Произведение мер
1 Произведение измеримых пространств
1.1 Произведение \(\sigma\)-алгебр
Пусть \((X,\mathcal{F}_{X})\), \((Y,\mathcal{F}_{Y})\) – это измеримые пространства. Тогда произведение измеримых пространств – это множество \(X \times Y\) с сигма-алгеброй
\[ \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y} := \sigma\left(\left\{A \times B \; : \; A \in \mathcal{F}_{X}, B \in \mathcal{F}_{Y}\right\}\right) \]
Т.е. это декартово произведение \(X\) и \(Y\) вместе с минимальной сигма-алгеброй на прямоугольниках\(A \times B\).
Пусть \(E \subset X \times Y\). Пусть \(a \in X\). Срез (сечение) множества \(E\) по вертикали в точке \(a\) – это множество
\[ [E]_{a} := \left\{y \in Y \; : \; (a, y) \in E\right\} \]
Аналогично определяется \([E]^b\), \(b \in Y\).
Лемма 1 (Срезы измеримых множеств измеримы) Если \(E \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\), то \([E]_{a} \in \mathcal{F}_{Y}\) для любого \(a \in X\), \([E]^{b} \in \mathcal{F}_{X}\) для любого \(b \in X\)
Срезы функции определяются аналогично. Если \(f: X \times Y \to \mathbb {R}\) – функция и \(a \in X\), то \([f]_{a}: Y \to \mathbb {R}\) определяется как
\[ [f]_{a}(y) := f(a, y), \quad y \in Y \]
Аналогично с \([f]^b\).
Лемма 2 (Срезы измеримых функций измеримы) Пусть \(f: X \times Y \to \mathbb {R}\) – это \(\mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\)-измеримая функция. Тогда для любой точки \(a \in X\) срез \([f]_a\) явл. \(\mathcal{F}_Y\)-измеримой функцией.
Аналогично с \([f]^b\).
1.2 Произведение мер
Следующий результат позволит нам ввести произведение \(\sigma\)-конечных мер.
Лемма 3 (Мера среза – это измеримая функция) Пусть \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\), \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) – 2 пространства с \(\sigma\)-конечными мерами. Пусть \(E \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\). Тогда функция \[ x \mapsto \nu\left([E]_{x}\right) \] является \(\mathcal{F}_{X}\)-измеримой. Аналогично с \(y \mapsto \mu \left([E]^{y}\right)\).
Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) — пространства с мерой, а \(f: X \times Y \rightarrow \mathbb {R}\) — функция. Тогда
\[ \int_{X} \int_{Y} \; f(x, y) d \nu(y) d \mu(x) \quad \text { означает } \quad \int_{X}\left(\int_{Y} f(x, y) d \nu(y)\right) d \mu(x) . \]
Другими словами, чтобы вычислить \(\int_{X} \int_{Y} f(x, y) d \nu (y) d \mu (x)\), сначала (временно) зафиксируйте \(x \in X\) и вычислите интеграл \(\int_{Y} [f]_x(y) \; d \nu (y)\) от срезки \([f]_x\) (если этот интеграл имеет смысл). Затем вычислите интеграл по \(\mu\) от функции
\[ x \mapsto \int_{Y} [f]_x(y) d \nu(y) \]
(если этот интеграл имеет смысл).
Определение 1 (Произведения двух мер: \(\mu \times \nu\)) Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) — пространства с \(\sigma\)-конечными мерами. Для \(E \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\) определим значение меры \((\mu \times \nu )(E)\) как повторный интеграл от индикатора: \[ \begin{aligned} (\mu \times \nu)(A \times B) & =\int_{X} \underbrace{\left(\int_{Y} I_{A \times B}(x, y) d \nu(y)\right)}_{=\nu([A \times B]_x) = \nu(B) \cdot I_{A}(x)} d \mu(x) \\ & =\int_{X} \nu(B) I_A(x) d \mu(x) = \nu(B) \cdot \int_{X} I_A(x) d \mu(x) =\\ & =\nu(B) \cdot \mu(A) \end{aligned} \]
Как мы докажем далее (см. теорему Тонелли), нам не важно, в каком порядке интегрировать в определении выше.
Приведённое определение \((\mu \times \nu )(E)\) имеет смысл, поскольку внутренний интеграл равен \(\nu \left([E]_x\right)\), а выше мы приводили утверждение, что срезки измеримых множеств измеримы (т.е. мы можем “вставить” \([E]_x\) в \(\nu\)). Далее, внешний интеграл имеет смысл, поскольку выше мы показали, что \(x \mapsto \nu ([E]_x)\) – это измеримая функция.
Лемма 4 (Произведение двух сигма-конечных мер является мерой) Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu )\) — пространства с \(\sigma\)-конечными мерами. Тогда \(\mu \times \nu\) — мера на \((X \times Y, \mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y})\).
Мы ограничиваемся в приведённом выше определении \(\sigma\)-конечными мерами, поскольку основные результаты, которые мы получим, неверны без \(\sigma\)-конечности (см. пример @PrMeasures:NotSigFinExample в следующем разделе).
2 Кратные интегралы
2.1 Равенство кратных и повторных интегралов: теоремы Тонелли и Фубини
Вывод у теоремы Тонелли и у теоремы Фубини (почти) один и тот же, но немного отличаются предпосылки: в теореме Тонелли \(f\) – неотрицательная, а в теореме Фубини \(f\) – произвольного знака, но интегрируемая.
Пусть
- \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu)\) и \((Y, \mathcal{F}_{Y}, \nu)\) — пространства с \(\sigma\)-конечными мерами,
- \(f: X\times Y \to \bar{\mathbb{R}}\) — это \(\mathcal{F}_{X} \otimes \mathcal{F}_{Y}\)-измеримая функция.
| Теорема Тонелли | Теорема Фубини |
|---|---|
| Пусть \(f\) неотрицательная: \(f: X \times Y \to [0,+\infty]\) | \(f\) интегрируема: \(\int_{X \times Y} \|f\| \, d(\mu \times \nu) < \infty\) |
Тогда:
- Функция \(x \mapsto \int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\) явл. \(\mathcal{F}_{X}\)-измеримой. Аналогично с \(y \mapsto \int_X f(x,y)\,d\mu(x)\).
- Кратный интеграл равен повторным:
\[ \int_{X \times Y} f\,d(\mu \times \nu) = \int_Y \left(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y) = \int_X \left(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) \]
P.S. В теореме Фубини еще дополнительно утверждается, что для \(\mu\)-почти всех \(x \in X\) срезка \([f]_x\) является \(\nu\)-интегрируемой. Аналогично с \([f]^y\).
2.2 Площадь под графиком
Предположим, что \(X\) — множество (вообще говоря, произвольной природы), а \(f: X \to [0, +\infty ]\) — функция. Тогда область под графиком функции \(f\), обозначаемая \(U_f\), определяется следующим образом:
\[ (\mu \times \lambda)\left(U_f\right)=\int_{X} f d \mu= \int_{0}^{+\infty} \mu(f > t) \; d t \]
Мы называем \(U_f\) областью под графиком функции \(f\) даже в случаях, когда \(X\) не является подмножеством \(\mathbb {R}\). В следующем термин «площадь» в следующем абзаце должен напомнить вам площадь е, хотя на самом деле мы имеем дело с мерой \(U_f\) в пространстве произведений.
Первое равенство в приведённом ниже результате можно рассматривать как напоминание концепции Римана об интеграле как площади под графиком (хотя теперь в гораздо более общем контексте с произвольными \(\sigma\)-конечными мерами). Второе равенство в приведённом ниже результате можно рассматривать как усиление концепции Лебега о вычислении площади под графиком путём интегрирования в направлении, перпендикулярном направлению Римана.
Лемма 5 (Площадь под графиком функции равна интегралу) Предположим, что \((X, \mathcal{F}_{X}, \mu )\) — пространство с \(\sigma\)-конечной мерой, а \(f: X \to [0, +\infty ]\) — функция, измеримая по \(\mathcal{F}_{X}\). Тогда область под графиком измерима (\(U_f \in \mathcal{F}_{X} \otimes \mathscr {B}\left([0,+\infty )\right)\)) и \[ \mu(\{x \in X: f(x)>t\}) \leq \frac{\int_{X} f d \mu}{t} \]
Из неравенства Маркова следует, что если \(f\) и \(\mu\) такие же, как в приведённом выше результате, то
\[ \lambda_{m+n} = \lambda_m \times \lambda_n \]
для всех \(t>0\). Таким образом, если \(\int_{X} f d \mu <\infty\), то приведённый выше результат следует считать несколько более сильным, чем неравенство Маркова (поскольку \(\int_{(0, \infty )} \frac{1}{t} d \lambda (t)=\infty\)).
3 Интегрирование по Лебегу в \(\mathbb {R}^{n}\)
3.1 Мера Лебега и борелевская сигма-алгебра в \(\mathbb {R}^{n}\)
Напомним, что открытым в \(\mathbb {R}^{n}\) называется множество, каждая точка которого входит в него вместе с каким-то открытым шаром. Борелевская сигма-алгебра в \(\mathbb {R}^{n}\) – это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые множества.
Лемма 6 Пусть \(m,n\in \mathbb {N}\).
Если \(G_1\), \(G_2\) – открытые подмножества \(\mathbb {R}^{m}\), \(\mathbb {R}^{n}\), то \(G_1 \times G_2\) – открытое подмножество \(\mathbb {R}^{m + n}\);
\(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m}\right) \otimes \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right) = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m +n}\right)\);
\(\mathcal{M}(\lambda_m) \otimes \mathcal{M}(\lambda_n) \subsetneq \mathcal{M}(\lambda_{m+n})\);
Если \(\lambda_{m}\), \(\lambda_n\) – меры Лебега на \((\mathbb {R}^{m}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m}\right))\) и \((\mathbb {R}^{n}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right))\), то
\[ A = \left\{x \in \mathbb{R}^{m}:(x, y) \in E \text { для некоторого } y \in \mathbb{R}^{n}\right\} \] где \(\lambda_{m + n}\) – это мера Лебега на \((\mathbb {R}^{m+n}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m+n}\right))\).
3.2 Объём единичного шара в \(\mathbb {R}^n\)
Лемма 7 (Мера растяжения) Предположим, \(t>0\). Если \(E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\), то \(t E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\) и \(\lambda_n(t E)=t^n \lambda_n(E)\).
Обозначим открытый единичный шар в \(\mathbb {R}^n\) так:
\[ \lambda_n\left(\mathbf{B}_n\right) = \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}= \begin{cases} \dfrac{\pi^{n / 2}}{(n / 2)!} & \text { если } n \text { чётное, } \\ \dfrac{2^{(n+1) / 2} \pi^{(n-1) / 2}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot n} & \text { если } n \text { нечётное. } \end{cases} \]
Открытый единичный шар \(\mathbf{B}_n\) открыт в \(\mathbb {R}^n\) (в чём вы должны убедиться) и, следовательно, принадлежит семейству борелевских множеств \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\).
Теорема 1 (объём единичного шара в \(\mathbb {R}^n\)) Объем \(n\)-мерного единичного шара равен \[ \lambda_n\left(\mathbf{B}_n\right)=\int_{\mathbb{R}^2} \int_{\mathbb{R}^{n-2}} I_{\mathbf{B}_n}(x, y) d y d x \]
3.3 Проклятие высоких размерностей
3.4 Равенство смешанных частных производных
Определение 2 Предположим, что \(G\) — открытое подмножество \(\mathbb {R}^2\), а \(f: G \rightarrow \mathbb {R}\) — функция. Для \((x, y) \in G\) частные производные \(\left(D_1 f\right)(x, y)\) и \(\left(D_2 f\right)(x, y)\) определяются следующим образом: \[ \left(D_2 f\right)(x, y)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x, y+t)-f(x, y)}{t} \] и \[ \left(D_1 f\right)(x, y)=\left([f]^y\right)^{\prime}(x) \quad \text { и } \quad\left(D_2 f\right)(x, y)=\left([f]_x\right)^{\prime}(y) . \] если эти пределы существуют.
Используя обозначение поперечного сечения функции (см. 5.7), мы можем записать определения \(D_1\) и \(D_2\) в следующем виде:
\[ \left(D_1 f\right)(x, y)=y x^{y-1} \quad \text { и } \quad\left(D_2 f\right)(x, y)=x^y \ln x, \]
В приведенном выше примере две смешанные частные производные оказываются равными, хотя промежуточные результаты выглядят совершенно по-разному. Следующий результат показывает, что поведение в приведенном выше примере типично, а не является совпадением.
Некоторые доказательства приведенного ниже результата не используют теорему Фубини. Однако теорема Фубини приводит к элегантному доказательству ниже.
Интегралы, представленные в приведенном ниже доказательстве, имеют смысл, поскольку непрерывные действительные функции на \(\mathbb {R}^2\) измеримы (поскольку для непрерывной функции прообраз каждого открытого множества открыт), а также поскольку непрерывные действительные функции на замкнутых ограниченных подмножествах \(\mathbb {R}^2\) ограничена.
Хотя гипотезы непрерывности в приведенном ниже результате можно немного ослабить, их нельзя исключить, как показано в упражнении 14 этого раздела.
Теорема 2 (Равенство смешанных частных производных) Предположим, что \(G\) — открытое подмножество \(\mathbb {R}^2\), а \(f: G \rightarrow \mathbb {R}\) — функция такая, что \(D_1 f\), \(D_2 f, D_1\left(D_2 f\right)\) и \(D_2\left(D_1 f\right)\) существуют и являются непрерывными функциями на \(G\). Тогда \[ \begin{aligned} \int_{S_\delta} D_1\left(D_2 f\right) d \lambda_2 & =\int_b^{b+\delta} \int_a^{a+\delta}\left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(x, y) d x d y \\ & =\int_b^{b+\delta}\left[\left(D_2 f\right)(a+\delta, y)-\left(D_2 f\right)(a, y)\right] d y \\ & =f(a+\delta, b+\delta)-f(a+\delta, b)-f(a, b+\delta)+f(a, б) \end{aligned} \] на \(G\).
Зафиксируем \((a, b) \in G\). Для \(\delta >0\) пусть \(S_\delta =[a, a+\delta ] \times [b, b+\delta ]\). Если \(S_\delta \subseteq G\), то
\[ \int_{S_\delta}\left[D_1\left(D_2 f\right)-D_2\left(D_1 f\right)\right] d \lambda_2=0 \] где первое равенство следует из теоремы Фубини, а второе и третье равенства — из основной теоремы математического анализа.
Аналогичное вычисление \(\int_{S_\delta } D_2\left(D_1 f\right) d \lambda_2\) даёт тот же результат. Таким образом,
\[ \left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(a, b)=\left(D_2\left(D_1 f\right)\right)(a, b), \] для всех \(\delta\), таких что \(\left(\mathcal{F}_{X}\right)_\delta \subseteq G\). Если \(\left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(a, b)>\left(D_2\left(D_1 f\right)\right)(a, b)\), то в силу непрерывности \(D_1\left(D_2 f\right)\) и \(D_2\left(D_1 f\right)\) подынтегральное выражение в приведенном выше уравнении положительно на \(S_\delta\) при достаточно малых \(\delta\), что противоречит тому, что приведенный выше интеграл равен 0. Аналогично, неравенство \(\left(D_1\left(D_2 f\right)\right)(a, b)<\left(D_2\left(D_1 f\right)\right)(a, b)\) также противоречит приведенному выше уравнению при малых \(\delta\). Таким образом, заключаем, что
\[ f(x, y) = \begin{cases}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} & \text { если }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { если }(x, y) = (0,0)\end{cases} \] что и требовалось.