем \[ \left(D_2\left(D_1 f\right)\right)(x, y)=x^{y-1}+y x^{y-1} \ln x \] и \[ \left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(x, y)=x^{y-1}+y x^{y-1} \ln x, \] (проверьте сами). Получили \(D_1\left(D_2 f\right)=D_2\left(D_1 f\right)\) как функции на \(G\).

В приведенном выше примере две смешанные частные производные оказываются равными, хотя промежуточные результаты выглядят совершенно по-разному. Следующий результат показывает, что поведение в приведенном выше примере типично, а не является совпадением.

Некоторые доказательства приведенного ниже результата не используют теорему Фубини. Однако теорема Фубини приводит к элегантному доказательству ниже.

Интегралы, представленные в приведенном ниже доказательстве, имеют смысл, поскольку непрерывные действительные функции на \(\mathbb {R}^2\) измеримы (поскольку для непрерывной функции прообраз каждого открытого множества открыт), а также поскольку непрерывные действительные функции на замкнутых ограниченных подмножествах \(\mathbb {R}^2\) ограничена.

Хотя гипотезы непрерывности в приведенном ниже результате можно немного ослабить, их нельзя исключить, как показано в упражнении 14 этого раздела.

Теорема 2 (Равенство смешанных частных производных) Предположим, что \(G\) — открытое подмножество \(\mathbb {R}^2\), а \(f: G \rightarrow \mathbb {R}\) — функция такая, что \(D_1 f\), \(D_2 f, D_1\left(D_2 f\right)\) и \(D_2\left(D_1 f\right)\) существуют и являются непрерывными функциями на \(G\). Тогда \[ D_1\left(D_2 f\right)=D_2\left(D_1 f\right) \] на \(G\).

Зафиксируем \((a, b) \in G\). Для \(\delta >0\) пусть \(S_\delta =[a, a+\delta ] \times [b, b+\delta ]\). Если \(S_\delta \subseteq G\), то

\[ \begin{aligned} \int _{S_\delta } D_1\left(D_2 f\right) d \lambda _2 & =\int _b^{b+\delta } \int _a^{a+\delta }\left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(x, y) d x d y \\ & =\int _b^{b+\delta }\left[\left(D_2 f\right)(a+\delta , y)-\left(D_2 f\right)(a, y)\right] d y \\ & =f(a+\delta , b+\delta )-f(a+\delta , b)-f(a, b+\delta )+f(a, б) \end{aligned} \] где первое равенство следует из теоремы Фубини, а второе и третье равенства — из основной теоремы математического анализа.

Аналогичное вычисление \(\int_{S_\delta } D_2\left(D_1 f\right) d \lambda_2\) даёт тот же результат. Таким образом,

\[ \int _{S_\delta }\left[D_1\left(D_2 f\right)-D_2\left(D_1 f\right)\right] d \lambda _2=0 \] для всех \(\delta\), таких что \(\left(\mathcal{F}_{X}\right)_\delta \subseteq G\). Если \(\left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(a, b)>\left(D_2\left(D_1 f\right)\right)(a, b)\), то в силу непрерывности \(D_1\left(D_2 f\right)\) и \(D_2\left(D_1 f\right)\) подынтегральное выражение в приведенном выше уравнении положительно на \(S_\delta\) при достаточно малых \(\delta\), что противоречит тому, что приведенный выше интеграл равен 0. Аналогично, неравенство \(\left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(a, b)<\left(D_2\left(D_1 f\right)\right)(a, b)\) также противоречит приведенному выше уравнению при малых \(\delta\). Таким образом, заключаем, что

\[ \left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(a, b)=\left(D_2\left(D_1 f\right)\right)(a, b), \] что и требовалось.

ProblemЗадача 11

Определим \(f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}\) формулой \[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} & \text{ если }(x, y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ если }(x, y) = (0,0)\end{cases} \]

1. Докажите, что \(D_{1}\left(D_{2} f\right)\) и \(D_{2}\left(D_{1} f\right)\) существуют всюду на \(\mathbb {R}^{2}\).

2. Покажите, что \(\left(D_{1}\left(D_{2} f\right)\right)(0,0) \neq \left(D_{2}\left(D_{1} f\right)\right)(0,0)\).

3. Объясните, почему предыдущий пункт не нарушает теорему о равенстве частных производных.

ProblemЗадача 12

Пусть \(\mu_1\), \(\mu_2\) – это меры на \((\mathbb {R}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right))\), \(\mu_1\) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега с плотностью \(f_1(x) = e^{-2x} \cdot I_{[0,+\infty )}(x)\), а \(\mu_2 = \sum_{k=1}^{+\infty }\frac{1}{3^k}\delta_k\). Пусть \(\mu = \mu_1 \otimes \mu_2\). Найдите \(\int_{\mathbb {R}^{2}} g \; d\mu\) для следующих функций:

1. \(g(x,y) = x^2 + y-3\)

2. \(g(x,y) = e^{x + y}\)

Примечание. Не забудьте уточнить, какой вы теоремой пользуетесь, Фубини или Тонелли.

HintПодсказка

Enum-item1.

\(\sum_{k=1}^{+\infty }k \cdot p^k = \frac{p}{(1-p)^2}\) при \(\left|p\right| < 1\)

Enum-item2.