Внешняя мера, теорема Каратеодори о продолжении

Переносить предмеры с полуколец на порожденные сигма-алгебры нужно не только при построении мер в конечномерных евклидовых пространствах $\mathbb {R}^{k}$, но и, напрмер, в теории случайных функций (случайных процессов), где функциональные пространства, как правило, бесконечномерные ($C[0,1]$, например). Поэтому теорему Каратеодори мы сформулируем для произвольного пространства. Для этого сначала поговорим о том, что такое внешняя мера в общем случае.

1 Общее понятие внешней меры, критерий Каратеодори

Определение 1 Функция множеств $\mu^*: 2^X \to [0, +\infty ]$ называется внешней мерой (внешней мерой Каратеодори), если

$\mu^*(\varnothing ) = 0$;
$\mu^*$ монотонна;
$\mu^*$ счетно-субаддитивна;

Определение 2 (Критерий Каратеодори) Пусть $\mu^*$ – внешняя мера. $A \subset X$ называется $\mu^*$-измеримым, если \[ \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) = \mu^*(E), \quad \forall E \subset X \] Т.е. $A$ является хорошим “разделителем” для всех других множеств. Обозначение $\mu^*$-измеримых подмножеств $X$: $\mathcal{M}(\mu^*)$. Сразу заметим, что $\varnothing$ и $X$ всегда будут $\mu^*$-измеримыми.

Заметим, что для измеримости достаточно выполнения

\[ \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \leq \mu^*(E), \quad \forall E \subset X, \]

поскольку обратное неравенство следует из субаддититивности $\mu^*$.

Попробуем дать некоторое обоснование этому довольно непрозрачному критерию. Естественная идея состоит в том, чтобы сформировать «внутреннюю меру» $\mu_*$, аппроксимируя множество $A$ изнутри множествами из $\mathcal{S}$, и определить $A$ как измеримое, если внутренняя и внешняя меры совпадают, $\mu_*(A) = \mu^*(A)$. Действительно, именно так поступил сам Лебег. Но, как ни странно, с этим условием сложнее работать на практике (при доказательстве того, что измеримые множества образуют сигма-алгебру, например), и оно малопригодно для обобщений.

А именно, на внутреннюю меру можно посмотреть под неколько иным углом: взять внутреннюю меру $A$- это то же самое, что взять внешнюю меру для $A^\complement = X \setminus A$:

\[ \mu_*(A) := \mu^*(X) - \mu^*(A^\complement) \]

В этом случае уловие равенства внешней и внутренней мер такое:

\[ \mu^*(A) = \mu^*(X) - \mu^*(A^\complement) \]

Хотя это условие работает для пространств с конечными мерами, у нас возникают проблемы, когда $\mu^*$ может принимать бесконечные значения. Среди прочего, справа в равенстве может появиться неопределенность вида $\infty - \infty$. Можно переформулировать условие так:

\[ \mu^*(A) + \mu^*(A^\complement) = \mu^*(X) \]

Неопределенность $\infty - \infty$ пропадет. Но в этом случае если, например, $\mu^*$ – это внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}$ и $A$ – это такое множество, что $A$ и $A^\complement$ не ограниченны, то $\mu^*(A) = \mu_*(A) = +\infty$, т.е. любое такое множество будет измеримым. Это противоречит аксиоме выбора, используя которую все таки можно построить неизмеримое множество вида $A$.

Чтобы исправить ситуацию мы можем ввести «внутреннюю меру относительно $E$», для произвольного $E$, такого что $A \subset E \subset X$:

\[ \mu_E(A) = \mu^*(E) - \mu^*(E \setminus A), \]

и далее проверять условие “внутренняя мера=внешняя мера” для всех таких $E$, а не только для $E=X$, как мы делали до этого. Имеем

\[ \mu^*(A) + \mu^*(E \setminus A) = \mu^*(E), \qquad \forall E: \; A \subset E \subset X \]

На самом деле удобнее снять ограничение на $S$ быть супермножеством $A$, удобнее позволить $A$ “отрезать кусок” от $S$:

\[ \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) = \mu^*(E), \qquad \forall E \subset X \]

Получился критерий измеримости Каратеодори.

Задача 1

Определим ф-ии $\mu^*_1, \mu^*_2, \mu^*_3$ на $2^{\mathbb {R}}$ так: \[ \begin{align} \mu^*_1(A) &= \begin{cases}0, & A = \varnothing \\ 1, & A \neq \varnothing \end{cases} &\qquad \mu^*_2(A) &= \begin{cases}0, & A = \varnothing \\ +\infty, & A \neq \varnothing \end{cases}, &\qquad \mu^*_3(A) &= \begin{cases} 0, & A \text{ ограниченно} \\ 1, & A \text{ неограниченно} \end{cases} \end{align} \]

Какие из указанных функций являются внешними мерами?
Для каждого $i \in \{ 1,\dots ,3\}$, для которого оказалось, что $\mu^*_i$ – внешняя мера, охарактеризуйте множество $\mathcal{M}(\mu_i^*)$.

Теорема 1 (О внешней мере) Пусть $\mu^*$ – внешняя мера на $X$. Тогда

все $\mu^*$-измеримые подмножества $\mathcal{M}(\mu^*)$ образуют сигма-алгебру;
$\mu^*|_{\mathcal{M}(\mu^*)}$ (сужение $\mu^*$ на $\mathcal{M}(\mu^*)$) является мерой на сигма-алгебре $\mathcal{M}(\mu^*)$. Т.е. $\mu^*(\varnothing ) = 0$ и $\mu^*$ обладает счетной аддитивностью на $\mathcal{M}(\mu^*)$.

Задача 2

Докажите, что множества с нулевой внешней мерой всегда будут измеримыми по Каратеодори. А именно, пусть $\mu^*$ – внешняя мера на $X$, пусть $\mu^*(B) = 0$. Докажите, что $B \in \mathcal{M}(\mu^*)$.

2 Теорема о продолжении

Важнейший пример внешней меры – это внешняя мера Лебега или внешняя мера через (произвольные) счетные покрытия. Для нас в курсе это будет единственный пример внешней меры, хотя существуют и другие внешние меры, см. меру Хаусдорфа.

Пусть $\mathcal{S} \subset 2^X$ – произвольный набор подмножеств с $\varnothing \in \mathcal{S}$. Пусть $\mu : \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$ – неотрицательная монотонная функция множеств с $\mu (\varnothing ) = 0$. Для произвольного $A \subset X$ определим внешнюю меру Лебега по функции $\mu$ как

\[ \begin{align} \mu^*(A) := \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(F_i) \; : \; A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i}, \, A_i \in \mathcal{S} \text{ для всех }i\right\} \quad (\inf(\varnothing) := +\infty) \end{align} \]

В данном параграфе и далее под $\mu^*$ (или $\lambda^*$) будет пониматься именно внешняя мера Лебега для $\mu$ (для $\lambda$).

Теорема 2 (Теорема Каратеодори о продолжении) Пусть $\mathcal{S}$ – полукольцо, $\mu : \mathcal{S} \to [0, +\infty ]$ – предмера (т.е. $\mu (\varnothing ) = 0$ и $\mu$ сч.-адд. на $\mathcal{S}$). Тогда существует продолжение $\mu$ до меры $\tilde{\mu }$ на сигма-алгебре $\sigma (\mathcal{S})$.

Если дополнительно $\mu$ – $\sigma$-конечная мера на $\mathcal{S}$, то указанное продолжение единственно (и $\sigma$-конечно).

Доказательство (тезисно). Схема построения продолжения:

По $\mu$ определяем внешню меру $\mu^*$ через инфимум мер счетных покрытий. $\mu^*$ – это внешняя мера в смысле опр. Определение 1. Отсюда, по теор. Теорема 1, сразу следует, что $\mu^*$ – это мера на сигма-алгебре измеримых $\mathcal{M}(\mu^*)$.
$\mu$ и $\mu^*$ совпадают на $\mathcal{S}$. Т.е. что $\mu^*$ – это продолжение $\mu$.
$\mathcal{S} \subset \mathcal{M}(\mu^*)$. Поскольку $\mathcal{M}(\mu^*)$ – сигма-алгебра, отсюда следует, что $\sigma (\mathcal{S}) \subset \mathcal{M}(\mu^*)$.
Определяем $\tilde{\mu }$ как сужение $\mu^*$ на $\sigma (\mathcal{S})$.
В случае, если $\mu$ – это сигма-конечная мера, единственность докажем позже, используя теорему о $\pi$-$\lambda$ системах.

Недоказанные ещё факты выделены красным. Последовательно докажем их.

Из следующей леммы будут следовать первые 2 факта: что $\mu^*$ – это внешняя мера, и что $\mu$ и $\mu^*$ совпадают на $\mathcal{S}$.

Лемма 1 Пусть $\mathcal{S} \subset 2^X$, $\varnothing \in \mathcal{S}$, $\mu : \mathcal{S} \to [0,+\infty ]$ – монотонная функция множеств, причем $\mu (\varnothing ) = 0$. Тогда $\mu^*$, определенная выше, – это внешняя мера. Если дополнительно $\mu$ явл. $\sigma$-субаддитивной на $\mathcal{S}$, то \[ \mu^*(A) = \mu(A), \quad \forall A \in \mathcal{S} \]

Пример 1

Докажите, что в условиях лем. Лемма 1$\mu^*$ – это действительно внешняя мера.

Решение

Первые 2 свойства внешней меры очевидны. Докажем счетную субаддитивность. Пусть $(A_n)_{n=1}^\infty \subset 2^{\mathbb {R}}$ – покрытие $A \subset \mathbb {R}$, т.е. $A \subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n$. Для произвольного $n \in \mathbb {N}$ пусть $(\mathcal{F}_{n,k})_{k=1}^\infty$ – такая последовательность не более чем счетных покрытий $A_n$, что \[ \mu^*(A_n) = \lim_{k \to \infty} \sum_{F \in \mathcal{F}_{n,k}} \mu(F) \] Заметим, что $\forall k \in \mathbb {N}$ множество $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{F}_{n,k}$ покрывает все $A_1, A_2, \dots$, т.е. покрывает $A$. При этом оно, очевидно, не более, чем счетно. Т.е. $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{F}_{n,k} \in \mathcal{U}(A)$ и \[ \begin{align} \mu^*(A) &\leq \sum_{F \in \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{F}_{n,k}} \mu(F) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{F \in \mathcal{F}_{n,k}} \mu(F) \\ \mu^*(A) &\leq \lim_{k \to \infty }\sum_{n=1}^\infty \sum_{F \in \mathcal{F}_{n,k}} \mu(F) = \sum_{n=1}^\infty \lim_{k \to \infty } \sum_{F \in \mathcal{F}_{n,k}} \mu(F) = \\ &= \sum_{n=1}^\infty \mu^*(A_n) \end{align} \]

Задача 3

Докажите, что в условиях лем. Лемма 1, если $\mu$ сигма-субаддитивна, то $\mu^*(A) = \mu (A)$, $\forall A \in \mathcal{S}$.

Пример 2

Докажите, что $\mathcal{S} \subset \mathcal{M}(\mu^*)$, т.е. что все элементы из полукольца $\mathcal{S}$ являются $\mu^*$-измеримыми.

Решение

Пусть $A \in \mathcal{S}$ – произвольное. Необходимо показать, что $A \in \mathcal{M}(\mu^*)$: для произвольного $E \subset X$ необходимо доказать, что \[ \mu^*(E) \geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \] - Если $\mu^*(E) = +\infty$, то это выполнено автоматически. Поэтому далее считаем, что $\mu^*(E) < \infty$.

Пусть $\varepsilon > 0$ – произвольное. Докажем, что

\[ \mu^*(E) \geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) - \varepsilon \] Далее можно устремить $\varepsilon$ к нулю и получить то, что требуется.
Пусть $B_1, B_2, \ldots \in \mathcal{S}$ – такое сч. покрытие $E$ элементами из полукольца, что

\[ \mu^*(E) + \varepsilon \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu\left(B_n\right) \] Мы можем выбрать такое покрытие по определению внешней меры Лебега.
Заметим, что $B_1 \cap A, B_2 \cap A, \ldots$ будет сч. покрытием $E \cap A$ элементами из полукольца $\mathcal{S}$, следовательно, по определению внешней меры Лебега,

\[ \mu^*(E \cap A) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu\left(B_n \cap A\right) \] Аналогично для $E \setminus A$ можно записать:

\[ \mu^*(E \setminus A) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu\left(B_n \setminus A\right) \]
Складывая эти неравенства, получим

\[ \begin{align} \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left[\underbrace{\mu\left(B_n \cap A\right) + \mu\left(B_n \setminus A\right)}_{=\mu(B_n) \text{ т.к. } \mu \text{ аддитивна на } \mathcal{S}}\right] = \sum_{n=1}^{\infty} \mu\left(B_n\right) \leq \\ &\leq \mu^*(E) + \varepsilon \end{align} \]

Задача 4

Найдите неточность в предыдущем доказательстве, т.е. в примере @SsubsMmu. Как ее следует исправить?

Задача 5

Пусть $X = \mathbb {Q}, \; \mathcal{S} = \left\{ (a, b] \cap \mathbb {Q}: -\infty < a \leq b < + \infty , a,b \in \mathbb {Q}\right\}$.

Докажите, что $\mathcal{S}$ – полукольцо, $\sigma (\mathcal{S}) = 2^{\mathbb {Q}}$.
Определим считающую меру на полукольце $\mathcal{S}$:

\[ \begin{align} \mu(A) := \begin{cases} \left|A\right|, &\left|A\right| < \left|\mathbb{N}\right|, \\ +\infty, &\left|A\right| = \left|\mathbb{N}\right| \end{cases}, \qquad A \in \mathcal{S} \end{align} \] Докажите, что $\mu$ – предмера на $(\mathbb {Q}, \mathcal{S})$, не являющаяся $\sigma$-конечной.
Определим считающую меру на сигма-алгебре $2^{\mathbb {Q}}$:

\[ \begin{align} \#(A) := \begin{cases} \left|A\right|, &\left|A\right| < \left|\mathbb{N}\right|, \\ +\infty, &\left|A\right| = \left|\mathbb{N}\right| \end{cases}, \qquad A \in 2^{\mathbb{Q}} \end{align} \] Докажите, что $\#$ и $2\#$ – это две различные $\sigma$-конечные меры на $\sigma (\mathcal{S}) = 2^{\mathbb {Q}}$, являющиеся продолжениями $\mu$. Здесь под $2\#$ имеется ввиду считающая мера с коэффициентом $2$ (ясно, что на самом деле можно любой коэффициент взять).
Пусть $\mu^*: 2^{\mathbb {Q}} \to [0, +\infty ]$ – внешняя мера Лебега, порожденная мерой $\mu$. Докажите, что

\[ \mu^*(A) = \begin{cases} 0, & A =\varnothing \\ +\infty, & A \neq \varnothing \end{cases} \] Докажите, что $\mu^*$ не $\sigma$-конечна.
Докажите, что $\mathcal{M}(\mu^*) = 2^{\mathbb {Q}}$. Т.е. надо доказать, что $\mu^*$ – это не просто внешняя мера на $2^{\mathbb {Q}}$, а самая настоящая мера (по теореме о внешней мере мы знаем, что внешняя мера на сигма-алгебре своих измеримых будет мерой).

Примечание. Эта задача показывает, что если $\mu$ не сигма-конечна, то может быть несколько продолжений на $\sigma (\mathcal{S})$, часть из которых могут быть сигма-конечными (как $\#$, $2\#$, $7\#$, ), а часть – нет (как $\mu^*$.)

3 Теорема о монотонных классах, теорема о $\pi$-$\lambda$-системах, метод подходящих множеств

Определение 3 Семейство $\mathcal{S} \subset 2^{\Omega }$ – это $\pi$-система над $\Omega$, если оно непусто и замкнуто относительно попарных пересечений.

Определение 4 Последовательность множеств $A_1, A_2, \dots$ называется возрастающей, если $A_n \subset A_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb {N}$, и убывающей если $A_n \supset A_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb {N}$.

Определение 5 Семейство $\mathcal{S}$ – $\lambda$-система (или система Дынкина), если

$\Omega \in \mathcal{S}$;
Если $A, B \in \mathcal{S}, A \subset B$, то $B \setminus A \in \mathcal{S}$;
Есть замкнутость относительно возрастающих счетных объединений, т.е. если $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{S}$ и $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \dots$, то

\[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{S} \] Наименьшая $\lambda$-система, содержащая произвольную систему $\mathcal{D}$, обозначается $\lambda (\mathcal{D})$

Определение 6 Семейство подмножеств $\mathcal{S}$ множества $\Omega$ называется монотонным классом, если оно замкнуто относительно возрастающих счетных объединений и убывающих счетных пересечений, т.е.

Если $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{S}, A_1 \subset A_2 \subset \dots$, то $\bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathcal{S}$
Если $B_1, B_2, \dots \in \mathcal{S}, B_1 \supset B_2 \supset \dots$, то $\bigcap_{i=1}^n B_i \in \mathcal{S}$ Наименьший монотонный класс, содержащий произвольную систему $\mathcal{D}$, обозначается $M(\mathcal{D})$

Теорема 3 Пусть $\Omega$ – это произвольное множество, $\mathcal{S} \subset 2^\Omega$ – это семейство подмножеств. Следующие условия эквивалентны:

$\mathcal{S}$ является $\sigma$-алгеброй;
$\mathcal{S}$ является одновременно $\pi$-системой и $\lambda$-системой;
$\mathcal{S}$ является одновременно алгеброй и монотонным классом.

Теорема 4 (О монотонных классах) Пусть $\mathcal{A}$ – это алгебра, содержащаяся в некотором монотонном классе $\mathcal{E}$, т.е. $\mathcal{A} \subset \mathcal{E}$. Тогда $\sigma (\mathcal{A}) \subset \mathcal{E}$. .

В частности, для алгебры $\mathcal{A}$ имеем $\sigma (\mathcal{A}) \subset M(\mathcal{A})$. Любая сигма-алгебра является монотонным классом, значит монотонных классов больше, значит при взятии пересечений по всем монотонным классам у нас получится меньшее множество:

\[ \sigma(\mathcal{A}) = \bigcap_{\substack{\mathcal{F} \supset \mathcal{A} \\ \mathcal{F} \text{ -- $\sigma$-алг.}}} \mathcal{F} \quad \supset \quad \bigcap_{\substack{\mathcal{E} \supset \mathcal{A} \\ \mathcal{E} \text{ -- мон.} \\\text{ кл.}}} \mathcal{E} = M(\mathcal{A}) \]

Т.е. $\sigma (\mathcal{A}) \supset M(\mathcal{A})$. Окончательно получаем $\sigma (\mathcal{A}) = M(\mathcal{A})$ (иногда это утверждение и называют теоремой о монотонных классах).

Теорема 5 (О $\pi$-$\lambda$-системах) Пусть $\mathcal{I}$ – это $\pi$-система, содержащаяся в некоторой $\lambda$-системе $\mathcal{D}$, т.е. $\mathcal{I} \subset \mathcal{D}$. Тогда $\sigma (\mathcal{I}) \subset \mathcal{D}$. В частности, $\sigma (\mathcal{I}) \subset \lambda (\mathcal{I})$.

Пример 3

Докажите теорему о $\pi$-$\lambda$ системах.

Решение

Обозначим через $\lambda (\mathcal{I})$ наименьшую $\lambda$-систему, содержащую $\mathcal{I}$. Достаточно доказать, что $\lambda (\mathcal{I})$ является $\sigma$-алгеброй, тогда $\sigma (\mathcal{I}) \subset \lambda (\mathcal{I}) \subset \mathcal{D}$.

Для начала докажем, что $\lambda (\mathcal{I})$ – это алгебра. Аксиомы алгебры:

$\Omega \in \lambda (\mathcal{I})$? По определению $\lambda$-системы, в ней есть $\Omega$.

$\lambda (\mathcal{I})$ замкнуто относительно дополнений? $A \in \lambda (\mathcal{I}) \Rightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \lambda (\mathcal{I})$.

$\lambda (\mathcal{I})$ замкнуто относительно конечных пересечений? Это трудоемкий пункт. Для $A \in \lambda (\mathcal{I})$ определим:

\[ \mathcal{D}_A = \{ B \in \lambda(\mathcal{I}) : A \cap B \in \lambda(\mathcal{I}) \}. \] Проверим, что $\mathcal{D}_A$ — $\lambda$-система:

$\Omega \in \mathcal{D}_A$, так как $A \cap \Omega = A \in \lambda (\mathcal{I})$.
Пусть $B_1, B_2 \in \mathcal{D}_A$, $B_1 \subset B_2$. Тогда

\[ A \cap (B_2 \setminus B_1) = (A \cap B_2) \setminus (A \cap B_1) \in \lambda(\mathcal{I}), \] поскольку $A \cap B_2, A \cap B_1 \in \lambda (\mathcal{I})$ и $A \cap B_1 \subset A \cap B_2$.
Пусть $B_n \in \mathcal{D}_A$, $B_n \uparrow B$. Тогда $A \cap B_n \uparrow A \cap B$, следовательно $A \cap B \in \lambda (\mathcal{I})$, то есть $B \in \mathcal{D}_A$.

Если $A \in \mathcal{I}$, то для любого $B \in \mathcal{I}$ имеем $A \cap B \in \mathcal{I} \subset \lambda (\mathcal{I})$, значит $\mathcal{I} \subset \mathcal{D}_A$. Но $\mathcal{D}_A$ — $\lambda$-система, поэтому $\lambda (\mathcal{I}) \subset \mathcal{D}_A$.

Пусть теперь $A \in \lambda (\mathcal{I})$. Для любого $B \in \mathcal{I}$ из предыдущего шага $B \in \mathcal{D}_A$, то есть $A \cap B \in \lambda (\mathcal{I})$. Это означает, что $\mathcal{I} \subset \mathcal{D}_A$, и снова $\lambda (\mathcal{I}) \subset \mathcal{D}_A$.

Таким образом, для любых $A, B \in \lambda (\mathcal{I})$ имеем $B \in \mathcal{D}_A$, то есть $A \cap B \in \lambda (\mathcal{I})$.

Итак, $\lambda (\mathcal{I})$ – это алгебра. Для $\sigma$-алгебры достаточно проверить замкнутость относительно счетных объединений. Пусть $A_n \in \lambda (\mathcal{I})$. Положим

\[ B_n = A_1 \cup \dots \cup A_n. \] Тогда $B_n \uparrow \bigcup_{n=1}^\infty A_n$. Но $B_n \in \lambda (\mathcal{I})$, поскольку

\[ B_n = A_1 \cup (A_2 \setminus A_1) \cup (A_3 \setminus (A_1 \cup A_2)) \cup \dots \] и $\lambda (\mathcal{I})$ замкнута относительно разностей и конечных объединений (последнее следует из замкнутости относительно пересечений и формулы де Моргана).

В частности, для $\pi$-системы подмножеств $\mathcal{I}$ имеем $\sigma (\mathcal{I}) \subset \lambda (\mathcal{I})$. Поскольку любая $\sigma$-алгебра является $\lambda$-системой, имеем $\sigma (\mathcal{I}) \supset \lambda (\mathcal{I})$. Окончательно получаем $\sigma (\mathcal{I}) = \lambda (\mathcal{I})$ (иногда это утверждение и называют теоремой о $\pi$-$\lambda$-системах).

3.1 Метод подходящих множеств

Теорема $\pi$-$\lambda$-системах (или о монотонных классах) очень удобны, когда возникает необходимость доказать выполнение некоторого условия $P$ для всех элементов какой-то сигма-алгебры $\mathcal{F}$. Обозначим $\mathcal{S}_P \subset 2^\Omega$ те подмножества $\Omega$ (не обязательно лежащие в $\mathcal{F}$), для которых выполнено условие $P$. Это так называемые подходящие множества. Необходимо доказать, что $\mathcal{F} \subset \mathcal{S}_P$. Доказательство проводится в 2 этапа. Сначала необходимо найти такую $\pi$-систему (или алгебру) $\mathcal{I}$, что $\sigma (\mathcal{I}) = \mathcal{F}$, и для которой выполняется условие $P$, т.е. $\mathcal{I} \subset \mathcal{S}_P$. Далее необходимо доказать, что $\mathcal{S}_P$ является $\lambda$-системой (или монотонным классом соотв.). В итоге, по теореме получаем $\mathcal{F} = \sigma (\mathcal{I}) = \lambda (\mathcal{I}) \subset \mathcal{S}_P$ ($\mathcal{F} = \sigma (\mathcal{I}) = M(\mathcal{I}) \subset \mathcal{S}_P$ соотв.).

Теорема 6 (Для совпадения вероятностных мер достаточно их совпадения на порождающей $\pi$-системе) Пусть $\mathbb {P}_{1}, \mathbb {P}_{2}$ – 2 вероятностные меры на $(\Omega , \mathcal{F})$, где $\mathcal{F}$ – сигма-алгебра $\Omega$. Пусть их значения совпадают на некоторой $\pi$-системе $\mathcal{I}$, т.е. $\mathbb {P}_{1}|_{\mathcal{I}} \equiv \mathbb {P}_{2}|_{\mathcal{I}}$, причем эта $\pi$-система порождает сигма-алгебру: $\sigma (\mathcal{I}) = \mathcal{F}$. Докажите, что $\mathbb {P}_{1} \equiv \mathbb {P}_{2}$, т.е. они совпадают на всей $\mathcal{F}$.

Иначе говоря, для того, чтобы 2 вероятностные меры совпали (на какой-то сигма-алгебре), достаточно, чтобы они совпадали на некоторой пи-системе, которая бы порождала сигма-алгебру.

Пример 4

Докажите теорему Теорема 6.

Решение

Пусть $\mathcal{S}$ – это подходящие нам множества, т.е. все те множества, на которых $\mathbb {P}_{1}, \mathbb {P}_{2}$ совпадают:

\[ \mathcal{S} = \left\{B \in \mathcal{F} \; : \; \mathbb{P}_{1}\left(B\right) = \mathbb{P}_{2}\left(B\right)\right\} \] Нам известно, что $\mathcal{I} \subset \mathcal{S}$. Хотим показать, что $\mathcal{F} \subset \mathcal{S}$. Предположим, что нам удалось доказать, что $\mathcal{S}$ – это $\lambda$-система. Тогда, по теореме о $\pi$-$\lambda$-системах, $\mathcal{F} = \sigma (\mathcal{I}) = \lambda (\mathcal{I}) \subset \mathcal{S}$, и доказательство завершено.
Осталось доказать, что $\mathcal{S}$ – это $\lambda$-система.

Enum-item1.

$\Omega \in \mathcal{S}$? Мы работаем с вероятностными мерами, значит $1 = \mathbb {P}_{1}\left(\Omega \right) = \mathbb {P}_{2}\left(\Omega \right)$. Следовательно, $\Omega \in \mathcal{S}$.

Enum-item2.

Если $A, B \in \mathcal{S}, A \subset B$, то $B \setminus A \in \mathcal{S}$? Имеем $B = A \sqcup (B \setminus A)$. По аддитивности меры получаем

\[ \mathbb{P}_{1}\left(A\right) + \mathbb{P}_{1}\left(B \setminus A\right) = \mathbb{P}_{1}\left(B\right) = \mathbb{P}_{2}\left(B\right) = \mathbb{P}_{2}\left(A\right) + \mathbb{P}_{2}\left(B \setminus A\right) \] Поскольку меры конечны, $\mathbb {P}_{1}\left(A\right), \mathbb {P}_{2}\left(A\right) < \infty$, значит мы можем сократить их и останется

\[ \mathbb{P}_{1}\left(B \setminus A\right) = \mathbb{P}_{2}\left(B \setminus A\right) \]

Enum-item3.

Есть замкнутость относительно возрастающих счетных объединений, т.е. если $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{S}$ и $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \dots$, то $\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{S}$? По свойству непрерывности снизу для мер получаем

\[ \mathbb{P}_{1}\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}_{1}\left(A_n\right) = \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}_{2}\left(A_n\right) = \mathbb{P}_{2}\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \] Следовательно, $\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{S}$.

Доказали.

Более общий случай: мы ослабляем требование на меры, теперь они могут быть и не вероятностными. Но вынуждены усилить требования на $\pi$-систему.

Теорема 7 (Для совпадения $\sigma$-конечных мер достаточно их совпадения на порождающей $\pi$-системе и наличия в этой системе множеств, которые покрывают все пространство, и на которых меры конечны) Пусть $\mu_{1}, \mu_{2}$ – 2 $\sigma$-конечные меры на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{F})$. Пусть их значения совпадают на некоторой $\pi$-системе $\mathcal{I}$, т.е. $\mu_{1}|_{\mathcal{I}} \equiv \mu_{2}|_{\mathcal{I}}$, причем

эта $\pi$-система порождает сигма-алгебру: $\sigma (\mathcal{I}) = \mathcal{F}$;
найдутся такие $\Omega_1, \Omega_2, \ldots \in \mathcal{I}$, что $\bigcup_{n=1}^{\infty } \Omega_n = \Omega$ и $\mu_{1}(\Omega_n) = \mu_2(\Omega_n) < \infty$ для любого $n \in \mathbb {N}$.

Докажите, что тогда $\mu_{1} \equiv \mu_{2}$, т.е. они совпадают на всей $\mathcal{F}$.

Задача 6

Докажите теорему Теорема 7.

Задача 7

Что будет, если из теоремы Теорема 7 убрать условие @prob:uniqueness_of_measure:cond1? А именно, пусть $(\Omega , \mathcal{F}) = (\mathbb {Z}, 2^{\mathbb {Z}})$, пусть \[ \mathcal{I} = \left\{[-n,n] \cap \mathbb{Z} \; : \; n \in \mathbb{N}\right\} \]

Докажите, что $\mathcal{I}$ – это $\pi$-система.
Придумайте разные вероятностные меры на $(\mathbb {Z}, 2^{\mathbb {Z}})$, которые бы совпадали на $\mathcal{I}$.
Какую сигма-алгебру порождает $\mathcal{I}$?

Задача 8

Что будет, если из теоремы Теорема 7 убрать условие @prob:uniqueness_of_measure:cond2? А именно, пусть $(\Omega , \mathcal{F}) = (\mathbb {Z}, 2^{\mathbb {Z}})$, пусть \[ \mathcal{I} = \left\{(-\infty,n] \cap \mathbb{Z} \; : \; n \in \mathbb{Z}\right\} \]

Докажите, что $\mathcal{I}$ – это $\pi$-система.
Докажите, что $\mathcal{I}$ порождает $2^{\mathbb {Z}}$: $\sigma (\mathcal{I}) = 2^{\mathbb {Z}}$.
Придумайте разные $\sigma$-конечные меры на $(\mathbb {Z}, 2^{\mathbb {Z}})$, которые бы совпадали на $\mathcal{I}$.

4 Полнота продолжения

Определение 7 Пусть $\nu$ – мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{F})$. Множество $B$ называется $\nu$-пренебрежимым, если $\exists A \in \mathcal{F}: \; B \subseteq A, \nu (A) = 0$. Обратите внимание, что не обязательно $B \in \mathcal{F}$. Обозначим \[ \mathcal{N}_\nu := \bigcup_{A \in \mathcal{F}: \nu(A) = 0} 2^A \] семейство всех $\nu$-пренебрежимых множеств. Мера $\nu$ называется полной на $(X, \mathcal{F})$, если $\mathcal{N}_\nu \subset \mathcal{F}$, т.е. все пренебрежимые множества измеримы (и их мера равна нуль соотв.). Обратите внимание, что хоть понятие полноты и применяется к мере, в определении полноты важны все 3 элемента $X, \mathcal{F}, \nu$.

Задача 9

Пусть $a \in \mathbb {R}$. Пусть $\mathcal{F} = \sigma (\left\{ b\right\} : b \in \mathbb {R} \setminus \left\{ a\right\} )$. Опишите $\mathcal{F}$. Докажите, что мера Дирака $\delta_a$ (единичная масса в точке $a$) будет полной мерой на $(\mathbb {R}, \mathcal{F})$.

Лемма 2 (О полноте продолжения) Пусть имеем те же условия, что и в теор. Теорема 2 (и пусть $\mu$ – $\sigma$-конечна на $\mathcal{S}$). Мера $\mu = \mu^*|_{\sigma (\mathcal{S})}$ на $(X, \sigma (\mathcal{S}))$ может не быть полной, но мера $\mu^*|_{\mathcal{M}(\mu^*)}$ всегда полна на пространстве $(X, \mathcal{M}(\mu^*))$. Более того, $(X, \mathcal{M}(\mu^*), \mu^*_{\mathcal{M}(\mu^*)})$ – пополнение $(X, \sigma (\mathcal{S}), \mu^*_{\sigma (\mathcal{S})})$, в том смысле, что сигма-алгебра $\mathcal{M}(\mu^*)$ является минимальной сигма-алгеброй, содержащей в себе $\sigma (\mathcal{S})$, и на которой можно определить полное продолжение меры $\mu^*_{\sigma (\mathcal{S})}$. Причем выполнено следующее: \[ \begin{align} \mathcal{M}(\mu^*) &= \sigma\left(\sigma(\mathcal{S}) \cup \mathcal{N}_{\mu^*_{\sigma(\mathcal{S})}}\right) = \left\{A \cup B: A \in \sigma(\mathcal{S}), B \in \mathcal{N}_{\mu^*_{\sigma(\mathcal{S})}}\right\} \\ \mu^*|_{\mathcal{M}(\mu^*)}(A \cup B) &= \mu^*|_{\sigma(\mathcal{S})}(A), \qquad A \in \sigma(\mathcal{S}), B \in \mathcal{N}_{\mu^*_{\sigma(\mathcal{S})}} \end{align} \]

Задача 10

Пусть $X = [0,1]$ (или любое другое несчетное множество), \[ \mathcal{S} = \left\{A \subset [0,1]: \text{ или } A \text{, или } A^\complement \text{ не более, чем счетно}\right\} \] Заметим, что $\mathcal{S}$ – $\sigma$-алгебра. Определим на $\mathcal{S}$ считающую меру: \[ \mu(A) = \begin{cases} \left|A\right|, & \left|A\right| < \left|\mathbb{N}\right| \\ +\infty, & \left|A\right| \geq \left|\mathbb{N}\right| \end{cases} \] Докажите, что

$([0,1], \mathcal{S}, \mu )$ – пространство с мерой, причем не $\sigma$-конечное;
$\mu$ полна на $([0,1], \mathcal{S})$;
Пусть $\mu^*$ – внешняя мера, порожденная мерой $\mu$ (через счетные покрытия). Докажите, что $\mathcal{M}(\mu^*) = 2^{[0,1]}$.

Примечание. Эта задача показывает, что в лемме о пополнении важно, чтобы $\mu$ была изначально сигма-конечной. Иначе, как в данном случае получается, $(X, \mathcal{M}(\mu^*), \mu^*|_{\mathcal{M}(\mu^*)})$ не будет пополнением $(X, \sigma (\mathcal{S}), \mu^*|_{\sigma (\mathcal{S})})$: в данном случае пространство $(X, \sigma (\mathcal{S}) = \mathcal{S}, \mu^*|_{\sigma (\mathcal{S})} = \mu )$ уже полно, при этом $\mathcal{S} \neq \mathcal{M}(\mu^*)$.

1 Общее понятие внешней меры, критерий Каратеодори

2 Теорема о продолжении

3 Теорема о монотонных классах, теорема о \(\pi\)-\(\lambda\)-системах, метод подходящих множеств

3.1 Метод подходящих множеств

4 Полнота продолжения