\((\Omega , \mathcal{F})\) будет обозначать пространство и сигма-алгебру на нем (измеримое пространство).
Определения
Определение 1 Пусть \((\Omega , \mathcal{F}), \; (\Omega^\prime , \mathcal{F}^\prime )\) – два произвольных измеримых пространства. Отображение \(f: \Omega \to \Omega^\prime\) называется \(\mathcal{F} | \mathcal{F}^\prime\)-измеримым (или просто измеримым, если из контекста понятно, о каких сигма-алгебрах идет речь), если прообразы всех элементов из \(\mathcal{F}'\) попадают в \(\mathcal{F}\):
\[
f^{-1}(B) \in \mathcal{F}, \qquad \forall B \in \mathcal{F}^\prime
\] Данное условие можно переписать как \(f^{-1}(\mathcal{F}^\prime ) \subseteq \mathcal{F}\). Также применятся такая запись для \(f^{-1}(B)\): \(\left\{ f \in B\right\}\). Измеримую функцию еще записывают так:
\[
f: (\Omega, \mathcal{F}) \to (\Omega^\prime, \mathcal{F}^\prime)
\]
Лемма 1 (Критерий измеримости) Пусть сигма-алгебра \(\mathcal{F}'\) на области значений \(\Omega '\) порождается каким-то семейством \(\mathcal{A} \subset 2^{\Omega '}\): \(\mathcal{F}' = \sigma (\mathcal{A})\). Тогда для измеримости \(f: \Omega \to \Omega '\) необходимо и достаточно, чтобы прообразы из \(\mathcal{A}\) попали в \(\mathcal{F}\): \(f^{-1}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{F}\).
Как правило, нас будут интересовать числовые измеримые отображения, т.е. измеримые функции. В этом случае \((\Omega^\prime , \mathcal{F}^\prime ) = (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\). Удобно в качестве области значений брать сразу расширенную числовую прямую, т.к. в дальнейшем нам предстоит, например, доказывать, что супремум от набора измеримых функций будет измеримым. Открытыми в \(\overline{\mathbb {R}} = [-\infty , +\infty ]\) считаются множества видов
\[
A, \quad A \cup [-\infty, x), \quad A \cup (y, +\infty], \quad A \cup [-\infty,x) \cup (y, +\infty]
\]
где \(A \subset \mathbb {R}\) – открытое, \(x, y \in \mathbb {R}\). \(\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\) – борелевская сгма-алгебра в \(\overline{\mathbb {R}}\), т.е. минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые множества \(\overline{\mathbb {R}}\). Несложно доказать, что
\[
\begin{align}
\mathscr{B}\left(\overline{\mathbb{R}}\right) = \mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right) &\cup \left\{B \cup \left\{+\infty\right\}, B \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right\} \cup \\
&\cup \left\{B \cup \left\{-\infty\right\}, B \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right\} \cup \\
&\cup \left\{B \cup \left\{-\infty, +\infty\right\}, B \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right\}
\end{align}
\]
Из критерия измеримости и свойств борелевской сигма-алгебры в \(\mathbb {R}\) вытекает следующая лемма.
Лемма 2 (критерий измеримости функции (числового отображения)) Пусть \(f: \Omega \to \mathbb {R}\), пусть \(\mathcal{F}\) — это сигма-алгебра на \(\Omega\). Пусть \(D\) — всюду плотное подмножество \(\mathbb {R}\). Следующие условия эквивалентны:
\(f\) явл. \(\mathcal{F}\mid \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\)-измеримой;
\(f^{-1}((x, +\infty ]) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}([x, +\infty ]) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}([-\infty , x)) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}([-\infty , x]) \in \mathcal{F}, \quad \forall x \in D\)
\(f^{-1}(B) \in \mathcal{F} \; \forall B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right)\) и \(f^{-1}(\left\{ -\infty \right\} ), f^{-1}(\left\{ +\infty \right\} ) \in \mathcal{F}\).
Определение 2 Измеримая функция \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) называется измеримой по Борелю, если ее область определения \((\Omega , \mathcal{F})\) – борелевское подмножество \(\mathbb {R}^{k}\) с борелевской сигма-алгеброй: \(\left(\Omega , \mathcal{F}\right) = \left(B, \mathscr {B}\left(B\right)\right)\), \(B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)\).
Измеримая функция \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) называется измеримой по Лебегу, если если ее область определения – измеримое по Лебегу подмножество \(\mathbb {R}^{k}\) с сигма-алгеброй своих подмножеств, измеримых по Лебегу, т.е. \(\Omega = A \in \mathcal{M}(\lambda_k^*) \subset 2^{\mathbb {R}^{k}}\), \(\mathcal{F} = A \cap \mathcal{M}(\lambda^*_k)\).
Докажите, что функция \(f = \; \mathbb {1}_{A}\) является \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримой тогда и только тогда, когда \(A \in \mathcal{F}\).
Пусть \(B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)\) – произвольное борелевское подмножество \(\mathbb {R}^{k}\). Докажите, что непрерывная функция \(f: B \to \overline{\mathbb {R}}\) измерима по Борелю.
Функция непрерывна (т.е. непрерывна в каждой точке на всей области определения) тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества из области значений открыт в области определения.
Постройте на \([0,1]\) измеримую по Лебегу функцию, которая была бы разрывна в каждой точке.
Пусть \(A_1, \dots , A_n\) – разбиение \(\Omega\) и пусть \(\mathcal{F} = \sigma (\left\{ A_1, \dots , A_n\right\} )\). Охарактеризуйте все измеримые функции из \((\Omega , \mathcal{F})\) в данном случае.
Пусть \(f: [0,1] \to \overline{\mathbb {R}}\) – монотонная на \([0,1]\) функция. Докажите, что \(f\) является измеримой по Борелю.
Не огр. общности, пусть \(f\) – возрастающая. … дописать
Докажите, что \(\mathscr {B}\left(\mathbb {R}\right) \subsetneq \mathcal{M}(\lambda )\). А именно, постройте измеримое по Лебегу множество, не являющееся борелевским.
Приведите пример такой непрерывной функции \(f: [0,1] \to [0,1]\) и такого \(C \in \mathcal{M}(\lambda^*)\), что \(C \subset [0,1], \lambda (C) = 0\), но \(\lambda (f(C)) > 0\) (для этого, разумеется, необходимо потребовать, чтобы \(f(C) \in \mathcal{M}(\lambda^*)\)). А именно, пусть \(f\) – это канторова лестница, а \(C\) – множество Кантора. Охарактеризуйте множества \(f\left(C^{\complement }\right)\) и \(f(C)\).
Рассмотрим функцию \(g(x) = \frac{f(x) + x}{2}\). Докажите, что \(g\) удовлетворяет предыдущему пункту, но при этом она строго возрастающая, т.е. биективная на \([0,1]\).
Докажите, что функция \(h = g^{-1}\), где \(g\) получена в предыдущем пункте, – непрерывная, строго возрастающая.
Докажите при помощи алгоритма Витали, что найдется такое неизмеримое по Лебегу \(B \subset g(C)\).
Пусть \(A := h(B) = g^{-1}(B)\), где \(B, h, g\) из предыдущих пунктов. Докажите, что \(A\) является измеримым по Лебегу.
Докажите, что \(A\) из предыдущего пункта не является борелевским. Подсказка: непрерывная строго возрастающая функция отображает борелевские множества в борелевские.
Измеримые функции и арифметические операции
Пусть \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримая функция. Докажите, что \[
h(\omega) = \begin{cases} \frac{1}{f(\omega)}, & f(\omega) \neq 0 \\ c, & f(\omega) = 0 \end{cases}
\] измерима. \(c in \mathbb {R}\) в данном случае – это произвольная константа.
Пусть \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции. Докажите, что событие \(\left\{ f > g\right\}\) измеримо, т.е. что \[
\left\{f > g\right\} = \left\{\omega \; : \; f(\omega) > g(\omega)\right\} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \bigg[\left\{\omega \; : \; f(\omega) > q\right\} \cap \left\{\omega \; : \; q > g(\omega)\right\} \bigg]
\]
Заметим, что
\[
\left\{f > g\right\} \subset \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \bigg[\left\{\omega \; : \; f(\omega) > q\right\} \cap \left\{\omega \; : \; q > g(\omega)\right\} \bigg]
\] Действительно, для произвольного \(\omega_0 \in \left\{ f > g\right\}\) найдется такое рациональное число \(q_0 = q(\omega_0)\), что \(f(\omega_0) > q_0 > g(\omega_0)\) (т.к. рациональные числа всюду плотны в \(\overline{\mathbb {R}}\)). Следовательно
\[
\left\{f > g\right\} \supset \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \bigg[\left\{\omega \; : \; f(\omega) > q\right\} \cap \left\{\omega \; : \; q > g(\omega)\right\} \bigg]
\] Обратное включение
\[
\begin{align}
\left\{f > g\right\} &= \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \bigg[\left\{\omega \; : \; f(\omega) > q\right\} \cap \left\{\omega \; : \; q > g(\omega)\right\} \bigg] = \\
&= \bigcup_{q \in \mathbb{Q}}\bigg[\underbrace{f^{-1}\left((q, +\infty]\right)}_{\in \mathcal{F}} \cap \underbrace{g^{-1}\left([-\infty,q)\right)}_{\in \mathcal{F}} \bigg] \in \mathcal{F}
\end{align}
\] очевидно.
Имеем
\[
h(\omega) = \begin{cases} f(\omega) + g(\omega), & f(\omega) + g(\omega) \text{ определено} \\ c, & \text{ в прот. случае}\end{cases}
\] Воспользовались измеримостью \(f\), \(g\), а также замкнустостью сигма-алгебры относительно счетных пересечений.
Пусть \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции. Пусть \[
\begin{align}
\left\{x: f(x) + g(x) \in (-\infty, y]\right\} &= \left\{f + g \leq y\right\} = \left\{f \leq y - g\right\}
\end{align}
\] где \(c\in \overline{\mathbb {R}}\) – произвольное фиксированное число. Докажите, что \(h\) – измеримая.
Примечание. Неопределнность может возникать, когда \(f(\omega ) = +\infty\), \(g(\omega ) = -\infty\).
Пусть \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримые функции. Докажите, что \(\min (f,g), \max (f,g)\) – измеримые функции.
Следующая задача показывает, что если \(f\) – измеримая, \(g = f\)почти всюду (т.е. множество тех \(\omega\), где они не равны, имеет нулевую меру) и пространство полно, то \(g\) также измерима.
Пусть \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) – измеримое пространство с полной мерой \(\mu\). Пусть \(f: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\) – измеримая функция, пусть \(g: \Omega \to \mathbb {R}\) – такая функция, что \(\left\{ f\neq g\right\} = \left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \neq g(\omega )\right\} \in \mathcal{F}\) и \(\mu (\left\{ f \neq g\right\} ) = 0\). Докажите, что \(g\) – \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримая функция.
Покажите, что в предыдущей задаче нельзя выкинуть условие полноты меры. Т.е. приведите пример такого пространства с мерой \((\Omega , \mathcal{F}, \mu )\) и таких функций \(f,g: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right))\), что \(f=g\) п.в., при этом \(f\) была бы измерима, а \(g\) нет.
Последовательности измеримых функций
Теорема 1 Пусть \(f_n: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)), n \in \mathbb {N}\) – последовательность \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримых функций. Тогда
Функции
\[
h(\omega) := \begin{cases} \lim\limits_{n\to\infty}f_n(\omega), & \lim\limits_{n\to\infty}f_n(\omega)\text{ существует} \\ c, & \text{ в прот. случ.}\end{cases}
\] являются \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримыми;
\(\left\{ \exists \lim_{n \to \infty }f_n\right\} = \left\{ \omega \in \Omega : \lim_{n\to \infty }f_n(\omega ) \text{ существует}\right\} \in \mathcal{F}\);
Пусть
\[
\begin{align}
\left\{\exists \lim\limits_{n \to \infty} f_n\right\} &= \left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\to\infty}f_n(\omega) \text{ существует}\right\} = \\
&= \left\{\forall k \in \mathbb{N} \; \exists N \in \mathbb{N}\; :\; \forall m,n \geq N \hookrightarrow \left|f_n - f_m\right| < \frac{1}{k}\right\} = \\
&=\bigcap_{k=1}^{\infty}\left\{\exists N\; :\; \forall m,n \geq N \hookrightarrow \left|f_n - f_m\right| < \frac{1}{k}\right\} = \\
&= \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{m,n = N}^{\infty} \left\{\left|f_n - f_m\right| < \frac{1}{k}\right\} = \\
&= \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{m,n = N}^{\infty} \left(\left\{f_{n} - f_{m} < \frac{1}{k}\right\} \cap \left\{f_{n} - f_{m} > -\frac{1}{k}\right\}\right)
\end{align}
\] где \(c \in \overline{\mathbb {R}}\) – произвольное фиксированное. Тогда функция \(h\) является \(\mathcal{F}|\mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)\)-измеримой.
Докажите пункт 2 теоремы.
Воспользуйтесь критерием Коши.
Имеем
\[
\left\{f_{n} - f_{m} < \frac{1}{k}\right\}, \left\{f_{n} - f_{m} > -\frac{1}{k}\right\} \in \mathcal{F}
\] (квантор всеобщности превращается в пересечение, квантор существования превращается в объединение). Далее, множества
\[
\left\{\exists \lim\limits_{n \to \infty} f_n\right\} \in \mathcal{F}
\] т.е. являются измеримыми (см. пример @MeasFuncs:Ex_f_gr_g_is_meas, там это доказано). \(\bigcap_{k=1}^{\infty } \bigcup_{N=1}^{\infty } \bigcap_{m,n = N}^{\infty }\) – это счетные пересечения и объединения. Значит,
\[
\[ \left\{ \exists \lim \limits _{n \to \infty } f_n\right\} \in \mathcal{F} \]
\] Важно, что все объединения и пересечения идут по не более чем счетным наборам событий.
Используя первые 2 пункта, докажите пункт 3 теоремы.
Приведите пример такого несчетного набора \(f_e: (\Omega , \mathcal{F}) \to (\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}\left(\overline{\mathbb {R}}\right)), e \in E\) измеримых функций, что функция \(\sup_{e \in E}f_e\) не была бы измеримой.